Aunque cuando estudiamos las determinantes ya te mencionamos la regla de Sarrus para calcular el determinante de una matriz de \(3\times 3\), ¡en este artículo ampliaremos este tema y daremos más ejemplos!
Además, si también has leído sobre representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales, puede que te interese cómo calcular las soluciones de un sistema de ecuaciones usando las matrices asociadas al sistema. Si quieres saber más, ¡sigue leyendo!
En este artículo comenzaremos aprendiendo la regla de Sarrus y cómo se aplica a determinantes de matrices de \(2\times 2\) y a determinantes de matrices de \(3\times 3\).
Después veremos algunos ejemplos de la regla de Sarrus.
A continuación, explicaremos la relación entre losdeterminantes y los sistemas de ecuaciones.
Veremos la regla de Cramer para sistemas compatibles determinados y para sistemas compatibles indetermindos.
Por último, resolveremos algunos ejercicios de la regla de Cramer.
Regla de Sarrus
Como ya puede que sepas, el determinante de una matriz es una cantidad asociada a esta que hace que la matriz tenga unas características determinadas. La regla de Sarrus nos permite calcular determinantes de una matriz de \(3\times 3\) usando una fórmula predeterminada. Gracias a esto, nos evitamos largos procesos.
Pero, recuerda que los determinantes solo se pueden calcular para matrices cuadradas; es decir, de \(n\) filas y \(n\) columnas.
Debes saber que el orden de una matriz se indica como \(n\times m\), donde \(n\) es el número de filas y \(m\) es el número de columnas.
Determinantes de matrices de \(2\times 2\)
Cuando se tiene una matriz cuadrada de orden 2, podemos calcular su determinante sumando el resultado del producto de los elementos de las diagonales.
3. Ahora, deberás multiplicar usando diagonales: primero, la diagonal que va de \(a_{11}\) a \(a_{33}\) de la primera columna a la tercera columna. Los marcaremos para que los veas:
Este proceso puede llevar un tiempo las primeras veces; pero, cuando lo aprendes, solo deberás recordar que se multiplican las diagonales y se cambia el signo.
Regla de Sarrus: ejemplos
Si hay algo mejor que saber una fórmula, es usarla. Cuanto más uses la regla de Sarrus, más fácil te será hacer estas operaciones. Vamos a ello, con algunos ejemplos:
Aplicamos la regla de Sarrus: que es multiplicar los elementos de las diagonales de izquierda a derecha y sumar los resultados, y multiplicar los elementos de las diagonales de derecha a izquierda y restar los resultados.
Hasta el momento, te hemos hablado de determinantes en matrices que son la representación de sistemas y ecuaciones lineales. Pero, ahora ligaremos ambos conceptos: ¡hay una manera de usar determinantes para calcular las soluciones de un sistema de ecuaciones! Este método se conoce como la Regla de Cramer.
Se dice que un sistema de ecuaciones es un sistema de Cramer si:
El sistema tiene tantas ecuaciones como incógnitas.
El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero: \(\det(A)\neq 0\).
Si ya has leído nuestro artículo sobre el teorema de Rouché-Frobenius, puedes saber que un sistema que cumple estas condiciones es un sistema de ecuaciones compatible determinado.
Regla de Cramer para un sistema compatible determinado
Una vez que hemos establecido que el sistema tiene tantas incógnitas como número de ecuaciones y que el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero (esto es un sistema compatible determinado), podemos aplicar la regla de Cramer.
Dado un sistema de \(n\) ecuaciones con \(n\) incógnitas, su solución se obtiene mediante los cocientes: \[x_1=\dfrac{\Delta_1}{|A|}\] \[x_2=\dfrac{\Delta_2}{|A|}\] \[...\] \[x_n=\dfrac{\Delta_n}{|A|}\] Donde \(\Delta_i\) es el determinante de una matriz, que se obtiene cuando se sustituye en la matriz de coeficientes la columna \(i\) por la columna de los términos independientes.
Vamos a hacer un ejemplo sencillo, para que entiendas cómo funciona la regla de Cramer:
Calcula las soluciones, usando la regla de Cramer, del siguiente sistema de ecuaciones:
Como este determinante no es nulo y hay tantas ecuaciones como incógnitas, se trata de un sistema de Cramer.
La matriz columna de términos independientes es:
\[\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\]
Ahora, calculamos la solución para \(x\). Para ello, primero calculamos \(\Delta_1\), sustituyendo la primera columna de la matriz de coeficientes por la columna de términos independientes:
Como hemos definido, el sistema puede ser de cualquier orden. Es decir, también puedes aplicar esta regla para sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, y sistemas mayores. Simplemente, asegúrate de que se cumplan las condiciones que hemos visto para que se trate de un sistema de Cramer.
Regla de Cramer para un sistema compatible indeterminado
Como hemos mencionado anteriormente, un sistema de Cramer debe ser un sistema compatible determinado. Pero, ¿si nuestro sistema tiene menos ecuaciones que incógnitas? Entonces, se trata de un sistema compatible indeterminado.
Estos sistemas tienen \(n\) incógnitas y \(p\) ecuaciones, siendo \(p<n\). Lo que podemos hacer es conseguir que haya el mismo número de incógnitas que de ecuaciones, convirtiendo \(n-p\) incógnitas en parámetros que pasaremos al lado de los términos independientes. De este modo, conseguimos tantas ecuaciones como incógnitas y el sistema se resuelve de la misma manera. Así, tenemos soluciones en función de los parámetros que hemos creado.
Calcula las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:
Que es el resultado de sustituir la primera columna de la matriz de coeficientes por la columna de los términos independientes. Entonces, resolvemos para \(x\):
Como podemos observar, hay tres ecuaciones y cuatro incógnitas. Por lo tanto, puede tratarse de un sistema indeterminado. Podemos tratar una de las incógnitas como un parámetro y pasarla a la columna de términos independientes:
La regla de Sarrus es un método que te permite calcular el determinante de una matriz de orden 3 más fácilmente. En este método, las primeras columnas de la matriz se repiten al final y se realiza una multiplicación de diagonales para obtener el determinante.
La regla de Cramer nos permite encontrar la solución de un sistema de ecuaciones, al calcular los determinantes de las matrices que resultan de sustituir columnas de la matriz de coeficientes por la columna de términos independientes y dividir entre el determinante de la matriz de coeficientes.
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Preguntas frecuentes sobre Reglas de Sarrus y Cramer
¿Cómo se usa la regla de Cramer?
La regla de Cramer permite calcular las soluciones de un sistema compatible. Se calculan los determinantes que surgen al sustituir cada columna de coeficientes por la columna de términos independientes. Este resultado se divide entre el determinante de la matriz de coeficientes, para obtener el valor de cada incógnita.
¿Cuándo no se puede aplicar la regla de Cramer?
La regla de Cramer no se puede aplicar cuando el determinante de la matriz de coeficientes es nulo.
¿Cómo se hace la regla de Sarrus?
Para aplicar la regla de Sarrus, debes multiplicar los elementos de las diagonales de izquierda a derecha, sumar los resultados y multiplicar los elementos de las diagonales de derecha a izquierda y restar los resultados.
¿Cómo se calcula el determinante de una matriz?
El determinante de una matriz se puede calcular con muchos métodos. Uno de ellos es la regla de Sarrus, si la matriz es de orden 3.
Pero, también puedes aplicar otros, como la triangularización por el método de Gauss.
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Lily Hulatt
Especialista en Contenido Digital
Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
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