Operaciones con números complejos

Los números complejos, como ya sabes, son números que poseen un número imaginario \(i\). Estos números que se componen de una parte real y una parte imaginaria forman un binomio de tipo:
\[a+bi\]

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    Donde: \(a\) es la parte real y \(b\) es la parte imaginaria.

    Si no recuerdas esto, no olvides pasar por nuestro artículo sobre números complejos. En él explicamos cómo representarlos en el plano complejo y cómo calcular el conjugado de un número complejo, entre muchas otras cosas.

    • En primer lugar explicaremos las operaciones con números complejos en forma binómica. Entre las operaciones encontraremos:
      • Suma y resta
      • Multiplicación
      • División
      • Potencias
    • Después veremos otras formas en las que podemos encontrar los números complejos: forma polar, forma trigonométrica y forma exponencial.
    • Por último, realizaremos algunos ejercicios sobre operaciones con números complejos.

    Operaciones con números complejos en forma binómica

    Los números complejos permiten hacer operaciones en su forma binómica \(a+ib\). Así, estos números se pueden multiplicar, sumar, restar o, incluso, dividir. Veamos algunas fórmulas para esto.

    Suma y resta

    La suma de complejos se hace de modo directo; esto es:

    \[(a_1+ib_1)+(a_2+ib_2)=(a_1+a_2)+i(b_1+b_2)\]

    Para la resta, de igual manera:\[(a_1+ib_1)-(a_2+ib_2)=(a_1-a_2)+i(b_1-b_2)\]

    En ambos casos, lo que ocurre es que solo se pueden sumar o restar las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí.

    Multiplicación

    La multiplicación puede ser de tres modos:

    • Multiplicación por un número real:\[k(a+ib)=k(a)+k(ib)\]

    • Multiplicación por un número imaginario:\[ik(a+ib)=ika+(-kb)=-kb+ika\]

    • Multiplicación por otro número complejo:\[(a+ib)(c+id)=a·c+a·id+ib·c+i^2b·d\],lo cual se reduce a\[(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)\]

    División

    Para hacer la división de dos números complejos, debemos multiplicar y dividir por el conjugado del denominador:

    \[\dfrac{a+ib}{c+id}=\dfrac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}=\dfrac{(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^2+d^2}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+i\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\]

    Potencias

    La última operación es elevar un número complejo a una potencia. Para ello, sólo hay que multiplicar el número complejo por sí mismo tantas veces como sea el valor del exponente.

    Si es un cuadrado o un cubo, se pueden aplicar las identidades notables:

    \[(a+ib)^2=a^2+2iab-b^2\]

    \[(a+ib)^3=a^3+3ib(a^2)+3a(ib)^2+(ib)^3\]

    Otras formas de los números complejos

    Los números complejos también tienen una forma polar y una forma trigonométrica; esta forma convierte el número complejo de \(z=a+ib\) en \(z=r_{\alpha}\), para forma polar; y en \(z=r(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))\), para la forma trigonométrica.

    En estas formas, \(\alpha\) es el argumento del número complejo, que es el ángulo formado por la parte real y la parte compleja en el plano complejo. Este ángulo se puede ver en la siguiente figura:

    Operaciones con números complejos, representación de un número complejo en el plano complejo, StudySmarter

    Fig. 1: Representación de un número complejo, donde \(|Z|\) es el módulo del vector.

    Operaciones con números complejos en forma polar

    Como hemos mencionado,

    La forma polar de un número complejo es la expresión de este mediante su módulo y el argumento del número complejo.

    Por tanto, la forma polar de un complejo es:\[z=r_{\alpha}\].

    Donde: \(r\) es el módulo del complejo \(r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) y \(\alpha\) es el argumento \(\alpha=\arctan\dfrac{b}{a}\).

    Como los números complejos se representan en el plano complejo donde el eje \(x\) representa a los números reales y el eje \(y\) representa a los números imaginarios—, si el ángulo pertenece a uno de estos ejes, sabemos que este número es un número imaginario puro o un número real.

    Por ejemplo:

    • \(a=a_{0º}=a_0\) es un número real positivo, puesto que cae sobre el eje positivo de la \(x\).

    • \(-a=a_{180º}=a_{\pi}\) es un número real negativo, puesto que cae sobre el eje negativo de la \(x\).

    • \(bi=b_{90º}=b_{\pi/2}\) es un número imaginario puro positivo, puesto que cae sobre el eje positivo de la \(y\).

    • \(-bi=b_{270º}=b_{3\pi/2}\) es un número imaginario puro negativo, puesto que cae sobre el eje negativo de la \(y\).

    De las operaciones que son sencillas en forma polar están el producto, las potencias y la división.

    En la multiplicación entre complejos \(z_1=r_{\alpha}\) y \(z_2=s_{\beta}\) se usa la fórmula siguiente:

    \[z_1·z_2=(r·s)_{\alpha + \beta}\]

    Aquí, solamente se deben multiplicar los módulos y sumar sus argumentos.

    Para la división se hace lo contrario; la división de \(z_1\) entre \(z_2\) debe ser la división de los módulos y la resta de los argumentos:

    \[\dfrac{z_1}{z_2}=\left(\dfrac{r}{s}\right)_{\alpha - \beta}\]

    La potenciación, en este caso, se hace de manera que el elevar el número complejo \(z^n\) o \((a+ib)^n\) es igual a:

    \[z^n=(r_{\alpha})^n=(r^n)_{n\alpha}\]

    Operaciones con números complejos en forma trigonométrica

    Llegar a la forma trigonométrica es sencillo, a partir de la forma polar, teniendo ya el módulo y el argumento del número complejo.

    La forma trigonométrica es:

    \[z=r(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))\]

    Es decir, la parte real del complejo es \(a=r\cos(\alpha)\) y la parte imaginaria es \(b=r\sin(\alpha)\).

    En la forma trigonométrica, la multiplicación de complejos por un escalar solo afecta al módulo:

    Operaciones con números complejos Multiplicación por escalar StudySmarterFig. 2. Representación del número complejo de la Fig. 1 multiplicado por \(\frac{1}{2}\), donde observamos que el argumento no ha cambiado.

    En cambio, la multiplicación por un imaginario rota el vector:

    Operaciones con números complejos Multiplicación por imaginario StudySmarter.Fig. 3: Representación del número complejo de la Fig. 1 multiplicado por \(i\).

    La potencia, en la forma trigonométrica, sigue la fórmula de De Moivre:

    \[z^n=(r^n)_{n\alpha}=r^n(\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha))\]

    Números complejos en forma exponencial

    Otra forma en la que se puede expresar un número complejo es la forma exponencial. En esta forma, el número complejo \(z\) se expresa como:

    \[z=re^{i\alpha}\]

    Aquí, nuevamente, \(r\) es el módulo y \(\alpha\) es el ángulo entre la parte imaginaria y la parte real.

    Esta forma proviene de la expresión de las funciones trigonométricas como exponenciales:

    \[\sin(\alpha)=\dfrac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}\]

    \[\cos(\alpha)=\dfrac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}\]

    A partir de la forma trigonométrica de los números complejos:

    \[z=r(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))=r(\dfrac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}+\dfrac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2})=re^{i\alpha}\]

    Operaciones con números complejos: ejercicios resueltos

    Hagamos algunos ejercicios, para que puedas resolver problemas de este tipo.

    Suma los siguientes números complejos: \((3+i4)\) y \((2-i)\).

    Solución:

    \[(3+i4)+(2-i)=(3+2)+i(4-1)=5+i3\]

    Resta los siguientes números complejos: \((5+i4)\) y \((2-i7)\).

    Solución:

    \[(5+i4)-(2-i7)=(3-2)+i(4+7)=5-i11\]

    Multiplica los siguientes números complejos: \((1+i3)\) y \((1-i7)\). En este caso, debes de expandir el producto.

    Solución:

    \[(5+i4)(2-i7)=5·2+5·(-i7)+2·(i4)-4·(-7)=10-35i+8i+28\]

    Y, por último, lo reducimos:

    \[38-27i\]

    Divide los siguientes números complejos: \((1+i)\) y \((1-i1)\).

    Solución:

    Para esto, multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador:

    \[[\dfrac{1+i}{1-i}=[\dfrac{1+i}{1-i}\dfrac{1+i}{1+i}=\dfrac{1+i+i-1}{1+1}=\dfrac{2i}{2}=i\]

    Ahora, hagamos algunos ejemplos usando la forma trigonométrica polar y binómica:

    Eleva el siguiente número al cuadrado: \((2+i3)\).

    Solución:

    Para hacer esto, debemos expandir el binomio. Esto nos da:

    \[(2+i3)^2=2^2+2·2·3i-3^2=4+12i-9=-5+12i\]

    Ejercicio en forma polar y trigonométrica:

    Multiplica el número \(z_1=2+i3\) por el número \(z_2=1+i4\) usando la forma polar.

    Solución:

    Para esto, primero debemos encontrar la forma polar de ambos números.

    Empecemos con los módulos, que son:

    \[|z_1|=|2+i3|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\]

    \[|z_2|=|1+i4|=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}\]

    Ahora, debemos encontrar el ángulo de estos. Tal como explicamos antes:

    \[\alpha=\arctan\dfrac{b}{a}\]

    Por tanto, tenemos:

    \[\alpha_1=\arctan\dfrac{3}{2}=0,98 rad\]

    \[\alpha_2=\arctan\dfrac{4}{1}=1,33 rad\]

    Así, usando la fórmula:

    \[z_1z_2=(|z_1||z_2|)_{\alpha_1 + \alpha_2}\]

    Donde \(\alpha_1\) y \(\alpha_2\) son \(0,98 \text{ rad}\) y \(1,33 \text{ rad}\).

    Finalmente, debemos multiplicar las magnitudes y sumar los argumentos:

    \[z_1z_2=(\sqrt{14}\sqrt{17})_{0{,}98+1{,}33}\]

    \[z_1z_2=\sqrt{238}_{2{,}31}\]

    Eleva el número complejo \(z=2(\cos(\pi)+i\sin(\pi))\) al cuadrado.

    Solución:

    Para esto, usamos la siguiente fórmula:

    \[z^n=r^n(\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha))\]

    Aquí \(alpha=\pi\) y \(n=2\), por lo cual se tiene:

    \[z^2=2^2(\cos(2\pi)+i\sin(2\pi))=4(1+i0)=4\]

    Operaciones con números complejos - Puntos clave

    • Los números complejos, como ya lo sabes, son números que poseen un número imaginario \(i\). Estos números que se componen de una parte real y una parte imaginariaforman un binomio de tipo:
      • \[a+bi\]
    • Los complejos se pueden operar usando varias formas:

      • Binómica.
      • Trigonométrica.
      • Polar.
      En la forma binaria, la suma y resta solo se puede hacer entre partes del mismo tipo: número real con real e imaginario con imaginario.
    • En las formas polar y trigonométrica, se debe calcular el módulo y el argumento del número complejo.
    Preguntas frecuentes sobre Operaciones con números complejos

    ¿Cuál es la fórmula de los números complejos?

    Un número complejo se expresa de la forma z=a+ib, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.

    ¿Cuáles son las operaciones y ejemplos de números complejos en forma binómica ?

    Las operaciones de números complejos en forma binómica son la suma, resta, multiplicación, división y potenciación, cuando el complejo tiene la forma: a+ib.


    El ejemplo más sencillo es la suma de dos complejos: a+ib y c+id; donde i es el número imaginario. En este caso, se tiene que (a+ib)+(c+id)= (a+c)+i(bd).


    En los casos de las sumas y restas, estas solo se pueden hacer entre números que son similares: real a real, imaginario con imaginario; en cambio, en la división y producto intervienen todos los números.

    ¿Cómo se multiplican números complejos en forma trigonométrica?

    Un número complejo en forma trigonométrica de tipo z=r(cos(θ)+isen(θ)) se multiplica por otro z2=r2(cos(θ2)+isen(θ2)), término por término de cada binomio.

    ¿Cómo se realizan operaciones con números complejos en forma polar?

    Un número complejo en forma polar se expresa como su módulo r y su argumento en el plano complejo θ, de modo: rθ.

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    ¿Cómo es un número complejo en forma binómica?

    El ángulo de los complejos en forma polar y trigonométrica es el ángulo ____________.

    ¿Cuál es la fórmula para calcular el módulo de un número complejo?

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