Hay muchos tipos de matrices y, seguramente, ya has leído sobre algunos de ellos en nuestro artículo correspondiente. Un tipo importante es conocido como la matriz inversa, pues tiene propiedades que se enlazan con la solución del sistema que representa esta matriz o con la matriz identidad.
Su definición más formal es:
La matriz inversa de una matriz \(A\) es la matriz que, al multiplicarse por la matriz original da, como resultado la matriz identidad. Encontrarás la matriz inversa con el símbolo \(A^{-1}\).
Matriz inversa de una matriz
La matriz inversa surge de la necesidad de despejar ecuaciones de matrices como: \[AX=C\]
Si pudiéramos encontrar una matriz \(B\), que al multiplicarla por \(A\) diese la identidad, se despejaría la matriz incógnita \(X\): \[AX=C\Rightarrow BAX=BC\Rightarrow IX=BC\Rightarrow X=BC\]
Por tanto, nos gustaría tener una matriz que, al multiplicarla por otra, nos diese la matriz identidad. Para esto, la matriz buscada tiene que ser cuadrada.
Se dice que una matriz \(A\) es regular o invertible si existe otra matriz \(B\), de modo que se cumple: \[AB=BA=I\]
Esta matriz \(B\) sería la matriz inversa de \(A\), y se escribe como \(A^{-1}\).
El que la matriz \(A\) tenga que ser cuadrada se debe a que, como mencionamos anteriormente, el producto de la matriz original por la inversa tiene que dar la matriz identidad; pero, lo contrario también se debe cumplir: el producto de la matriz inversa por la original también debe dar la identidad.
Debido a esto las tres matrices deben tener la misma dimensión \(n\times n\). Esta operación es: \[A_{n\times n}A^{-1}_{n\times n}=A^{-1}_{n\times n}A_{n\times n}=I_{n\times n}\]
Sin embargo, no todas las matrices cuadradas pueden invertirse. Que una matriz sea cuadrada no es suficiente para que esta tenga una matriz inversa.
Halla la matriz inversa de \(A=\begin{pmatrix} 1&2\\2&4\end{pmatrix}\).
Solución
Si la matriz \(A\) tiene inversa \(A^{-1}\), se debe cumplir que: \[AA^{-1}=I\]
Si definimos la inversa como: \[A^{-1}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\]
Entonces: \[AA^{-1}=\begin{pmatrix} 1&2\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\]
Así, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
\[\left\{\begin{array}\, a+2c=1\\b+2d=0\\2a+4c=0\\2b+4d=1 \end{array}\right.\]
Si simplificamos la tercera ecuación y la comparamos con la primera:
\[\left\{\begin{array}\, a+2c=1\\a+2c=0 \end{array}\right.\]
Como podemos ver, esto hace que el sistema sea incompatible y, por tanto, no existe solución. Esta matriz no tiene inversa.
Como puedes haber observado, la matriz del ejemplo anterior tiene determinante nulo. Es esta propiedad la que determina si una matriz tiene inversa o no. Por tanto, definimos que una matriz cuadrada \(A\) de orden \(n\) es invertible si, y solo si, \(Rg(A)=n\).
Propiedades de la matriz inversa
La matriz inversa tiene propiedades interesantes, estas son tres las más importantes:
Si las matrices \(A\) y \(B\) son invertibles, entonces se cumple: \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).
La inversa de la transpuesta es la transpuesta de la inversa: \((A^t)^{-1}=(A^{-1})^t\).
La inversa de la inversa de \(A\) es la propia \(A\): \((A^{-1})^{-1}=A\).
Estas propiedades resultarán muy útiles para despejar matrices y para aplicarlas en ecuaciones matriciales.
Matriz inversa por Gauss-Jordan
Hay un método general para obtener la matriz inversa de matrices, este es el método de Gauss-Jordan. Este método implica realizar operaciones en las filas de una matriz, hasta convertirla en la matriz identidad. El método es:
Construye una matriz en la que en el lado izquierdo tengas la matriz que quieres invertir y en el derecho la matriz identidad con la misma dimensión.
Mediante transformaciones elementales, convierte cada fila de la matriz original en la matriz identidad. Estas mismas operaciones las tienes que realizar en la matriz identidad de la derecha.
La matriz inversa será la matriz resultante de la derecha.
Vamos a ver un ejemplo donde apliquemos este método:
Mediante el método de Gauss-Jordan, halla la matriz inversa de:
\[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}\]
Solución
Creamos la matriz ampliada, a la que añadimos la matriz identidad del mismo orden a la derecha:
\[\left( \begin{array}{rrr|rrr}\, 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\]
Ahora, hacemos operaciones para transformar las filas de la primera matriz en la matriz identidad.
Por ejemplo, empezamos obteniendo los ceros en la primera columna. Haciendo \(F_2\rightarrow 2F_1+F_2\) y, también, \(F_3\rightarrow 2F_1-F_3\) llegamos a (recuerda hacer las mismas operaciones en la matriz identidad de la derecha):
\[\left( \begin{array}{rrr|rrr}\, 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 0 & -1 \end{array}\right)\]
A continuación, hacemos \(F_3\rightarrow F_2-F_3\):
\[\left( \begin{array}{rrr|rrr}\, 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)\]
Ahora, hacemos \(F_1\rightarrow F_1-F_3\) y \(F_2\rightarrow 2F_2-5F_3\):
\[\left( \begin{array}{rrr|rrr}\, 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & 4 & -3 & -5 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)\]
Por último, hacemos \(F_2\rightarrow F_2/2\) y \(F_3\rightarrow F_3/2\):
\[\left( \begin{array}{rrr|rrr}\, 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -3/2 & -5/2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & 1/2 \end{array}\right)\]
La matriz inversa de \(A\) es, entonces:
\[A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 2 & -3/2 & -5/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}\]
Puedes comprobar que esta es correcta, haciendo: \[AA^{-1}=A^{-1}A=I\]
Para aplicar este método no necesitas saber hacer el determinante de la matriz, ni preocuparte por los adjuntos.
Este método se puede aplicar a matrices cuadradas de cualquier orden.
Matriz inversa por determinantes
Ya conoces el método de Gauss-Jordan para hallar la matriz inversa. Sin embargo, si ya estás familiarizado con el cálculo del determinante de una matriz, puedes usar el siguiente método, que utiliza el determinante de la matriz y la matriz adjunta asociada.
Como ya hemos mencionado, para que una matriz tenga una matriz inversa, esta debe ser cuadrada; pero, además, tiene que cumplirse: \[\det(A)\neq 0 \]
Si esto se cumple, podemos asegurar que: \[\text{existe }A^{-1}\Leftrightarrow \det(A)\neq 0\]
Matriz adjunta
Para el cálculo de la matriz adjunta debes conocer lo que es el adjunto de un elemento de una matriz. En este caso, el adjunto de un elemento es: \[A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\]
- donde \(M_{ij}\) es el menor complementario a ese elemento.
El menor complementario es el determinante que se obtiene al eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\) de la matriz original.
Vamos a hacer un ejercicio de ejemplo.
Dada la matriz \(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}\), halla los menores \(M_{12}\), \(M_{31}\) y \(M_{22}\).
Solución
Según la definición del menor complementario, el menor \(M_{12}\) se calcula eliminando la primera fila y la segunda columna: \[M_{12}=\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 0 & 2\end{vmatrix}\]
El menor \(M_{31}\) se calcula eliminando la tercera fila y la primera columna: \[M_{31}=\begin{vmatrix}0&-1\\1&-1\end{vmatrix}\]
Por último, el menor \(M_{22}\) se obtiene eliminando la segunda fila y la segunda columna:\[M_{22}=\begin{vmatrix}1&-1\\0&2\end{vmatrix}\]
Ya sabiendo cómo se calcula el menor complementario a un elemento, podemos calcular el adjunto de un elemento, según la fórmula anterior: \[A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\]
Una vez que tenemos el adjunto asociado a cada elemento, podemos definir la matriz adjunta, como una matriz en la que cada uno de sus elementos se sustituye por el adjunto de ese elemento; es decir: \[\mathrm{Adj}(A)=(A_{ij})\]
Como siempre, la mejor manera de entender esto es viendo un ejemplo:
Calcula la matriz adjunta de \(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}\).
Solución
Según la definición, la matriz adjunta tiene el adjunto del elemento (que a su vez está formado por el menor complementario) el término \((-1)^{ij}\). Puede parecer lioso, pero realmente es :
\[\mathrm{Adj}(A)=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 1&-1\\1&2\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}2&-1\\0&2\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}2&1\\0&1\end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix}0&-1\\1&2\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1&-1\\0&2\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix}0&1\\1&-1\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1&-1\\2&-1\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1&0 \\2&1\end{vmatrix} \end{pmatrix}\]
Ahora, solo queda hacer el determinante que hay en cada elemento.
Así, obtenemos que la matriz adjunta es:
\[\mathrm{Adj}(A)=\begin{pmatrix}3&-4&2\\-1&2&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}\]
Cálculo de la inversa
Una vez que tenemos la matriz adjunta, para encontrar el cálculo de la matriz inversa, no es más que hacer: \[A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}(\mathrm{Adj}(A))^t\]
Es decir, para hallar la matriz inversa tenemos que calcular la matriz adjunta, trasponerla y dividirla entre el determinante de la matriz original.
Usando el método de la matriz adjunta y el determinante, halla la matriz inversa de la matriz del método de Gauss-Jordan: \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}\]
Solución
En el ejemplo del método de Gauss-Jordan, ya hemos hallado la matriz inversa. Pero ahora vamos a hacerlo por este otro método, para comprobar que es la misma matriz inversa:
En primer lugar debemos hallar la matriz adjunta:
\[\mathrm{Adj}(A)=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 1&1\\-1&1\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}-2&1\\2&1\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}-2&1\\2&-1\end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix}0&2\\-1&1\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1&2\\2&1\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1&0\\2&-1\end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix}0&2\\1&1\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1&2\\-2&1\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1&0 \\-2&1\end{vmatrix} \end{pmatrix}\]
\[\mathrm{Adj}(A)=\begin{pmatrix}2&4&0\\-2&-3&1\\-2&-5&1\end{pmatrix}\]
Ahora que ya la tenemos, calculamos el determinante de \(A\): \[\det(A)=2\].
Por tanto, para hallar la matriz inversa debemos trasponer la matriz adjunta, lo que queda como:
\[(\mathrm{Adj}(A))^t=\begin{pmatrix}2&-2&-2\\4&-3&-5\\0&1&1\end{pmatrix}\]
Por último, la inversa será la división del determinante entre la traspuesta de la adjunta:
\[A^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}2&-2&-2\\4&-3&-5\\0&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 2 & -3/2 & -5/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}\]
Como puedes comprobar, esta matriz inversa es la misma que en el ejercicio en el que hemos aplicado el método de Gauss-Jordan.
Ahora depende de ti definir qué método utilizar en cada caso. Con la experiencia irás observando matrices que son más fáciles de invertir usando el método de Gauss-Jordan y otras, usando el determinante y la matriz adjunta.
Al igual que con el método de Gauss-Jordan, este método de inversión de una matriz, usando el determinante y la matriz adjunta, puede aplicarse a matrices cuadradas de cualquier orden (siempre que tengan determinante no nulo).
Como último detalle, mencionamos que, si existe la matriz inversa, se cumple: \[\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}\]
Matriz inversa - Puntos clave
- La matriz inversa es la que al multiplicarse por la matriz original nos da la matriz identidad \(I\).
Se dice que una na matriz \(A\) es regular o invertible si existe otra matriz \(B\), de modo que se cumple:
\[AB=BA=I\]
Una matriz cuadrada \(A\) de orden \(n\) es invertible si, y solo si, \(Rg(A)=n\).
La matriz inversa tiene propiedades interesantes, estas son tres importantes:
Si las matrices \(A\) y \(B\) son invertibles, entonces se cumple: \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).
La inversa de la transpuesta es la transpuesta de la inversa: \((A^t)^{-1}=(A^{-1})^t\).
La inversa de la inversa de \(A\) es la propia \(A\): \((A^{-1})^{-1}=A\).
El método de Gauss-Jordan consiste en:
Construir una matriz en la que en el lado izquierdo tengas la matriz que quieres invertir y en el derecho la matriz identidad con la misma dimensión.
Mediante transformaciones elementales, convertir cada fila de la matriz original en la matriz identidad. Estas mismas operaciones las tienes que realizar en la matriz identidad de la derecha.
La matriz inversa será la matriz resultante de la derecha.
Si se quiere calcular la inversa de una matriz, se debe tener en cuenta:
\[\text{existe }A^{-1}\Leftrightarrow \det(A)\neq 0\]
- El adjunto de un elemento es: \[A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\]
- donde \(M_{ij}\) es el menor complementario a ese elemento.
La matriz adjunta se define como una matriz en la que cada uno de sus elementos se sustituye por el adjunto de ese elemento; es decir: \[\mathrm{Adj}(A)=(A_{ij})\]
El cálculo de la matriz inversa no es más que hacer: \[A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}(\mathrm{Adj}(A))^t\]
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