¿Te has preguntado alguna vez cómo los sitios de redes sociales como Facebook o Linked-In hacen un seguimiento de las relaciones entre sus usuarios?
Supongamos que tenemos la siguiente información de 5 usuarios: Tom está conectado con Leo y Radha, Leo está conectado con Radha y Daniel, Daniel está conectado con Radha y Tom, y Riya no está conectada con ninguno de ellos. ¡Ufff! Es mucho para tener en cuenta solo para 5 usuarios.
Ahora, vamos a organizar esta información en forma de tabla, con un \(0\) —que denota que no hay conexión— y un \(1\) —que denota la conexión entre dos usuarios—.
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]
Esta disposición, con filas y columnas, es lo que llamamos una matriz.
¿Qué es una matriz?
Una matriz es una disposición rectangular de elementos. La disposición horizontal se denomina filas y la vertical, columnas. Las matrices suelen ir entre corchetes \([]\) o paréntesis \(( )\).
Las matrices permiten organizar, almacenar y trabajar con la información. Esto también las hace útiles en la recogida de datos, como los estudios sísmicos.
Tenemos la siguiente información sobre el número de chocolates y galletas que poseen Reena y sus dos amigas Reeta y Riya:
Reena tiene \(10\) chocolates y \(15\) galletas.
Reeta tiene \(25\) chocolates y \(10\) galletas.
Riya tiene \(18\) chocolates y \(23\) galletas.
Podemos ordenar esta información en una matriz como:
\[ \begin{pmatrix} 10 & 15 \\ 25 & 10 \\ 18 & 23 \end{pmatrix}\]
En esta matriz, la primera columna representa el número de chocolates que poseen Reena, Reeta y Riya, respectivamente. La segunda columna representa el número de galletas que poseen Reena, Reeta y Riya, respectivamente.
¿Qué es el orden o dimensión de una matriz?
El orden o dimensión de una matriz da información sobre el número de filas y columnas que la componen. El orden de la matriz viene dado por el número de filas, seguido de "\(\times\)" (que se lee como "por") y, a continuación, el número de columnas de la matriz. Además, el número total de elementos de una matriz es el producto de estos dos números.
Por tanto, la representación de una matriz toma la forma \(A_{m\times n}\), donde \(m\) corresponde al número de filas y \(n\), al número de columnas.
En el caso de una matriz con 3 filas y 2 columnas, su dimensión u orden se escribe como 3 × 2 (se lee como "3 por 2"). El primer número indica el número de filas y el segundo, el número de columnas que contiene la matriz. El número total de elementos de esta matriz sería 6.
Analicemos, ahora, este ejemplo:
La matriz siguiente:
\[ \begin{pmatrix} 2& 4 & 8 & 1\\ 12 & 45 & 5 & 9\\ 0 & 4 & 7 & 6 \end{pmatrix}\]
Tiene \(3\) filas y \(4\) columnas, por lo que podemos escribir que su dimensión es \(3 \times 4\).
Como puedes ver, el número total de elementos es \(3 \times 4 = 12\).
Del mismo modo, la matriz:
\[ B_{4 \times 2} \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 8 & 4 \\ 6 & 2 \\ 7 & 0 \end{pmatrix}\]
Tiene \(4\) filas y \(2\) columnas.
La dimensión de esta matriz es \(4 \times 2\), y el número total de elementos de la matriz es \(4 \times 2 = 8\).
Elementos de la matriz
Los componentes de una matriz se llaman elementos o entradas. Podemos describir un elemento concreto de una matriz dando su posición en la disposición de filas y columnas. Una matriz \(A\) está formada por cada uno de sus elementos, de modo que \(A=(a_{ij})\); donde \(i\) indica la fila y \(j\) indica la columna.
La matriz de \(2 \times 2\)tiene los elementos \(3, 4, 7\) y \(8\). El elemento \(3\) puede ser referido por su posición en la matriz. Está situado en la primera fila y la primera columna de la matriz. Podemos describir el elemento \(3\) como \(a_{11}\). El elemento \(4\) se describe por \(a_{12}\); es decir, es el elemento que se encuentra en la primera fila y la segunda columna de la matriz \(A\).
Consideremos la matriz
\[ A= \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\]
La matriz \(A\) tiene \(2\) filas y \(2\) columnas. Por lo tanto, su orden está dado como \(2 \times 2\). Tiene un total de \(4\) entradas.
El elemento \(a_{12}\) corresponde al \(7\) de la matriz. El elemento \(a_{12}\) corresponde al 0 en la matriz.
Matrices iguales y matrices traspuestas
Si queremos comparar dos matrices y ver si son iguales: en primer lugar, deben tener el mismo número de filas y columnas; luego, debemos comprobar si tienen los mismos elementos y si están colocados en los mismos lugares de la disposición.
Decimos que dos matrices denotadas por \(A_{m\times n}=(a_{ij})\) y \(B_{m\times n}=(b_{ij})\) son iguales, y escribimos \(A=B\), si y solo si:
- tienen el mismo orden: es decir, el número de filas de las matrices A y B es el mismo y el número de columnas de las matrices A y B también es el mismo.
- sus elementos correspondientes son iguales: es decir, \(a_{ij}=b_{ij}\).
Si conocemos las matrices:
\[ \begin{pmatrix} g+3 & 5 \\ 6 & h+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & g+1 \\ h+4 & 3 \end{pmatrix} \]
Entonces podemos decir que los elementos correspondientes deben ser iguales.
Obtenemos las igualdades \(g + 3 = 7\); \(5 = g + 1\); \(6 = h + 4\) y \(h + 1 = 3\).
A partir de esto podemos encontrar el valor de \(g = 4\) y \(h = 2\).
Una matriz \(B_{m\times n}=(b_{ij})\) es la traspuesta de otra \(A_{m\times n}=(a_{ij})\), si se cumple que para cualquier elemento de la primera matriz \(b_{ij}=a_{ji}\). La matriz traspuesta de \(A\) se denota por \(A^t\).
Si \( A= \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 3 & 9 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\) entonces \( A^{T}= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 6 & 9 & 4 \end{pmatrix}\).
Es decir, para calcular la matriz traspuesta lo que debemos hacer es intercambiar filas por columnas.
Clasificación de matrices
Las matrices se pueden clasificar según la relación entre el número de filas \(m\) y el de columnas \(n\):
Una matriz de dimensión \(m\times n\) es rectangular si \(m \neq n\) y es cuadrada si \(m=n\).
Una matriz fila es una matriz rectangular formada por una sola fila y, por tanto, tiene dimensión \(1\times n\).
Una matriz columna es una matriz rectangular formada por una sola columna y, por tanto, tiene dimensión \(m\times 1\).
Clasificación de matrices cuadradas
Las matrices cuadradas son matrices de dimensión \(n\times n\). En estas matrices, los elementos en los que el índice de la fila es igual al de la columna forman la diagonal principal de la matriz; es decir, los elementos que tienen la forma \(a_{ii}\).
Existen las matrices triangulares superiores, en las que los elementos por debajo de la diagonal principal de la matriz son todos nulos. Por el contrario, en las matrices triangulares inferiores, los elementos por encima de la diagonal principal son nulos.
Si solo la diagonal principal de la matriz tiene elementos no nulos, entonces se trata de una matriz diagonal. Cuando todos los elementos de una matriz diagonal son iguales, se trata de una matriz escalar y si, concretamente, todos los elementos de la diagonal principal son el 1, se trata de la matriz identidad.
Una matriz en la que sus elementos cumplen \(a_{ij}=a_{ji}\) se denomina matriz simétrica. Si en cambio, se cumple que \(a_{ij}=a_{ji}\), entonces se trata de una matriz antisimétrica. Para matrices simétricas se cumple \(A=A^t\) y para matrices antisimétricas se cumple \(A=-A^t\).
Clasifiquemos las siguientes matrices:
\[ A= \begin{pmatrix} 3 & 8 & 3 \\ 0 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
\[ B= \begin{pmatrix} 3 & 8 & 4 \\ 9 & 4 & 1 \end{pmatrix}\]
\[ C= \begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}\]
\[ D= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]
La matriz \(A\) es una matriz cuadrada, porque el número de filas es igual al número de columnas. Además es una matriz triangular superior, porque los elementos por debajo de la diagonal principal son todos nulos.
La matriz \(B\) es una matriz rectangular, porque el número de filas no es igual al número de columnas.
La matriz \(C\) es una matriz cuadrada que, además, es una matriz diagonal, porque todos los elementos de la matriz (menos los de la diagonal principal) son nulos. Más allá, es una matriz escalar, porque además de ser una matriz diagonal, todos los elementos son iguales.
La matriz \(D\) es la matriz identidad, puesto que los elementos de la diagonal principal son todos 1 y el resto de elementos de la matriz son nulos.
Operaciones con matrices
Al igual que con el resto de números y objetos, podemos realizar operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación, división... Veamos cada caso:
Suma de matrices
Dos matrices \(A_{m\times n}\) y \(B_{m\times n}\) pueden sumarse si son de la misma dimensión, y dan como resultado una matriz \(S_{m\times n}=(s_{ij})\) de la misma dimensión. El resultado de la suma es \(s_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\).
La suma de matrices tiene las mismas propiedades ya conocidas para el resto de números:
Propiedad conmutativa: \(A+B=B+A\)
Propiedad asociativa: \((A+B)+C=A+(B+C)\)
Elemento neutro: la matriz \(O_{m\times n}\) es el elemento neutro; es decir, \(A_{m\times n}+O_{m\times n}=A_{m\times n}\)
Matriz opuesta: existe una matriz opuesta \(-A_{m\times n}\) que cumple \(A_{m\times n}+(-A_{m\times n})=O_{m\times n}\)
Traspuesta de la suma: se cumple que \((A+B)^t=A^t+B^t\)
De la misma manera, podemos multiplicar un escalar por una matriz. El resultado de este producto es, simplemente, multiplicar cada elemento \(a_{ij}\) por el escalar. Esta operación tiene las mismas propiedades que la multiplicación de escalares: distributividad, asociatividad, multiplicación por la unidad...
Multiplicación de matrices
Las matrices se pueden multiplicar entre ellas, siempre y cuando se cumpla con que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz. Es decir, si \(A_{m\times n}\), entonces la matriz por la que se multiplique tiene que tener \(n\) filas (es decir, \(B_{n\times p}\) ) y el resultado de la multiplicación será la matriz \(C_{m\times p}\).
Los elementos de la matriz resultante se calculan como: \[c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{in}b_{nj}\]
Vamos a mostrar un ejemplo para entender mejor esta operación:
Dadas las siguientes matrices:
\[ \begin{pmatrix} 0 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \end{pmatrix}\]
y
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}\]
calcula \(A\times B\).
Solución
La matriz \(A\) es de dimensión \(2\times 3\) y la matriz \(B\) es de dimensión \(3\times 3\); por tanto, se pueden multiplicar, porque el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz.
Ahora, vamos a calcular cada uno de los elementos de la matriz resultante \(C_{2\times 3}=(c_{ij})\):
\[c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}=1·0+2·2+0·4=4\]
\[c_{12}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}=1·4+2·1+0·3=6\]
\[c_{13}=a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23}+a_{13}b_{33}=1·1+2·0+0·0=1\]
\[c_{21}=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31}=3·0+0·2+2·4=8\]
\[c_{22}=a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32}=3·4+0·1+2·3=17\]
\[c_{23}=a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}+a_{23}b_{33}=3·1+0·0+2·0=3\]
Al reagrupar estos elementos en la nueva matriz, obtenemos:
\[ A_{2 \times 3} \cdot B_{3 \times 3}= C_{2 \times 3} = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 1 \\ 8 & 17 & 3 \end{pmatrix}\]
Vamos a realizar otro ejemplo en el que obtendremos una propiedad muy importante de la multiplicación de matrices:
Dadas las matrices:
\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\]
\[ B= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\]
Calcula \(A·B\) y \(B·A\).
Solución
En primer lugar, vemos que ambas operaciones pueden realizarse, puesto que ambas matrices son cuadradas y de la misma dimensión.
Calculamos ahora \(A·B\):
\[c_{11}=1·2+0·0=2\]
\[c_{12}=1·1+0·3=1\]
\[c_{21}=3·2+1·0=6\]
\[c_{22}=3·1+1·3=6\]
Por tanto:
\[ A \cdot B= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 6 \end{pmatrix}\]
Ahora, vamos a calcular \(B·A\):
\[c_{11}=2·1+1·3=5\]
\[c_{12}=2·0+1·1=1\]
\[c_{21}=0·1+3·3=9\]
\[c_{22}=0·0+3·1=3\]
Por tanto:
\[ B \cdot A= \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 9 & 3 \end{pmatrix}\]
Con el ejemplo anterior demostramos que a la multiplicación de matrices no se aplica la propiedad conmutativa. Es decir, el orden de los factores sí altera el producto de matrices. Solo en algunos casos especiales sí que puede ocurrir que el producto sea conmutativo, pero esto no se cumple por regla general.
Debes tener esto en cuenta a la hora de resolver problemas que impliquen despejar matrices o multiplicar por la matriz inversa, puesto que no será lo mismo multiplicar por la derecha de una matriz que por la izquierda.
Rango de una matriz
Una de las definiciones del rango de una matriz es el número de filas (o columnas) de la matriz que son linealmente independientes entre sí. Es decir, cuántas filas (o columnas) de la matriz no son resultado de operaciones entre filas (o columnas) de la propia matriz. Por tanto, el rango máximo de una matriz es el número de filas (o columnas) de la matriz.
La independencia entre filas o columnas de una matriz se refiere a si hay filas o columnas que sean resultado de combinaciones lineales entre otras filas o columnas.
Cabe destacar que si en una matriz cuadrada de orden \(n\) el determinante es distinto de cero, implica que sus filas y columnas son linealmente independientes entre sí y el rango es \(n\). La afirmación inversa también es cierta; es decir, si las filas y columnas son linealmente independientes entre sí y el rango es \(n\), podemos afirmar que el determinante es distinto de cero.
En la matriz \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\) observamos que la segunda fila es el doble de la primera.
Por tanto, las dos filas son linealmente dependientes. Asimismo, el rango de esta matriz es de \(1\), puesto que solo hay una línea linealmente independiente.
En la matriz:
\( B= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}\)
Observamos que la tercera fila es la suma de la primera más la segunda fila, esto implica que la tercera fila es una combinación lineal de las otras filas. La primera y la segunda fila son independientes; por tanto, el rango de esta matriz es de \(2\).
Hay operaciones que se le pueden realizar a las matrices y que conservan el rango de la misma. Estas son:
Intercambiar filas o columnas dentro de la misma matriz.
Multiplicar todos los elementos de una columna o una fila por un mismo número real distinto de cero.
Sumar a una fila o columna otra multiplicada por un número real.
Trasponer la matriz: el rango por filas pasa a ser el rango por columnas y viceversa.
Etc.
En otros de nuestros artículos podrás encontrar cómo calcular el rango de una matriz por diferentes métodos como el método de Gauss. También te explicamos cómo calcular la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan.
Matrices - Puntos clave
- Una matriz es una disposición rectangular de números o variables en filas y columnas. Este tipo de ordenación se encierra en \([ ]\) o \(( )\).
- La dimensión u orden de una matriz es: (Número de filas) \(\times\)(Número de columnas).
- Los componentes de la matriz se llaman elementos de la matriz. Se describen dando su posición en la disposición en términos del número de filas y columnas que se cruzan en su posición.
- Se dice que dos matrices son comparables si, y solo si, cada una de ellas contiene tantas filas y columnas como la otra.
- Se dice que dos matrices \(A\) y \(B\) son iguales \((A = B)\) si, y solo si, tienen el mismo orden y todos sus elementos correspondientes son iguales.
- En función de la dimensión/orden de la matriz tenemos los siguientes tipos de matriz: matriz de filas, matriz de columnas, matriz cuadrada y matriz rectangular.
- Con base a los elementos de la matriz, tenemos los siguientes tipos de matrices: matriz diagonal, matriz escalar, matriz cero/nula, matriz unidad/identidad, matriz triangular superior y matriz triangular inferior.
- La suma de matrices puede realizarse entre matrices de la misma dimensión y el resultado se obtiene sumando los elementos que se encuentran en las mismas posiciones.
- La multiplicación de matrices solo puede realizarse si el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda matriz.
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