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Definición de la derivada
Antes de definir la derivada, revisemos qué es una pendiente.
Una pendiente es como la conocemos en la vida real cuando subes una montaña o colina, es la inclinación. Cuanta mayor pendiente, se dice que la inclinación es más aguda; es decir, mayor.
Por ejemplo en la siguiente gráfica puedes ver cómo dos funciones \(f\) y \(g\) tienen dos pendientes distintas: la función \(f\) tiene una pendiente negativa y \(g\) es positiva.
Fig. 1. Pendientes de dos funciones: \(f\) y \(g\).
\[m=\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]
Ahora sabemos que \(y\) es el resultado de la función \(f(x)\), por lo cual la función anterior se escribe como:
\[m=\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\]
Esto gráficamente, se ve como lo siguiente, si se tiene la recta \(y=x\) y los puntos son:
\[x_1=1, x_2=3\]
Fig. 2. Pendiente de una función.
Derivada y recta tangente
Esta es la pendiente \(m\) de una recta. Pero, ¿por qué esto es importante para saber la definición de derivada? Bueno, la derivada es la recta tangente \(r\) a una función. Como es una recta, la pendiente es una característica de la recta tangente a la función; podemos verlo en la siguiente imagen:
Fig. 3. Recta tangente a una función.
La derivada y límites
Si la derivada es la recta tangente de la función, debemos ahora decirte que la derivada es también el cambio instantáneo de la recta tangente; es decir, que la distancia entre los puntos \(A\) y \(B\) de la figura 4 debe reducirse.
Digamos que, en este caso, el punto \(x_2\) está definido como el punto anterior \(x_1\) más un incremento \(h\). Entonces, la fórmula de la pendiente cambia a:
\[m=\dfrac{f(x+h) - f(x)}{x+h - x} \rightarrow \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
Si hacemos que \(h\)se haga más pequeño, entonces se tiene un límite. Como este deber ser instantáneo, es decir, el cambio debe ser casi \(0\), entonces \(h\) debe tender hacia \(0\). Esto se indica como:
\[\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\]
Si lo aplicamos a la fórmula, obtenemos que el cambio instantáneo de la recta tangente a la función en el punto \((x, y)\) es el siguiente:
\[f'(x)=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
Esta es la definición formal de la derivada de una función \(f\) en un punto \((x,y)\), donde:
\[y=x+h\]
Sabemos que la derivada de \(x^2\) es \(2x\); pero, podemos probar esto sustituyendo los términos en la fórmula que hemos dado, cuando \(h \rightarrow 0\).
Solución
\[f(x)=x^2\]
\[f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x+h)^2-f(x)^2}{h}\]
\[f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\]
\[f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{h(2x+h)}{h}\]
\[f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0} (2x+h)\]
Finalmente, debemos considerar qué le pasa al límite cuando \(h\)se acerca a \(0\). Cuando esto sucede\(h\) desaparece y el resultado se simplifica a \(2x\).
\[f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0} 2x\]
El proceso de derivación
El proceso de derivación se suele representar con el símbolo \(\frac{dy}{dx}\). Este símbolo es equivalente a decir “el cambio de\(y\) dividido entre el cambio de \(x\)”. Las variables \(x\) y \(y\) son notación arbitraria y pueden ser sustituidas por otras variables. Esta notación también es conocida como la derivada de \(y\) con respecto a \(x\), donde \(y\) es la función a derivar.
Otras alternativas a la notación de la derivada son el uso de un apóstrofe ('). En este caso, si la función \(y\) se deriva con respecto a su argumento, aparecerá como \(y'\). Si la función es representada por \(f\) y depende de \(x\), tal que \(f(x)\), entonces su derivada será escrita como \(f'(x)\).
Completemos un ejemplo de cómo calcular la pendiente de una función.
Fig. 4. Ejemplo de la pendiente de una función lineal (recta).
Dado que se trata de una recta, este ejemplo es sencillo. Sin embargo, si observamos una función con una derivada más compleja como una función cuadrática, no es del todo claro cómo encontrar su pendiente, ya que cambia continuamente según el punto que escojamos. ¡Aun así, podemos encontrar la pendiente en un punto específico de la gráfica trazando la curva tangente!
Pero, ¿qué pasa si queremos una expresión general para encontrar la pendiente en cualquier punto? Para ello usaremos la derivación. En estos casos usamos la derivación para encontrar una función que describa la pendiente de la gráfica (función) en cualquier punto.
Por ejemplo, si la función tiene \(x\) por variable y esta está elevada a una potencia de dos, al ser una función cuadrática, entonces usaremos el método general para derivar \(x^n\).
Los pasos que tienes que seguir son:
Reduce en uno el valor de la potencia a la cual la variable \(x\) está elevada.
Multiplica la variable \(x\) por el exponente anterior.
Si aplicamos esta regla, la función \(x^n\), se transforma en \(n x^{n-1}\). Formalmente, esto se puede escribir como:
\[y=x^n\]
\[\dfrac{dy}{dx}=n x^{n-1}\]
¿Para qué sirve una derivada?
La pregunta acerca del uso de la derivada nos permite darte una respuesta práctica y sencilla acerca de un caso donde puedes usarla y puedes extrapolarlo a lo que tú desees, siempre y cuando conozcas la función original.
Un aspecto útil de la derivada es que, el conocer la razón de cambio de una función nos permite calcular qué tan rápido cambia una variable con respecto a otra.
Por ejemplo, si tenemos un automóvil que se mueve de un punto \(a\) a un punto \(b\) en un tiempo \(t_1\) a \(t_2\); la función que nos dice el cambio de posición con respecto al tiempo es \(f(x)\) y la derivada \(f'(x)\) nos dirá qué tan rápido cambia la posición en el tiempo; o sea, la velocidad.
De este modo la derivada aplicada a diversos casos te podría dar:
La velocidad de un objeto.
La aceleración de un objeto.
Cuán rápido crece una población.
Cuán rápido decrece un reactivo químico.
etc.
Derivación de un polinomio
Digamos que tenemos la siguiente gráfica de la función \(y=x^2+x+2\) y deseamos encontrar la pendiente en el punto \(x=1\).
Fig. 5. Gráfica de la función mencionada donde la derivada es calculada en /(x=1/).
Para diferenciar la función, procederemos a aplicar la derivación de \(x\) un exponente \(n\) a cada parte de la función que contiene la variable \(x\).
\[x^2+x+2\]
\[x^2 \rightarrow 2x^{2-1}=2x\]
\[x \rightarrow x^{1-1}=x^0=1\]
La parte de la función que solo se compone de una constante ( \(2\) en este caso), sería como si multiplicase a \(x^0\), con lo cual la regla indica que la derivada es cero.
Esto se puede entender a través de la definición de derivación, que implica una tasa de cambio. Dado que las constantes son, como su nombre indica, constantes, no cambian y su derivada ha de ser cero (no hay tasa de cambio).
Ahora que sabemos cuáles son los términos de la derivada en cada miembro, esto nos da la fórmula para la pendiente de la función en cada punto de esta:
\[y=x^2+x+2\]
\[\dfrac{dy}{dx}=2x+1\]
Para encontrar la pendiente en el punto deseado solo sustituimos el valor usando \(x=1\):
\[m=2(1)+1=3\]
La derivación y las gráficas de la función
La derivada de una función puede darnos mucha información acerca de cómo la función se comporta y de su gráfica. Parte de esa información que nos puede dar son los puntos donde cambia su crecimiento, conocidos como puntos críticos —que son los puntos donde la derivada es igual a \(0\)—. Cuando esto sucede hay tres posibilidades:
Fig. 6. Cuando la derivada es \(0\), puede ser un máximo \(g\), mínimo \(f\) o punto de silla como en \(p\).
Cuando una gráfica es cuadrática, el punto crítico obviamente será lo que conocemos como un máximo o un mínimo (el punto donde la función alcanza su valor más grande o menor). Si queremos conocer la naturaleza de este punto, solo debemos observar el coeficiente elevado al cuadrado. Si este es positivo, el punto crítico es un mínimo; y si es negativo, será un máximo. Si la función es, por ejemplo, cúbica, hay que observar el cambio de signo de la función alrededor del punto crítico.
Consideremos el siguiente máximo local (se dice local cuando es un punto máximo que no se sabe si es el máximo de toda la función o solo es el máximo en una región cercana a él).
Fig. 7. Máximo local de la gráfica.
Solución
Se puede observar que la primera sección de la gráfica incrementa sus valores conforme se acerca a \(0\), donde se encuentra el punto crítico. Después del punto crítico, los valores de \(f(x)\) comienzan a disminuir.
Si la pendiente de la gráfica aumenta en cierta parte de la gráfica o función, la derivada es positiva. Si la pendiente disminuye, es negativa. La clasificación formal es:
Si \(\dfrac{dy}{dx}>0\) la función crece.
Si \(\dfrac{dy}{dx}=0\) es punto crítico.
Si \(\dfrac{dy}{dx}<0\) la función decrece.
Observa cómo se puede determinar la naturaleza de un punto crítico.
\[y=x^2+4x+2\]
Solución
Para analizar la naturaleza de un punto crítico sin mirar a los coeficientes de la función, se pueden analizar los valores de la función alrededor de él. Primero, se deriva la función:
\[y'=2x+4\]
Ahora, se pueden encontrar las coordenadas del punto crítico. Para ello, se iguala la función a \(y'=0\), ya que en \(0\)es cuando se alcanza el punto crítico:
\[2x+4=0\]
\[2x=-4\]
\[x=-2\]
Ahora, podemos crear una tabla para probar valores de la función en cada lado:
\[x=-3\] | \[x=-2\] | \[x=-1\] |
\[y'=2(-3)+4=-2\] | \[y'=2(-2)+4=0\] | \[y'=2(-1)+4=2\] |
Negativo | Punto crítico | Positivo |
Ya que la pendiente primero decrece y después crece, esto significa que tenemos un mínimo. Si la pendiente primero creciese y después disminuyese, tendríamos un máximo. Finalmente, si en ambos casos creciese o disminuyese, tendríamos lo que se conoce como un punto de inflexión, o también punto silla o punto estacionario.
La segunda derivada y las gráficas de la función
Podemos determinar si un punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión usando la segunda derivada. La segunda derivada proporciona información acerca de la curvatura de la función.
Una función cóncava hacia abajo en el intervalo en el que existe un punto critico, indica que la gráfica o función posee un mínimo en el punto estudiado.
Una función cóncava hacia arriba en el intervalo donde existe un punto critico, indica que la gráfica o función tiene un máximo en el punto estudiado.
Si la segunda derivada es cero, el punto estudiado es estacionario, punto silla o punto de inflexión.
En nuestro ejemplo anterior:
\[y=x^2+4x+2\]
\[y'=2x+4\]
\[y''=2\]
Esto significa que la curvatura es positiva y, por lo tanto, el punto crítico es un mínimo.
Tabla de derivadas comunes
Es muy probable que te encuentres con derivadas simples al inicio de tus cursos, como derivadas de una variable al cuadrado o de una raíz o de una fracción. Una manera simple de abordar estas derivadas es usando una tabla, te la mostraremos aquí mismo.
En la tabla hay valores que debes de tener en cuenta, por ejemplo:
\(n\)
Es un número entero
\(-n\)
Es un número entero pero negativo
\(\dfrac{n}{m}\)
Son dos números enteros negativos
\(f(x), g(x)\)
Son dos funciones, pueden ser desde un número hasta algo más complejo como un polinomio u otra clase de función.
\(f'(x)=\dfrac{d}{dx}f(x)=\dfrac{dy}{dx}\)
Por cada fórmula hemos puesto un ejemplo, ya que esto te ayudará bastante a comprender mejor.
| Caso | Función | Derivada | Ejemplo |
derivada de \(x\) | \[f(x)=x\] | \[f'(x)=1\] | Es la propia fórmula. |
derivada de \(x\) por una constante | \[f(x)=nx\] | \[f'(x)=n\] | \[f(x)=3x\] \[f'(x)=3\] |
\(x\) a una potencia \(n\) | \[f(x)=x^n\] | \[f'(x)=nx^{n-1}\] | \[f(x)=2x^3\] \[f'(x)=3(2x^{3-1})=6x\] |
\(x\) a una potencia \(-n\) | \[f(x)=x^{-n}\] | \[f'(x)=nx^{-n-1}\] | \[f(x)=2x^{-4}=\dfrac{2}{x^4}\] \[f'(x)=2(-4)x^{-4-1}=-8x^{-5}\] |
\(x\) a una potencia \(\dfrac{n}{m}\) | \[f(x)=x^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{x^n}\] | \[f'(x)=\frac{n}{m}x^{\frac{n}{m}-1}\] | \[f(x)=5x^{\frac{2}{3}}\] \[f'(x)=\frac{2}{3}(5x^{\frac{2}{3}}-1)=\frac{10}{3}x^{\frac{-1}{3}}\] |
Suma de funciones | \[f(x)+g(x)\] | \[f'(x)+g'(x)\] | \[5x^2+2x\] \[f'(x)=2(5x^{2-1})+2x^{1-1})=10x+2\] |
Resta de funciones | \[f(x)-g(x)\] | \[f'(x)-g'(x)\] | \[5x^2-2x\] \[f'(x)=2(5x^{2-1})-(2x^{1-1})=10x-2\] |
Tabla 2: Fórmulas y ejemplos.
Recuerda siempre que la fórmula para un exponente negativo cambia si este exponente es igual a \(-1\).
Reglas de las derivadas
Algunas reglas facilitan la obtención de las derivadas de funciones complejas. Algunas de estas son:
Estas reglas puedes verlas explicadas con más detalle en el tema Reglas de derivación. Ahora sólo te las presentamos para que te hagas una ligera idea de cómo son y cómo funcionan.
La regla del producto
Usamos la regla del producto cuando se necesita encontrar la derivada de dos funciones que se están multiplicando. Su fórmula es:
\[y=u(x) \cdot v(x)\]
\[y'=u(x) \cdot v'(x) + v(x) \cdot u'(x)\]
Deriva la función:
\[y=(x^2+1)(x^2+x)\]
Solución
En lugar de expandir la multiplicación y aplicar la regla de derivación de polinomios, apliquemos la regla del producto, denotando:
\[u(x)=(x^2+1)\]
\[v(x)=(x^2+x)\]
La derivada de cada término es:\[u'=2x\]
\[v'=2x+1\]
Al sustituir los valores en la fórmula del producto:
\[y'=2x(x^2+1)+(x^2+x)(2x+1)\]
\[2x^3+2x+2x^3+x^2+2x^2+x\]
Reduciendo tenemos:
\[4x^3+3x^2+3x\]
La regla del cociente
Podemos usar la regla del cociente para calcular la derivada de dos funciones que se dividen entre sí. La fórmula es la siguiente:
\[y(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\]
\[y'(x)=\dfrac{v(x)u'(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}\]
Deriva la función:
\[y=\dfrac{x}{x+2}\]
Solución:
Denotemos por \(u(x)\) el numerador y por \(v(x)\) el denominador. Por tanto, en este caso, \(u(x)=x\) y \(v(x)=x+2\). Después, derivamos ambas; con lo cual obtenemos \(u'(x)=1\) y \(v'(x)=1\).
Si sustituimos estos valores en la fórmula anterior, obtenemos lo siguiente.
\[y'(x)=\dfrac{(x+2)(2)-(x)(1)}{(x+2)^2}\]
\[y'(x)=\dfrac{2}{(x+2)^2}\]
La regla de la cadena
Usamos la regla de la cadena para encontrar la derivada de una función compuesta o, en otras palabras, la función que está contenida en otra función. La fórmula es:
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}\]
Deriva la función:
\[y=(x+2)^3\]
Solución:
Nuevamente, definamos \(u\) e \(y\) primero. En este caso \(y=(x+2)\), de este modo \(y=u^3\).
Derivando ambos, se obtiene \(\frac{dy}{du}\) y \(\frac{du}{dx}\).
\[\frac{du}{dx}=u'(x)=1\]
\[\frac{dy}{du}=y'(x)=3u^2\]
Finalmente, multiplicando ambas se obtiene \(\frac{dy}{dx}=3u^2\), y sustituyendo, se obtiene:
\[y'=3(x+2)^2\]
Derivadas paramétricas
A veces, se necesita derivar funciones donde \(x\) y \(y\) están en términos de una tercera variable (se encuentran parametrizadas). En estos casos debemos recurrir a la derivadas paramétricas.
Deriva la siguiente expresión:
\[y=3t^2+2t-3\]
\[x=4t+5\]
Solución:
En este caso, se puede usar la regla de la cadena para derivar \(x\) con respecto a\(y\):
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}\]
Se reorganiza la ecuación que contiene \(x\) en términos de \(t\) . En este caso, la ecuación que se tenía anteriormente se convierte en la siguiente:
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\]
Primero reorganizamos y multiplicamos:
\[x=4t+5\]
\[t=\dfrac{1}{4}(x-5)\]
\[t'=\dfrac{1}{4}\]
\[y=3t^2+2t-3\]
\[y'=6t+2\]
Por lo tanto:
\[\dfrac{dt}{dx}\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{4} (6t+2)=\dfrac{3t+1}{2}\]
Ahora usemos el otro método, para garantizar que obtengamos el mismo resultado. Primero, derivaremos cada ecuación individualmente con respecto a \(t\) y, después, dividiremos \(\frac{dx}{dt}\) por \(\frac{dy}{dt}\).
\[y=3t^2+2t-3\]
\[y'=6t+2\]
\[x=4t+5\]
\[x'=4\]
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{6t+2}{4}=\dfrac{3t+1}{2}\]
Derivadas trigonométricas
Las derivadas trigonométricas son otro tipo de derivadas especiales. Estas derivadas muchas veces tienen como resultado otra función trigonométrica, como es el caso de la función seno o coseno.
Deriva:
\[f(x)=\sin(x)\]
Solución:
\[f'(x)=\dfrac{d}{dx}(\sin(x))=\cos(x)\]
Debido a que cada función trigonométrica tiene su derivada, es mas fácil dar una tabla con las derivadas de cada función.
Tabla de derivadas trigonométricas
| Función | Derivada |
| \[\sin(x)\] | \[\cos(x)\] |
| \[\cos(x)\] | \[-\sin(x)\] |
| \[\tan(x)\] | \[\sec^2(x)\] |
| \[\sec(x)\] | \[\sec(x)-\tan(x)\] |
| \[\csc(x)\] | \[-\csc(x)\cot(x)\] |
| \[\cot(x)\] | \[-\csc^2(x)\] |
Tabla 3: Derivadas trigonométricas.
Derivación implícita
A veces la derivación se utiliza para derivar funciones explícitas; es decir, funciones del tipo \(f(x)=y\) o \(y=x^2+3x+...\). En estos casos, la variable independiente y dependiente se encuentran cada una en un lado de la igualdad.
Sin embargo, ¿cómo trabajamos con derivadas en funciones definidas en expresiones como, por ejemplo, \(x^2+y^2=25\)? En estos casos debemos usar una técnica llamada derivación implícita. Para hacerlo, debemos aproximarnos a la solución por separado y derivar ambos lados de la expresión:
\[\dfrac{d}{dx}x^2+\dfrac{d}{dx}y^2=\dfrac{d}{dx}25\]
Ya sabemos cómo derivar ambas partes. El primer paso es derivar y denotar la derivada de \(y\) como \(\frac{dy}{dx}\).
\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]
Ahora se despeja \(\frac{dy}{dx}\):
\[\dfrac{dy}{dx}2y=-2x\]
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-2x}{2y}=\dfrac{-x}{y}\]
Derivación - Puntos clave
- La derivación es un método por el cual podemos encontrar la razón de cambio de una función, que se corresponde con la pendiente de la tangente de una función en un punto determinado.
- El resultado de la derivación se llama la derivada de la función.
- El proceso de derivación es representado por el símbolo \(\frac{dy}{dx}\).
Para derivar un polinomio se debe reducir la potencia de los términos con una \(x\) en uno y multiplicar cada término que contienen una \(x\) por la antigua potencia a la que estaba elevada.
La derivada de una constante es\(0\).
La derivada es definida como el límite cuando la función tiende a un incremento de \(h\), pero esta \(h\) tiende hacia\(0\): \(f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
Cuando la derivada es positiva \(\dfrac{dy}{dx}>0\), significa que la función crece.
Cuando la derivada es negativa \(\dfrac{dy}{dx}<0\), significa que la función decrece.
Cuando la derivada es igual a \(0\), \(\dfrac{dy}{dx}=0\), hay tres posibilidades: que esta sea un mínimo, un máximo o un punto silla.
La regla del producto para una derivada es: \(y'=uv'+vu'\).
La regla del cociente para una derivada es: \(y'=\frac{vu'-uv'}{v^2}\).
La regla de la cadena para una derivada es: \(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dxu\frac{du}{dx}\).
La derivación paramétrica usa la fórmula: \(\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\).
La derivación implícita supone derivar ambos lados de una expresión y despejar \(\frac{dy}{dx}\).
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Preguntas frecuentes sobre Derivadas
¿Cuántos tipos de derivadas hay?
Cada función tiene un cierto tipo de derivada. Por ejemplo, las funciones trigonométricas tienen, cada una, su derivada: las funciones exponenciales, la funciones logarítmicas y las funciones exponenciales; además de existir derivadas para constantes y funciones simples.
Existen tantas derivadas como tipos de funciones matemáticas. Aunque no todas las funciones tienen una derivada.
¿Qué es una derivada?
Una derivada es la función resultante del proceso de derivación, en el cual se calcula la pendiente o gradiente de una función.
¿Cómo se hace la derivada?
Para hacer una derivada con el método clásico debes usar la ecuación:
f'(x)=limh->0 (f(x+h)-f(x))/h
Y sustituir cada f(x) y f(x+h), eliminar términos y aplicar el límite.
En caso contrario, puedes usar una tabla de derivadas o aplicar las reglas de derivación.
¿Para qué sirve una derivada en la vida cotidiana?
Las derivadas son usadas en muchas aplicaciones técnicas y científicas. Estas pueden ser aplicadas en procesos de cálculo industriales, farmacológicos, químicos, de ingeniería, comunicaciones y economía, entre otros.
Casi toda nuestra tecnología actual, desde celulares hasta radios, ha utilizado alguna especie de herramientas basada en cálculo y derivadas para poder ser creada, perfeccionada y puesta en uso.
¿Para que sirve una derivada?
Un aspecto útil de la derivada es que, el conocer la razón de cambio de una función nos permite calcular qué tan rápido cambia una variable con respecto a otra.
Por ejemplo, si tenemos un automóvil que se mueve de un punto A a un punto B en un tiempo t1 a t2, la función que nos dice el cambio de posición con respecto al tiempo es f(x) y la derivada f'(x) nos dirá qué tan rápido cambia la posición en el tiempo, o sea, la velocidad.
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