Los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser difíciles de resolver. Generalmente hay que hacerlo por eliminación gaussiana o por otros métodos, como cuando se hace una representación matricial. Sin embargo, hay un teorema que nos permite saber cuántas soluciones tienen estos sistemas antes de resolverlos, lo que es de bastante ayuda. Este es el teorema de Rouché-Frobenius, también conocido como el teorema de Rouché-Capelli.
Este teorema hace uso de la representación matricial de un sistema de ecuaciones, por lo que si aún no has leído nuestro artículo, puedes echarle un vistazo ahora. Además, también necesitarás saber qué es y cómo calcular el rango de una matriz.
Las soluciones de un sistema de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones es una serie de ecuaciones que representan objetos geométricos en el espacio. En el caso de que sean ecuaciones lineales, estas representan rectas. Las rectas se pueden cruzar en el espacio y los puntos donde se cruzan son lo que llamamos las soluciones del sistema de ecuaciones.
Por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales que se ve a continuación:
\[\left\{\begin{array}\,2x+3y=6\\-x+6y=1\end{array}\right.\]
Tiene la solución:
\[x=11\]
\[y=\dfrac{5}{3}\]
Esto se ve del siguiente modo:
Fig: 1. Solución única de un sistema de ecuaciones.
Pero puede suceder que los sistemas tengan ecuaciones de rectas que no se crucen:
- Por ejemplo dos, rectas paralelas en tres dimensiones, como se ve a continuación:
Fig. 2. Dos rectas paralelas representan un sistema de ecuaciones sin solución.
- O dos rectas que están una sobre la otra, lo cual produce una infinidad de soluciones.
Fig. 3. Infinitas soluciones de un sistema de ecuaciones.
Cuando los sistemas tienen solución, se denominan sistemas de ecuaciones lineales compatibles.
Siempre es útil saber si un sistema de ecuaciones tiene solución o no; pero, primero empecemos con los tipos de sistemas y sus soluciones.
Puedes encontrar la explicación de las soluciones de un sistema de ecuaciones en nuestro artículo sobre el método de Gauss; además te mostraremos cómo es un sistema de ecuaciones, según las soluciones que obtengas.
Sin embargo, en este artículo sobre el teorema de Rouché-Frobenius te explicamos cómo determinar qué tipo de sistema es y cuántas soluciones tendrá antes de su cálculo. Esto resulta muy útil; por ejemplo, si el sistema es incompatible, no tendrás que intentar resolverlo y ver que no llegas a ninguna solución para determinar que, en efecto, es incompatible.
Sistema compatible indeterminado
Que un sistema tenga solución no nos garantiza que esta sea algo útil. Por ejemplo, cuando en un problema se analizan el alza de un marcador \(A\) y la baja de otro \(B\), nos interesa saber cuándo hay un balance relativo o cuándo ambos marcadores llegan al equilibrio o son iguales.
Ese punto en el que ambos son iguales es la solución del sistema, ya que allí \(A\) y \(B\) son iguales. Para esto debe existir UNA sola solución, pero podría pasar algo distinto como:
En el segundo caso, estas ecuaciones son sistemas compatibles, pero indeterminados. Cabe decir que siempre será útil que, antes de resolver un sistema, verifiques si este tiene solución y cuántas tiene.
Sistema compatible indeterminado ejemplos
Para saber si un sistema es indeterminado, deberemos saber si el sistema está compuesto por ecuaciones dependientes o independientes. También, recuerda que un sistema debe tener el mismo número de ecuaciones que de variables, para poder ser resuelto.
Veamos dos ejemplos.
Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
\[\left\{\begin{array}\,3x+4y-z=0\\6x+8y-2z=0\end{array}\right.\]
Solución:
Si tomas la ecuación \(3x+4y-z=0\) y la multiplicas por dos, obtienes la segunda ecuación:
\[2(3x+4y-z=0) \Rightarrow (6x+8y-2z=0) \]
De este modo, puedes obtener la segunda ecuación usando operaciones básicas de multiplicación y, por lo tanto, el sistema no es independiente. Este sistema, de hecho, está compuesto por dos rectas paralelas con infinitas soluciones.
Se tiene el sistema de ecuaciones siguiente:
\[\left\{\begin{array}\,x+2y-z=0\\5x+10y-5z=0\\3x+5y-2z=0\end{array}\right.\]
Solución:
Aquí procederemos a usar el método de eliminación gaussiana. Primero, multiplicamos la primera ecuación por \(5\) y la restamos a la segunda, como primer paso:
\[5(x+2y-z=0)-(5x+10y-5z=0)\]
Esto nos da:
\[0=0\]
Puedes ver que la ecuación se eliminó por completo, esto significa que las ecuaciones no son independientes y, por lo tanto, el sistema es indeterminado.
Ya que empezar a resolver un sistema cuando no sabes, al menos, si tiene solución o cuántas soluciones tiene es una inversión de tiempo grande, es mejor tenerlo antes de empezar a resolverlo.
Rouché-Frobenius y los sistemas de ecuaciones
El teorema de Rouché-Frobenius se utiliza para discutir un sistema; es decir, para determinar si el sistema es compatible o incompatible. Además, si se determina que es compatible, con el teorema de Rouché-Frobenius podemos también diferenciar entre un sistema compatible determinado y un sistema compatible indeterminado.
Si un sistema tiene soluciones o no, se define como compatible o incompatible.
- Un sistema de \(n\) ecuaciones es compatible si el rango de la matriz de coeficientes \(A\) es igual al rango de la matriz ampliada \(A^*\):
\[\text{El sistema de ecuaciones es compatible}\Leftrightarrow \text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)\]
De acuerdo con eso, a partir del rango de la matriz de coeficientes podemos decir que:
Si el rango de la matriz ampliada es mayor que el rango de la matriz de coeficientes, el sistema es incompatible.
Si el rango de la matriz de coeficientes \(A\) es igual al número de incógnitas \(n\), entonces el sistema es compatible determinado y tiene una solución única.
Si el rango de la matriz de coeficientes \(A\) es menor que el número de incógnitas \(n\), entonces el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.
Debemos añadir, también, que si el sistema de ecuaciones es homogéneo —es decir, que todos los términos independientes son iguales a cero—, siempre es un sistema compatible y, como mínimo, tiene como solución la trivial.
Rango de la matriz
El rango de la matriz es el número de ecuaciones independientes en ella.
Una manera de calcular el rango de una matriz es a partir su determinante:
- Si el determinante de una matriz de orden \(n\) es distinto de \(0\), entonces la matriz es de rango \(n\):
\[\det(A)\neq 0 \Leftrightarrow Rg(A)=n\]
- Si el determinante de la matriz es igual a cero, lo único que podemos decir es que el rango de la matriz es menor de \(n\).
En este caso, tendríamos que tomar un menor de esa matriz —que llamaremos \(p\)— y calcular su rango.
- Si el rango de uno de sus menores \(p\) es distinto de cero, entonces el rango de la matriz original es \(n-1\).
- Si, de nuevo, el determinante de todos estos menores son iguales a cero, tendríamos que coger los menores de cada menor hasta llegar a un determinante que sea distinto de cero.
En conclusión,
El rango de una matriz es igual al orden del primer menor cuyo determinante sea distinto de cero.
Cálculo del rango de la matriz
Debido a que el rango de la matriz supone que hay dos o más filas que son una combinación lineal de otra u otra, hay dos maneras para comprobarlo:
Usar eliminación gaussiana o calcular el determinante de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada, y comparar los rangos.
Calcular el determinante de la matriz y sus menores, hasta que uno sea distinto de cero. El rango de la matriz será del orden del primero de estos determinantes que sea distinto de cero.
En este artículo veremos ambos casos.
Pongamos un ejemplo sencillo:
Discute el siguiente sistema de ecuaciones:
\[\left\{\begin{array}\, x+3y+z=0\\ 2x+y-z=1\\-2x-3y+z=1\\x+y+z=2\end{array}\right.\]
Solución:
La discusión de un sistema de ecuaciones es determinar qué tipo de soluciones tiene el sistema; es decir, si es incompatible, compatible determinado o compatible indeterminado.
Para esto, aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.
Sacamos la matriz ampliada asociada al sistema:
\[A^*=\left(\begin{array}{rrr|r}\, 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ -2 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2\end{array}\right)\]
Estudiamos, en primer lugar, el rango de la matriz ampliada. Puedes usar cualquier método para calcular este determinante de orden 4.
En este caso, queremos conseguir ceros en las posiciones \(a_{34}\) y \(a_{44}\), para después aplicar el desarrollo del determinante por los elementos de la cuarta columna.
Hacemos \(F_3\rightarrow F_3-F_2\) y \(F_4\rightarrow F_4-2F_2\):
\[\det(A^*)=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ -4 & -4 & 2 & 0 \\ -3 & -1 & 3 & 0\end{vmatrix}\]
Ahora, desarrollamos el determinante por la cuarta columna; como el único elemento distinto de cero es el \(a_{24}\), entonces el determinante es:
\[\det(A^*)=1·(-1)^{2+4}\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ -4 & -4 & 2 \\ -3 & -1 & 3\end{vmatrix}=0\]
Como el determinante es igual a \(0\), entonces: \(Rg(A^*)<4\).
Ahora calculamos un menor de \(A*\) que también pertenezca a la matriz de coeficientes \(A\); por ejemplo:
\[\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ -2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = -6 \neq 0\]
Como este determinante es distinto de cero, y pertenece tanto a \(A\) como a \(A^*\), el rango de ambas es igual y vale \(3\):
\[Rg(A)=Rg(A^*)=3\]
Debido a que el rango de las dos matrices es el mismo e igual al número de incógnitas, podemos afirmar que el sistema es compatible determinado.
Método de Frobenius: ejercicios resueltos
Veamos unos ejemplos del teorema de Rouché-Frobenius, para que ganes familiaridad.
Discute la siguiente matriz asociada a un sistema de ecuaciones:
\[A^*=\left(\begin{array}{rrr|r} -1 & 1 & -3 & 2 \\ -1 & 0 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 2 & 1 \end{array}\right)\]
Solución:
Para discutir el sistema, como la matriz ampliada contiene la matriz de coeficientes, calculamos el rango de la de coeficientes:
\[\det(A)=\begin{vmatrix} -1 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix}=0\]
Por tanto, la matriz de coeficientes tiene \(Rg(A)<3\). Ahora determinamos si la matriz ampliada puede llegar a tener rango 3 usando en el determinante la columna de términos independientes:
\[\det(A^*)=\begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}=6\]
Por tanto, el rango de la matriz ampliada es mayor que el de la matriz de coeficientes:
\[Rg(A^*)>Rg(A)\]
Esto implica que el sistema es incompatible.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones:
\[\left\{\begin{array}\, x-y+2z=3\\ kx+5y-4z=1 \\ 3x+2y-z=1 \end{array}\right.\]
Solución:
Vemos que es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas y que hay un parámetro.
Calculamos, entonces, el rango de la matriz de coeficientes; puesto que si es distinto de cero, será igual al rango de la matriz ampliada y al número de incógnitas. En ese caso, es un sistema compatible determinado:
\[\det(A)=\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ k & 5 & -4 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix}=-5+4k+12-30-k+8=3k-15\]
Por tanto, si \(k\neq 5\) el determinante de \(A\) es distinto de cero; por tanto, el de \(A*\) también es distinto de cero e igual al número de incógnitas, por lo que el sistema sería compatible determinado.
Pero, si \(k=5\), entonces \(Rg(A)<3\). Calculamos el rango de \(A^*\) con la columna de coeficientes y, sin coger la columna con el parámetro variable:
\[\det(A^*)=\begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 5 & -4 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}= 4-15+4+24-10-1=6\]
El rango de \(A*\) es igual a \(3\) siempre.
Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius:
- Si \(k\neq 5 \rightarrow Rg(A)=Rg(A^*)=n\), el sistema es compatible determinado.
- Si \(k=5 \rightarrow Rg(A)<Rg(A^*)=n\), el sistema es incompatible.
Teorema de Rouché-Frobenius - Puntos clave
- Un sistema de ecuaciones tiene una solución, si y solo si, el rango de su matriz de coeficientes es igual al rango de su matriz ampliada.
- La matriz de coeficientes del sistema es la matriz compuesta solo por los números que multiplican a las variables de nuestro sistema de ecuaciones.
- La matriz ampliada es la matriz compuesta por la matriz de coeficientes y el vector de resultados.
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