La parábola

Elementos de la parábola

Para construir una parábola, de manera simple y para que resulte claro, fijamos el foco en el punto \(F(0,p/2)\) y la directriz con la ecuación \(y=-p/2\). De esta manera, la distancia entre el foco y la recta directriz es de \(p\).

Los elementos de la parábola son:

• Foco en \(F(0,p/2)\).

• Directriz \(y=-p/2\).

• Parámetro \(p\), que es la distancia entre el foco y la directriz.

• Vértice en \(O(0,0)\).

• Eje de simetría: es la recta que corta la parábola en dos partes iguales y es paralela a la dirección donde esta abre.

Si tenemos en cuenta la definición de la parábola y elegimos el parámetro como \(p=1\), igualamos la distancia entre el punto genérico \(P(x,y)\) y la directriz \(y=-1/2\), y la distancia entre el punto \(P\) y el foco \(F(0,1/2\):

\[d(P,r)=d(P,F)\]

\[\left|y+\dfrac{p}{2}\right|=\sqrt{(x-0)^2+\left(y-\dfrac{p}{2}\right)^2}\]

\[\left(y+\dfrac{p}{2}\right)^2=x^2+\left(y-\dfrac{p}{2}\right)^2\]

\[\cancel{y^2}+\cancel{\dfrac{p^2}{4}}+py=x^2+\cancel{y^2}+\cancel{\dfrac{p^2}{4}}-py\]

Simplificando, obtenemos:

\[2py=x^2\]

Podemos ver un ejemplo de esto en la Fig. 2, donde el parámetro \(p\) es igual a \(1\).

Fig. 2. Parábola con parámetro \(p=1\).

Veamos un ejemplo, para que quede más claro:

Representación gráfica de una parábola

A partir de lo que hemos visto antes, una parábola puede tener cuatro orientaciones básicas. Entre estas hay: dos en las cuales es vertical, cuando abre hacia arriba o abajo, como en la Fig. 4; y dos orientaciones donde abre horizontalmente, hacia la izquierda o derecha, como en la Fig. 5.

• Cuando una parábola tiene la orientación como la de color turquesa de la Fig. 4, su ecuación toma la forma: \[x^2=2py\]
• Sin embargo, si la parábola tiene la orientación como la de color azul de la Fig. 4, su ecuación es: \[x^2=-2py\]

Fig. 4. Parábola con apertura vertical.

Ahora, si la orientación es horizontal, las variables se invierten:

• La parábola en azul de la Fig. 5 tiene la ecuación \[y^2=2px\]
• La ecuación de la parábola en turquesa de la Fig. 5 toma la forma \[y^2=-2px\]

Fig. 5. Parábola con apertura horizontal.

Ecuación de la parábola

La parábola se puede representar por una ecuación en forma de una función \(f(x)=y\) o por una forma del tipo \(y = a(x-h)^2 + k\). En primer lugar, veamos más detenidamente la segunda forma:

En la ecuación \(y = a(x-h)^2 + k\), los puntos \((h, k)\) son el vértice de la figura y \((h,k+4a)\) es el foco; de esta manera, en la ecuación \(y = 2(x-3)^2 + 4\), el vértice será \((3, 4)\) y el foco \((3, 12)\).

Debido a que la distancia entre el foco y el vértice es la misma que entre el vértice y la directriz, podemos encontrar el punto donde la directriz pasa, midiendo la distancia entre el foco y el vértice. Para medir esta distancia, restamos la coordenada vertical \(y\) del foco y el vértice \(12-4=8\); esto significa que la directriz pasa en el punto \((3, -4)\).

Función de una parábola

La primera ecuación que vimos es más común en casos como derivadas, integrales y análisis; esta es una función cuadrática, o de segundo grado, en \(x\). Esta ecuación es de la forma \(f(x)=ax^2+bx+c\), donde los coeficientes son números reales.

Raíces de una parábola

¿Qué pasa cuando una parábola cruza el eje de las \(x\)? En este caso, se tienen raíces.

Un ejemplo clásico y sencillo sería la función \(y=x^2\); aquí \(y=0\) cuando \(x=0\). En todos los demás casos es positivo.

Una parábola puede tener tres casos:

1. Tener una raíz. Por ejemplo, \(y=ax^2\).

2. Tener dos raíces. Por ejemplo, \(y=ax^2+bx+c\).

3. No tener raíces. Por ejemplo, \(y=ax^2+c\) con \(c\) positiva.

Hay dos métodos para encontrar la raíces de una parábola:

1. Aplicación de la fórmula cuadrática.

2. Completar cuadrados.

• En el primer caso, aplicamos simplemente la fórmula cuadrática para encontrar la factorización de la ecuación. La fórmula para encontrar las raíces de \(x\) en la función \(f(x)=ax^2+bx+c\) es: \[x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
• En el segundo caso, debemos factorizar la forma \(y=ax^2+bx+c\), para encontrar el binomio al cuadrado que produce la parábola \((a’x+b’)^2=a’x^2+2a’b’x+b’^2\); aquí \(a’=a\), \(2a’b’=b\) y \(b’=c\).

Veamos un par de ejemplos: