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Rango de una matriz

Rango de una matriz

En el tema de matrices, ya te contamos un poco lo que es el rango de una matriz. Pero, seguramente aún te preguntes cómo se calcula. El rango de una matriz es una característica importante de las matrices, puesto que lo puedes utilizar para aplicar teoremas como el de Rouché-Frobenius.

Rango de una matriz

El rango de una matriz, escrito como \(Rg(A)\), es el número de columnas o filas linealmente independientes dentro de una matriz. Es decir, se refiere a cuántas filas o columnas de una matriz no son el resultado de operaciones entre ellas.

La mejor manera de entender este concepto es con un ejemplo:

Determina cuántas filas o columnas son linealmente independientes en las siguientes matrices:

\[A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\]

\[B=\begin{pmatrix} 2&1&-1\\ 0 & -1 & 2\\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

\[C=\begin{pmatrix} 2 &1 &1\\0 & 2 &1\\0 & 0 &-1\end{pmatrix}\]

Solución A

Como puedes observar en la matriz \(A\), la segunda fila corresponde a la primera fila multiplicada por \(2\). Entonces, una fila es la combinación lineal de la otra y, por lo tanto, solo una de ellas es linealmente independiente: \(Rg(A)=1\).

Solución B

Para la matriz \(B\), podemos observar que la tercera fila es la suma de la primera y la segunda fila. Las dos primeras son linealmente independientes entre sí, por lo que \(Rg(B)=2\).

Solución C

En la matriz \(C\) no hay ninguna operación entre las filas o columnas que las relacione. Por tanto, \(Rg(C)=3\). Esto también podría determinarse desde el principio, puesto que en toda matriz triangular en cuya diagonal principal no hay ningún cero, su rango corresponde a la dimensión de la propia matriz; en este caso, \(n=Rg(C)=3\).

Transformaciones que conservan el rango

Es posible realizar muchas operaciones con matrices que no cambian el rango de la matriz; es decir, operaciones que conservan el rango y, por tanto, la independencia o dependencia entre filas o columnas. Algunas de las operaciones que conservan el rango son:

  • Intercambiar una fila o columna por otra.

  • Multiplicar una fila o columna por el mismo número real, siempre que sea distinto de cero.

  • Sumar o restar una fila o columna a otra multiplicada por un número real.

Tenemos la matriz \(A\) definida como: \[A=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\]

Si multiplicamos la segunda fila por \(2\), se mantiene el rango de la matriz: \[A'=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -2\end{pmatrix}\]

Hay más transformaciones que conservan el rango de una matriz:

  • Sumar a una fila o columna una combinación lineal de las otras.

  • Eliminar una fila o columna, que es combinación lineal de las otras: al eliminar una fila o columna linealmente dependiente, no se altera el número de filas o columnas linealmente independientes.

  • Eliminar una fila o columna de ceros, puesto que una fila o columna de ceros es igual a otra multiplicada por cero.

  • Trasponer una matriz no cambia su rango, ya que cambiamos las filas por columnas; por eso, el rango por filas para a ser el rango por columnas, y viceversa.

Calcular el rango de una matriz

Sin embargo, para calcular el rango de una matriz, no siempre tienes que estar haciendo operaciones entre filas o columnas. A veces eso resulta útil, porque es muy fácil de ver; pero, otras veces puede resultar complicado.

Debido a esto, se han desarrollado varios métodos sencillos para calcular el rango de una matriz. Veamos los principales:

Rango de una matriz, por Gauss

En otros temas, ya hemos hablado del método de Gauss y cómo podemos utilizarlo para triangularizar una matriz y calcular su determinante de manera más fácil.

La utilización del método de Gauss para calcular el rango de una matriz consiste en hacer operaciones elementales con sus filas o columnas, de tal forma que se llegue a una matriz escalonada. Así, el rango de la matriz será el número de filas o columnas no nulas.

Hagamos unos ejemplos, para verlo más claramente:

Calcula el rango de la siguiente matriz, por el método de Gauss: \[A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1\end{pmatrix}\]

Solución

Vamos a triangularizar la matriz:

  • Comenzamos haciéndolo por filas, con \(F_2\rightarrow 2F_1+F_2\) y \(F_3 \rightarrow 2F_1-F_3\): \[A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 3\end{pmatrix}\]
  • Ahora, podemos hacer \(F_3\rightarrow F_2-F_3\): \[A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\]

Hemos llegado a una matriz triangular en la que ninguna de sus filas o columnas es nula; por tanto, \(Rg(A=3\).

Calcula el rango de la siguiente matriz, por el método de Gauss:

\[B=\begin{pmatrix}2 & 1 & 2\\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{pmatrix}\]

Solución

  • Empezamos a triangularizar la matriz, haciendo \(F_2\rightarrow F_1+2F_2\): \[B=\begin{pmatrix}2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & -4\end{pmatrix}\]
  • Aquí, ya podemos ver que la segunda y tercera fila son una combinación lineal (la una de la otra) y una de ellas está multiplicada por \(-1\).
  • Sin embargo, vamos a seguir el proceso de triangularización, haciendo \(F_3\rightarrow F_2+F_3\): \[B=\begin{pmatrix}2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]

La última fila se ha anulado (todos sus elementos son ceros); por tanto, esta fila no es linealmente independiente a las demás. Entonces, podemos decir que \(Rg(B)=2\).

Se puede ver que, en caso de que exista una fila que sea linealmente dependiente de las demás, esto causará una inconsistencia, la fila se eliminará de la matriz y quedará en ceros.

Rango de una matriz por menores

De acuerdo con las propiedades de los determinantes, podemos llegar a la conclusión de que si el determinante asociado a una matriz es distinto de cero, implica que sus filas o columnas son linealmente independientes. Si tenemos una matriz cuadrada de orden \(n\), lo anterior nos lleva directamente a:\[\det(A)\neq 0 \Leftrightarrow Rg(A)=n\]

Por tanto, basta con hacer el determinante de una matriz para comprobar si su rango es igual al orden de la matriz. Por supuesto, en estos casos, solo se puede calcular el determinante para matrices cuadradas.

Entonces, ¿cómo calculamos el rango de una matriz rectangular? La respuesta es: a través de los menores complementarios asociados a la matriz.

En el tema de determinantes, ya te explicamos lo que es el menor de una matriz. Pero, vamos a dar un breve repaso:

Un menor es el determinante de una matriz cuadrada obtenida al eliminar cualquier número de filas o columnas de una matriz.

  • Si tenemos una matriz cuadrada, el menor complementario asociado al elemento \(a_{ij}\) es el determinante que se obtiene al eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\). Este menor se escribe como \(M_{ij}\).

Por ejemplo, si tenemos la siguiente matriz: \[A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1\end{pmatrix}\]

El menor asociado al elemento \(a_{23}\) es el determinante obtenido al eliminar la segunda fila y la tercera columna: \[M_{23}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1\end{vmatrix}\]

Por tanto, el rango de una matriz será el orden del menor de mayor orden que sea distinto de \(0\). Sabiendo ya esto: para calcular el rango de una matriz rectangular, tenemos que calcular los menores de mayor orden asociados a ella.

Calcula el rango de la siguiente matriz: \[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\]

Solución

Tenemos que mirar los menores asociados a esta matriz, que es de orden \(3\times 4\).

Lo usual es empezar por los menores de mayor orden; es decir, determinantes de orden \(3\).

Sin embargo, podemos también empezar por los de orden \(2\) y así asegurarnos que (mínimo) se cumple que \(Rg(A)=2\).

  • Por ejemplo, podemos elegir el primer menor de orden \(2\), (primeros dos elementos de la primera fila y de la segunda fila): \[\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2\end{vmatrix}=4+1=5\neq 0\]. Por tanto, el rango mínimo de \(A\) es de \(2\).
  • Pero, asimismo, podríamos haber elegido otro menor; por ejemplo, el menor de orden \(2\): \[\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=2-2=0\].
    • Este menor es igual a \(0\), y podríamos suponer entonces que \(Rg(A)<2\). Pero, como ya hemos encontrado otro menor del mismo orden distinto de \(0\), podemos asegurar que el rango es de \(2\), al menos.

Por esto mismo, no basta con calcular un único menor, si este da \(0\); puesto que puede haber otros del mismo orden que sean distintos de \(0\). Así, hay que calcular todos los menores hasta que uno sean distintos de \(0\).

Ahora calculamos un menor de orden \(3\), por ejemplo, tomando las tres primeras columnas: \[\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}=7\neq 0\]

Este menor de orden \(3\) es distinto de \(0\); por tanto, podemos afirmar que \(Rg(A)=3\).

Obviamente, este es el máximo rango que puede tener esta matriz rectangular.

Rango de una matriz: ejemplos

Vamos a hacer varios ejemplos del cálculo del rango de matrices, para que practiques.

Calcula, por el método de Gauss, el rango de la siguiente matriz: \[A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 3 & 3 \end{pmatrix}\]

Solución

Para calcular el rango por el método de Gauss, tenemos que triangularizar la matriz. Para esto, podemos hacer \(F_2\rightarrow 3F_1+F_2\) y \(F_3\rightarrow 2F_1+F_3\): \[A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 7 & 9 \end{pmatrix}\]

Ya podemos ver que la segunda y la tercera fila son iguales. Sin embargo, terminamos de triangularizar, haciendo \(F_3\rightarrow F_2-F_3\): \[A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 7 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

Hemos obtenido una fila nula, las otras dos son linealmente independientes. Por tanto, \(Rg(A)=2\).

Calcula el rango de la siguiente matriz por el método de Gauss y por menores: \[B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ -1 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & -3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\]

Solución

1. Primero, calculamos por el método de Gauss, triangularizando la matriz.

Hacemos \(F_2\rightarrow F_1+F_2\): \[B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & -3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\]

Ahora, podemos hacer \(F4\rightarrow F_2+F_4\): \[B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \end{pmatrix}\]

Por último, hacemos \(F_4\rightarrow F_3-F_4\): \[B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

Hemos obtenido una fila nula y otras tres que son linealmente independientes; por tanto:

\[Rg(B)=3\]

2. Ahora, vamos a calcular este mismo rango, pero usando menores.

En este caso, al ser una matriz cuadrada, su menor de mayor orden es justamente el determinante de la propia matriz \(B\). Por tanto, lo más fácil es calcular el determinante de la matriz \(B\). Según lo que hemos explicado, si el determinante de esta matriz es distinto de \(0\), entonces podemos afirmar que el rango es igual al orden de la matriz; en este caso, \(Rg(B)=4\).

Por tanto, calculamos el determinante. Puedes usar cualquier método; en esta ocasión, vamos a calcularlo por los elementos de la primera columna, puesto que hay 2 ceros. Aunque, antes podemos hacer \(F_2\rightarrow F_1+F_2\), lo cual nos llevará a obtener otro cero en esta primera columna: \[B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & -3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\]

Ahora, desarrollamos el determinante por el único elemento de la primera columna (no confundas esto con uno de los menores de la matriz): \[\det(B)=1·(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ -3 & 1 & 2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ -3 & 1 & 2\end{vmatrix}\]

Para calcular este determinante, puedes usar (también) cualquier método; nosotros vamos a aplicar la regla de Sarrus: \[\det(B)=\begin{vmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ -3 & 1 & 2\end{vmatrix}=24-45+0-36+0-15=0\]

El determinante de la matriz \(B\) es \(0\). Esto implica que su rango es menor de \(4\).

Cojamos un menor de orden \(3\). Por ejemplo: \[M_{14}=\begin{vmatrix} -1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & -3 & 1 \end{vmatrix}=-12\neq 0\]

Hemos encontrado un menor de orden \(3\), que es distinto de \(0\). Podemos afirmar entonces que:

\[Rg(B)=3\]

Como pudiste comprobar, por ambos métodos se llega al mismo resultado; la única diferencia es el proceso de cálculo. A veces uno resulta más sencillo que el otro. ¡Con la práctica irás viendo cuál aplicar, dependiendo de la matriz que tengas!

Cálculo del rango de una matriz - Puntos clave

  • El rango de una matriz, escrito como \(Rg(A)\), es el número de columnas o filas linealmente independientes dentro de una matriz.
  • Algunas operaciones que conservan el rango son:
    • Intercambiar una fila o columna por otra.

    • Multiplicar una fila o columna por el mismo número real, siempre que sea distinto de cero.

    • Sumar o restar una fila o columna a otra multiplicada por un número real.

    • Sumar a una fila o columna una combinación lineal de las otras.
    • Eliminar una fila o columna que es combinación lineal de las otras, puesto que al eliminar una fila o columna linealmente dependiente, no se altera el número de filas o columnas linealmente independientes.
    • Eliminar una fila o columna de ceros, puesto que una fila o columna de ceros es igual a otra multiplicada por cero.
    • Trasponer una matriz no cambia su rango, ya que cambiamos las filas por columnas. Por esto, el rango por filas pasa a ser el rango por columnas, y viceversa.
  • El método de Gauss para calcular el rango de una matriz es hacer operaciones elementales con sus filas o columnas para llegar a una matriz escalonada. El rango de la matriz será el número de filas o columnas no nulas.

  • Si tenemos una matriz cuadrada, podemos afirmar que: \[\det(A)\neq 0 \Leftrightarrow Rg(A)=n\]

  • El rango de una matriz será el orden del menor de mayor orden que sea distinto de \(0\).

Preguntas frecuentes sobre Rango de una matriz

El rango de una matriz se puede calcular mediante el método de Gauss o por menores. Ambos nos dicen cuántas filas o columnas son linealmente independientes, lo cual es el rango de la matriz.

Para calcular el rango de una matriz puedes utilizar, por ejemplo, el método de Gauss; o puedes calcularlo por menores. Sin embargo, también puedes utilizar otros métodos, entre los que se incluye realizar operaciones entre filas o columnas para buscar combinaciones lineales entre ellas.

Para calcular el rango de una matriz por el método de Gauss lo que debemos hacer es triagularizar la matriz. Como sabemos (por las propiedades de las matrices), hacer operaciones entre filas o columnas no cambia el rango de la matriz. De este modo, operamos entre filas o columnas para llegar a una matriz triangular. El rango de la matriz será el número de filas o columnas no nulas que haya después de la triangularización.

El cálculo del rango de una matriz por menores se basa en determinar los menores de mayor orden de la matriz cuyo determinante sea distinto de cero. El rango de la matriz será el orden del menor de mayor orden cuyo determinante sea distinto de cero.

Cuestionario final de Rango de una matriz

Pregunta

¿Qué es el rango de una matriz?

Mostrar respuesta

Answer

El número de filas linealmente independientes.

Show question

Pregunta

A partir del método del rango por menores, ¿cuál es el rango de una matriz \(A\) que contiene un solo elemento, y este es no nulo?

Mostrar respuesta

Answer

\(Rg(A)=1\).

Show question

Pregunta

En una matriz de \(3\times 3\), si sumamos dos filas para crear la tercera, ¿cuál es el rango máximo de la matriz?

Mostrar respuesta

Answer

El rango máximo posible es de \(2\).

Show question

Pregunta

Si en una matriz cuadrada \(3\times 3\) de rango \(3\), multiplicamos toda una fila por \(2\), ¿qué rango tiene la nueva matriz?

Mostrar respuesta

Answer

Sigue teniendo rango \(3\), puesto que este tipo de transformaciones no cambian el rango.

Show question

Pregunta

Si una matriz de \(4\times 3\) tiene una columna de ceros, ¿cuál es su rango?

Mostrar respuesta

Answer

Cómo máximo, puede tener rango \(2\).

Show question

Pregunta

¿Cuál de las siguientes operaciones no conserva el rango?

Mostrar respuesta

Answer

Multiplicar una fila por \(0\).

Show question

Pregunta

Calcula el rango de la siguiente matriz:

\(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}\).

Mostrar respuesta

Answer

\(Rg(A)=3\).

Show question

Pregunta

Calcula el rango de la siguiente matriz:

\(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).

Mostrar respuesta

Answer

\(Rg(A)=2\).

Show question

Pregunta

En una matriz de \(3\times 3\) dos filas se suman para producir una tercera. ¿Cuál es el rango máximo que puede tener esta matriz?

Mostrar respuesta

Answer

Al ser una fila la combinación lineal de las otras, como máximo puede tener rango 2.

Show question

Pregunta

En una matriz de \(4\times 4\), todos los elementos de una de sus filas son unos. ¿Cuál es el rango máximo de esta matriz?

Mostrar respuesta

Answer

El rango máximo puede ser 4, puesto que una fila o columna de 1 no afecta al rango, siempre que sea linealmente independiente del resto de filas.

Show question

Pregunta

En una matriz de orden \(n\), todos sus elementos son nulos. ¿Cuál es el rango de esta matriz?

Mostrar respuesta

Answer

Toda matriz nula, independientemente de su orden, tiene rango \(0\).

Show question

Pregunta

Si multiplicamos la fila de una matriz por \(0\), ¿cómo afecta esto al rango?

Mostrar respuesta

Answer

Al hacer una fila de ceros, el rango disminuye al menos en una unidad.

Show question

Pregunta

Si multiplicamos una columna de una matriz por \(2\), ¿cómo afecta esto al rango de la matriz?

Mostrar respuesta

Answer

El rango no cambia, puesto que este tipo de operaciones lo conservan. 

Show question

Pregunta

¿Qué teorema utiliza el rango de la matriz asociada a un sistema de ecuaciones para discutir sus soluciones?

Mostrar respuesta

Answer

El teorema de Rouché-Frobenius.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el rango mínimo de una matriz cualquiera no nula?

Mostrar respuesta

Answer

Si la matriz es no nula, quiere decir que alguno de sus elementos es distinto de cero. Por tanto, el rango mínimo de estas matrices es 1.

Show question

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