Iniciar sesión Empieza a estudiar
La app de estudio todo en uno
4.8 • +11 mil reviews
Más de 3 millones de descargas
Free
|
|

All-in-one learning app

  • Flashcards
  • NotesNotes
  • ExplanationsExplanations
  • Study Planner
  • Textbook solutions
Start studying

Eliminación gaussiana

Eliminación gaussiana

El método de Gauss también se conoce como eliminación gaussiana. Este método es muy importante, ya que te permite resolver matrices de una manera sistemática y siguiendo un proceso paso por paso. Este método se utiliza en muchas áreas, que se apoyan en su increíble poder para resolver ecuaciones: ciencia, tecnología, economía e, incluso, ciencias sociales. En este artículo entraremos de lleno en ayudarte a resolver cualquier sistema que te encuentres.

Método de eliminación gaussiana

El método de eliminación gaussiana consiste en:

  1. Llevar un sistema de ecuaciones a la forma matricial.

  2. Convertir una matriz cuadrada en una matriz triangular superior, que es equivalente a la matriz original.

  3. Resolver el sistema, sustituyendo las variables en cada ecuación resultante.

En otras palabras, el sistema transforma un sistema como:

\[\left\{\begin{array}\,ax+by+cz=j\\dx+ey+fz=k\\gx+hy+iz=l\end{array}\right.\]

en una matriz como:

\[\left(\begin{array}{rrr|r}a & b & c &j\\ d & e & f&k \\ g & h & i&l \end{array}\right) \]

Y, usando operaciones de suma, resta y producto, convertir la matriz en una triangular del tipo:

\[\left(\begin{array}{rrr|r}a’ & b’ & c’ &j'\\ 0 & e’ & f' &k'\\0 & 0 & i’&l' \end{array}\right)\]

Para obtener:

\[\left\{\begin{array}\,a’x+b’y+c’z=j’\\0+y+f’z=k’\\0+0+i’z=l’\end{array}\right.\]

Con este sistema, que es equivalente al original, podemos sustituir el valor de \(z\) en la ecuación \(0+y+f’z=k’\) para obtener \(y\). Después de esto, podemos usar los valores de \(z\) y \(y\) para obtener el valor de \(x\) en la primera ecuación.

El método se denomina eliminación gaussiana debido a que debes eliminar coeficientes en las matrices para obtener un sistema reducido de ecuaciones. El sistema reducido te permite obtener los valores de las variables más fácilmente.

Calcular la matriz triangular superior

El objetivo de la eliminación gaussiana es llegar a la matriz triangular superior que es equivalente a la matriz original. Hallar las soluciones, a partir de una matriz triangular, es muy sencillo. Esto se debe a que solo tienes que coger el valor que queda despejado e ir sustituyendo, para despejar las demás incógnitas.

Para llegar a la matriz triangular superior con la que obtenemos la solución del sistema de ecuaciones, el proceso que debemos seguir es:

  1. Intercambiar ecuaciones.

  2. Multiplicar una o varias ecuaciones por números distintos de 0.

  3. Sumar o restar ecuaciones entre sí.

Ejercicios de eliminación gaussiana

Hagamos unos ejercicios rápido que permitan aplicar este método:

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, usando eliminación gaussiana:

\[\left\{\begin{array}\,-3x+6y=2\\2x-8y=1\end{array}\right.\]

Solución:

Primero, debemos transformarlo en una matriz que contenga la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:

\[\left(\begin{array}{rr|r}-3 & 6 &2\\ 2 & -8 &1\end{array}\right) \]

Ahora, procedemos a transformarla en una matriz triangular superior, usando operaciones elementales:

  • Paso 1: multiplicamos la primera fila de modo que \(F_1\rightarrow \frac{-1}{3}F_1\):

\[\left(\begin{array}{rr|r}1 & -2 &\frac{-2}{3}\\ 2 & -8 &1\end{array}\right) \]

  • Paso 2: ahora hacemos \(F_2\rightarrow 2F_1-F_2\):

\[\left(\begin{array}{rr|r}1 & -2 &\frac{-2}{3}\\ 0 & -4 &\frac{-7}{3}\end{array}\right) \]

  • Paso 3: operamos en la segunda fila \(F_2\rightarrow \frac{-1}{4}F_2\):

\[\left(\begin{array}{rr|r}1 & -2 &\frac{-2}{3}\\ 0 & 1 &\frac{7}{12}\end{array}\right) \]

Esto nos da como resultado el sistema:

\[\left\{\begin{array}\,x-2y=\frac{-2}{3}\\y=\frac{7}{12}\end{array}\right.\]

Con lo cual, el valor de la segunda variable es \(y=\frac{7}{12}\).

Para calcular el valor de \(x\), sustituimos en la primera ecuación. Una vez hecho esto, obtenemos:

\[x-2(\frac{7}{12})=\frac{-2}{3} \]

\[x=\frac{1}{2}\]

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, usando eliminación gaussiana:

\[\left\{\begin{array}\,-3x+2y+z=2\\6x-8y-2z=1\\x-y-2z=3\end{array}\right.\]

Solución:

Transformando este sistema en una matriz, tenemos:

\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 6 & -8 & -2 &1\\ 1& -1 & -2 &3\end{array}\right) \]

Ahora, lo llevamos a una forma triangular superior, para lo cual primero hacemos \(F_2\rightarrow 2F_1+F_2\):

\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 0 & -4 & 0 &5\\ 1& -1 & -2 &3\end{array}\right) \]

Para conseguir un 0 en la última fila, hacemos \(F_3\rightarrow \frac{1}{3}F_1+F_3\):

\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 0 & -4 & 0 &5\\ 0& \frac{-1}{3} &\frac{-5}{3} &\frac{11}{3}\end{array}\right) \]

Podemos multiplicar la última fila para eliminar los denominadores:

\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 0 & -4 & 0 &5\\ 0& 1 &5 &-11\end{array}\right) \]

Ahora, hacemos \(F_3\rightarrow F_2+4F_3\):

\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 0 & -4 & 0 &5\\ 0& 0 &20 &-39\end{array}\right) \]

Por tanto, hemos obtenido el valor de una variable:

\[z=\dfrac{-39}{20}\]

En este caso, en la segunda ecuación hemos obtenido directamente el valor de \(y\):

\[y=\dfrac{-5}{4}\]

Finalmente, podemos usar estos dos valores para calcular el valor de \(x\) en la primera ecuación:

\[-3x+2y+z=2\]

\[-3x+2\dfrac{-5}{4}+\dfrac{-39}{20}=2\rightarrow x=\dfrac{-43}{20}\]

El método de Gauss es bastante útil, pero hay una variante conocida como el método de Gauss Jordan. Este método lleva la matriz donde las soluciones se pueden obtener directamente de la matriz de coeficientes y soluciones.

Método de Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan es una variante del método de Gauss. En este método, la matriz no se lleva a una forma triangular superior, sino a una matriz diagonal. En el método de Gauss-Jordan la matriz contiene solo ceros y unos. En las entradas donde existe un uno este se ubica en la diagonal principal.

Por ejemplo, la matriz:

\[\left(\begin{array}{rr|r}\,a & b&e\\c & d&f\end{array}\right)\]

se debe llevar a la forma:

\[\left(\begin{array}{rr|r}\,1 & 0&e'\\0 & 1&f'\end{array}\right)\]

donde los coeficientes \(e’, f’\) son el resultado de hacer operaciones elementales sobre los coeficientes originales \(e\) y \(f\).

Otro ejemplo sería la matriz \(3\times 3\):

\[\left(\begin{array}{rrr|r}\,a & b&c&j\\d & e &f &k\\ g & h & i&l\end{array}\right)\]

Que se debe llevar a la forma:

\[\left(\begin{array}{rrr|r}\,1 & 0 & 0&j'\\0 & 1 & 0 &k'\\ 0 & 0 & 1&l'\end{array}\right)\]

Esto se hace, nuevamente, usando operaciones elementales con matrices. Para que recuerdes al respecto, estas son:

  1. Sumas y restas entre filas.

  2. Multiplicación de filas por constantes.

  3. División de filas por constantes.

  4. Cambio de filas.

  5. Una combinación de las anteriores.

Para hacer esto más sencillo, veamos algunos ejemplos.

Método de Gauss-Jordan: ejemplos

Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones, usando el método de Gauss-Jordan:

\[\left\{\begin{array}\,3x-40y=6\\-2x+5y=10\end{array}\right.\]

Solución:

Este sistema se convierte en la matriz:

\[\left(\begin{array}{rr|r}\,3 & -40&6\\-2 & 5&10\end{array}\right)\]

  • Paso 1: multiplicamos la primera fila por \(\frac{1}{3}\).

\[\left(\begin{array}{rr|r}\,1 & \frac{-40}{3}&2\\-2 & 5&10\end{array}\right)\]

  • Paso 2: multiplicamos la primera fila por \(2\) y la sumamos a la segunda:

\[\left(\begin{array}{rr|r}\,1 & \frac{-40}{3}&2\\0 & -\frac{65}{3}&14\end{array}\right)\]

  • Paso 3: ahora, multiplicamos la segunda fila por \(-\frac{3}{65}\):

\[\left(\begin{array}{rr|r}\,1 & \frac{-40}{3}&2\\0 & 1&-\frac{42}{65}\end{array}\right)\]

Este último paso dejaría la matriz en una forma que nos permite resolverla de inmediato, lo que sería el método de Gauss. Pero, ahora procedemos a reducir los coeficientes en la parte superior de la diagonal principal.

  • Paso 4: multiplicamos la segunda fila por \(\frac{40}{3}\) y la sumamos a la primera fila.

\[\left(\begin{array}{rr|r}\,1 & 0&-\frac{86}{13}\\0 & 1&-\frac{42}{65}\end{array}\right)\]

Esta matriz ya tiene los valores de \(x\) e \(y\) despejados; entonces, la solución del sistema sería:

\[x=-\frac{86}{13}\]

\[y=-\frac{42}{65}\]

Tomemos el segundo ejemplo del método de Gauss y reduzcamos hasta obtener las soluciones de las ecuaciones usando el de Gauss-Jordan.

Si recuerdas, el sistema:

\[\left\{\begin{array}\,-3x+2y+z=2\\6x-8y-2z=1\\x-y-2z=3\end{array}\right.\]

nos dio la matriz:

\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 0 & -4 & 0 &5\\ 0& 0 &20 &-39\end{array}\right) \]

En este caso, podemos hacer \(F_3\rightarrow \frac{F_3}{20}\), lo cual nos da:

\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 0 & -4 & 0 &5\\ 0& 0 &1 &\frac{-39}{20}\end{array}\right) \]

Podemos, también, hacer \(F_2\rightarrow -\frac{F_2}{4}\):

\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 0 & 1 & 0 &\frac{-5}{4}\\ 0& 0 &1 &\frac{-39}{20}\end{array}\right) \]

Con esto obtenemos los valores de \(z\) y \(y\). Ahora procedemos a operar sobre \(F_1\):

  1. Multiplicamos \(F_3\) por menos uno y se lo sumamos a la primera fila.
  2. Multiplicamos \(F_2\) por menos dos y se los sumamos a la primera fila también.
  3. Por ultimo, dividimos la primera fila entre tres.

Estos tres pasos nos dan: \[\left(\begin{array}{rrr|r} 1& 0 & 0 &\frac{-43}{20}\\ 0 & 1 & 0 &\frac{-5}{4}\\ 0& 0 &1 &\frac{-39}{20}\end{array}\right) \]

Eliminación gaussiana - Puntos clave

  • El método de eliminación Gaussiana consiste en:
    1. Llevar un sistema de ecuaciones a una forma matricial.
    2. Convertir una matriz cuadrada a triangular superior, que es equivalente a la matriz original.
    3. Resolver el sistema, sustituyendo las variables en cada ecuación resultante.
  • El método de Gauss-Jordan es una variante del método de Gauss; en este método la matriz no se lleva a una forma triangular superior, sino a una matriz diagonal.
  • En el método de Gauss-Jordan la matriz contiene solo ceros y unos. Las entradas que contienen un uno es en la diagonal principal.
  • Las operaciones usadas en el método de Gauss y Gauss-Jordan, son:
    1. Sumas y restas entre filas.
    2. Multiplicación de filas por constantes.
    3. División de filas por constantes.
    4. Cambio de filas.
    5. Una combinación de las anteriores.

Preguntas frecuentes sobre Eliminación gaussiana

El método de eliminación Gaussiana consiste en:

  1. Llevar un sistema de ecuaciones a forma matricial.
  2. Convertir una matriz cuadrada a triangular superior, que es equivalente a la matriz original.
  3. Resolver el sistema, sustituyendo las variables en cada ecuación resultante.

Se nombró el método de esta manera por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss, quien creó este sistema de sustitución. 


Sin embargo, había otros métodos conocidos en siglos anteriores para resolver sistemas de ecuaciones.

El método de Gauss Jordan es una variante del método de Gauss. 

  • En el primero, la matriz no se lleva a una forma triangular superior, sino a una matriz diagonal. 
  • En el método de Gauss-Jordan la matriz contiene solo ceros y unos. Las entradas donde existe un uno es en la diagonal principal.

Las operaciones usadas en el método de Gauss y Gauss-Jordan, son:

  1. Sumas y restas entre filas.
  2. Multiplicación de filas por constantes.
  3. División de filas por constantes.
  4. Cambio de filas.
  5. Una combinación de las anteriores.
  6. Estas son usadas para transformar la matriz en una matriz diagonal.

Se usan operaciones elementales de matrices como:

  1. Sumas y restas entre filas.
  2. Multiplicación de filas por constantes.
  3. División de filas por constantes.
  4. Cambio de filas.
  5. Una combinación de las anteriores.

Cuestionario final de Eliminación gaussiana

Pregunta

El método de Gauss también se conoce como:

Mostrar respuesta

Answer

Eliminación gaussiana.

Show question

Pregunta

¿En qué tipo de matriz convierte el método de Gauss una matriz \(n\times n\)?

Mostrar respuesta

Answer

En una matriz triangular.

Show question

Pregunta

¿Qué operaciones se pueden hacer en la eliminación gaussiana?

Mostrar respuesta

Answer

Suma y resta de filas, multiplicaciones por constantes, movimiento de columnas.

Show question

Pregunta

El método de Gauss-Jordan busca:

Mostrar respuesta

Answer

Obtener una matriz más sencilla que cuando se usa el método de Gauss.

Show question

Pregunta

¿En qué tipo de matriz convierte el método de Gauss-Jordan la matriz de coeficientes?

Mostrar respuesta

Answer

En una matriz diagonal.

Show question

Pregunta

¿El método de Gauss-Jordan implica usar el método de Gauss?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, el método de Gauss permite obtener la matriz triangular superior y Gauss-Jordan toma esta matriz para convertir la de coeficientes en una matriz identidad.

Show question

Pregunta

¿Cuál de las siguientes matrices es triangular superior?

Mostrar respuesta

Answer

\(\begin{pmatrix}a’ & b’ & c’ \\ 0 & e’ & ‘f \\0 & 0 & i’ \end{pmatrix}\).

Show question

Pregunta

¿Cuál de las siguientes matrices ha sido reducida usando el método de Gauss-Jordan?

Mostrar respuesta

Answer

\(\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\).

Show question

Pregunta

¿Cuál de las siguientes matrices ha sido reducida usando el método de Gauss?

Mostrar respuesta

Answer

\(\begin{pmatrix}1 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \\0 & 0 & 5 \end{pmatrix}\).

Show question

Pregunta

 ¿Es el método de Gauss-Jordan una variante del método de Gauss?

Mostrar respuesta

Answer

Sí.

Show question

Pregunta

¿Por el nombre de qué matemático alemán recibe su nombre el método de Gauss?

Mostrar respuesta

Answer

Carl Friderich Gauss.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el nombre de la matriz que debe ser convertida a una matriz identidad en el método de Gauss-Jordan?

Mostrar respuesta

Answer

Matriz de coeficientes.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el nombre de la matriz que contiene los resultados de las ecuaciones?

Mostrar respuesta

Answer

Matriz de términos independientes.

Show question

Pregunta

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando la variante Gauss-Jordan:

\[\left\{\begin{array}\,3x+2y=0\\2y-x=4\end{array}\right.\]

Mostrar respuesta

Answer

\(x=-1, y=-\frac{3}{2}\).

Show question

Pregunta

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando Gauss-Jordan.

\[\left\{\begin{array}\,3x+2y+z=0\\2x-y+2z=4\\x-y+7z=10\end{array}\right.\]

Mostrar respuesta

Answer

\(x=\dfrac{1}{4}, y=-1, z=\dfrac{5}{4}\).

Show question

60%

de los usuarios no aprueban el cuestionario de Eliminación gaussiana... ¿Lo conseguirás tú?

Empezar cuestionario

Scopri i migliori contenuti per le tue materie

No hay necesidad de copiar si tienes todo lo necesario para triunfar. Todo en una sola app.

Plan de estudios

Siempre preparado y a tiempo con planes de estudio individualizados.

Cuestionarios

Pon a prueba tus conocimientos con cuestionarios entretenidos.

Flashcards

Crea y encuentra fichas de repaso en tiempo récord.

Apuntes

Crea apuntes organizados más rápido que nunca.

Sets de estudio

Todos tus materiales de estudio en un solo lugar.

Documentos

Sube todos los documentos que quieras y guárdalos online.

Análisis de estudio

Identifica cuáles son tus puntos fuertes y débiles a la hora de estudiar.

Objetivos semanales

Fíjate objetivos de estudio y gana puntos al alcanzarlos.

Recordatorios

Deja de procrastinar con nuestros recordatorios de estudio.

Premios

Gana puntos, desbloquea insignias y sube de nivel mientras estudias.

Magic Marker

Cree tarjetas didácticas o flashcards de forma automática.

Formato inteligente

Crea apuntes y resúmenes organizados con nuestras plantillas.

Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.