Aunque cuando estudiamos las determinantes, ya te mencionamos la regla de Sarrus para calcular el determinante de una matriz de \(3\times 3\), ¡en este artículo ampliaremos este tema y daremos más ejemplos!
Además, si también has leído sobre representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales, puede que te interese cómo calcular las soluciones de un sistema de ecuaciones usando las matrices asociadas al sistema. Si quieres saber más, ¡sigue leyendo!
Regla de Sarrus
Como ya puede que sepas, el determinante de una matriz es una cantidad asociada a esta que hace que la matriz tenga unas características determinadas. La regla de Sarrus nos permite calcular determinantes de una matriz de \(3\times 3\) usando una fórmula predeterminada. Gracias a esto, nos evitamos largos procesos.
Pero, recuerda que los determinantes solo se pueden calcular para matrices cuadradas; es decir, de \(n\) filas y \(n\) columnas.
Debes saber que el orden de una matriz se indica como \(n\times m\), donde \(n\) es el número de filas y \(m\) es el número de columnas.
Determinantes de matrices de \(2\times 2\)
Cuando se tiene una matriz cuadrada de orden 2, podemos calcular su determinante sumando el resultado del producto de los elementos de las diagonales.
Si tenemos una matriz del tipo:
\[A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\]
Entonces, su determinante es:
\[\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\]
Regla de Sarrus para determinantes \(3\times 3\)
En forma gráfica, la regla de Sarrus es la siguiente:
1. Se tiene el determinante asociado a una matriz de orden 3:
\[|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}\]
2. Duplica las dos primeras columnas y colócalas a la derecha del determinante; con lo cual tenemos:
\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\]
3. Ahora, deberás multiplicar usando diagonales: primero, la diagonal que va de \(a_{11}\) a \(a_{33}\) de la primera columna a la tercera columna. Los marcaremos para que los veas:
\[\begin{vmatrix} \bcancel{a_{11}} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\a_{21} & \bcancel{a_{22}} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & \bcancel{a_{33}} & a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}=+a_{11}a_{22}a_{33}\]
4. A continuación, hacemos otra diagonal de \(a_{12}\) en la segunda columna a \(a_{31}\) en la cuarta; esto sería:
\[\begin{vmatrix} a_{11} & \bcancel{a_{12}} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} & \bcancel{a_{23}} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \bcancel{a_{31}} & a_{32} \end{vmatrix}=+a_{12}a_{23}a_{31}\]
5. Luego, procedemos con la última diagonal, que irá de la tercera columna en \(a_{13}\) a la quinta en \(a_{32}\):
\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \bcancel{a_{13}} & a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \bcancel{a_{21}} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & \bcancel{a_{32}} \end{vmatrix}=+a_{13}a_{21}a_{32}\]
6.- Ahora hacemos lo mismo, pero las diagonales irán de la última columna a la primera, y el producto de ellas será negativo:
\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & \cancel{a_{12}} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cancel{a_{21}} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & \cancel{a_{33}} & a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}=-a_{12}a_{21}a_{33}\]
\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cancel{a_{11}} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} & \cancel{a_{23}} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & \cancel{a_{32}} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}=-a_{11}a_{23}a_{32}\]
\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cancel{a_{13}} & a_{11} & a_{12} \\a_{21} & \cancel{a_{22}} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ \cancel{a_{31}} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}=-a_{13}a_{22}a_{31}\]
7. Finalmente, El determinante será la suma de todos los productos anteriores:
\[\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31} \]
Este proceso puede llevar un tiempo las primeras veces; pero, cuando lo aprendes, solo deberás recordar que se multiplican las diagonales y se cambia el signo.
Regla de Sarrus: ejemplos
Si hay algo mejor que saber una fórmula, es usarla. Cuanto más uses la regla de Sarrus, más fácil te será hacer estas operaciones. Vamos a ello, con algunos ejemplos:
Calcula el determinante de la siguiente matriz:
\[A=\begin{pmatrix} 3 & -7 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\]
Solución:
Usando la fórmula:
\[\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\]
Tenemos:
\[\det(A)=3·3-(-7)·2=23\]
Calcula el determinante de la siguiente matriz:
\[A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\1 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix}\]
Solución:
Aplicamos la regla de Sarrus: que es multiplicar los elementos de las diagonales de izquierda a derecha y sumar los resultados, y multiplicar los elementos de las diagonales de derecha a izquierda y restar los resultados.
\[|A|=1·2·(-2)+3·(-2)·2+0·1·(-1)-3·1·(-2)-1·(-2)·(-1)-0·2·2=-12\]
Determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
Hasta el momento, te hemos hablado de determinantes en matrices que son la representación de sistemas y ecuaciones lineales. Pero, ahora ligaremos ambos conceptos: ¡hay una manera de usar determinantes para calcular las soluciones de un sistema de ecuaciones! Este método se conoce como la Regla de Cramer.
Se dice que un sistema de ecuaciones es un sistema de Cramer si:
Si ya has leído nuestro artículo sobre el teorema de Rouché-Frobenius, puedes saber que un sistema que cumple estas condiciones es un sistema de ecuaciones compatible determinado.
Regla de Cramer para un sistema compatible determinado
Una vez que hemos establecido que el sistema tiene tantas incógnitas como número de ecuaciones y que el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero (esto es un sistema compatible determinado), podemos aplicar la regla de Cramer.
Dado un sistema de \(n\) ecuaciones con \(n\) incógnitas, su solución se obtiene mediante los cocientes: \[x_1=\dfrac{\Delta_1}{|A|}\] \[x_2=\dfrac{\Delta_2}{|A|}\] \[...\] \[x_n=\dfrac{\Delta_n}{|A|}\] Donde \(\Delta_i\) es el determinante de una matriz, que se obtiene cuando se sustituye en la matriz de coeficientes la columna \(i\) por la columna de los términos independientes.
Vamos a hacer un ejemplo sencillo, para que entiendas cómo funciona la regla de Cramer:
Calcula las soluciones, usando la regla de Cramer, del siguiente sistema de ecuaciones:
\[\left\{\begin{array}\, 2x-y=2\\ x+2y=-1\end{array}\right.\]
Solución:
La matriz de coeficientes es:
\[A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]
El determinante de esta matriz es:
\[|A|=2·2+1·1=5\]
Como este determinante no es nulo y hay tantas ecuaciones como incógnitas, se trata de un sistema de Cramer.
La matriz columna de términos independientes es:
\[\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\]
Ahora, calculamos la solución para \(x\). Para ello, primero calculamos \(\Delta_1\), sustituyendo la primera columna de la matriz de coeficientes por la columna de términos independientes:
\[\Delta_1=\begin{vmatrix}2 & -1 \\ -1 & 2\end{vmatrix}\]
Entonces:
\[x=\dfrac{\Delta_1}{|A|}=\dfrac{\begin{vmatrix}2 & -1 \\ -1 & 2\end{vmatrix}}{5}=\dfrac{3}{5}\]
Lo mismo para calcular \(y\):
\[y=\dfrac{\Delta_2}{|A|}=\dfrac{\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}}{5}=-\dfrac{4}{5}\]
Como hemos definido, el sistema puede ser de cualquier orden. Es decir, también puedes aplicar esta regla para sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, y sistemas mayores. Simplemente, asegúrate de que se cumplan las condiciones que hemos visto para que se trate de un sistema de Cramer.
Regla de Cramer para un sistema compatible indeterminado
Como hemos mencionado anteriormente, un sistema de Cramer debe ser un sistema compatible determinado. Pero, ¿si nuestro sistema tiene menos ecuaciones que incógnitas? Entonces, se trata de un sistema compatible indeterminado.
Estos sistemas tienen \(n\) incógnitas y \(p\) ecuaciones, siendo \(p<n\). Lo que podemos hacer es conseguir que haya el mismo número de incógnitas que de ecuaciones, convirtiendo \(n-p\) incógnitas en parámetros que pasaremos al lado de los términos independientes. De este modo, conseguimos tantas ecuaciones como incógnitas y el sistema se resuelve de la misma manera. Así, tenemos soluciones en función de los parámetros que hemos creado.
Calcula las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:
\[\left\{\begin{array}\, x+2y+z-2t=2\\2x-y-2z+t=-1\\-x+3y+z+2t=1\end{array}\right.\]
Solución:
Vemos que tenemos 3 ecuaciones y 4 incógnitas, por lo que el sistema es indeterminado. Elegimos una de las incógnitas para que sea un parámetro.
Por ejemplo, elegimos \(t\) como parámetro, por lo que el sistema queda como:
\[\left\{\begin{array}\, x+2y+z=2+2t\\2x-y-2z=-1-t\\-x+3y+z=1-2t\end{array}\right.\]
El determinante de la matriz de coeficientes ahora es:
\[|A|=\begin{vmatrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & -2 \\ -1 & 3 & 1\end{vmatrix}=10\neq 0\]
Por tanto, ahora que aseguramos que es un sistema indeterminado, podemos calcular las soluciones como:
\[x=\dfrac{\Delta_1}{|A|}\]
En este caso, \(\Delta_1\) es:
\[\Delta_1=\begin{vmatrix}2+2t & 2 & 1 \\ -1-t & -1 & -2 \\ 1-2t & 3 & 1\end{vmatrix}\]
Que es el resultado de sustituir la primera columna de la matriz de coeficientes por la columna de los términos independientes. Entonces, resolvemos para \(x\):
\[x=\dfrac{\begin{vmatrix}2+2t & 2 & 1 \\ -1-t & -1 & -2 \\ 1-2t & 3 & 1\end{vmatrix}}{10}=\dfrac{15t+6}{10}\]
Finalmente, de manera análoga, resolvemos para \(y\) y para \(z\):
\[y=\dfrac{\Delta_2}{|A|}=\dfrac{\begin{vmatrix}2 & 2+2t & 1 \\ 2 & -1-t & -2\\ -1 & 1-2t & 1\end{vmatrix}}{10}=\dfrac{-11t+4}{10}\]
\[z=\dfrac{\Delta_3}{|A|}=\dfrac{\begin{vmatrix}1 & 2 & 2+2t \\ 2 & -1 & -1-t \\ -1 & 3 & 1-2t\end{vmatrix}}{10}=\dfrac{25t+10}{10}\]
Ejercicios de la regla de Cramer
Hagamos un par de ejercicios con la regla de Cramer para que tengas mayor seguridad al resolverlos.
Obtén las soluciones del sistema de ecuaciones siguiente:
\[\left\{\begin{array}\,3x-4y=6\\x+7y=1\end{array}\right.\]
Solución:
En primer lugar, debemos obtener el determinante de la matriz de coeficientes, que es:
\[|A|=\begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 1 & 7 \end{vmatrix}=25\]
Entonces, sabemos que es un sistema de Cramer y podemos aplicar su regla para calcular la solución del sistema. Calculamos \(x\) e \(y\):
\[x=\dfrac{\Delta_1}{|A|}=\dfrac{\begin{vmatrix}6 & -4 \\ 1 & 7\end{vmatrix}}{25}=\dfrac{31}{25}\]
\[y=\dfrac{\Delta_2}{|A|}=\dfrac{\begin{vmatrix}3 & 1 \\ 1 & 6 \end{vmatrix}}{25}=\dfrac{17}{25}\]
Calcula las soluciones del sistema:
\[\left\{\begin{array}\, 2x-y+2z+t=3\\2x+y-3z-t=1\\x-y+2y+2t=0\end{array}\right.\]
Solución:
Como podemos observar, hay tres ecuaciones y cuatro incógnitas. Por lo tanto, puede tratarse de un sistema indeterminado. Podemos tratar una de las incógnitas como un parámetro y pasarla a la columna de términos independientes:
\[A^*=\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & -1 & 2 & 3-t \\ 2 & 1 & -3 & 1+t \\ 1 & -1 & 2 & -2t\end{array}\right)\]
Calculamos el determinante de \(A\):
\[|A|=\begin{vmatrix}2 & -1 & 2\\2 & 1 & -3\\1 & -1 & 2\end{vmatrix}=-1\neq 0\]
Como el determinante de \(A\) es distinto de cero, podemos asegurar que el sistema es un sistema de Cramer.
Por lo tanto, igual que en los casos anteriores, aplicamos la fórmula de Cramer para calcular la solución:
\[x=\dfrac{\Delta_1}{|A|}=\dfrac{\begin{vmatrix}3-t & -1 & 2 \\ 1+t & 1 & -3 \\ -2t & -1 & 2\end{vmatrix}}{-1}=\dfrac{-t-3}{-1}=t+3\]
\[y=\dfrac{\Delta_2}{|A|}=\dfrac{\begin{vmatrix}2 & 3-t & 2 \\ 2 & 1+t & -3 \\ 1 & -2t & 2\end{vmatrix}}{-1}=\dfrac{-11t-19}{-1}=11t+19\]
\[z=\dfrac{\Delta_3}{|A|}=\dfrac{\begin{vmatrix}2 & -1 & 3-t \\ 2 & 1 & 1+t \\ 1 & -1 & -2t \end{vmatrix}}{-1}\dfrac{-4t-8}{-1}=4t+8\]
Reglas de Sarrus y Cramer - Puntos clave
- La regla de Sarrus es un método que te permite calcular el determinante de una matriz de orden 3 más fácilmente. En este método, las primeras columnas de la matriz se repiten al final y se realiza una multiplicación de diagonales para obtener el determinante.
- La regla de Cramer nos permite encontrar la solución de un sistema de ecuaciones, al calcular los determinantes de las matrices que resultan de sustituir columnas de la matriz de coeficientes por la columna de términos independientes y dividir entre el determinante de la matriz de coeficientes.
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