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Método de eliminación gaussiana
El método de eliminación gaussiana consiste en:
Llevar un sistema de ecuaciones a la forma matricial.
Convertir una matriz cuadrada en una matriz triangular superior, que es equivalente a la matriz original.
Resolver el sistema, sustituyendo las variables en cada ecuación resultante.
En otras palabras, el sistema transforma un sistema como:
\[\left\{\begin{array}\,ax+by+cz=j\\dx+ey+fz=k\\gx+hy+iz=l\end{array}\right.\]
en una matriz como:
\[\left(\begin{array}{rrr|r}a & b & c &j\\ d & e & f&k \\ g & h & i&l \end{array}\right) \]
Y, usando operaciones de suma, resta y producto, convertir la matriz en una triangular del tipo:
\[\left(\begin{array}{rrr|r}a’ & b’ & c’ &j'\\ 0 & e’ & f' &k'\\0 & 0 & i’&l' \end{array}\right)\]
Para obtener:
\[\left\{\begin{array}\,a’x+b’y+c’z=j’\\0+y+f’z=k’\\0+0+i’z=l’\end{array}\right.\]
Con este sistema, que es equivalente al original, podemos sustituir el valor de \(z\) en la ecuación \(0+y+f’z=k’\) para obtener \(y\). Después de esto, podemos usar los valores de \(z\) y \(y\) para obtener el valor de \(x\) en la primera ecuación.
El método se denomina eliminación gaussiana debido a que debes eliminar coeficientes en las matrices para obtener un sistema reducido de ecuaciones. El sistema reducido te permite obtener los valores de las variables más fácilmente.
Calcular la matriz triangular superior
El objetivo de la eliminación gaussiana es llegar a la matriz triangular superior que es equivalente a la matriz original. Hallar las soluciones, a partir de una matriz triangular, es muy sencillo. Esto se debe a que solo tienes que coger el valor que queda despejado e ir sustituyendo, para despejar las demás incógnitas.
Para llegar a la matriz triangular superior con la que obtenemos la solución del sistema de ecuaciones, el proceso que debemos seguir es:
Intercambiar ecuaciones.
Multiplicar una o varias ecuaciones por números distintos de 0.
Sumar o restar ecuaciones entre sí.
Ejercicios de eliminación gaussiana
Hagamos unos ejercicios rápido que permitan aplicar este método:
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, usando eliminación gaussiana:
\[\left\{\begin{array}\,-3x+6y=2\\2x-8y=1\end{array}\right.\]
Solución:
Primero, debemos transformarlo en una matriz que contenga la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:
\[\left(\begin{array}{rr|r}-3 & 6 &2\\ 2 & -8 &1\end{array}\right) \]
Ahora, procedemos a transformarla en una matriz triangular superior, usando operaciones elementales:
- Paso 1: multiplicamos la primera fila de modo que \(F_1\rightarrow \frac{-1}{3}F_1\):
\[\left(\begin{array}{rr|r}1 & -2 &\frac{-2}{3}\\ 2 & -8 &1\end{array}\right) \]
- Paso 2: ahora hacemos \(F_2\rightarrow 2F_1-F_2\):
\[\left(\begin{array}{rr|r}1 & -2 &\frac{-2}{3}\\ 0 & -4 &\frac{-7}{3}\end{array}\right) \]
- Paso 3: operamos en la segunda fila \(F_2\rightarrow \frac{-1}{4}F_2\):
\[\left(\begin{array}{rr|r}1 & -2 &\frac{-2}{3}\\ 0 & 1 &\frac{7}{12}\end{array}\right) \]
Esto nos da como resultado el sistema:
\[\left\{\begin{array}\,x-2y=\frac{-2}{3}\\y=\frac{7}{12}\end{array}\right.\]
Con lo cual, el valor de la segunda variable es \(y=\frac{7}{12}\).
Para calcular el valor de \(x\), sustituimos en la primera ecuación. Una vez hecho esto, obtenemos:
\[x-2(\frac{7}{12})=\frac{-2}{3} \]
\[x=\frac{1}{2}\]
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, usando eliminación gaussiana:
\[\left\{\begin{array}\,-3x+2y+z=2\\6x-8y-2z=1\\x-y-2z=3\end{array}\right.\]
Solución:
Transformando este sistema en una matriz, tenemos:
\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 6 & -8 & -2 &1\\ 1& -1 & -2 &3\end{array}\right) \]
Ahora, lo llevamos a una forma triangular superior, para lo cual primero hacemos \(F_2\rightarrow 2F_1+F_2\):
\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 0 & -4 & 0 &5\\ 1& -1 & -2 &3\end{array}\right) \]
Para conseguir un 0 en la última fila, hacemos \(F_3\rightarrow \frac{1}{3}F_1+F_3\):
\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 0 & -4 & 0 &5\\ 0& \frac{-1}{3} &\frac{-5}{3} &\frac{11}{3}\end{array}\right) \]
Podemos multiplicar la última fila para eliminar los denominadores:
\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 0 & -4 & 0 &5\\ 0& 1 &5 &-11\end{array}\right) \]
Ahora, hacemos \(F_3\rightarrow F_2+4F_3\):
\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 0 & -4 & 0 &5\\ 0& 0 &20 &-39\end{array}\right) \]
Por tanto, hemos obtenido el valor de una variable:
\[z=\dfrac{-39}{20}\]
En este caso, en la segunda ecuación hemos obtenido directamente el valor de \(y\):
\[y=\dfrac{-5}{4}\]
Finalmente, podemos usar estos dos valores para calcular el valor de \(x\) en la primera ecuación:
\[-3x+2y+z=2\]
\[-3x+2\dfrac{-5}{4}+\dfrac{-39}{20}=2\rightarrow x=\dfrac{-43}{20}\]
El método de Gauss es bastante útil, pero hay una variante conocida como el método de Gauss Jordan. Este método lleva la matriz donde las soluciones se pueden obtener directamente de la matriz de coeficientes y soluciones.
Método de Gauss-Jordan
El método de Gauss-Jordan es una variante del método de Gauss. En este método, la matriz no se lleva a una forma triangular superior, sino a una matriz diagonal. En el método de Gauss-Jordan la matriz contiene solo ceros y unos. En las entradas donde existe un uno este se ubica en la diagonal principal.
Por ejemplo, la matriz:
\[\left(\begin{array}{rr|r}\,a & b&e\\c & d&f\end{array}\right)\]
se debe llevar a la forma:
\[\left(\begin{array}{rr|r}\,1 & 0&e'\\0 & 1&f'\end{array}\right)\]
donde los coeficientes \(e’, f’\) son el resultado de hacer operaciones elementales sobre los coeficientes originales \(e\) y \(f\).
Otro ejemplo sería la matriz \(3\times 3\):
\[\left(\begin{array}{rrr|r}\,a & b&c&j\\d & e &f &k\\ g & h & i&l\end{array}\right)\]
Que se debe llevar a la forma:
\[\left(\begin{array}{rrr|r}\,1 & 0 & 0&j'\\0 & 1 & 0 &k'\\ 0 & 0 & 1&l'\end{array}\right)\]
Esto se hace, nuevamente, usando operaciones elementales con matrices. Para que recuerdes al respecto, estas son:
Sumas y restas entre filas.
Multiplicación de filas por constantes.
División de filas por constantes.
Cambio de filas.
Una combinación de las anteriores.
Para hacer esto más sencillo, veamos algunos ejemplos.
Método de Gauss-Jordan: ejemplos
Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones, usando el método de Gauss-Jordan:
\[\left\{\begin{array}\,3x-40y=6\\-2x+5y=10\end{array}\right.\]
Solución:
Este sistema se convierte en la matriz:
\[\left(\begin{array}{rr|r}\,3 & -40&6\\-2 & 5&10\end{array}\right)\]
- Paso 1: multiplicamos la primera fila por \(\frac{1}{3}\).
\[\left(\begin{array}{rr|r}\,1 & \frac{-40}{3}&2\\-2 & 5&10\end{array}\right)\]
- Paso 2: multiplicamos la primera fila por \(2\) y la sumamos a la segunda:
\[\left(\begin{array}{rr|r}\,1 & \frac{-40}{3}&2\\0 & -\frac{65}{3}&14\end{array}\right)\]
- Paso 3: ahora, multiplicamos la segunda fila por \(-\frac{3}{65}\):
\[\left(\begin{array}{rr|r}\,1 & \frac{-40}{3}&2\\0 & 1&-\frac{42}{65}\end{array}\right)\]
Este último paso dejaría la matriz en una forma que nos permite resolverla de inmediato, lo que sería el método de Gauss. Pero, ahora procedemos a reducir los coeficientes en la parte superior de la diagonal principal.
- Paso 4: multiplicamos la segunda fila por \(\frac{40}{3}\) y la sumamos a la primera fila.
\[\left(\begin{array}{rr|r}\,1 & 0&-\frac{86}{13}\\0 & 1&-\frac{42}{65}\end{array}\right)\]
Esta matriz ya tiene los valores de \(x\) e \(y\) despejados; entonces, la solución del sistema sería:
\[x=-\frac{86}{13}\]
\[y=-\frac{42}{65}\]
Tomemos el segundo ejemplo del método de Gauss y reduzcamos hasta obtener las soluciones de las ecuaciones usando el de Gauss-Jordan.
Si recuerdas, el sistema:
\[\left\{\begin{array}\,-3x+2y+z=2\\6x-8y-2z=1\\x-y-2z=3\end{array}\right.\]
nos dio la matriz:
\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 0 & -4 & 0 &5\\ 0& 0 &20 &-39\end{array}\right) \]
En este caso, podemos hacer \(F_3\rightarrow \frac{F_3}{20}\), lo cual nos da:
\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 0 & -4 & 0 &5\\ 0& 0 &1 &\frac{-39}{20}\end{array}\right) \]
Podemos, también, hacer \(F_2\rightarrow -\frac{F_2}{4}\):
\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 0 & 1 & 0 &\frac{-5}{4}\\ 0& 0 &1 &\frac{-39}{20}\end{array}\right) \]
Con esto obtenemos los valores de \(z\) y \(y\). Ahora procedemos a operar sobre \(F_1\):
- Multiplicamos \(F_3\) por menos uno y se lo sumamos a la primera fila.
- Multiplicamos \(F_2\) por menos dos y se los sumamos a la primera fila también.
- Por ultimo, dividimos la primera fila entre tres.
Estos tres pasos nos dan: \[\left(\begin{array}{rrr|r} 1& 0 & 0 &\frac{-43}{20}\\ 0 & 1 & 0 &\frac{-5}{4}\\ 0& 0 &1 &\frac{-39}{20}\end{array}\right) \]
Eliminación gaussiana - Puntos clave
- El método de eliminación Gaussiana consiste en:
- Llevar un sistema de ecuaciones a una forma matricial.
- Convertir una matriz cuadrada a triangular superior, que es equivalente a la matriz original.
- Resolver el sistema, sustituyendo las variables en cada ecuación resultante.
- El método de Gauss-Jordan es una variante del método de Gauss; en este método la matriz no se lleva a una forma triangular superior, sino a una matriz diagonal.
- En el método de Gauss-Jordan la matriz contiene solo ceros y unos. Las entradas que contienen un uno es en la diagonal principal.
- Las operaciones usadas en el método de Gauss y Gauss-Jordan, son:
- Sumas y restas entre filas.
- Multiplicación de filas por constantes.
- División de filas por constantes.
- Cambio de filas.
- Una combinación de las anteriores.
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Preguntas frecuentes sobre Eliminación gaussiana
¿Qué es el método de eliminación gaussiana?
El método de eliminación Gaussiana consiste en:
- Llevar un sistema de ecuaciones a forma matricial.
- Convertir una matriz cuadrada a triangular superior, que es equivalente a la matriz original.
- Resolver el sistema, sustituyendo las variables en cada ecuación resultante.
¿Quién creó el método de eliminación gaussiana?
Se nombró el método de esta manera por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss, quien creó este sistema de sustitución.
Sin embargo, había otros métodos conocidos en siglos anteriores para resolver sistemas de ecuaciones.
¿Qué diferencia hay entre la eliminación de Gauss-Jordan y la eliminación gaussiana?
El método de Gauss Jordan es una variante del método de Gauss.
- En el primero, la matriz no se lleva a una forma triangular superior, sino a una matriz diagonal.
- En el método de Gauss-Jordan la matriz contiene solo ceros y unos. Las entradas donde existe un uno es en la diagonal principal.
¿Cómo se hace la eliminación de Gauss-Jordan?
Las operaciones usadas en el método de Gauss y Gauss-Jordan, son:
- Sumas y restas entre filas.
- Multiplicación de filas por constantes.
- División de filas por constantes.
- Cambio de filas.
- Una combinación de las anteriores.
- Estas son usadas para transformar la matriz en una matriz diagonal.
¿Cómo calcular una matriz triangular?
Se usan operaciones elementales de matrices como:
- Sumas y restas entre filas.
- Multiplicación de filas por constantes.
- División de filas por constantes.
- Cambio de filas.
- Una combinación de las anteriores.
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