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Método de Gauss

Método de Gauss

Seguramente ya has leído el tema de sistemas de ecuaciones, ya sean lineales o que incluyan algún término cuadrático en ellas. Y, seguramente, ya has visto cómo resolver estos sistemas para obtener su solución. Pero, ¿sabes qué variable debes sustituir primero o qué operación debes hacer primero?

En realidad, hay muchas formas de despejar un sistema de, por ejemplo, tres ecuaciones y tres variables. Siempre nos vendría bien un poco de ayuda, ¿no? Algo como un método más sistemático, que tenga reglas claras sobre qué debes hacer. Este método se denomina el Método de Gauss.

Sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones está formado por varias ecuaciones en las que hay una o varias incógnitas. Las soluciones del sistema son valores que valen para todas las ecuaciones.

Sistemas de ecuaciones equivalentes

Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Es decir, si tenemos dos sistemas de ecuaciones cuyas soluciones para cada variable son las mismas, podemos decir que estos sistemas son equivalentes. Hay varias maneras de conseguir que dos sistemas de ecuaciones sean equivalentes:

  1. Sumando o restando ecuaciones.
  2. Multiplicando o dividiendo ecuaciones por un escalar.
  3. Sumando o restando el mismo término a los dos lados de una ecuación.

Debido a estas propiedades, podemos modificar un sistema de ecuaciones de modo que sea más fácil de resolver y llegar a un sistema de ecuaciones equivalente que tiene, por tanto, las mismas soluciones que el original.

Sistemas de ecuaciones triangulares y el método de Gauss

Si tenemos un sistema de ecuaciones, podemos resolverlo utilizando el método de Gauss. Este consiste en usar operaciones elementales en las ecuaciones para transformar un sistema de ecuaciones lineales \(n\times n\), en un sistema reducido de forma triangular; que es, por tanto, equivalente al original.

Por ejemplo, si nuestro sistema tiene tres ecuaciones y tres incógnitas, su forma triangular será:

\[\left\{\begin{array}ax&+&by&+&cz&=&A\\ &&b'y&+&c'z&=&B\\ &&&& c''z&=&C\end{array}\right.\]

Este nuevo sistema triangular es equivalente al sistema original: tiene las mismas soluciones.

Pongamos en práctica este sistema en el siguiente ejercicio:

Transforma el siguiente sistema de ecuaciones en un sistema triangular superior:

\[\left\{\begin{array}\,5x+\dfrac{1}{2}y&=0\\6x-2y&=1\end{array}\right.\]

Solución

Empezamos a aplicar operaciones elementales:

Paso 1: Multiplicamos la primera ecuación por \(-\dfrac{6}{5}\), y esto nos da:

\[\left\{\begin{array}\,-6x-\dfrac{6}{10}y&=0\\6x-2y&=1\end{array}\right.\]

Paso 2: sumamos la primera ecuación a la segunda:

\[\left\{\begin{array}\,-6x-\dfrac{6}{10}y&=0\\0x-\dfrac{13}{5}y&=1\end{array}\right.\]

Paso 3: multiplicamos la ecuación por \(-\frac{5}{13}\).

\[\left\{\begin{array}\,-6x-\dfrac{6}{10}y&=0\\0x+y&=-\dfrac{5}{13}\end{array}\right.\]

Como el sistema es de dos ecuaciones, al triangularlo obtenemos directamente la solución de una de las dos incógnitas; en este caso, el valor de \(y\). Ahora solo habría que introducir este valor en la primera ecuación y despejar el valor de \(x\):

\[5x+\dfrac{1}{2}\dfrac{-5}{13}=0\]

\[5x-\dfrac{5}{26}=0\]

\[x=\dfrac{1}{26}\]

Antes de seguir poniendo ejemplos del método de Gauss, te mencionaremos algunas situaciones que pueden ocurrir cuando tienes un sistema de ecuaciones.

Sistemas compatibles e incompatibles

Cuando resolvemos un sistema de ecuaciones podemos clasificar el sistema según el número de soluciones que se obtienen. Hay tres posibilidades:

  1. El sistema compatible determinado: tiene una solución única.

  2. El sistema compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.

  3. El sistema es incompatible: no tiene ninguna solución.

Vamos a explicar las tres situaciones, con ejemplos de cada una, para que te familiarices con el tema.

Sistema compatible determinado

Un sistema de ecuaciones compatible determinado es aquel que tiene una solución que satisface todas las ecuaciones a la vez.

Sigamos un ejemplo de un sistema de este tipo.

Resuelve el siguiente sistema:

\[\left\{\begin{align}\,2x+3y-4z&=-3\\x-2y-z&=3\\-x+y+2z&=-1\end{align}\right.\]

Solución:

Para resolver por el método de Gauss, triangulamos operando con las ecuaciones. En este caso, podemos hacer \(E_3\rightarrow E_3+E_2\):

\[\left\{\begin{align}\,2x+3y-4z&=-3\\x-2y-z&=3\\-y+z&=2\end{align}\right.\]

Ahora, para eliminar la \(x\) en la segunda ecuación, hacemos \(E_2\rightarrow E_1-2E_2\):

\[\left\{\begin{align}\,2x+3y-4z&=-3\\7y-2z&=-9\\-y+z&=2\end{align}\right.\]

Para terminar de triangula el sistema tenemos que eliminar la \(y\) en la última ecuación así: \(E_3\rightarrow E_2+7E_3\):

\[\left\{\begin{align}\,2x+3y-4z&=-3\\7y-2z&=-9\\5z&=5\end{align}\right.\]

Por último, realizamos \(E_3\rightarrow \dfrac{1}{5}E_3\):

\[\left\{\begin{align}\,2x+3y-4z&=-3\\7y-2z&=-9\\z&=1\end{align}\right.\]

Así, hemos obtenido el valor de \(z\), el cual podemos sustituir en la segunda ecuación para hallar el valor de \(y\):

\[7y-2·1=-9\rightarrow y=-7\]

Ya tenemos el valor de \(y\); por tanto, podemos sustituir en la primera ecuación para hallar el valor de \(x\):

\[2x+3·(-1)-4·1=-3\rightarrow x=2\]

Hemos obtenido un valor para cada incógnita: ¡el sistema tiene una solución! Se trata de un sistema determinado compatible y su solución es:

\[x=2\]

\[y=-1\]

\[z=1\]

Sistema compatible indeterminado y el método de Gauss

El otro tipo de sistema posible que es representado por una matriz es un sistema compatible indeterminado. Estos sistemas pueden resolverse pero tienen infinitas soluciones.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\left\{\begin{array}\,2x-2y+4z=-8\\3x-5y+8z=-14\\2x+6y-4z=0\end{array}\right.\]

Solución:

Triangulamos el sistema; para ello, podemos hacer \(E_2\rightarrow 3E_2-2E_1\) y, también, \(E_3\rightarrow E_1-E_3\):

\[\left\{\begin{array}\,2x-2y+4z=-8\\0x+4y-4z=4\\0x-8y+8z=-8\end{array}\right.\]

Ahora, hacemos \(E_3\rightarrow 2E_2+E_3\):

\[\left\{\begin{array}\,2x-2y+4z=-8\\0x+4y-4z=4\\0x-0y+0z=0\end{array}\right.\]

Por tanto, la última ecuación queda como:

\[0=0\]

Esto implica que las tres ecuaciones son linealmente dependientes y, por tanto, hay una combinación lineal entre ellas. El sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Debido a esto, podemos decir que \(z=t\) es un parámetro variable. Así podemos calcular las soluciones del resto de incógnitas, en función de este parámetro:

A partir, de la segunda ecuación anterior:

\[4y-4z=4 \rightarrow y-t=1\rightarrow y=1+t\]

Introducimos esto en la primera ecuación:

\[2x-2(1+t)+4t=-8\rightarrow x=-3-t\]

Por tanto, las soluciones de este sistema son:

\[x=-3-t\]

\[y=1+t\]

\[z=t\]

Siendo \(t\) cualquier valor real.

Sistema incompatible

Los sistemas incompatibles son aquellos que no poseen ninguna solución. Esto ocurre cuando, al resolver el sistema, llegamos a una incongruencia.

Veamos un ejemplo, para entender mejor este proceso:

Resuelve el sistema de tres ecuaciones:

\[\left\{\begin{align}\,2x+2y-2z&=10\\3x-2y-2z&=5\\2x-3y-z&=3\end{align}\right.\]

Solución:

Para triangular el sistema tenemos que realizar operaciones entre las ecuaciones. En este caso, vamos a eliminar las incógnitas \(x\) y \(y\) de la tercera ecuación. Para ello, a la segunda ecuación le restamos tres veces la primera ecuación (\(E_2\rightarrow E_2+3E_1\)) y a la tercera ecuación le restamos dos veces la primera ecuación (\(E_3\rightarrow E_3-2E_1\)):

\[\left\{\begin{align}\,2x+2y-2z&=10\\-5y+z&=-10\\-5y+z&=-7\end{align}\right.\]

Ahora, si restamos la segunda ecuación a la tercera ecuación llegamos a:

\[0=3\]

Esto es una incongruencia y, por tanto, podemos decir que el sistema es indeterminado y no existe ninguna solución que satisfaga las tres ecuaciones.

Método de Gauss ejemplos

Por último, procedamos a hacer un par de ejercicio para que te familiarices con el método de Gauss.

Identifica si el siguiente sistema puede ser resuelto y aplica el método de Gauss, de ser necesario, para encontrar la solución:

\[\left\{\begin{array}\,3x+2y-3z=0\\-6x+3y-z=7\\9x+6y-9z=0\end{array}\right.\]

Solución:

Aquí puedes observar que la tercera fila es igual a la primera fila multiplicada por \(3\):

\[3(3x+2x-3z)=9x+6x-9z\]

De tal modo que de las tres ecuaciones, dos son dependientes entre sí. De este modo el sistema es compatible, pero es indeterminado y posee infinitas soluciones.

Eliminamos la última ecuación

\[\left\{\begin{array}\,3x+2y-3z=0\\-6x+3y-z=7\end{array}\right.\]

y resolvemos el sistema indeterminado, haciendo \(E_2\rightarrow 2E_1+E_2\):

\[\left\{\begin{array}\,3x+2y-3z=0\\0x+7y-7z=7\end{array}\right.\]

A partir de la segunda ecuación, obtenemos:

\[y=1+z\]

Para llegar a las soluciones del sistema indeterminado, asignamos un parámetro como \(z=t\), por lo que la ecuación anterior queda como:

\[y=1+t\]

Introducimos estos valores en la primera ecuación y despejamos el valor de la \(x\):

\[x=\dfrac{t-2}{3}\]

Identifica si el siguiente sistema puede ser resuelto y aplica el método de Gauss, de ser necesario, para encontrar la solución:

\[\left\{\begin{array}\,3x+2y-3z=1\\-12x+2y-7z=2\\5x+3y-z=0\end{array}\right.\]

Solución:

Procedemos a transformarlo en un sistema triangular superior:

\[\left\{\begin{array}\,3x+2y-3z=1\\-12x+2y-7z=2\\5x+3y-z=0\end{array}\right.\]

En primer lugar, calculamos \(E_2\rightarrow 4E_1+E_2\) y, también, \(E_3\rightarrow 5E_1-3E_3\):

\[\left\{\begin{array}\,3x+2y-3z=1\\0x+10y-19z=6\\0x+y-12z=5\end{array}\right.\]

Ahora, hacemos \(E_3\rightarrow E_2-10E_3\):

\[\left\{\begin{array}\,3x+2y-3z=1\\0x+10y-19z=6\\-101z=44\end{array}\right.\]

De la última ecuación obtenemos:

\[z=-\dfrac{44}{101}\]

Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, llegamos a:

\[y=-\dfrac{23}{101}\]

Por último, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, resolvemos:

\[x=\dfrac{5}{101}\]

Matrices y el método de Gauss

El método de Gauss se aplica a métodos más avanzados en 2º de bachillerato, esto se realiza por medio de Matrices. Lo que se hace es tomar las ecuaciones originales y formar dos matrices: la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

La matriz de coeficientes tiene solo los coeficientes de las ecuaciones, mientras que la matriz ampliada contiene la matriz de coeficientes más los resultados:

\[\left\{\begin{array}\,2x+3y-7z=9\\x-13y-12z=2\\-\frac{1}{2}x+y-z=1\end{array}\right.\]

Tiene la siguiente matriz ampliada:

\[\left(\begin{array}{rrr|r}2 & 3 & -7&9\\1 & -13 & -12&2\\-\frac{1}{2} & 1 & -1&1\end{array}\right)\]

Con esta matriz se pueden hacer operaciones para saber si el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. Además, se puede triangular la matriz lo que es equivalente a triangular el sistema de ecuaciones y se obtienen los mismos resultados.

La solución trivial

Existe una solución que se puede dar en un sistema, y esta es la solución trivial. Supongamos que se tiene el sistema:

\[\left\{\begin{array}\,2x+4y=0\\\frac{2}{9}x+8y=0\end{array}\right.\]

Una solución de este sistema es que que ambas variables \(x\) y \(y\) sean cero, que es:

\[2(0)+4(0)=0\]

\[\frac{2}{9}(0)+8(0)=0\]

A esto se le llama la solución trivial y en un sistema de ecuaciones; o, en matrices, se supone usualmente que esta solución no es la buscada.

Método de Gauss - Puntos clave

  • Dos sistemas son equivalentes si estos tienen las mismas soluciones.
  • El método de Gauss consiste en usar operaciones elementales en las ecuaciones para transformar el sistema de ecuaciones lineales \(n\times n\) en un sistema reducido de forma triangular.
  • Según el número de soluciones que tiene el sistema, se puede clasificar en:
    • Sistema compatible determinado: tiene una solución única.

    • Sistema compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.

    • Sistema es incompatible: no tiene ninguna solución.

Preguntas frecuentes sobre Método de Gauss

El método de Gauss consiste en usar operaciones elementales en las ecuaciones para transformar el sistema de ecuaciones lineales \(n\times n\) en un sistema reducido de forma triangular.

Para realizar el método de Gauss en un sistema de ecuaciones, este se debe triangular:

Se realizan operaciones elementales entre las ecuaciones para eliminar coeficientes, de modo que quede un sistema equivalente triangular.

El teorema de Gauss se puede aplicar a cualquier sistema de ecuaciones; sin embargo, no siempre se obtendrán soluciones. Esto depende del tipo de sistema que sea: indeterminado, determinado compatible o determinado incompatible.

Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones. 


Un ejemplo son los siguiente sistemas:
2x+3y=3

x-y=8


y


2x+3y=3

2x-2y=16

  • El sistema compatible determinado: tiene una solución única.

  • El sistema compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.

Cuestionario final de Método de Gauss

Pregunta

El método de Gauss se aplica a:

Mostrar respuesta

Answer

Definición: Funciones de cálculo.

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Pregunta

El método de Gauss toma un sistema de:

Mostrar respuesta

Answer

Ecuaciones.

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Pregunta

¿Qué parte de las ecuaciones sufre cambios cuando se realiza el método de Gauss?

Mostrar respuesta

Answer

Los coeficientes de las incógnitas.

Show question

Pregunta

Cuando se modifican los coeficientes, también se modifica(n):

Mostrar respuesta

Answer

Los resultados.

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Pregunta

¿Cuáles son los coeficientes de la ecuación \(15x+34y=0\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(15\) y \(34\).

Show question

Pregunta

¿Las siguientes ecuaciones son dependientes o independientes?

\[3x+4y=7\]

\[9x+12y=21\].

Mostrar respuesta

Answer

Dependientes.

Show question

Pregunta

¿Las siguientes ecuaciones son dependientes o independientes?

\[-x+4y=\frac{1}{4}\]

\[x+12y=2\].



Mostrar respuesta

Answer

Independientes.

Show question

Pregunta

¿Un sistema que tiene un número menor de ecuaciones que de variables se puede resolver?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, es un sistema compatible indeterminado.

Show question

Pregunta

Todos los sistemas de ecuaciones que tienen el mismo número de variables y ecuaciones tienen una única solución. ¿Verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Falso, pueden tener infinitas soluciones.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el nombre de un sistema de ecuaciones con infinitas soluciones?

Mostrar respuesta

Answer

Compatible indeterminado.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el nombre de un sistema de ecuaciones con una única solución?

Mostrar respuesta

Answer

Compatible determinado.

Show question

Pregunta

¿Cuáles son las tres características que debe cumplir un sistema antes de ser resuelto?

Mostrar respuesta

Answer

Ser independiente, compatible y determinado.

Show question

Pregunta

El método de Gauss toma un sistema de ecuaciones y lo transforma en un sistema:

Mostrar respuesta

Answer

Único.

Show question

Pregunta

Transforma el siguiente sistema de ecuaciones en un sistema triangular:

\[x-y=9\]

\[3x+6y=3\].

Mostrar respuesta

Answer

\[1x-1y=9\]

\[0x+y=\frac{-24}{9}\].

Show question

Pregunta

Resuelve el siguiente sistema, usando el método de Gauss:

\[2x-y=9\]

\[4x-2y=4,5\]

Mostrar respuesta

Answer

No tiene una solución única, ya que no son independientes.

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