Las potencias son expresiones formadas por una base y un exponente.
A continuación, vamos a explicar las propiedades de los exponentes que permiten hacer operaciones con potencias. Después, vamos a introducir el concepto del logaritmo, que es la operación inversa a la exponenciación.
Es muy importante recordar estas propiedades. ¡Cerciórate de practicarlas todas, hasta que te sientas seguro!
Leyes y propiedades de los exponentes
Cuando tienes una expresión matemática con varias potencias relacionadas, a través de distintas operaciones (suma, resta, multiplicación, división...), necesitas aplicar las propiedades de los exponentes, para poder simplificar estas expresiones.
1. Multiplicación de potencias con igual base y distinto exponente
Cuando tenemos la misma base con distintos exponentes, aplicamos la siguiente propiedad:
\[a^n \cdot a^m=a^{n+m} \]
Es importante recordar que para aplicar esta propiedad, las potencias tienen que tener la misma base. Si tienen distinta base, no se puede aplicar.
Por ejemplo, si tenemos la siguiente expresión:
\[2^3 \cdot 2^5=2^{3+5}=2^{8}\]
Otros ejemplos:
\[3^2 \cdot 3^3=(3 \cdot 3)\cdot(3 \cdot 3 \cdot 3)=3^{2+3}=3^{5} \]
\[2^4 \cdot 2^2 \cdot 2^{-5}=2^{4+2-5}=2^{1}=2 \]
\[2^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4 \cdot 2^5 =2^{2+5} \cdot 3^{3+4}=2^{7} \cdot=3^7\]
En la última expresión, puedes observar que no se puede simplificar más, porque las potencias no tienen la misma base (independientemente de si el exponente es igual o no).
2. División de potencias con igual base y distinto exponente
En el caso en que tengas una división de potencias con igual base y distinto exponente, puedes aplicar la siguiente propiedad:
\[{{a^n}\over{a^m}}=a^{n-m}\]
Aplicamos la propiedad a la siguiente expresión:
\[{{3^6}\over{3^2}}=3^{6-2}=3^4\]
Otros ejemplos:
\[{{2^6}\over{2^4}}=2^{6-4}=2^2\]
\[{{2^2}\over{2^3}}=2^{2-3}=2^-1\]
\[{{2^5}\over{2^7 \cdot 2^6}}=2^{5-(7+6)}=2^-8\]
3. Potencia de una potencia
En el caso en que un exponente esté aplicado a un número que ya tiene un exponente, se recurre a:
\[(a^n)^m=a^{n \cdot m}\]
Por ejemplo, al aplicar esta propiedad, se llega a:
\[(4^3)^2=4^{3 \cdot 2}= 4^6\]
Otros ejemplos:
\[(4^2)^4=4^{4 \cdot 2}= 4^8\]
\[(3^2)\cdot(3^5)^3=5^{2+{5 \cdot 3}}= 3^{17}\]
Para no equivocarte, fíjate en la diferencia de la suma de exponentes y la multiplicación de exponentes, y cuándo se usa cada una.
4. Potencias de 0
Debes recordar que todo número elevado a cero siempre da uno:
\[a^0=1\]
Varios ejemplos de esto son:
\[0^0=1\]
\[15^0=1\]
\[39823^0=1\]
5. Potencias con exponente negativo
Cuando te encuentres una potencia que tiene un exponente negativo, puedes aplicar la siguiente propiedad:
\[a^{-n}= {{1}\over{a^n}}\]
Tienes que tener en cuenta que \(a\) debe ser distinto de \(0\); porque si no, se produciría una indeterminación.
Apliquemos esta propiedad a los siguientes ejemplos:
\[3^{-1}= {{1}\over{3}}\]
\[7^{-2}= {{1}\over{7^2}}= {{1}\over{49}}\]
\[\left(5^{-3}\right)^2= \left( {{1}\over{5^3}} \right)^2= {{1}\over{5^{3 \cdot 2}}}={{1}\over{5^6}}\]
6. Potencias con exponente fraccionario
En otras ocasiones, te puedes encontrar potencias que tienen un exponente que es una fracción. En estos casos, aplica la propiedad:
\[a^{n/m}=\sqrt[m]{a^n}\]
En los siguientes ejemplos, vamos a verla.
\[4^{1/2}={\sqrt[2]{4}}=2\]
\[125^{2/3}={\sqrt[3]{125^2}}=25\]
Puedes simplificar esto en cualquier orden, así que lo siguiente también funcionaría:
\[{\sqrt[3]{125^2}}={\sqrt[3]{15625}}=25\]
Por razones obvias, la mejor opción es escoger el orden más fácil:
\[16^{-3/2}= {{1}\over{\sqrt{16^3}}}= {{1}\over{4^3}}\]
Propiedades de los logaritmos
En caso de que desees bajar un exponente, lo que debes hacer es aplicar un logaritmo de la misma base que el exponente. Piensa en el logaritmo como la función inversa de la función exponencial. Es decir, tienes una expresión del tipo:
\[2^3=x\]
Pero, ¿qué pasa si en vez de conocer el exponente, conoces el resultado de la operación? Esto se expresaría como:
\[2^x=8\]
Al aplicar el logaritmo, estamos calculando el exponente que se aplicaría a la base para obtener el resultado. La expresión del logaritmo es:
\[\log_a b =z\]
Esto se lee: "logaritmo en base \(a\) de \(b\)".
Si ponemos la expresión anterior en forma de logaritmo la, sería:
\[\log_2 8 =x\]
En este caso es muy fácil ver que la solución de este logaritmo es \(3\), porque la pregunta que plantea el logaritmo es: ¿el \(2\) elevado a qué número da \(8\) como resultado?
Normalmente, el logaritmo es una operación complicada de hacer (como las potencias); así que, para obtener el resultado, se usa una calculadora.
Vamos a hacer otro ejemplo:
\[\log_{10} 1000 =x\]
Este logaritmo se puede pensar como: ¿el \(10\) elevado a qué número da \(1000\) como resultado? La solución sería el \(3\).
\[\log_{10} 1000 =3\]
Como puedes ver, la base \(a\) del logaritmo puede cambiar: es el número al que se va a elevar el resultado \(z\) para obtener el argumento \(b\).
Ahora, vamos a explicar las propiedades de los logaritmos, para poder operar con ellos.
1. Logaritmo de una multiplicación
Cuando se tiene un logaritmo, y en el argumento hay una multiplicación de términos, puede aplicarse la siguiente propiedad:
\[\log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c\]
No olvides que los logaritmos deben tener la misma base para poder aplicar esta propiedad.
Apliquémosla a la siguiente expresión:
\[\log_2 (16 \cdot 4) = \log_2 16 + \log_2 4 = 4+2=6\]
2. Logaritmo de una división
Otra propiedad muy importante en los logaritmos es la siguiente:
\[\log_a {{b}\over{c}}=\log_a b - \log_a c\]
A partir de esta propiedad, junto con \(\log_a 1=0\), se obtiene la siguiente relación:
\[\log_a {{1}\over{b}}=- \log_a b\]
Apliquemos esta propiedad a la siguiente expresión:
\[\log_3 {{27}\over{9}}=\log_3 27 - \log_3 9 = 3-2 =1\]
3. Logaritmo de una potencia
Cuando el argumento del algoritmo es una potencia, puedes aplicar esta propiedad:
\[\log_a (b^n)=n \cdot \log_a b\]
Como ya conoces las propiedades de los exponentes, podemos obtener también la siguiente propiedad:
\[\log_a ({\sqrt{b}})=\log_a (b^{1/2})= {{1}\over{2}} \log_a b\]
Asimismo, se puede aplicar con otros exponentes fraccionarios y negativos.
Veamos este ejemplo:
\[\log_2 (4^3)=3 \log_2 (4)= 3 \cdot 2 =6\]
Ahora, uno algo más complicado:
\[ \log_2 \left( {{1}\over{\sqrt[3]{8^2}}} \right) \]
En primer lugar, aplicamos las propiedades de los exponentes (como ya conoces) y después las propiedades de los logaritmos:
\[ \log_2 \left( {{1}\over{\sqrt[3]{8^2}}} \right) = \log_2 \left({{1}\over{8^{2/3}}} \right)= -\log_2 \left(8^{2/3}\right)= {{-2}\over{3}}\log_2 8={{-2}\over{3}}\cdot =-2\]
4. Otras propiedades de los logaritmos
Otras propiedades importantes que debes recordar son:
\[\log_a 1 =0\]
\[\log_a a =1\]
\[a^{\log_a x} =x\]
\[\log_a a^x =x\]
5. Propiedades de los logaritmos naturales
Cuando la base de un logaritmo es el número de Euler \(e\), normalmente se llama logaritmo natural o neperiano. Como verás en los temas de funciones exponenciales y logarítmicas, este logaritmo es esencial en matemáticas, puesto que es el inverso de la función \(e^x\).
Además hay una propiedad de los logaritmos neperianos que debes conocer:
\[\log_e e= \ln(e)=1 \_ ]
Por ejemplo, si tienes la función exponencial elevada a \(x\), debes aplicar el logaritmo natural —que es la función inversa— así: \(\ln e^x=x\). En este caso. el número \(e\) es la base del logaritmo. Pero podría tener una base \(a\), que sea cualquier otro número, como un entero o fraccionario.
Tenemos la siguiente ecuación, con una exponencial:
\[a^{2x}=23\]
Ya que en una ecuación los términos siempre están en una igualdad, al aplicar un logaritmo en un lado, el otro también se verá afectado.
Entonces, al aplicar las propiedades de los logaritmos:
\[4^{2x}=64\]
\[\log_4 4^{2x}=\log_4 64 \]
\[2x=\log_4 64\]
\[x= {{1}\over{2}}\log_4 64\]
\[x={{3}\over{2}}\]
Propiedades de exponenciales - Puntos clave
- Las propiedades de los exponentes son reglas importantes que hay que seguir cuando se hacen cálculos con exponentes:
\[a^n \cdot a^m = a^{n+m}\]
\[{{a^n}\over{a^m}}=a^{n-m}\]
\[(a^n)^m=a^{n \cdot m }\]
\[a^0=1\]
\[a^{-n} = {{1}\over{a^n}}\]
\[a^{n/m}={\sqrt[m]{a^n}}\]
- Por su parte, las propiedades de los logaritmos son:
\[\log_a(b \cdot c)=\log_a b + \log_a c\]
\[log_a \left({{b} \over {c}}\right)=\log_a b - \log_a c\]
\[\log_a(b^n)=n \cdot \log_a b\]
\[\log_a 1=0\]
\[\log_a a =1\]
\[a^{\log_a x}=x\]
\[\log_a a^x = x\]
\[\ln e=1\]
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