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Los números complejos, como ya sabes, son números que poseen un número imaginario \(i\). Estos números que se componen de una parte real y una parte imaginaria forman un binomio de tipo:
\[a+bi\]
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Equipo de profesores de Operaciones con números complejos
Donde: \(a\) es la parte real y \(b\) es la parte imaginaria.
Si no recuerdas esto, no olvides pasar por nuestro artículo sobre números complejos. En él explicamos cómo representarlos en el plano complejo y cómo calcular el conjugado de un número complejo, entre muchas otras cosas.
Los números complejos permiten hacer operaciones en su forma binómica \(a+ib\). Así, estos números se pueden multiplicar, sumar, restar o, incluso, dividir. Veamos algunas fórmulas para esto.
La suma de complejos se hace de modo directo; esto es:
\[(a_1+ib_1)+(a_2+ib_2)=(a_1+a_2)+i(b_1+b_2)\]
Para la resta, de igual manera:\[(a_1+ib_1)-(a_2+ib_2)=(a_1-a_2)+i(b_1-b_2)\]
En ambos casos, lo que ocurre es que solo se pueden sumar o restar las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí.
La multiplicación puede ser de tres modos:
Multiplicación por un número real:\[k(a+ib)=k(a)+k(ib)\]
Multiplicación por un número imaginario:\[ik(a+ib)=ika+(-kb)=-kb+ika\]
Multiplicación por otro número complejo:\[(a+ib)(c+id)=a·c+a·id+ib·c+i^2b·d\],lo cual se reduce a\[(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)\]
Para hacer la división de dos números complejos, debemos multiplicar y dividir por el conjugado del denominador:
\[\dfrac{a+ib}{c+id}=\dfrac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}=\dfrac{(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^2+d^2}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+i\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\]
La última operación es elevar un número complejo a una potencia. Para ello, sólo hay que multiplicar el número complejo por sí mismo tantas veces como sea el valor del exponente.
Si es un cuadrado o un cubo, se pueden aplicar las identidades notables:
\[(a+ib)^2=a^2+2iab-b^2\]
\[(a+ib)^3=a^3+3ib(a^2)+3a(ib)^2+(ib)^3\]
Los números complejos también tienen una forma polar y una forma trigonométrica; esta forma convierte el número complejo de \(z=a+ib\) en \(z=r_{\alpha}\), para forma polar; y en \(z=r(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))\), para la forma trigonométrica.
En estas formas, \(\alpha\) es el argumento del número complejo, que es el ángulo formado por la parte real y la parte compleja en el plano complejo. Este ángulo se puede ver en la siguiente figura:
Fig. 1: Representación de un número complejo, donde \(|Z|\) es el módulo del vector.
Como hemos mencionado,
La forma polar de un número complejo es la expresión de este mediante su módulo y el argumento del número complejo.
Por tanto, la forma polar de un complejo es:\[z=r_{\alpha}\].
Donde: \(r\) es el módulo del complejo \(r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) y \(\alpha\) es el argumento \(\alpha=\arctan\dfrac{b}{a}\).
Como los números complejos se representan en el plano complejo —donde el eje \(x\) representa a los números reales y el eje \(y\) representa a los números imaginarios—, si el ángulo pertenece a uno de estos ejes, sabemos que este número es un número imaginario puro o un número real.
Por ejemplo:
\(a=a_{0º}=a_0\) es un número real positivo, puesto que cae sobre el eje positivo de la \(x\).
\(-a=a_{180º}=a_{\pi}\) es un número real negativo, puesto que cae sobre el eje negativo de la \(x\).
\(bi=b_{90º}=b_{\pi/2}\) es un número imaginario puro positivo, puesto que cae sobre el eje positivo de la \(y\).
\(-bi=b_{270º}=b_{3\pi/2}\) es un número imaginario puro negativo, puesto que cae sobre el eje negativo de la \(y\).
De las operaciones que son sencillas en forma polar están el producto, las potencias y la división.
En la multiplicación entre complejos \(z_1=r_{\alpha}\) y \(z_2=s_{\beta}\) se usa la fórmula siguiente:
\[z_1·z_2=(r·s)_{\alpha + \beta}\]
Aquí, solamente se deben multiplicar los módulos y sumar sus argumentos.
Para la división se hace lo contrario; la división de \(z_1\) entre \(z_2\) debe ser la división de los módulos y la resta de los argumentos:
\[\dfrac{z_1}{z_2}=\left(\dfrac{r}{s}\right)_{\alpha - \beta}\]
La potenciación, en este caso, se hace de manera que el elevar el número complejo \(z^n\) o \((a+ib)^n\) es igual a:
\[z^n=(r_{\alpha})^n=(r^n)_{n\alpha}\]
Llegar a la forma trigonométrica es sencillo, a partir de la forma polar, teniendo ya el módulo y el argumento del número complejo.
La forma trigonométrica es:
\[z=r(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))\]
Es decir, la parte real del complejo es \(a=r\cos(\alpha)\) y la parte imaginaria es \(b=r\sin(\alpha)\).
En la forma trigonométrica, la multiplicación de complejos por un escalar solo afecta al módulo:
Fig. 2. Representación del número complejo de la Fig. 1 multiplicado por \(\frac{1}{2}\), donde observamos que el argumento no ha cambiado.
En cambio, la multiplicación por un imaginario rota el vector:
Fig. 3: Representación del número complejo de la Fig. 1 multiplicado por \(i\).
La potencia, en la forma trigonométrica, sigue la fórmula de De Moivre:
\[z^n=(r^n)_{n\alpha}=r^n(\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha))\]
Otra forma en la que se puede expresar un número complejo es la forma exponencial. En esta forma, el número complejo \(z\) se expresa como:
\[z=re^{i\alpha}\]
Aquí, nuevamente, \(r\) es el módulo y \(\alpha\) es el ángulo entre la parte imaginaria y la parte real.
Esta forma proviene de la expresión de las funciones trigonométricas como exponenciales:
\[\sin(\alpha)=\dfrac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}\]
\[\cos(\alpha)=\dfrac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}\]
A partir de la forma trigonométrica de los números complejos:
\[z=r(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))=r(\dfrac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}+\dfrac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2})=re^{i\alpha}\]
Hagamos algunos ejercicios, para que puedas resolver problemas de este tipo.
Suma los siguientes números complejos: \((3+i4)\) y \((2-i)\).
Solución:
\[(3+i4)+(2-i)=(3+2)+i(4-1)=5+i3\]
Resta los siguientes números complejos: \((5+i4)\) y \((2-i7)\).
Solución:
\[(5+i4)-(2-i7)=(3-2)+i(4+7)=5-i11\]
Multiplica los siguientes números complejos: \((1+i3)\) y \((1-i7)\). En este caso, debes de expandir el producto.
Solución:
\[(5+i4)(2-i7)=5·2+5·(-i7)+2·(i4)-4·(-7)=10-35i+8i+28\]
Y, por último, lo reducimos:
\[38-27i\]
Divide los siguientes números complejos: \((1+i)\) y \((1-i1)\).
Solución:
Para esto, multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador:
\[[\dfrac{1+i}{1-i}=[\dfrac{1+i}{1-i}\dfrac{1+i}{1+i}=\dfrac{1+i+i-1}{1+1}=\dfrac{2i}{2}=i\]
Ahora, hagamos algunos ejemplos usando la forma trigonométrica polar y binómica:
Eleva el siguiente número al cuadrado: \((2+i3)\).
Solución:
Para hacer esto, debemos expandir el binomio. Esto nos da:
\[(2+i3)^2=2^2+2·2·3i-3^2=4+12i-9=-5+12i\]
Ejercicio en forma polar y trigonométrica:
Multiplica el número \(z_1=2+i3\) por el número \(z_2=1+i4\) usando la forma polar.
Solución:
Para esto, primero debemos encontrar la forma polar de ambos números.
Empecemos con los módulos, que son:
\[|z_1|=|2+i3|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\]
\[|z_2|=|1+i4|=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}\]
Ahora, debemos encontrar el ángulo de estos. Tal como explicamos antes:
\[\alpha=\arctan\dfrac{b}{a}\]
Por tanto, tenemos:
\[\alpha_1=\arctan\dfrac{3}{2}=0,98 rad\]
\[\alpha_2=\arctan\dfrac{4}{1}=1,33 rad\]
Así, usando la fórmula:
\[z_1z_2=(|z_1||z_2|)_{\alpha_1 + \alpha_2}\]
Donde \(\alpha_1\) y \(\alpha_2\) son \(0,98 \text{ rad}\) y \(1,33 \text{ rad}\).
Finalmente, debemos multiplicar las magnitudes y sumar los argumentos:
\[z_1z_2=(\sqrt{14}\sqrt{17})_{0{,}98+1{,}33}\]
\[z_1z_2=\sqrt{238}_{2{,}31}\]
Eleva el número complejo \(z=2(\cos(\pi)+i\sin(\pi))\) al cuadrado.
Solución:
Para esto, usamos la siguiente fórmula:
\[z^n=r^n(\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha))\]
Aquí \(alpha=\pi\) y \(n=2\), por lo cual se tiene:
\[z^2=2^2(\cos(2\pi)+i\sin(2\pi))=4(1+i0)=4\]
Los complejos se pueden operar usando varias formas:
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¿Cuál es la fórmula de los números complejos?
Un número complejo se expresa de la forma z=a+ib, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.
¿Cuáles son las operaciones y ejemplos de números complejos en forma binómica ?
Las operaciones de números complejos en forma binómica son la suma, resta, multiplicación, división y potenciación, cuando el complejo tiene la forma: a+ib.
El ejemplo más sencillo es la suma de dos complejos: a+ib y c+id; donde i es el número imaginario. En este caso, se tiene que (a+ib)+(c+id)= (a+c)+i(bd).
En los casos de las sumas y restas, estas solo se pueden hacer entre números que son similares: real a real, imaginario con imaginario; en cambio, en la división y producto intervienen todos los números.
¿Cómo se multiplican números complejos en forma trigonométrica?
Un número complejo en forma trigonométrica de tipo z=r(cos(θ)+isen(θ)) se multiplica por otro z2=r2(cos(θ2)+isen(θ2)), término por término de cada binomio.
¿Cómo se realizan operaciones con números complejos en forma polar?
Un número complejo en forma polar se expresa como su módulo r y su argumento en el plano complejo θ, de modo: rθ.
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Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
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Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
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