Seguramente ya has leído el tema de sistemas de ecuaciones, ya sean lineales o que incluyan algún término cuadrático en ellas. Y, seguramente, ya has visto cómo resolver estos sistemas para obtener su solución. Pero, ¿sabes qué variable debes sustituir primero o qué operación debes hacer primero?
En realidad, hay muchas formas de despejar un sistema de, por ejemplo, tres ecuaciones y tres variables. Siempre nos vendría bien un poco de ayuda, ¿no? Algo como un método más sistemático, que tenga reglas claras sobre qué debes hacer. Este método se denomina el Método de Gauss.
- En este tema empezaremos explicando los sistemas de ecuaciones y cuándo son equivalentes.
- A continuación, te explicamos cómo utilizar el método de Gauss para hallar la solución de un sistema de ecuaciones.
- Después, comentaremos los casos de sistemas incompatibles y sistemas compatibles, donde dentro de estos explicaremos los compatibles determinados y los compatibles indeterminados.
- Luego, podrás ver algunos ejemplos en los que hemos utilizado el método de Gauss en sistemas de ecuaciones.
- En el siguiente apartado te enseñamos la relación entre las matrices y los sistemas de ecuaciones, y la aplicación del método de Gauss.
- Por último, aprenderás qué es la solución trivial.
Sistemas de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones está formado por varias ecuaciones en las que hay una o varias incógnitas. Las soluciones del sistema son valores que valen para todas las ecuaciones.
Sistemas de ecuaciones equivalentes
Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Es decir, si tenemos dos sistemas de ecuaciones cuyas soluciones para cada variable son las mismas, podemos decir que estos sistemas son equivalentes. Hay varias maneras de conseguir que dos sistemas de ecuaciones sean equivalentes:
- Sumando o restando ecuaciones.
- Multiplicando o dividiendo ecuaciones por un escalar.
- Sumando o restando el mismo término a los dos lados de una ecuación.
Debido a estas propiedades, podemos modificar un sistema de ecuaciones de modo que sea más fácil de resolver y llegar a un sistema de ecuaciones equivalente —que tiene, por tanto, las mismas soluciones que el original—.
¿En qué consiste el método de Gauss?
Si tenemos un sistema de ecuaciones, podemos resolverlo utilizando el método de Gauss.
El método de Gauss consiste en usar operaciones elementales en las ecuaciones para transformar un sistema de ecuaciones lineales \(n\times n\), en un sistema reducido de forma triangular; que es, por tanto, equivalente al original.
Por ejemplo, si nuestro sistema tiene tres ecuaciones y tres incógnitas, su forma triangular será:
\[\left\{\begin{array}ax&+&by&+&cz&=&A\\ &&b'y&+&c'z&=&B\\ &&&& c''z&=&C\end{array}\right.\]
Este nuevo sistema triangular es equivalente al sistema original: tiene las mismas soluciones.
Pongamos en práctica este sistema en el siguiente ejercicio:
Transforma el siguiente sistema de ecuaciones en un sistema triangular superior:
\[\left\{\begin{array}\,5x+\dfrac{1}{2}y&=0\\6x-2y&=1\end{array}\right.\]
Solución
Empezamos a aplicar operaciones elementales:
Paso 1: Multiplicamos la primera ecuación por \(-\dfrac{6}{5}\), y esto nos da:
\[\left\{\begin{array}\,-6x-\dfrac{6}{10}y&=0\\6x-2y&=1\end{array}\right.\]
Paso 2: sumamos la primera ecuación a la segunda:
\[\left\{\begin{array}\,-6x-\dfrac{6}{10}y&=0\\0x-\dfrac{13}{5}y&=1\end{array}\right.\]
Paso 3: multiplicamos la ecuación por \(-\frac{5}{13}\).
\[\left\{\begin{array}\,-6x-\dfrac{6}{10}y&=0\\0x+y&=-\dfrac{5}{13}\end{array}\right.\]
Como el sistema es de dos ecuaciones, al triangularlo obtenemos directamente la solución de una de las dos incógnitas; en este caso, el valor de \(y\). Ahora solo habría que introducir este valor en la primera ecuación y despejar el valor de \(x\):
\[5x+\dfrac{1}{2}\dfrac{-5}{13}=0\]
\[5x-\dfrac{5}{26}=0\]
\[x=\dfrac{1}{26}\]
Antes de seguir poniendo ejemplos del método de Gauss, te mencionaremos algunas situaciones que pueden ocurrir cuando tienes un sistema de ecuaciones.
Sistemas compatibles e incompatibles
Cuando resolvemos un sistema de ecuaciones podemos clasificar el sistema según el número de soluciones que se obtienen. Hay tres posibilidades:
El sistema compatible determinado: tiene una solución única.
El sistema compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.
El sistema es incompatible: no tiene ninguna solución.
Vamos a explicar las tres situaciones, con ejemplos de cada una, para que te familiarices con el tema.
Sistema compatible determinado
Un sistema de ecuaciones compatible determinado es aquel que tiene una solución que satisface todas las ecuaciones a la vez.
Sigamos un ejemplo de un sistema de este tipo.
Resuelve el siguiente sistema:
\[\left\{\begin{align}\,2x+3y-4z&=-3\\x-2y-z&=3\\-x+y+2z&=-1\end{align}\right.\]
Solución:
Para resolver por el método de Gauss, triangulamos operando con las ecuaciones. En este caso, podemos hacer \(E_3\rightarrow E_3+E_2\):
\[\left\{\begin{align}\,2x+3y-4z&=-3\\x-2y-z&=3\\-y+z&=2\end{align}\right.\]
Ahora, para eliminar la \(x\) en la segunda ecuación, hacemos \(E_2\rightarrow E_1-2E_2\):
\[\left\{\begin{align}\,2x+3y-4z&=-3\\7y-2z&=-9\\-y+z&=2\end{align}\right.\]
Para terminar de triangula el sistema tenemos que eliminar la \(y\) en la última ecuación así: \(E_3\rightarrow E_2+7E_3\):
\[\left\{\begin{align}\,2x+3y-4z&=-3\\7y-2z&=-9\\5z&=5\end{align}\right.\]
Por último, realizamos \(E_3\rightarrow \dfrac{1}{5}E_3\):
\[\left\{\begin{align}\,2x+3y-4z&=-3\\7y-2z&=-9\\z&=1\end{align}\right.\]
Así, hemos obtenido el valor de \(z\), el cual podemos sustituir en la segunda ecuación para hallar el valor de \(y\):
\[7y-2·1=-9\rightarrow y=-7\]
Ya tenemos el valor de \(y\); por tanto, podemos sustituir en la primera ecuación para hallar el valor de \(x\):
\[2x+3·(-1)-4·1=-3\rightarrow x=2\]
Hemos obtenido un valor para cada incógnita: ¡el sistema tiene una solución! Se trata de un sistema determinado compatible y su solución es:
\[x=2\]
\[y=-1\]
\[z=1\]
Sistema compatible indeterminado y el método de Gauss
El otro tipo de sistema posible que es representado por una matriz es un sistema compatible indeterminado. Estos sistemas pueden resolverse pero tienen infinitas soluciones.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
\[\left\{\begin{array}\,2x-2y+4z=-8\\3x-5y+8z=-14\\2x+6y-4z=0\end{array}\right.\]
Solución:
Triangulamos el sistema; para ello, podemos hacer \(E_2\rightarrow 3E_2-2E_1\) y, también, \(E_3\rightarrow E_1-E_3\):
\[\left\{\begin{array}\,2x-2y+4z=-8\\0x+4y-4z=4\\0x-8y+8z=-8\end{array}\right.\]
Ahora, hacemos \(E_3\rightarrow 2E_2+E_3\):
\[\left\{\begin{array}\,2x-2y+4z=-8\\0x+4y-4z=4\\0x-0y+0z=0\end{array}\right.\]
Por tanto, la última ecuación queda como:
\[0=0\]
Esto implica que las tres ecuaciones son linealmente dependientes y, por tanto, hay una combinación lineal entre ellas. El sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Debido a esto, podemos decir que \(z=t\) es un parámetro variable. Así podemos calcular las soluciones del resto de incógnitas, en función de este parámetro:
A partir, de la segunda ecuación anterior:
\[4y-4z=4 \rightarrow y-t=1\rightarrow y=1+t\]
Introducimos esto en la primera ecuación:
\[2x-2(1+t)+4t=-8\rightarrow x=-3-t\]
Por tanto, las soluciones de este sistema son:
\[x=-3-t\]
\[y=1+t\]
\[z=t\]
Siendo \(t\) cualquier valor real.
Sistema incompatible
Los sistemas incompatibles son aquellos que no poseen ninguna solución. Esto ocurre cuando, al resolver el sistema, llegamos a una incongruencia.
Veamos un ejemplo, para entender mejor este proceso:
Resuelve el sistema de tres ecuaciones:
\[\left\{\begin{align}\,2x+2y-2z&=10\\3x-2y-2z&=5\\2x-3y-z&=3\end{align}\right.\]
Solución:
Para triangular el sistema tenemos que realizar operaciones entre las ecuaciones. En este caso, vamos a eliminar las incógnitas \(x\) y \(y\) de la tercera ecuación. Para ello, a la segunda ecuación le restamos tres veces la primera ecuación (\(E_2\rightarrow E_2+3E_1\)) y a la tercera ecuación le restamos dos veces la primera ecuación (\(E_3\rightarrow E_3-2E_1\)):
\[\left\{\begin{align}\,2x+2y-2z&=10\\-5y+z&=-10\\-5y+z&=-7\end{align}\right.\]
Ahora, si restamos la segunda ecuación a la tercera ecuación llegamos a:
\[0=3\]
Esto es una incongruencia y, por tanto, podemos decir que el sistema es indeterminado y no existe ninguna solución que satisfaga las tres ecuaciones.
Método de Gauss ejemplos
Por último, procedamos a hacer un par de ejercicio para que te familiarices con el método de Gauss.
Identifica si el siguiente sistema puede ser resuelto y aplica el método de Gauss, de ser necesario, para encontrar la solución:
\[\left\{\begin{array}\,3x+2y-3z=0\\-6x+3y-z=7\\9x+6y-9z=0\end{array}\right.\]
Solución:
Aquí puedes observar que la tercera fila es igual a la primera fila multiplicada por \(3\):
\[3(3x+2x-3z)=9x+6x-9z\]
De tal modo que de las tres ecuaciones, dos son dependientes entre sí. De este modo el sistema es compatible, pero es indeterminado y posee infinitas soluciones.
Eliminamos la última ecuación
\[\left\{\begin{array}\,3x+2y-3z=0\\-6x+3y-z=7\end{array}\right.\]
y resolvemos el sistema indeterminado, haciendo \(E_2\rightarrow 2E_1+E_2\):
\[\left\{\begin{array}\,3x+2y-3z=0\\0x+7y-7z=7\end{array}\right.\]
A partir de la segunda ecuación, obtenemos:
\[y=1+z\]
Para llegar a las soluciones del sistema indeterminado, asignamos un parámetro como \(z=t\), por lo que la ecuación anterior queda como:
\[y=1+t\]
Introducimos estos valores en la primera ecuación y despejamos el valor de la \(x\):
\[x=\dfrac{t-2}{3}\]
Identifica si el siguiente sistema puede ser resuelto y aplica el método de Gauss, de ser necesario, para encontrar la solución:
\[\left\{\begin{array}\,3x+2y-3z=1\\-12x+2y-7z=2\\5x+3y-z=0\end{array}\right.\]
Solución:
Procedemos a transformarlo en un sistema triangular superior:
\[\left\{\begin{array}\,3x+2y-3z=1\\-12x+2y-7z=2\\5x+3y-z=0\end{array}\right.\]
En primer lugar, calculamos \(E_2\rightarrow 4E_1+E_2\) y, también, \(E_3\rightarrow 5E_1-3E_3\):
\[\left\{\begin{array}\,3x+2y-3z=1\\0x+10y-19z=6\\0x+y-12z=5\end{array}\right.\]
Ahora, hacemos \(E_3\rightarrow E_2-10E_3\):
\[\left\{\begin{array}\,3x+2y-3z=1\\0x+10y-19z=6\\-101z=44\end{array}\right.\]
De la última ecuación obtenemos:
\[z=-\dfrac{44}{101}\]
Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, llegamos a:
\[y=-\dfrac{23}{101}\]
Por último, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, resolvemos:
\[x=\dfrac{5}{101}\]
Matrices y el método de Gauss
El método de Gauss se aplica a métodos más avanzados en 2º de bachillerato, esto se realiza por medio de Matrices. Lo que se hace es tomar las ecuaciones originales y formar dos matrices: la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.
La matriz de coeficientes tiene solo los coeficientes de las ecuaciones, mientras que la matriz ampliada contiene la matriz de coeficientes más los resultados:
\[\left\{\begin{array}\,2x+3y-7z=9\\x-13y-12z=2\\-\frac{1}{2}x+y-z=1\end{array}\right.\]
Tiene la siguiente matriz ampliada:
\[\left(\begin{array}{rrr|r}2 & 3 & -7&9\\1 & -13 & -12&2\\-\frac{1}{2} & 1 & -1&1\end{array}\right)\]
Con esta matriz se pueden hacer operaciones para saber si el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. Además, se puede triangular la matriz —lo que es equivalente a triangular el sistema de ecuaciones, y por tanto, aplicar el método de Gauss— y se obtienen los mismos resultados.
La solución trivial
Existe una solución que se puede dar en un sistema, y esta es la solución trivial. Supongamos que se tiene el sistema:
\[\left\{\begin{array}\,2x+4y=0\\\frac{2}{9}x+8y=0\end{array}\right.\]
Una solución de este sistema es que que ambas variables \(x\) y \(y\) sean cero, que es:
\[2(0)+4(0)=0\]
\[\frac{2}{9}(0)+8(0)=0\]
A esto se le llama la solución trivial y en un sistema de ecuaciones; o, en matrices, se supone usualmente que esta solución no es la buscada.
Método de Gauss - Puntos clave
- Dos sistemas son equivalentes si estos tienen las mismas soluciones.
- El método de Gauss consiste en usar operaciones elementales en las ecuaciones para transformar el sistema de ecuaciones lineales \(n\times n\) en un sistema reducido de forma triangular.
- Según el número de soluciones que tiene el sistema, se puede clasificar en:
Sistema compatible determinado: tiene una solución única.
Sistema compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.
Sistema es incompatible: no tiene ninguna solución.
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