La app de estudio todo en uno
4.8 • +11 mil reviews
Más de 3 millones de descargas
Free
Los números complejos, como ya sabes, son números que poseen un número imaginario \(i\). Estos números que se componen de una parte real y una parte imaginaria forman un binomio de tipo:\[a+bi\]Donde: \(a\) es la parte real y \(b\) es la parte imaginaria. Si no recuerdas esto, no olvides pasar por nuestro artículo sobre números complejos. En él explicamos cómo representarlos…
Explore our app and discover over 50 million learning materials for free.
Guarda la explicación ya y léela cuando tengas tiempo.
GuardarLerne mit deinen Freunden und bleibe auf dem richtigen Kurs mit deinen persönlichen Lernstatistiken
Jetzt kostenlos anmeldenLos números complejos, como ya sabes, son números que poseen un número imaginario \(i\). Estos números que se componen de una parte real y una parte imaginaria forman un binomio de tipo:\[a+bi\]
Donde: \(a\) es la parte real y \(b\) es la parte imaginaria.
Si no recuerdas esto, no olvides pasar por nuestro artículo sobre números complejos. En él explicamos cómo representarlos en el plano complejo y cómo calcular el conjugado de un número complejo, entre muchas otras cosas.
Los números complejos permiten hacer operaciones en su forma binómica \(a+ib\). Así, estos números se pueden multiplicar, sumar, restar o, incluso, dividir. Veamos algunas fórmulas para esto.
La suma de complejos se hace de modo directo; esto es:
\[(a_1+ib_1)+(a_2+ib_2)=(a_1+a_2)+i(b_1+b_2)\]
Para la resta, de igual manera:\[(a_1+ib_1)-(a_2+ib_2)=(a_1-a_2)+i(b_1-b_2)\]
En ambos casos, lo que ocurre es que solo se pueden sumar o restar las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí.
La multiplicación puede ser de tres modos:
Multiplicación por un número real:\[k(a+ib)=k(a)+k(ib)\]
Multiplicación por un número imaginario:\[ik(a+ib)=ika+(-kb)=-kb+ika\]
Multiplicación por otro número complejo:\[(a+ib)(c+id)=a·c+a·id+ib·c+i^2b·d\],lo cual se reduce a\[(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)\]
Para hacer la división de dos números complejos, debemos multiplicar y dividir por el conjugado del denominador:
\[\dfrac{a+ib}{c+id}=\dfrac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}=\dfrac{(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^2+d^2}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+i\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\]
La última operación es elevar un número complejo a una potencia. Para ello, sólo hay que multiplicar el número complejo por sí mismo tantas veces como sea el valor del exponente.
Si es un cuadrado o un cubo, se pueden aplicar las identidades notables:
\[(a+ib)^2=a^2+2iab-b^2\]
\[(a+ib)^3=a^3+3ib(a^2)+3a(ib)^2+(ib)^3\]
Los números complejos también tienen una forma polar y una forma trigonométrica; esta forma convierte el número complejo de \(z=a+ib\) en \(z=r_{\alpha}\), para forma polar; y en \(z=r(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))\), para la forma trigonométrica.
En estas formas, \(\alpha\) es el argumento del número complejo, que es el ángulo formado por la parte real y la parte compleja en el plano complejo. Este ángulo se puede ver en la siguiente figura:
Fig. 1: Representación de un número complejo, donde \(|Z|\) es el módulo del vector.
Como hemos mencionado,
La forma polar de un número complejo es la expresión de este mediante su módulo y el argumento del número complejo.
Por tanto, la forma polar de un complejo es:\[z=r_{\alpha}\].
Donde: \(r\) es el módulo del complejo \(r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) y \(\alpha\) es el argumento \(\alpha=\arctan\dfrac{b}{a}\).
Como los números complejos se representan en el plano complejo —donde el eje \(x\) representa a los números reales y el eje \(y\) representa a los números imaginarios—, si el ángulo pertenece a uno de estos ejes, sabemos que este número es un número imaginario puro o un número real.
Por ejemplo:
\(a=a_{0º}=a_0\) es un número real positivo, puesto que cae sobre el eje positivo de la \(x\).
\(-a=a_{180º}=a_{\pi}\) es un número real negativo, puesto que cae sobre el eje negativo de la \(x\).
\(bi=b_{90º}=b_{\pi/2}\) es un número imaginario puro positivo, puesto que cae sobre el eje positivo de la \(y\).
\(-bi=b_{270º}=b_{3\pi/2}\) es un número imaginario puro negativo, puesto que cae sobre el eje negativo de la \(y\).
De las operaciones que son sencillas en forma polar están el producto, las potencias y la división.
En la multiplicación entre complejos \(z_1=r_{\alpha}\) y \(z_2=s_{\beta}\) se usa la fórmula siguiente:
\[z_1·z_2=(r·s)_{\alpha + \beta}\]
Aquí, solamente se deben multiplicar los módulos y sumar sus argumentos.
Para la división se hace lo contrario; la división de \(z_1\) entre \(z_2\) debe ser la división de los módulos y la resta de los argumentos:
\[\dfrac{z_1}{z_2}=\left(\dfrac{r}{s}\right)_{\alpha - \beta}\]
La potenciación, en este caso, se hace de manera que el elevar el número complejo \(z^n\) o \((a+ib)^n\) es igual a:
\[z^n=(r_{\alpha})^n=(r^n)_{n\alpha}\]
Llegar a la forma trigonométrica es sencillo, a partir de la forma polar, teniendo ya el módulo y el argumento del número complejo.
La forma trigonométrica es:
\[z=r(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))\]
Es decir, la parte real del complejo es \(a=r\cos(\alpha)\) y la parte imaginaria es \(b=r\sin(\alpha)\).
En la forma trigonométrica, la multiplicación de complejos por un escalar solo afecta al módulo:
Fig. 2. Representación del número complejo de la Fig. 1 multiplicado por \(\frac{1}{2}\), donde observamos que el argumento no ha cambiado.
En cambio, la multiplicación por un imaginario rota el vector:
Fig. 3: Representación del número complejo de la Fig. 1 multiplicado por \(i\).
La potencia, en la forma trigonométrica, sigue la fórmula de De Moivre:
\[z^n=(r^n)_{n\alpha}=r^n(\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha))\]
Otra forma en la que se puede expresar un número complejo es la forma exponencial. En esta forma, el número complejo \(z\) se expresa como:
\[z=re^{i\alpha}\]
Aquí, nuevamente, \(r\) es el módulo y \(\alpha\) es el ángulo entre la parte imaginaria y la parte real.
Esta forma proviene de la expresión de las funciones trigonométricas como exponenciales:
\[\sin(\alpha)=\dfrac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}\]
\[\cos(\alpha)=\dfrac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}\]
A partir de la forma trigonométrica de los números complejos:
\[z=r(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))=r(\dfrac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}+\dfrac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2})=re^{i\alpha}\]
Hagamos algunos ejercicios, para que puedas resolver problemas de este tipo.
Suma los siguientes números complejos: \((3+i4)\) y \((2-i)\).
Solución:
\[(3+i4)+(2-i)=(3+2)+i(4-1)=5+i3\]
Resta los siguientes números complejos: \((5+i4)\) y \((2-i7)\).
Solución:
\[(5+i4)-(2-i7)=(3-2)+i(4+7)=5-i11\]
Multiplica los siguientes números complejos: \((1+i3)\) y \((1-i7)\). En este caso, debes de expandir el producto.
Solución:
\[(5+i4)(2-i7)=5·2+5·(-i7)+2·(i4)-4·(-7)=10-35i+8i+28\]
Y, por último, lo reducimos:
\[38-27i\]
Divide los siguientes números complejos: \((1+i)\) y \((1-i1)\).
Solución:
Para esto, multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador:
\[[\dfrac{1+i}{1-i}=[\dfrac{1+i}{1-i}\dfrac{1+i}{1+i}=\dfrac{1+i+i-1}{1+1}=\dfrac{2i}{2}=i\]
Ahora, hagamos algunos ejemplos usando la forma trigonométrica polar y binómica:
Eleva el siguiente número al cuadrado: \((2+i3)\).
Solución:
Para hacer esto, debemos expandir el binomio. Esto nos da:
\[(2+i3)^2=2^2+2·2·3i-3^2=4+12i-9=-5+12i\]
Ejercicio en forma polar y trigonométrica:
Multiplica el número \(z_1=2+i3\) por el número \(z_2=1+i4\) usando la forma polar.
Solución:
Para esto, primero debemos encontrar la forma polar de ambos números.
Empecemos con los módulos, que son:
\[|z_1|=|2+i3|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\]
\[|z_2|=|1+i4|=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}\]
Ahora, debemos encontrar el ángulo de estos. Tal como explicamos antes:
\[\alpha=\arctan\dfrac{b}{a}\]
Por tanto, tenemos:
\[\alpha_1=\arctan\dfrac{3}{2}=0,98 rad\]
\[\alpha_2=\arctan\dfrac{4}{1}=1,33 rad\]
Así, usando la fórmula:
\[z_1z_2=(|z_1||z_2|)_{\alpha_1 + \alpha_2}\]
Donde \(\alpha_1\) y \(\alpha_2\) son \(0,98 \text{ rad}\) y \(1,33 \text{ rad}\).
Finalmente, debemos multiplicar las magnitudes y sumar los argumentos:
\[z_1z_2=(\sqrt{14}\sqrt{17})_{0{,}98+1{,}33}\]
\[z_1z_2=\sqrt{238}_{2{,}31}\]
Eleva el número complejo \(z=2(\cos(\pi)+i\sin(\pi))\) al cuadrado.
Solución:
Para esto, usamos la siguiente fórmula:
\[z^n=r^n(\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha))\]
Aquí \(alpha=\pi\) y \(n=2\), por lo cual se tiene:
\[z^2=2^2(\cos(2\pi)+i\sin(2\pi))=4(1+i0)=4\]
Los complejos se pueden operar usando varias formas:
Un número complejo se expresa de la forma z=a+ib, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.
Las operaciones de números complejos en forma binómica son la suma, resta, multiplicación, división y potenciación, cuando el complejo tiene la forma: a+ib.
El ejemplo más sencillo es la suma de dos complejos: a+ib y c+id; donde i es el número imaginario. En este caso, se tiene que (a+ib)+(c+id)= (a+c)+i(bd).
En los casos de las sumas y restas, estas solo se pueden hacer entre números que son similares: real a real, imaginario con imaginario; en cambio, en la división y producto intervienen todos los números.
Un número complejo en forma trigonométrica de tipo z=r(cos(θ)+isen(θ)) se multiplica por otro z2=r2(cos(θ2)+isen(θ2)), término por término de cada binomio.
Un número complejo en forma polar se expresa como su módulo r y su argumento en el plano complejo θ, de modo: rθ.
de los usuarios no aprueban el cuestionario de Operaciones con números complejos... ¿Lo conseguirás tú?
Empezar cuestionarioHow would you like to learn this content?
How would you like to learn this content?
Free matematicas cheat sheet!
Everything you need to know on . A perfect summary so you can easily remember everything.
Siempre preparado y a tiempo con planes de estudio individualizados.
Pon a prueba tus conocimientos con cuestionarios entretenidos.
Crea y encuentra fichas de repaso en tiempo récord.
Crea apuntes organizados más rápido que nunca.
Todos tus materiales de estudio en un solo lugar.
Sube todos los documentos que quieras y guárdalos online.
Identifica cuáles son tus puntos fuertes y débiles a la hora de estudiar.
Fíjate objetivos de estudio y gana puntos al alcanzarlos.
Deja de procrastinar con nuestros recordatorios de estudio.
Gana puntos, desbloquea insignias y sube de nivel mientras estudias.
Cree tarjetas didácticas o flashcards de forma automática.
Crea apuntes y resúmenes organizados con nuestras plantillas.
Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.
Guarda las explicaciones en tu espacio personalizado y accede a ellas en cualquier momento y lugar.
Regístrate con email Regístrate con AppleAl registrarte aceptas los Términos y condiciones y la Política de privacidad de StudySmarter.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión