Reglas de Sarrus y Cramer

Regla de Sarrus

Como ya puede que sepas, el determinante de una matriz es una cantidad asociada a esta que hace que la matriz tenga unas características determinadas. La regla de Sarrus nos permite calcular determinantes de una matriz de \(3\times 3\) usando una fórmula predeterminada. Gracias a esto, nos evitamos largos procesos.

Pero, recuerda que los determinantes solo se pueden calcular para matrices cuadradas; es decir, de \(n\) filas y \(n\) columnas.

Determinantes de matrices de \(2\times 2\)

Cuando se tiene una matriz cuadrada de orden 2, podemos calcular su determinante sumando el resultado del producto de los elementos de las diagonales.

Si tenemos una matriz del tipo:

\[A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\]

Entonces, su determinante es:

\[\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\]

Regla de Sarrus para determinantes \(3\times 3\)

En forma gráfica, la regla de Sarrus es la siguiente:

1. Se tiene el determinante asociado a una matriz de orden 3:

\[|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}\]

2. Duplica las dos primeras columnas y colócalas a la derecha del determinante; con lo cual tenemos:

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\]

3. Ahora, deberás multiplicar usando diagonales: primero, la diagonal que va de \(a_{11}\) a \(a_{33}\) de la primera columna a la tercera columna. Los marcaremos para que los veas:

\[\begin{vmatrix} \bcancel{a_{11}} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\a_{21} & \bcancel{a_{22}} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & \bcancel{a_{33}} & a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}=+a_{11}a_{22}a_{33}\]

4. A continuación, hacemos otra diagonal de \(a_{12}\) en la segunda columna a \(a_{31}\) en la cuarta; esto sería:

\[\begin{vmatrix} a_{11} & \bcancel{a_{12}} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} & \bcancel{a_{23}} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \bcancel{a_{31}} & a_{32} \end{vmatrix}=+a_{12}a_{23}a_{31}\]

5. Luego, procedemos con la última diagonal, que irá de la tercera columna en \(a_{13}\) a la quinta en \(a_{32}\):

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \bcancel{a_{13}} & a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \bcancel{a_{21}} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & \bcancel{a_{32}} \end{vmatrix}=+a_{13}a_{21}a_{32}\]

6.- Ahora hacemos lo mismo, pero las diagonales irán de la última columna a la primera, y el producto de ellas será negativo:

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & \cancel{a_{12}} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cancel{a_{21}} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & \cancel{a_{33}} & a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}=-a_{12}a_{21}a_{33}\]

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cancel{a_{11}} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} & \cancel{a_{23}} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & \cancel{a_{32}} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}=-a_{11}a_{23}a_{32}\]

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cancel{a_{13}} & a_{11} & a_{12} \\a_{21} & \cancel{a_{22}} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ \cancel{a_{31}} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}=-a_{13}a_{22}a_{31}\]

7. Finalmente, El determinante será la suma de todos los productos anteriores:

\[\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31} \]

Este proceso puede llevar un tiempo las primeras veces; pero, cuando lo aprendes, solo deberás recordar que se multiplican las diagonales y se cambia el signo.

Regla de Sarrus: ejemplos

Si hay algo mejor que saber una fórmula, es usarla. Cuanto más uses la regla de Sarrus, más fácil te será hacer estas operaciones. Vamos a ello, con algunos ejemplos:

Determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Hasta el momento, te hemos hablado de determinantes en matrices que son la representación de sistemas y ecuaciones lineales. Pero, ahora ligaremos ambos conceptos: ¡hay una manera de usar determinantes para calcular las soluciones de un sistema de ecuaciones! Este método se conoce como la Regla de Cramer.

Se dice que un sistema de ecuaciones es un sistema de Cramer si:

• El sistema tiene tantas ecuaciones como incógnitas.

• El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero: \(\det(A)\neq 0\).

Regla de Cramer para un sistema compatible determinado

Una vez que hemos establecido que el sistema tiene tantas incógnitas como número de ecuaciones y que el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero (esto es un sistema compatible determinado), podemos aplicar la regla de Cramer.

Vamos a hacer un ejemplo sencillo, para que entiendas cómo funciona la regla de Cramer:

Como hemos definido, el sistema puede ser de cualquier orden. Es decir, también puedes aplicar esta regla para sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, y sistemas mayores. Simplemente, asegúrate de que se cumplan las condiciones que hemos visto para que se trate de un sistema de Cramer.

Regla de Cramer para un sistema compatible indeterminado

Como hemos mencionado anteriormente, un sistema de Cramer debe ser un sistema compatible determinado. Pero, ¿si nuestro sistema tiene menos ecuaciones que incógnitas? Entonces, se trata de un sistema compatible indeterminado.

Estos sistemas tienen \(n\) incógnitas y \(p\) ecuaciones, siendo \(p<n\). Lo que podemos hacer es conseguir que haya el mismo número de incógnitas que de ecuaciones, convirtiendo \(n-p\) incógnitas en parámetros que pasaremos al lado de los términos independientes. De este modo, conseguimos tantas ecuaciones como incógnitas y el sistema se resuelve de la misma manera. Así, tenemos soluciones en función de los parámetros que hemos creado.

Ejercicios de la regla de Cramer

Hagamos un par de ejercicios con la regla de Cramer para que tengas mayor seguridad al resolverlos.