Propiedades de exponentes y logaritmos

Leyes y propiedades de los exponentes

Cuando tienes una expresión matemática con varias potencias relacionadas, a través de distintas operaciones (suma, resta, multiplicación, división...), necesitas aplicar las propiedades de los exponentes, para poder simplificar estas expresiones.

1. Multiplicación de potencias con igual base y distinto exponente

Cuando tenemos la misma base con distintos exponentes, aplicamos la siguiente propiedad:

\[a^n \cdot a^m=a^{n+m} \]

2. División de potencias con igual base y distinto exponente

En el caso en que tengas una división de potencias con igual base y distinto exponente, puedes aplicar la siguiente propiedad:

\[{{a^n}\over{a^m}}=a^{n-m}\]

3. Potencia de una potencia

En el caso en que un exponente esté aplicado a un número que ya tiene un exponente, se recurre a:

\[(a^n)^m=a^{n \cdot m}\]

4. Potencias de 0

Debes recordar que todo número elevado a cero siempre da uno:

\[a^0=1\]

Varios ejemplos de esto son:

5. Potencias con exponente negativo

Cuando te encuentres una potencia que tiene un exponente negativo, puedes aplicar la siguiente propiedad:

\[a^{-n}= {{1}\over{a^n}}\]

Apliquemos esta propiedad a los siguientes ejemplos:

6. Potencias con exponente fraccionario

En otras ocasiones, te puedes encontrar potencias que tienen un exponente que es una fracción. En estos casos, aplica la propiedad:

\[a^{n/m}=\sqrt[m]{a^n}\]

En los siguientes ejemplos, vamos a verla.

Propiedades de los logaritmos

En caso de que desees bajar un exponente, lo que debes hacer es aplicar un logaritmo de la misma base que el exponente. Piensa en el logaritmo como la función inversa de la función exponencial. Es decir, tienes una expresión del tipo:

\[2^3=x\]

• Aquí tienes una potencia en la que, para calcular el resultado, simplemente tienes que multiplicar la base tantas veces como diga el exponente.

Pero, ¿qué pasa si en vez de conocer el exponente, conoces el resultado de la operación? Esto se expresaría como:

\[2^x=8\]

• En este caso, no sabes cuántas veces tienes que multiplicar la base para obtener el resultado. Ahí es cuando se aplica el logaritmo.

Al aplicar el logaritmo, estamos calculando el exponente que se aplicaría a la base para obtener el resultado. La expresión del logaritmo es:

\[\log_a b =z\]

Esto se lee: "logaritmo en base \(a\) de \(b\)".

Si ponemos la expresión anterior en forma de logaritmo la, sería:

\[\log_2 8 =x\]

En este caso es muy fácil ver que la solución de este logaritmo es \(3\), porque la pregunta que plantea el logaritmo es: ¿el \(2\) elevado a qué número da \(8\) como resultado?

Normalmente, el logaritmo es una operación complicada de hacer (como las potencias); así que, para obtener el resultado, se usa una calculadora.

Como puedes ver, la base \(a\) del logaritmo puede cambiar: es el número al que se va a elevar el resultado \(z\) para obtener el argumento \(b\).

Ahora, vamos a explicar las propiedades de los logaritmos, para poder operar con ellos.

1. Logaritmo de una multiplicación

Cuando se tiene un logaritmo, y en el argumento hay una multiplicación de términos, puede aplicarse la siguiente propiedad:

\[\log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c\]

2. Logaritmo de una división

Otra propiedad muy importante en los logaritmos es la siguiente:

\[\log_a {{b}\over{c}}=\log_a b - \log_a c\]

A partir de esta propiedad, junto con \(\log_a 1=0\), se obtiene la siguiente relación:

\[\log_a {{1}\over{b}}=- \log_a b\]

3. Logaritmo de una potencia

Cuando el argumento del algoritmo es una potencia, puedes aplicar esta propiedad:

\[\log_a (b^n)=n \cdot \log_a b\]

Como ya conoces las propiedades de los exponentes, podemos obtener también la siguiente propiedad:

\[\log_a ({\sqrt{b}})=\log_a (b^{1/2})= {{1}\over{2}} \log_a b\]

Asimismo, se puede aplicar con otros exponentes fraccionarios y negativos.

4. Otras propiedades de los logaritmos

Otras propiedades importantes que debes recordar son:

\[\log_a 1 =0\]

\[\log_a a =1\]

\[a^{\log_a x} =x\]

\[\log_a a^x =x\]

5. Propiedades de los logaritmos naturales

Cuando la base de un logaritmo es el número de Euler \(e\), normalmente se llama logaritmo natural o neperiano. Como verás en los temas de funciones exponenciales y logarítmicas, este logaritmo es esencial en matemáticas, puesto que es el inverso de la función \(e^x\).

Además hay una propiedad de los logaritmos neperianos que debes conocer:

\[\log_e e= \ln(e)=1 \_ ]

Por ejemplo, si tienes la función exponencial elevada a \(x\), debes aplicar el logaritmo natural —que es la función inversa— así: \(\ln e^x=x\). En este caso. el número \(e\) es la base del logaritmo. Pero podría tener una base \(a\), que sea cualquier otro número, como un entero o fraccionario.