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Tipos de matrices

Tipos de matrices

Seguramente ya sabes lo que es un sistema de ecuaciones lineales (si no, puedes leer más acerca de esto en nuestro artículo sobre ecuaciones lineales). Como sabes, estos sistemas representan funciones lineales en dos o más variables, donde sí existe una solución, lo que significa que estas se cruzan en algún punto. Para resolver estos sistemas puedes usar matrices que es una forma más sencilla de representar estas ecuaciones. Pero, ¿y si ves lo siguiente?

\[A = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}\]

¿Es esta una matriz?

La respuesta es afirmativa, es una matriz. No hay solo un tipo de matrices, hay muchos y en este artículo verás algunos de ellos.

Si aún no sabes lo que es una matriz, consulta nuestro artículo sobre Matrices donde te explicamos lo que necesitas saber para empezar a tratar con ellas.

Matrices filas y columnas

¿Sabes que puedes definir una matriz con una sola dimensión? En este caso puede ser una matriz columna. Aquí, cada elemento de la matriz se corresponde a una coordenada de un vector. Esto lo puedes ver a continuación.

\[A = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}\]

Es el vector columna con coordenadas \(x=3\), \(y=4\), \(z=7\).

Este no es el único tipo de matriz que tiene una sola dimensión. También existen las matrices fila y estas se forman del siguiente modo:

\[A = \begin{pmatrix} 1& 4& 7 \end{pmatrix}\]

Es un vector fila con coordenadas \(x=2\), \(y=1\), \(z=4\).

De hecho cuando tienes una matriz que esta compuesta por filas y columnas como la siguiente:

\[A = \begin{pmatrix} 1&5 \\ 4&6 \end{pmatrix}\]

Lo que se tiene es una matriz compuesta por dos matrices columna o dos matrices fila.

Matrices cuadradas

¿Qué pasa cuando el numero de filas y columnas es el mismo? Esto seguramente lo has visto ya en algunas matrices como la última de los párrafos anteriores.

Cuando el número filas coincide con el número de columnas en una matriz, lo que se tiene es una matriz cuadrada.

La matrices cuadradas son muy importantes, ya que cuando estas representan un sistema de ecuaciones significa que el número de variables es igual al número de ecuaciones. En este caso, las columnas son los coeficientes de las variables y las filas son las ecuaciones.

Sabemos que si las ecuaciones de una matriz son independientes (es decir que una fila o columna no es el resultado de hacer sumas, restas o multiplicaciones entre las otras) y existe el mismo número de ecuaciones y variables, entonces el sistema se puede resolver.

Que se pueda resolver, no significa que el sistema tenga una solución.

Veamos un ejemplo.

Las ecuaciones siguientes forman una matriz, ¿es esta una matriz cuadrada?

\[2x+3y=2\]

\[-3x-y=1\]

\[-x+2y=3\]

A primera vista parece ser que no es una matriz cuadrada, ya que el número de ecuaciones es tres y sólo hay dos variables. Esto significa que hay una ecuación extra. Si observas más detenidamente la tercera ecuación es el resultado de sumar las dos primeras:

\[2x-3x+3y-y=2+1\]

Esto es igual a:

\[-x+2y=3\]

En este caso, si la tercera ecuación es el resultado de operar entre las otras dos entonces se puede descartar y nos quedamos con:

\[2x+3y=2\]

\[-3x-y=1\]

Estas son dos ecuaciones con dos variables y pueden ser representadas como:

\[A = \begin{pmatrix} 2&3&|2 \\ -3&-1&|1 \end{pmatrix}\]

En este caso, puedes entonces tratar de resolver el sistema y encontrar las soluciones para \(x\) e \(y\).

De hecho una matriz debe ser cuadrada para que el sistema de ecuaciones lineales que representa pueda tener una solución.

Matrices iguales

Podrá parecer poco interesante pero, ¿qué pasa cuando dos matrices son iguales? En este caso solo puede pasar si:

  • Las matrices tienen el mismo orden.

  • Cada valor de cada elemento de una matriz en cada entrada es el mismo.

Por ejemplo si decimos que las matrices \(A\) y \(B\) son iguales y sabemos que \(A\) es:

\[A = \begin{pmatrix} 4&5&|0 \\ -2&7&|0 \end{pmatrix}\]

Esto significa que:

\[B = \begin{pmatrix} 4&5&|0 \\ -2&7&|0 \end{pmatrix}\]

Por lo que: \(A=B\)

Esto parece muy simple ¿no es así? Bueno habrá veces que tendrás una matriz formada solo por incógnitas, como digamos \(B\):

\[B = \begin{pmatrix} x+2&y+x&|0 \\ -x+y&y+2&|0 \end{pmatrix}\]

En este caso si igualamos ambos obtenemos que:

\[A=B = \begin{pmatrix} x+2=4&y+x=5&|0 \\ -x+y=-2&y+2=7&|0 \end{pmatrix}\]

Por lo cual, se puede encontrar la solución de las incógnitas de \(B\) usando los valores conocidos de \(A\).

Matriz transpuesta

Una matriz transpuesta es aquella matriz que resulta de cambiar las columnas a filas. De este modo los elementos se mueven. Por ejemplo, de la siguiente matriz:

\[B = \begin{pmatrix} 4&5&4 \\ -2&7&7 \\ 3&5&-3 \end{pmatrix}\]

Su transpuesta es:

\[B^{T} = \begin{pmatrix} 4&-2&3 \\ 5&7&5 \\ 4&7&-3 \end{pmatrix}\]

La matriz transpuesta se usa para diversas fórmulas y operaciones con matrices.

Matriz identidad

Otra matriz muy importante es la matriz identidad. Esta es la matriz que se obtiene cuando se multiplica una matriz por su inversa. La matriz identidad es aquella que posee solo unos en la diagonal principal y 0 en cualquier otro elemento. Puedes ver la matriz identidad de 3x3 a continuación.

\[I = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\]

Tipos de matrices - Puntos clave

  • Hay diversos tipos de matrices, algunas de ellas son simplemente columnas o filas.
  • Las matrices columna o files son matrices unidimensionales.
  • Una matriz cuadrada es aquella que tiene su número de filas es igual al número de columnas.
  • Para que una matriz que representa un sistema de ecuaciones pueda tener solución, esta debe ser cuadrada.
  • Cuando se multiplica una matriz por su inversa se obtiene la matriz identidad.

Preguntas frecuentes sobre Tipos de matrices

Las matrices se pueden clasificar de varias maneras. Una de ellas es por sus dimensiones. Según su dimensión, las matrices pueden ser, cuadradas o rectangulares.

Una matriz rectangular es por ejemplo, un vector fila.

Una matriz cuadrada es por ejemplo, una matriz formada por dos filas y dos columnas.

Una matriz es la transpuesta de otra cuando se cumple que las filas de una son las columnas de la otra, por ejemplo:

2 3

1 0

Es la transpuesta de:

2 1
3 0

Matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de filas que de columnas.

La matriz identidad es aquella que posee solo 1 en la diagonal principal y 0 en cualquier otro elemento.

Una matriz diagonal es aquella en la que todos sus elementos, menos los que están en la diagonal principal, son nulos.

Cuestionario final de Tipos de matrices

Pregunta

¿Qué representa una matriz?

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Answer

Un sistema de ecuaciones lineales.

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Pregunta

¿Es \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix}\) una matriz?

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Answer

Sí, es una columna matriz.

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Pregunta

¿Es \( \begin{pmatrix}\,a&b&c\end{pmatrix}\) una matriz?

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Answer

Sí, es una matriz fila.

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Pregunta

¿Cómo se denomina a una matriz cuya dimensión es \(n\times n\)?

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Answer

Matriz cuadrada.

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Pregunta

¿Qué dimensión tiene la matriz \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\)?

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Answer

\(3\times 2\).

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Pregunta

Una matriz de dimensiones \(2\times 2\), ¿cuántas filas y columnas tiene?

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Answer

Dos filas y dos columnas.

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Pregunta

La matriz \(n\times m\) si \(m \neq n\), ¿es cuadrada?

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Answer

No, para que sea cuadrada debe ser \(m=n\).

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Pregunta

¿Es cuadrada la matriz \(\begin{pmatrix} 8 & 7 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}\)?

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Answer

Sí, lo es, ya que filas y columnas son iguales.

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Pregunta

¿Cuál es la definición formal de la matriz cuadrada?

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Answer

Cuando el número de filas coincide con el número de columnas en una matriz, lo que se tiene es una matriz cuadrada.

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Pregunta

¿Qué pasa si dos matrices tienen las mismas entradas y el mismo orden?

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Answer

Son matrices iguales.

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Pregunta

¿Qué es una matriz transpuesta?

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Answer

Una matriz transpuesta es aquella matriz que resulta de cambiar las columnas por filas y viceversa.

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Pregunta

Obtén la matriz transpuesta de \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\).

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Answer

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\).

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Pregunta

¿Qué es la matriz identidad?

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Answer

La matriz que se obtiene cuando se multiplica una matriz por su inversa.

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Pregunta

¿Cuál es la matriz identidad de \(2\times 2\)?

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Answer

\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).

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Pregunta

¿Cuál es la matriz identidad de \(3\times 3\)?

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Answer

\begin{vmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}.

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