Una de las cónicas más importantes es la parábola. Seguro que ya la has visto como típica función de segundo grado. Esta figura se usa para muchas cosas, ya que puede representar fenómenos en física; por ejemplo, el tiro parabólico. Ahora, vamos a estudiarla desde el punto de vista de qué es una cónica.
La parábola
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto llamado foco y de una recta llamada directriz.
La parábola tiene varias características, entre ellas:
Tiene una curvatura.
Tiene un solo máximo o mínimo.
Tiene un foco.
Es una cónica.
Si cruza el eje de las \(x\), posee raíces donde \(y=0\), si lo toca, posee solo una.
Puedes ver una parábola en la imagen siguiente:
Fig. 1. Parábola.
Profundicemos un poco más en sus características y elementos.
Elementos de la parábola
Para construir una parábola, de manera simple y para que resulte claro, fijamos el foco en el punto \(F(0,p/2)\) y la directriz con la ecuación \(y=-p/2\). De esta manera, la distancia entre el foco y la recta directriz es de \(p\).
Los elementos de la parábola son:
Foco en \(F(0,p/2)\).
Directriz \(y=-p/2\).
Parámetro \(p\), que es la distancia entre el foco y la directriz.
Vértice en \(O(0,0)\).
Eje de simetría: es la recta que corta la parábola en dos partes iguales y es paralela a la dirección donde esta abre.
Si tenemos en cuenta la definición de la parábola y elegimos el parámetro como \(p=1\), igualamos la distancia entre el punto genérico \(P(x,y)\) y la directriz \(y=-1/2\), y la distancia entre el punto \(P\) y el foco \(F(0,1/2\):
\[d(P,r)=d(P,F)\]
\[\left|y+\dfrac{p}{2}\right|=\sqrt{(x-0)^2+\left(y-\dfrac{p}{2}\right)^2}\]
\[\left(y+\dfrac{p}{2}\right)^2=x^2+\left(y-\dfrac{p}{2}\right)^2\]
\[\cancel{y^2}+\cancel{\dfrac{p^2}{4}}+py=x^2+\cancel{y^2}+\cancel{\dfrac{p^2}{4}}-py\]
Simplificando, obtenemos:
\[2py=x^2\]
Podemos ver un ejemplo de esto en la Fig. 2, donde el parámetro \(p\) es igual a \(1\).
Fig. 2. Parábola con parámetro \(p=1\).
Veamos un ejemplo, para que quede más claro:
Observa la siguiente imagen. Esta parábola tiene ciertas características, como una dirección, un eje de simetría y una directriz.
Encuentra si estas son horizontales o verticales.
Fig. 3. Ejemplo de parábola.
Como puedes ver, la parábola abre hacia abajo; esto significa que la parábola es vertical.
Debido a que el eje de simetría es paralelo al punto donde la parábola abre, el eje de simetría está en la dirección del eje \(y\); así que, también es vertical.
Sabemos de la definición que la directriz será perpendicular al eje de simetría; en este caso, si el eje de simetría es vertical, la directriz es horizontal.
Representación gráfica de una parábola
A partir de lo que hemos visto antes, una parábola puede tener cuatro orientaciones básicas. Entre estas hay: dos en las cuales es vertical, cuando abre hacia arriba o abajo, como en la Fig. 4; y dos orientaciones donde abre horizontalmente, hacia la izquierda o derecha, como en la Fig. 5.
- Cuando una parábola tiene la orientación como la de color turquesa de la Fig. 4, su ecuación toma la forma: \[x^2=2py\]
- Sin embargo, si la parábola tiene la orientación como la de color azul de la Fig. 4, su ecuación es: \[x^2=-2py\]
Fig. 4. Parábola con apertura vertical.
Ahora, si la orientación es horizontal, las variables se invierten:
- La parábola en azul de la Fig. 5 tiene la ecuación \[y^2=2px\]
- La ecuación de la parábola en turquesa de la Fig. 5 toma la forma \[y^2=-2px\]
Fig. 5. Parábola con apertura horizontal.
Ecuación de la parábola
La parábola se puede representar por una ecuación en forma de una función \(f(x)=y\) o por una forma del tipo \(y = a(x-h)^2 + k\). En primer lugar, veamos más detenidamente la segunda forma:
En la ecuación \(y = a(x-h)^2 + k\), los puntos \((h, k)\) son el vértice de la figura y \((h,k+4a)\) es el foco; de esta manera, en la ecuación \(y = 2(x-3)^2 + 4\), el vértice será \((3, 4)\) y el foco \((3, 12)\).
Debido a que la distancia entre el foco y el vértice es la misma que entre el vértice y la directriz, podemos encontrar el punto donde la directriz pasa, midiendo la distancia entre el foco y el vértice. Para medir esta distancia, restamos la coordenada vertical \(y\) del foco y el vértice \(12-4=8\); esto significa que la directriz pasa en el punto \((3, -4)\).
Función de una parábola
La primera ecuación que vimos es más común en casos como derivadas, integrales y análisis; esta es una función cuadrática, o de segundo grado, en \(x\). Esta ecuación es de la forma \(f(x)=ax^2+bx+c\), donde los coeficientes son números reales.
Un caso sencillo es cuando se tiene la forma \(y=x^2\); en este caso, el foco es \((0, 0)\).
El resultado de esto se puede ver en la imagen siguiente:
Fig. 6: Raíces de una parábola.
Puedes ir de una ecuación a la otra, en cierto sentido.
Por ejemplo: si se tiene la función de tipo \(y = a(x-h)^2 + k\) puedes desarrollar el binomio, usando el binomio de Newton, que es parte del tema de factoriales.
El desarrollo de la parte cuadrática \((x)^2\) es igual a:
\[(x-h)^2=x^2-2xh-h^2\]
Si sustituimos esto en la ecuación original tenemos:
\[y=ax^2-2xh-h^2+k\]
Podemos reducir, ya que \(h^2+k\) es una constante \(c\), al igual que \(2h=b\). Haciendo esto, se tiene:
\[y = a(x-h)^2 + k= ax^{2}-bx+c\]
Que es la forma original de la parábola para la función \(f(x)\).
Cabe decir que aquí el signo es negativo para \(bx\), pero eso depende del valor de \(b\), ya que si este es negativo o se tiene \(y = a(x+h)^2 + k\), se tiene \(y = a(x-h)^2 + k= ax^{2}+bx+c\).
Raíces de una parábola
¿Qué pasa cuando una parábola cruza el eje de las \(x\)? En este caso, se tienen raíces.
Las raíces son los puntos donde para la función del tipo \(f(x)=y\) esta vale cero.
Un ejemplo clásico y sencillo sería la función \(y=x^2\); aquí \(y=0\) cuando \(x=0\). En todos los demás casos es positivo.
Una parábola puede tener tres casos:
Tener una raíz. Por ejemplo, \(y=ax^2\).
Tener dos raíces. Por ejemplo, \(y=ax^2+bx+c\).
No tener raíces. Por ejemplo, \(y=ax^2+c\) con \(c\) positiva.
Hay dos métodos para encontrar la raíces de una parábola:
Aplicación de la fórmula cuadrática.
Completar cuadrados.
- En el primer caso, aplicamos simplemente la fórmula cuadrática para encontrar la factorización de la ecuación. La fórmula para encontrar las raíces de \(x\) en la función \(f(x)=ax^2+bx+c\) es: \[x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
- En el segundo caso, debemos factorizar la forma \(y=ax^2+bx+c\), para encontrar el binomio al cuadrado que produce la parábola \((a’x+b’)^2=a’x^2+2a’b’x+b’^2\); aquí \(a’=a\), \(2a’b’=b\) y \(b’=c\).
Veamos un par de ejemplos:
Se tiene la parábola \(y=x^2+4x+4\).
Encuentra la raíces de esta función.
Solución:
Identificamos términos y aplicamos la fórmula cuadrática:
\[a=1, \, b=4, \, c=4\]
\[x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4·4}}{2·1}=\dfrac{-4\pm 0}{2}=-2\]
En este caso, obtenemos que las raíces son \(x=-2\); esta es una raíz doble.
Encuentra las raíces de la parábola \(f(x)=x^2-2x+1\).
Solución:
Debido a que las raíces son el caso en el que \(f(x)=0\), esto significa que deben cumplir: \[x^2-2x+1=0\]
Vamos a completar cuadrados. Para ello, como el término de primer grado es negativo, sabemos que será el cuadrado de una resta del tipo \((x-a)^2\).
Viendo que el término de primer grado es un 2, dividimos entre el mismo para obtener el término \(a\) y llegar a 1.
\[(x-1)^2\]
Desarrollamos este binomio para comprobar si es nuestra ecuación:
\[(x-1)^2=x^2+1^2-2·x·1=x^2-2x+1\]
Observamos que es nuestra ecuación; por lo tanto, las raíces de la parábola son \(x=-1\): esta es una raíz doble.
La parábola - Puntos clave
- La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto llamado foco y de una recta llamada directriz.
- La parábola tiene varias características, entre ellas:
- Tiene una curvatura.
- Tiene un solo máximo o mínimo.
- Tiene un foco.
- Es una conica.
- Si cruza el eje de las \(x\), posee raíces donde \(x=0\); si lo toca, posee solo una.
- Hay dos ecuaciones principales de una parábola:
- \(y = a(x-h)^2 + k\).
- \(y=ax^2+bx+c\).
- Una parábola puede tener una raíz, dos raíces o ninguna.
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