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Teorema de Rouché Frobenius

Teorema de Rouché Frobenius

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser difíciles de resolver. Generalmente hay que resolverlos por eliminación gaussiana o por otros métodos como cuando se hacen una representación matricial. Sin embargo, hay un teorema que nos permite saber cuántas soluciones tienen estos sistemas antes de resolverlos, lo que es de bastante ayuda.

Este teorema es el teorema de Rouché-Frobenius, también conocido como el teorema de Rouché-Capelli.

Este teorema hace uso de la representación matricial de un sistema de ecuaciones, por lo que si aún no has leído nuestro artículo, puedes echarle un vistazo ahora. Además, también necesitarás saber qué es el rango de una matriz y te será más sencillo entender este teorema si ya sabes calcularlo.

Las soluciones de un sistema de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es una serie de ecuaciones que representan objetos geométricos en el espacio. En el caso de que estas sean ecuaciones lineales, estas representan rectas.

Las rectas se pueden cruzar en el espacio y estos puntos donde se cruzan son lo que llamamos las soluciones del sistema de ecuaciones. Por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales que se ve a continuación:

\[\left\{\begin{array}\,2x+3y=6\\-x+6y=1\end{array}\right.\]

Tiene la solución:

\[x=11\]

\[y=\dfrac{5}{3}\]

Esto se ve del siguiente modo:

Teorema de Rouché-Frobenius sistemas de ecuaciones StudySmarter

Fig. 1: Solución única de un sistema de ecuaciones.

Pero puede suceder que los sistemas tengan ecuaciones de rectas que no se crucen. Por ejemplo dos, rectas paralelas en tres dimensiones, como se ve a continuación:

Teorema de Rouché-Frobenius sistemas de ecuaciones sin solución StudySmarter

Fig. 2: Dos rectas paralelas representan un sistema de ecuaciones sin solución.

O dos rectas que están una sobre la otra, lo cual produce una infinidad de soluciones.

Teorema de Rouché-Frobenius sistemas de ecuaciones infinitas soluciones StudySmarter

Fig. 3: Infinitas soluciones de un sistema de ecuaciones.

Cuando los sistemas tienen solución se denominan sistemas de ecuaciones lineales compatibles. Siempre es útil saber si un sistema de ecuaciones tiene solución o no, pero primero empecemos con los tipos de sistemas y sus soluciones.

El estudio de las soluciones de un sistema de ecuaciones lo puedes encontrar explicado en nuestro artículo sobre el método de Gauss. En este artículo te explicamos cómo es un sistema de ecuaciones según las soluciones que obtengas.

Sin embargo, en este artículo sobre el teorema de Rouché-Frobenius te explicamos cómo determinar qué tipo de sistema es y cuántas soluciones tendrá antes del cálculo de estas soluciones. Esto resulta muy útil, puesto que así si el sistema es por ejemplo incompatible, no tendrás que intentar resolverlo y ver que no llegas a ninguna solución para determinar que es incompatible.

Sistema compatible indeterminado

Que un sistema tenga solución no nos garantiza que esta sea algo útil. Por ejemplo, cuando en un problema se analizan el alza de un marcador \(A\) y la baja de otro \(B\), nos interesa saber cuándo hay un balance relativo, cuándo ambos marcadores llegan al equilibrio o son iguales.

Este punto donde ambos son iguales es la solución del sistema ya que en este punto \(A\) y \(B\) son iguales. Pero para esto debe existir UNA sola solución, pero podría pasar algo distinto como:

  • Que no tenga ninguna solución.

  • Que tenga infinitas soluciones.

En el segundo caso estas ecuaciones son sistemas compatibles pero indeterminados. Cabe decir que siempre será útil que antes de resolver un sistema verifiques si este tiene solución y cuántas tiene.

Sistema compatible indeterminado ejemplos

Para saber si un sistema es indeterminado, deberemos saber si el sistema está compuesto por ecuaciones dependientes o independientes.

También debes recordar que un sistema debe tener el mismo número de ecuaciones que de variables para poder ser resuelto.

Veamos dos ejemplos.

Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\left\{\begin{array}\,3x+4y-z=0\\6x+8y-2z=0\end{array}\right.\]

Solución:

Si tomas la ecuación \(3x+4y-z=0\) y la multiplicas por dos, obtienes la segunda ecuación:

\[2(3x+4y-z=0) \Rightarrow (6x+8y-2z=0) \]

De este modo puedes obtener la segunda ecuación usando operaciones básicas de multiplicación y por lo tanto el sistema no es independiente. Este sistema de hecho está compuesto por dos rectas paralelas con infinitas soluciones.

Se tiene el sistema de ecuaciones siguiente:

\[\left\{\begin{array}\,x+2y-z=0\\5x+10y-5z=0\\3x+5y-2z=0\end{array}\right.\]

Solución:

Aquí procederemos a usar el método de eliminación gaussiana. Primero multiplicamos la primera ecuación por \(5\) y la restamos a la segunda como primer paso:

\[5(x+2y-z=0)-(5x+10y-5z=0)\]

Esto nos da:

\[0=0\]

Puedes ver que la ecuación se eliminó por completo, esto significa que las ecuaciones no son independientes y por lo tanto el sistema es indeterminado.

Ya que empezar a resolver un sistema cuando no sabes si tiene solución o si quiera cuantas soluciones tiene es una inversión de tiempo grande, nos conviene saber si un sistema tiene soluciones y cuántas antes de resolverlo.

Rouché-Frobenius y los sistemas de ecuaciones

El teorema de Rouché-Frobenius se utiliza para discutir un sistema, es decir, determinar si el sistema es compatible o incompatible. Además, si se determina que es compatible, con el teorema de Rouché-Frobenius podemos también diferenciar entre un sistema compatible determinado y un sistema compatible indeterminado.

El teorema de Rouché-Frobenius que veremos a continuación nos dice que:

Un sistema de \(n\) ecuaciones es compatible, si el rango de la matriz de coeficientes \(A\) es igual al rango de la matriz ampliada \(A^*\):

\[\text{El sistema de ecuaciones es compatible}\Leftrightarrow \text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)\]

Al aplicar el teorema de Rouché-Frobenius determinamos si un sistema tiene soluciones o no, es decir, si es compatible o incompatible.

Si hemos determinado que el sistema es compatible, sabemos que entonces puede ser compatible determinado o compatible indeterminado. A partir del rango de la matriz de coeficientes podemos decir:

  • Si el rango de la matriz ampliada es mayor que el rango de la matriz de coeficientes, el sistema es incompatible.

  • Si el rango de la matriz de coeficientes \(A\) es igual al número de incógnitas \(n\), entonces el sistema es compatible determinado y tiene una solución única.

  • Si el rango de la matriz de coeficientes \(A\) es menor que el número de incógnitas \(n\), entonces el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.

Debemos añadir también que si el sistema de ecuaciones es homogéneo, es decir, que todos los términos independientes son iguales a cero, siempre es un sistema compatible y como mínimo tiene como solución la solución trivial.

Rango de la matriz

El rango de la matriz es el número de ecuaciones independientes en ella. Una manera de calcular el rango de una matriz es calculando su determinante.

Si el determinante de una matriz de orden \(n\) es distinto de \(0\) entonces la matriz es de rango \(n\).

\[\det(A)\neq 0 \Leftrightarrow Rg(A)=n\]

Dicho esto, si el determinante de la matriz es igual a cero lo único que podemos decir es que el rango de la matriz es menor de \(n\). En este caso, tendríamos que tomar un menor de esa matriz que llamaremos \(p\) y calcular su rango. Si el rango de uno de sus menores \(p\) es distinto de cero entonces el rango de la matriz original es \(n-1\). Si de nuevo, el determinante de todos estos menores son iguales a cero, tendríamos que coger los menores de cada menor hasta llegar a un determinante que sea distinto de cero.

El rango de una matriz es igual al orden del primer menor cuyo determinante sea distinto de cero.

Cálculo del rango de la matriz

Debido a que el rango de la matriz supone que hay dos o más filas que son una combinación lineal de otra u otra, hay dos maneras para comprobar esto:

  1. Usar eliminación gaussiana o calcular el determinante de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada y comparar los rangos.

  2. Calcular el determinante de la matriz y sus menores hasta que uno sea distinto de cero. El rango de la matriz será del orden del primero de estos determinantes que sea distinto de cero.

En este artículo veremos ambos casos. Pongamos un ejemplo sencillo:

Discute el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\left\{\begin{array}\, x+3y+z=0\\ 2x+y-z=1\\-2x-3y+z=1\\x+y+z=2\end{array}\right.\]

Solución:

La discusión de un sistema de ecuaciones es determinar qué tipo de soluciones tiene el sistema, es decir, si es incompatible, compatible determinado o compatible indeterminado. Para esto, aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

Sacamos la matriz ampliada asociada al sistema:

\[A^*=\left(\begin{array}{rrr|r}\, 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ -2 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2\end{array}\right)\]

Estudiamos en primer lugar el rango de la matriz ampliada. Puedes usar cualquier método para calcular este determinante de orden 4. En este caso, queremos conseguir ceros en las posiciones \(a_{34}\) y \(a_{44}\) para después aplicar el desarrollo del determinante por los elementos de la cuarta columna. Hacemos \(F_3\rightarrow F_3-F_2\) y \(F_4\rightarrow F_4-2F_2\):

\[\det(A^*)=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ -4 & -4 & 2 & 0 \\ -3 & -1 & 3 & 0\end{vmatrix}\]

Ahora desarrollamos el determinante por la cuarta columna, como el único elemento distinto de cero es el \(a_{24}\) entonces el determinante es:

\[\det(A^*)=1·(-1)^{2+4}\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ -4 & -4 & 2 \\ -3 & -1 & 3\end{vmatrix}=0\]

Como el determinante es igual a \(0\) entonces: \(Rg(A^*)<4\).

Ahora calculamos un menor de \(A*\) que también pertenezca a la matriz de coeficientes \(A\), por ejemplo:

\[\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ -2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = -6 \neq 0\]

Como este determinante es distinto de cero y pertenece tanto a \(A\) como a \(A^*\) el rango de ambas es igual y vale \(3\):

\[Rg(A)=Rg(A^*)=3\]

Debido a que el rango de las dos matrices es el mismo e igual al número de incógnitas, podemos afirmar que el sistema es compatible determinado.

Método de Frobenius ejercicios resueltos

Veamos unos ejemplos del teorema de Rouché-Frobenius para que ganes familiaridad.

Discute la siguiente matriz asociada a un sistema de ecuaciones:

\[A^*=\left(\begin{array}{rrr|r} -1 & 1 & -3 & 2 \\ -1 & 0 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 2 & 1 \end{array}\right)\]

Solución:

Para discutir el sistema, como la matriz ampliada contiene la matriz de coeficientes, calculamos en primer lugar el rango de la de coeficientes:

\[\det(A)=\begin{vmatrix} -1 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix}=0\]

Por tanto, la matriz de coeficientes tiene \(Rg(A)<3\). Ahora determinamos si la matriz ampliada puede llegar a tener rango 3 usando en el determinante la columna de términos independientes:

\[\det(A^*)=\begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}=6\]

Por tanto, el rango de la matriz ampliada es mayor que el de la matriz de coeficientes:

\[Rg(A^*)>Rg(A)\]

Esto implica que el sistema es incompatible.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\left\{\begin{array}\, x-y+2z=3\\ kx+5y-4z=1 \\ 3x+2y-z=1 \end{array}\right.\]

Solución:

Vemos que es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas y que hay un parámetro. Calculamos entonces el rango de la matriz de coeficientes puesto que si es distinto de cero, será igual al rango de la matriz ampliada y al número de incógnitas siendo entonces un sistema compatible determinado:

\[\det(A)=\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ k & 5 & -4 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix}=-5+4k+12-30-k+8=3k-15\]

Por tanto, si \(k\neq 5\) entonces el determinante de \(A\) es distinto de cero, por tanto, el de \(A*\) también es distinto de cero e igual al número de incógnitas por lo que el sistema sería compatible determinado.

Pero si \(k=5\) entonces \(Rg(A)<3\). Calculamos el rango de \(A^*\) con la columna de coeficientes y sin coger la columna con el parámetro variable:

\[\det(A^*)=\begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 5 & -4 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}= 4-15+4+24-10-1=6\]

El rango de \(A*\) es igual a \(3\) siempre.

Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius:

  • Si \(k\neq 5 \rightarrow Rg(A)=Rg(A^*)=n\), el sistema es compatible determinado.
  • Si \(k=5 \rightarrow Rg(A)<Rg(A^*)=n\), el sistema es incompatible.

Teorema de Rouché-Frobenius - Puntos clave

  • Un sistema de ecuaciones tiene una solución, si y sólo si, el rango de su matriz de coeficientes es igual al rango de su matriz ampliada.
  • La matriz de coeficientes del sistema es la matriz compuesta solo por los números que multiplican a las variables de nuestro sistema de ecuaciones.
  • La matriz ampliada es la matriz compuesta por la matriz de coeficientes y el vector de resultados.

Preguntas frecuentes sobre Teorema de Rouché Frobenius

Un sistema de ecuaciones tiene una solución, si y sólo si, el rango de sus matriz de coeficientes es igual al rango de su matriz aumentada.

Se debe encontrar el rango de la matriz de coeficientes y la matriz extendida. Si los rangos son iguales, entonces existe una solución al sistema de ecuaciones.

Se clasifican por su rango:

  • Si el rango de la matriz aumentada es menor que el número de ecuaciones, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.
  • Si el rango de la matriz aumentada es el mismo que el de la matriz de coeficientes y además es igual al número de ecuaciones, existe entonces al menos una solución.

Si el sistema tiene el mismo número de ecuaciones que variables y además estas son independientes entre sí, este sistema es compatible.

Eugène Rouché fue un matemático francés y , famoso por sus contribuciones al cálculo complejo.

Ferdinand Georg Frobenius fue un matenatico aleman, famoso por sus contribuciones a teoria de numeros y otros campos de matemáticas como ecuaciones diferenciales.


Cuestionario final de Teorema de Rouché Frobenius

Pregunta

¿Qué representa la solución de un sistema de ecuaciones?

Mostrar respuesta

Answer

El punto donde se cruzan las rectas que representan las ecuaciones.

Show question

Pregunta

¿Qué condición se tiene que cumplir para que un sistema de \(n\) ecuaciones sea compatible determinado?

Mostrar respuesta

Answer

\(Rg(A)=Rg(A*)=n\).

Show question

Pregunta

¿Qué condición se tiene que cumplir para que un sistema de \(n\) incógnitas sea compatible indeterminado?

Mostrar respuesta

Answer

\(Rg(A)=Rg(A*)<n\).

Show question

Pregunta

¿Cómo se denomina a un sistema de ecuaciones con una única solución?

Mostrar respuesta

Answer

Sistema compatible determinado de ecuaciones lineales.

Show question

Pregunta

Si \(Rg(A)=Rg(A*)\), el sistema de ecuaciones es:

Mostrar respuesta

Answer

Compatible.

Show question

Pregunta

Si se tiene el sistema siguiente:

\[2x-3y+7z=21\]

\[2y-6z=4\]

\[-4x+6y-14z=-42\]

¿Qué tipo de sistema es?

Mostrar respuesta

Answer

\(\det(A)=8\Rightarrow Rg(A)=3 \Righarrow Rg(A*)=3\). Esto hace que el sistema sea compatible determinado.

Show question

Pregunta

¿Qué método usamos para discutir un sistema de ecuaciones según el rango de las matrices asociadas?

Mostrar respuesta

Answer

El método de Rouché-Frobenius.

Show question

Pregunta

¿Qué es la matriz ampliada?

Mostrar respuesta

Answer

La matriz que incluye los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes.

Show question

Pregunta

¿Qué pasa si el número de variables es mayor al rango de la matriz asociada a un sistema de ecuaciones?

Mostrar respuesta

Answer

Depende, si el rango de la matriz de coeficientes \(A\) es igual al rango de la matriz ampliada \(A*\) el sistema es compatible determinado. Si el rango de \(A\) es menor que el rango de \(A*\) el sistema es incompatible.

Show question

Pregunta

Si el número de incógnitas es mayor que el rango de la matriz ampliada y esta a su vez es mayor que el rango de la matriz de coeficientes, ¿cómo es el sistema asociado a estas matrices?

Mostrar respuesta

Answer

Sería un sistema incompatible.

Show question

Pregunta

Dado un sistema de ecuaciones, las matrices asociadas tienen rangos: \(Rg(A)=Rg(A*)<n\), ¿qué tipo de sistema es?

Mostrar respuesta

Answer

Sistema compatible indeteminado.

Show question

Pregunta

Discute el siguiente sistema en función del parámetro \(k\):

\[\left\{\begin{array}\, x+2y-z=1\\3x+y+kz=2\\2x-y+z=2\end{array}\right.\]

Mostrar respuesta

Answer

El determinante de \(A\):

\(\det(A)=\begin{pmatrix} 1 & 2 % -1 \\ 3 & 1 & k \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}=5k\)

El determinante de \(A*\):

\(\det(A*)=\begin{pmatrix} 1 & 2 % 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}=-5\)

Por lo que \(Rg(A*)=3\) siempre. Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius:

Si \(k=0\) entonces \(Rg(A)<3\), \(Rg(A*)=3\) y el sistema es incompatible.

Si \(k\neq 0\) entonces \(Rg(A)=Rg(A*)=3\) y el sistema es compatible determinado.

Show question

Pregunta

Se tiene un sistema de ecuaciones cuya matriz de coeficientes es de rango 5 y la matriz ampliada es de rango  6, este sistema:

Mostrar respuesta

Answer

Es incompatible.

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