Iniciar sesión Empieza a estudiar
La app de estudio todo en uno
4.8 • +11 mil reviews
Más de 3 millones de descargas
Free
|
|

Operaciones con números complejos

Operaciones con números complejos

Los números complejos, como ya sabes, son números que poseen un número imaginario \(i\). Estos números que se componen de una parte real y una parte imaginaria forman un binomio de tipo: \[a+bi\]

Donde: \(a\) es la parte real y \(b\) es la parte imaginaria.

Si no recuerdas esto, no olvides pasar por nuestro artículo sobre números complejos. En él explicamos cómo representarlos en el plano complejo y cómo calcular el conjugado de un número complejo, entre muchas otras cosas.

Operaciones con números complejos en forma binómica

Los números complejos permiten hacer operaciones en su forma binómica \(a+ib\). Así, estos números se pueden multiplicar, sumar, restar o, incluso, dividir. Veamos algunas fórmulas para esto.

Suma y resta

La suma de complejos se hace de modo directo; esto es: \[(a_1+ib_1)+(a_2+ib_2)=(a_1+a_2)+i(b_1+b_2)\]

Para la resta, de igual manera: \[(a_1+ib_1)-(a_2+ib_2)=(a_1-a_2)+i(b_1-b_2)\]

En ambos casos, lo que ocurre es que solo se pueden sumar o restar las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí.

Multiplicación

La multiplicación puede ser de tres modos:

  • Multiplicación por un número real: fórmula \[k(a+ib)=k(a)+k(ib)\]

  • Multiplicación por un número imaginario: fórmula \[ik(a+ib)=ika+(-kb)=-kb+ika\]

  • Multiplicación por otro número complejo: se tiene \[(a+ib)(c+id)=a·c+a·id+ib·c+i^2b·d\], lo cual se reduce a \[(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)\]

División

Para hacer la división de dos números complejos, debemos multiplicar y dividir por el conjugado del denominador: \[\dfrac{a+ib}{c+id}=\dfrac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}=\dfrac{(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^2+d^2}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+i\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\]

Potencias

La última operación es elevar un número complejo a una potencia. Para ello, sólo hay que multiplicar el número complejo por sí mismo tantas veces como sea el valor del exponente.

Si es un cuadrado o un cubo, se pueden aplicar las identidades notables:

\[(a+ib)^2=a^2+2iab-b^2\]

\[(a+ib)^3=a^3+3ib(a^2)+3a(ib)^2+(ib)^3\]

Otras formas de los números complejos

Los números complejos también tienen una forma polar y una forma trigonométrica; esta forma convierte el número complejo de \(z=a+ib\) en \(z=r_{\alpha}\), para forma polar; y en \(z=r(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))\), para la forma trigonométrica.

En estas formas, \(\alpha\) es el argumento del número complejo, que es el ángulo formado por la parte real y la parte compleja en el plano complejo. Este ángulo se puede ver en la siguiente figura:

Operaciones con números complejos, representación de un número complejo en el plano complejo, StudySmarter

Fig. 1: Representación de un número complejo, donde \(|Z|\) es el módulo del vector.

Operaciones con números complejos en forma polar

Como hemos mencionado,

La forma polar de un número complejo es la expresión de este mediante su módulo y el argumento del número complejo.

Por tanto, la forma polar de un complejo es: \[z=r_{\alpha}\]. Donde: \(r\) es el módulo del complejo \(r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) y \(\alpha\) es el argumento \(\alpha=\arctan\dfrac{b}{a}\).

Como los números complejos se representan en el plano complejo donde el eje \(x\) representa a los números reales y el eje \(y\) representa a los números imaginarios—, si el ángulo pertenece a uno de estos ejes, sabemos que este número es un número imaginario puro o un número real.

Por ejemplo:

  • \(a=a_{0º}=a_0\) es un número real positivo, puesto que cae sobre el eje positivo de la \(x\).

  • \(-a=a_{180º}=a_{\pi}\) es un número real negativo, puesto que cae sobre el eje negativo de la \(x\).

  • \(bi=b_{90º}=b_{\pi/2}\) es un número imaginario puro positivo, puesto que cae sobre el eje positivo de la \(y\).

  • \(-bi=b_{270º}=b_{3\pi/2}\) es un número imaginario puro negativo, puesto que cae sobre el eje negativo de la \(y\).

De las operaciones que son sencillas en forma polar están el producto, las potencias y la división.

En la multiplicación entre complejos \(z_1=r_{\alpha}\) y \(z_2=s_{\beta}\) se usa la fórmula siguiente:

\[z_1·z_2=(r·s)_{\alpha + \beta}\]

Aquí, solamente se deben multiplicar los módulos y sumar sus argumentos.

Para la división se hace lo contrario; la división de \(z_1\) entre \(z_2\) debe ser la división de los módulos y la resta de los argumentos:

\[\dfrac{z_1}{z_2}=\left(\dfrac{r}{s}\right)_{\alpha - \beta}\]

La potenciación, en este caso, se hace de manera que el elevar el número complejo \(z^n\) o \((a+ib)^n\) es igual a:

\[z^n=(r_{\alpha})^n=(r^n)_{n\alpha}\]

Operaciones con números complejos en forma trigonométrica

Llegar a la forma trigonométrica es sencillo, a partir de la forma polar, teniendo ya el módulo y el argumento del número complejo.

La forma trigonométrica es: \[z=r(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))\]

Es decir, la parte real del complejo es \(a=r\cos(\alpha)\) y la parte imaginaria es \(b=r\sin(\alpha)\).

En la forma trigonométrica, la multiplicación de complejos por un escalar solo afecta al módulo:

Operaciones con números complejos Multiplicación por escalar StudySmarterFig. 2. Representación del número complejo de la Fig. 1 multiplicado por \(\frac{1}{2}\), donde observamos que el argumento no ha cambiado.

En cambio, la multiplicación por un imaginario rota el vector:

Operaciones con números complejos Multiplicación por imaginario StudySmarter.Fig. 3: Representación del número complejo de la Fig. 1 multiplicado por \(i\).

La potencia, en la forma trigonométrica, sigue la fórmula de De Moivre: \[z^n=(r^n)_{n\alpha}=r^n(\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha))\]

Números complejos en forma exponencial

Otra forma en la que se puede expresar un número complejo es la forma exponencial. En esta forma, el número complejo \(z\) se expresa como: \[z=re^{i\alpha}\]

Aquí, nuevamente, \(r\) es el módulo y \(\alpha\) es el ángulo entre la parte imaginaria y la parte real.

Esta forma proviene de la expresión de las funciones trigonométricas como exponenciales:

\[\sin(\alpha)=\dfrac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}\]

\[\cos(\alpha)=\dfrac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}\]

A partir de la forma trigonométrica de los números complejos:

\[z=r(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))=r(\dfrac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}+\dfrac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2})=re^{i\alpha}\]

Operaciones con números complejos: ejercicios resueltos

Hagamos algunos ejercicios, para que puedas resolver problemas de este tipo.

Suma los siguientes números complejos: \((3+i4)\) y \((2-i)\).

Solución:

\[(3+i4)+(2-i)=(3+2)+i(4-1)=5+i3\]

Resta los siguientes números complejos: \((5+i4)\) y \((2-i7)\).

Solución:

\[(5+i4)-(2-i7)=(3-2)+i(4+7)=5-i11\]

Multiplica los siguientes números complejos: \((1+i3)\) y \((1-i7)\). En este caso, debes de expandir el producto.

Solución:

\[(5+i4)(2-i7)=5·2+5·(-i7)+2·(i4)-4·(-7)=10-35i+8i+28\]

Y, por último, lo reducimos:

\[38-27i\]

Divide los siguientes números complejos: \((1+i)\) y \((1-i1)\).

Solución:

Para esto, multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador:

\[[\dfrac{1+i}{1-i}=[\dfrac{1+i}{1-i}\dfrac{1+i}{1+i}=\dfrac{1+i+i-1}{1+1}=\dfrac{2i}{2}=i\]

Ahora, hagamos algunos ejemplos usando la forma trigonométrica polar y binómica:

Eleva el siguiente número al cuadrado: \((2+i3)\).

Solución:

Para hacer esto, debemos expandir el binomio. Esto nos da:

\[(2+i3)^2=2^2+2·2·3i-3^2=4+12i-9=-5+12i\]

Ejercicio en forma polar y trigonométrica:

Multiplica el número \(z_1=2+i3\) por el número \(z_2=1+i4\) usando la forma polar.

Solución:

Para esto, primero debemos encontrar la forma polar de ambos números.

Empecemos con los módulos, que son:

\[|z_1|=|2+i3|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\]

\[|z_2|=|1+i4|=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}\]

Ahora, debemos encontrar el ángulo de estos. Tal como explicamos antes:

\[\alpha=\arctan\dfrac{b}{a}\]

Por tanto, tenemos:

\[\alpha_1=\arctan\dfrac{3}{2}=0,98 rad\]

\[\alpha_2=\arctan\dfrac{4}{1}=1,33 rad\]

Así, usando la fórmula:

\[z_1z_2=(|z_1||z_2|)_{\alpha_1 + \alpha_2}\]

Donde \(\alpha_1\) y \(\alpha_2\) son \(0,98 \text{ rad}\) y \(1,33 \text{ rad}\).

Finalmente, debemos multiplicar las magnitudes y sumar los argumentos:

\[z_1z_2=(\sqrt{14}\sqrt{17})_{0,98+1,33}\]

\[z_1z_2=\sqrt{238}_{2,31}\]

Eleva el número complejo \(z=2(\cos(\pi)+i\sin(\pi))\) al cuadrado.

Solución:

Para esto, usamos la siguiente fórmula:

\[z^n=r^n(\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha))\]

Aquí \(alpha=\pi\) y \(n=2\), por lo cual se tiene:

\[z^2=2^2(\cos(2\pi)+i\sin(2\pi))=4(1+i0)=4\]

Operaciones con números complejos - Puntos clave

  • Los números complejos, como ya lo sabes, son números que poseen un número imaginario \(i\). Estos números que se componen de una parte real y una parte imaginariaforman un binomio de tipo:
    • \[a+bi\]
  • Los complejos se pueden operar usando varias formas:

    • Binómica.
    • Trigonométrica.
    • Polar.
    En la forma binaria, la suma y resta solo se puede hacer entre partes del mismo tipo: número real con real e imaginario con imaginario.
  • En las formas polar y trigonométrica, se debe calcular el módulo y el argumento del número complejo.

Preguntas frecuentes sobre Operaciones con números complejos

Un número complejo se expresa de la forma z=a+ib, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.

Las operaciones de números complejos en forma binómica son la suma, resta, multiplicación, división y potenciación, cuando el complejo tiene la forma: a+ib.


El ejemplo más sencillo es la suma de dos complejos: a+ib y c+id; donde i es el número imaginario. En este caso, se tiene que (a+ib)+(c+id)= (a+c)+i(bd).


En los casos de las sumas y restas, estas solo se pueden hacer entre números que son similares: real a real, imaginario con imaginario; en cambio, en la división y producto intervienen todos los números.

Un número complejo en forma trigonométrica de tipo z=r(cos(θ)+isen(θ)) se multiplica por otro z2=r2(cos(θ2)+isen(θ2)), término por término de cada binomio.

Un número complejo en forma polar se expresa como su módulo r y su argumento en el plano complejo θ, de modo: rθ.

Cuestionario final de Operaciones con números complejos

Pregunta

¿Cómo es un número complejo en forma binómica?

Mostrar respuesta

Answer

\((a+ib)\).

Show question

Pregunta

Cuando se usa la forma binómica, ¿se puede sumar una parte real a una parte compleja en un imaginario?

Mostrar respuesta

Answer

No, solo se pueden sumar partes reales con reales e imaginarias con imaginarias.

Show question

Pregunta

Cuando se usa la forma binómica, ¿se puede restar una parte real a una parte compleja en un imaginario?

Mostrar respuesta

Answer

No, solo se pueden restar partes reales con reales e imaginarias con imaginarias.

Show question

Pregunta

¿Cuánto es la suma de los números imaginarios \(2+i3\) y \(4+i5\)?

Mostrar respuesta

Answer

\((2+i3) + (4+i5)=(2+4)+i(5+3)=6+i8\).

Show question

Pregunta

¿Cuánto es la resta de los siguientes números imaginarios: \(1+i1\) y \(0+i23\)?

Mostrar respuesta

Answer

\((1+i1) - (0+i23)=(1+0)+i(1-23)=1-i22\).

Show question

Pregunta

¿Cuánto es la multiplicación de los números imaginarios \(2+i7\) y \(8+i9\)?

Mostrar respuesta

Answer

\( (2+i7)(8+i9)=2·8+2·i9+i7·8-7·9=-47+74i\).

Show question

Pregunta

En la forma polar de los números complejos, ¿qué representa \(r\)?

Mostrar respuesta

Answer

El módulo del número complejo.

Show question

Pregunta

El ángulo de los complejos en forma polar y trigonométrica es el ángulo ____________.

Mostrar respuesta

Answer

que forma el número complejo en el plano imaginario con el eje \(x\).

Show question

Pregunta

En la forma trigonométrica de los números complejos, ¿qué es \(r\)?

Mostrar respuesta

Answer

El módulo del vector.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la fórmula para calcular el módulo de un número complejo?

Mostrar respuesta

Answer

\(\sqrt{a^2+b^2}\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es el ángulo en el plano complejo del número complejo \(3+i3\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(45º\).

Show question

Pregunta

Eleva el número complejo \((2+3i)\) al cuadrado.

Mostrar respuesta

Answer

\( (2+3i)^2=2^2+2·2·3i+(3i)^2=4+12i-9=-5+12i\).

Show question

Pregunta

Eleva el número complejo \(z=3(\cos(3\pi/5)+i\sin(3\pi/5))\) a la quinta potencia.

Mostrar respuesta

Answer

\(z^5=3^5(\cos(3\pi)+i\sin(3\pi))=3^5(\cos(\pi)+i\sin(\pi))=-243\).

Show question

Pregunta

Eleva el número complejo \(z=4(\cos(\pi)+i\sin(\pi))\) a la séptima potencia.

Mostrar respuesta

Answer

\(z^5=4^7(\cos(7\pi)+i\sin(7\pi))\).

Show question

Pregunta

Multiplica los números \((2+2i)\) y \((2-i2)\) usando la forma polar.

Mostrar respuesta

Answer

\(z=8_0\).

Show question

Conoce más sobre Operaciones con números complejos
60%

de los usuarios no aprueban el cuestionario de Operaciones con números complejos... ¿Lo conseguirás tú?

Empezar cuestionario

Scopri i migliori contenuti per le tue materie

No hay necesidad de copiar si tienes todo lo necesario para triunfar. Todo en una sola app.

Plan de estudios

Siempre preparado y a tiempo con planes de estudio individualizados.

Cuestionarios

Pon a prueba tus conocimientos con cuestionarios entretenidos.

Flashcards

Crea y encuentra fichas de repaso en tiempo récord.

Apuntes

Crea apuntes organizados más rápido que nunca.

Sets de estudio

Todos tus materiales de estudio en un solo lugar.

Documentos

Sube todos los documentos que quieras y guárdalos online.

Análisis de estudio

Identifica cuáles son tus puntos fuertes y débiles a la hora de estudiar.

Objetivos semanales

Fíjate objetivos de estudio y gana puntos al alcanzarlos.

Recordatorios

Deja de procrastinar con nuestros recordatorios de estudio.

Premios

Gana puntos, desbloquea insignias y sube de nivel mientras estudias.

Magic Marker

Cree tarjetas didácticas o flashcards de forma automática.

Formato inteligente

Crea apuntes y resúmenes organizados con nuestras plantillas.

Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.