En álgebra, seguramente has visto fracciones complejas como:
\[\dfrac{x^2+3x+8}{3x^4+2x^2}\]
Este tipo de expresiones, en las que ves un cociente de polinomios, se conocen como fracciones algebraicas. Estos cocientes pueden simplificarse, dividirse en fracciones más sencillas, calcular el mínimo común múltiplo y operar con ellas, entre otras operaciones.
Por tanto, es interesante saber identificar una fracción algebraica y cómo operar con ella. ¡En este artículo te explicamos lo que necesitas saber!
Se denomina fracción algebraica a un cociente de dos polinomios, donde el denominador es un polinomio no nulo.
Según la definición anterior, podemos decir que las siguientes expresiones son fracciones algebraicas:
\[\dfrac{x^2+2}{x-\sqrt{2}}\]
\[\sqrt{3}x\]
\[\dfrac{x-2}{4}\]
Mientras que las siguientes expresiones no son fracciones algebraicas, porque el numerador o el denominador (o ambos) no es un polinomio:
\[\dfrac{x+3}{\sqrt{x}-2}\]
\[\dfrac{x^3+x^2-1}{e^x}\]
- En primer lugar explicaremos las fracciones equivalentes.
- Después, veremos el mínimo común múltiplo de un polinomio y el máximo común divisor de polinomios.
- Luego, estudiaremos cómo funciona la simplificación de fracciones algebraicas.
- A continuación, explicaremos la suma y resta de fracciones algebraicas, el producto de fracciones algebraicas y la división de fracciones algebraicas.
- Por último, veremos la descomposición de fracciones algebraicas en fracciones parciales, los distintos casos de fracciones parciales y cómo encontrar las fracciones parciales.
Fracciones equivalentes
Dos fracciones algebraicas \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\) y \(\dfrac{C(x)}{D(x)}\) son equivalentes, si se cumple que \(A(x)D(x)=B(x)C(x)\).
Por tanto, podemos decir que: al simplificar una fracción algebraica, llegamos a una fracción equivalente.
Aunque factorizar y simplificar se parezcan, son situaciones diferentes que se realizan con el mismo fin:
- Simplificar implica hacer una expresión más sencilla. De este modo, la función cambia pero sigue siendo la misma.
- Factorizar implica encontrar términos comunes que luego se pueden usar para simplificar la expresión.
Determina si las siguientes fracciones algebraicas son equivalentes:
\[\dfrac{x^3+x^2}{x^2-x-2}\]
\[\dfrac{x^2}{x-2}\]
Solución:
Realizamos la multiplicación en cruz:
\[(x^3+x^2)(x-2)=x^2(x^2-x-2)\]
\[x^4-x^3-2x^2=x^4-x^3-2x^2\]
Como hemos comprobado, ambas expresiones son equivalentes. Sin embargo, hay que destacar que no son idénticas, puesto que la primera fracción no se puede calcular para \(x=-1\).
Mínimo común múltiplo de un polinomio
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los polinomios se define de la misma manera que para los números reales. Por tanto, lo que vamos a buscar es el polinomio que sea múltiplo, a la vez, de otros polinomios y que este nuevo polinomio sea el múltiplo mínimo.
Por ejemplo, con números naturales: si queremos hacer el m.c.m. de 10 y 12, debemos factorizar estos números:
\[10=2·5\]
\[12=2^2·3\]
En esos casos, el mínimo común múltiplo es el número que es múltiplo, a la vez, de 10 y de 12. Entonces, cogemos los factores que componen cada uno de esos números. Entre los factores que se repiten en ambos, elegimos el de mayor multiplicidad (mayor exponente). Por tanto, el m.c.m. de 10 y 12 es:
\[5·3·2^2=60\]
Como ves, el \(2\) es un factor de ambos números, y hemos cogido el de mayor multiplicidad; en este caso, \(2^2\).
Este concepto es el mismo que vamos a utilizar en polinomios. Para calcular el m.c.m. entre polinomios debes seguir los siguientes pasos:
Factorizar los polinomios.
Obtener el m.c.m., multiplicando los factores comunes y no comunes a todos los polinomios y eligiendo siempre los factores de mayor multiplicidad (mayor exponente).
Veamos un ejemplo, rápidamente:
Dados los polinomios \(P_1(x)=x^4-4x^3+3x^2+4x-4\) y \(P_2(x)=x^3-5x^2+7x-3\), encuentra el mínimo común múltiplo.
Solución:
Como nos piden el m.c.m., tenemos que factorizar ambos polinomios. Puedes usar cualquier técnica que conozcas para factorizar polinomios. Por ejemplo, puedes probar con ciertos factores sencillos, como \((x-1)\), \((x+1)\)...
En este caso, la factorización de \(p_1(x)\) es:
\[P_1(x)=(x-1)(x-2)^2(x+1)\]
Y la factorización de \(p_2(x)\) es:
\[P_2(x)=(x-1)^2(x-3)\]
Para obtener el m.c.m., multiplicamos los factores comunes y no comunes con la mayor multiplicidad; en este caso son:
\[P(x)=(x-1)^2(x-2)^2(x+1)(x-3)\]
Este sería el m.c.m. de ambos polinomios.
Si queremos, podemos expandirlo:
\[P(x)=x^6-8^5+22x^4-20x^3-11x^2+28x-12\]
Máximo común divisor polinomios
De manera similar al mínimo común múltiplo, podemos hallar el máximo común divisor (m.c.d.) de un polinomio. El proceso es similar, en cuanto a que se deben factorizar los polinomios de los cuales queremos hallar el m.c.d.
Por tanto, para calcular el m.c.d. de polinomios debes seguir los siguientes pasos:
Factorizar los polinomios.
Obtener el m.c.d., multiplicando solo los factores comunes a todos los polinomios y con la menor multiplicidad (menor exponente).
Veamos un ejemplo:
Halla el m.c.d. de los siguientes polinomios:
\[P_1(x)=x^4+x^3-3x^2-x+2\]
\[P_2(x)=(x^4+6x^3+9x^2-4x-12)(x-1)\]
Solución:
Para hallar el m.c.d., tenemos que factorizar los polinomios. Como hemos mencionado antes, se puede utilizar cualquier técnica que conozcas para esto.
Las factorizaciones de estos polinomios son:
\[P_1(x)=(x-1)^2(x+2)(x+1)\]
\[P_2(x)=(x-1)(x+2)^2(x+3)(x-1)\]
Ahora sabemos que para hallar el m.c.d. tenemos que coger los términos comunes y con la menor multiplicidad; es decir, el menor exponente. Estos factores son:
\[P(x)=(x-1)(x+2)\]
Este sería el polinomio que representa el m.c.d. de los dos polinomios.
Si queremos, podemos expandirlo como:
\[P(x)=x^2+x-2\]
Simplificación de fracciones algebraicas
Una vez que ya sabes hacer el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, es muy sencillo simplificar las fracciones algebraicas: simplemente, factoriza ambos polinomios en el numerador y denominador y elimina los factores comunes. Al hacer esto llegamos a expresiones más sencillas, pero que son equivalentes. Sin embargo, recuerda que al eliminar factores en el denominador, estás eliminando puntos de discontinuidad de las funciones.
Simplifica la siguiente fracción algebraica:
\[\dfrac{x^2+x-2}{x-1}\]
Solución:
Factorizamos numerador y denominador:
\[\dfrac{(x-1)(x+2)}{x-1}=x+2\]
Hemos eliminado el factor común; pero, recuerda que ahora ya no está la discontinuidad en \(x=1\) que había en la primera expresión.
Operaciones con fracciones algebraicas
Algo muy común es que debas hacer operaciones con fracciones, pero ¿cómo se hace esto, si tienes fracciones algebraicas? Después de todo, una fracción algebraica se puede componer de más de un término.
Por poner dos ejemplos: la suma de fracciones, o la resta.
\[\dfrac{x^2+2}{x+3}+\dfrac{2x^3+2x}{4x+3}\]
\[\dfrac{x+1}{x+2}-\dfrac{x^2+2}{x^2+1}\]
Para poder hacer estas operaciones, se necesitan seguir ciertas reglas, bastante similares a las operaciones con fracciones numéricas, pero con un paso extra que es “multiplicar y desarrollar los términos”. Veamos cada operación por separado.
Suma y resta de fracciones algebraicas
Para realizar la suma y resta de fracciones algebraicas, hay que reducir las fracciones al denominador común. Para esto utilizamos el m.c.m. de los denominadores de las fracciones algebraicas implicadas.
Veamos un ejemplo muy sencillo.
Realiza la siguiente suma entre fracciones algebraicas:
\[\dfrac{3x}{2x^2+3}+\dfrac{4x-2}{2x}\]
Solución:
Tenemos que buscar el denominador común; en este caso, los dos denominadores no tienen factores comunes, por lo que el m.c.m. es la multiplicación entre ambos factores:
\[\dfrac{3x·2x+(4x-2)(2x^2+3)}{(2x^2+3)2x}\]
Haciendo las operaciones, tenemos:
\[\dfrac{6x^2+12x-6x+8x^3-4x^2}{4x^3+6x}\]
Reduciendo:
\[\dfrac{2x^2+8x^3+12x-6}{4x^3+6x}\]
Como puedes ver, los pasos extra son:
- Multiplicar los términos para expandir las expresiones.
- Simplificar o reducir, sumando los términos restantes.
Realiza la resta de las siguiente fracciones algebraicas:
\[\dfrac{x^2-x-2}{x^2-3x}-\dfrac{x^2+x-6}{x^3+x^2}
Solución:
Hallamos el m.c.m. de los denominadores; para esto, factorizamos ambos denominadores:
\[\dfrac{x^2-x-2}{x(x-3)}-\dfrac{x^2+x-6}{x^2(x+1)}\]
Podemos ver que el factor común con la menor multiplicidad es \(x\); el resto son factores no comunes, por lo que se multiplican todos.
Cada numerador se multiplica por los factores no comunes a su denominador:
\[\dfrac{x(x+1)(x^2-x-2)}{x^2(x-3)(x+1)}-\dfrac{(x-3)(x^2+x-6)}{x^2(x-3)(x+1)}\]
Si ahora simplificaras cada fracción algebraica, volverías a la original; por lo que hemos llegado a una expresión equivalente. Como los denominadores son comunes, podemos hacer la resta de los numeradores:
\[\dfrac{x(x+1)(x^2-x-2)-(x-3)(x^2+x-6)}{x^2(x-3)(x+1)}\]
Haciendo las operaciones del numerador, tenemos:
\[\dfrac{x^4-x^3-x^2+7x-18}{x^2(x-3)(x+1)}\]
Podemos factorizar el numerador, para ver si podemos eliminar algún factor común con el denominador:
\[\dfrac{(x-2)(x^3+x^2+x+9)}{x^2(x-3)(x+1)}\]
Vemos que no hay ningún factor común entre numerador y denominador, por lo que esta expresión no se puede simplificar más.
Producto de fracciones algebraicas
En el caso de la multiplicación de las fracciones, lo que se tiene es un producto directo entre los numeradores y denominadores:
\[\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)} \cdot \dfrac{g_1(x)}{g_2(x)}\]
Por esto, lo mejor es factorizar numeradores y denominadores antes de hacer la operación entre fracciones. Así reducimos la complejidad de las posteriores operaciones.
Hagamos un ejemplo como el del ejercicio anterior.
Dadas las fracciones algebraicas:
\[\dfrac{x^4+x^3-15x^2+23x-10}{2x^2+5x-3} \cdot \dfrac{2x^2-7x+3}{x^3-5x^2+8x-4}\]
Solución:
En primer lugar, factorizamos todos los términos:
\[\dfrac{(x-2)(x+5)(x-1)^2}{(x+3)(2x-1)}\cdot \dfrac{(2x-1)(x-3)}{(x-2)^2(x-1)}\]
Ahora, solo debemos multiplicar denominador por denominador y numerador por numerador. Después, podemos eliminar los factores comunes:
\[\dfrac{(x+5)(x-1)(x-3)}{(x+3)(x-2)}\]
Esta expresión no se puede simplificar más; pero, si quieres, puedes expandirla.
División de fracciones algebraicas
La división de fracciones algebraicas también sigue las mismas líneas que las fracciones numéricas, estas son:
\[\dfrac{\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}}{\dfrac{g_1(x)}{g_2(x)}}=\dfrac{f_1(x)g_2(x)}{f_2(x)g_1(x)}\]
Hagamos un ejemplo con el ejercicio anterior.
Se tienen las fracciones:
\[\dfrac{ \dfrac{3x}{2x^2+3}} {\dfrac{4x-2}{2x}}=\dfrac{3x(2x)}{(2x^2+3)(4x-2)}\]
Haciendo las operaciones, tenemos:
\[\dfrac{3x(2x)}{(2x^2+3)(4x-2)}=\dfrac{6x^2}{8x^3-4x^2+12x-6}\]
Descomposición de fracciones algebraicas en fracciones parciales
Toda fracción con mínimo dos factores en el denominador se puede expresar como varias fracciones. Esto implica que expresiones fraccionarias con múltiples términos algebraicos pueden expresarse como fracciones parciales.
Denotaremos a cada parte de la fracción como dos funciones: \(f(x)\) y \(g(x)\) para el numerador y el denominador, respectivamente; aunque puedes darles el nombre que desees:
\[F(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\]
Por ejemplo:
Si se tienen las funciones \(f(x)\) y \(g(x)\) como fracciones donde
\[f(x)=P(x)\]
\[g(x)=(x+a)(x+b)...(x+n)\]
esto se puede expresar como:
\[F=\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{A}{x+a}+\dfrac{B}{x+b}+...\dfrac{N}{x+n}\]
Podemos ver que cada fracción contiene uno de los factores lineales de la fracción mayor original. Básicamente, lo que estamos haciendo es descomponer una fracción en dos o más fracciones. Esto hace que la fracción sea mucho más fácil de trabajar; por eso te puede interesar para, por ejemplo, integrar la fracción algebraica, puesto que la hace mucho más sencilla. El método de fracciones parciales es el que permite encontrar los valores de \(A\), \(B\)... \(N\).
Casos fracciones parciales
Hay casos de fracciones parciales que exploramos aquí:
Dos factores lineales que no se repiten:
Dos factores lineales que se repiten (factor cuadrático irreducible):
Distintos factores cuadráticos:
Mismos factores cuadráticos:
En las fórmulas anteriores, los coeficientes \(a, b, c, d\) son arbitrarios y dependen de \(g(x)\).
Cabe decir que para que esta descomposición sea posible, la función \(g(x)\) debe de poder ser factorizada en términos lineales, o en un término lineal y un término cuadrático.
Antes de empezar con fracciones parciales, veamos algunas herramientas útiles para esto.
Encontrar fracciones parciales
Como viste en el apartado anterior, hay 4 casos importantes cuando se tienen fracciones parciales.
Hagamos un caso, paso por paso, para que comprendas cómo funciona:
Simplifica la siguiente expresión usando fracciones parciales y factorización:
\[F(x)=\dfrac{-5x+2}{x^2-x-2}\]
En primer lugar, puedes factorizar el denominador, usando la fórmula cuadrática:
\[x_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
\[x_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
Con \(a=1\), \(b=-1\) y \(c=-2\), encontramos la raíces:
\[x=-1\]
\[x=2\]
Esto significa que podemos factorizar la parte inferior como:
\[{x^2-x-2}=(x+1)(x-2)\]
Al hacer esto, la funcion original es, ahora:
\[F(x)=\dfrac{-5x+2}{(x+1)(x-2)}\]
Sabemos que esto es igual a:
\[F(x)=\dfrac{-5x+2}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{A}{(x+1)}+\dfrac{B}{x-2}\]
Ahora, debemos multiplicar cada término de la derecha por el denominador de la izquierda, que es \((x+1)(x-2)\).
Esto nos da:
\[\dfrac{A(x+1)(x-2)}{(x+1)}+\dfrac{B(x+1)(x+2)}{x-2}\]
Eliminando los términos comunes:
\[\dfrac{A \cancel{(x+1)}(x-2)}{\cancel{(x+1)}}+\dfrac{B(x+1)\cancel{(x+2)}}{\cancel{x-2}}\]
Lo siguiente es multiplicar los términos:
\[Ax-2A+Bx+B\]
Ahora, reagrupamos solo los términos con \(x\) y solo los que tienen una constante:
\[x(A+B)+(-2A+B)\]
Igualamos estos a los términos originales en el numerador o \(f(x)\).
\[-5x=x(A+B)\]
\[2=(-2A+B)\]
Lo cual nos da el sistema de ecuaciones:
\[A+B=-5\]
\[-2A+B=2\]
Si resolvemos esto, obtenemos:
\[A=-\dfrac{7}{3}\]
\[B=-\dfrac{8}{3}\]
Con lo cual se tiene que:
\[F(x)=\dfrac{-5x+2}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{-\frac{7}{3}}{x+1}+\dfrac{-\frac{8}{3}}{x-2}\]
Fracciones algebraicas - Puntos clave
- Se denomina fracción algebraica a un cociente de dos polinomios, donde el denominador es un polinomio no nulo.
- Puedes hacer operaciones de suma, resta, multiplicación y divisón usando fracciones algebraicas.
- Metodos como el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor nos pueden ayudar a simplificar fracciones algebraicas.
- Las fracciones parciales nos permiten trabajar fracciones más difíciles, al simplificarlas.
- Hay cuatro casos principales para los cuales se usan fracciones parciales:
- Factores lineales que no se repiten:
\[\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)}{(x+a)(x+b)}=\dfrac{A}{(x+a)}+\dfrac{B}{(x+b)}\]
Factores lineales que se repiten ( factor cuadrático irreducible):
\[\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)}{(x+a)(x+a)}=\dfrac{f(x)}{(x+a)^2}=\dfrac{A}{(x+a)}+\dfrac{B}{(x+a)^2}\]
Distintos factores cuadráticos:
\[\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)}{(x+a)^2(x+b)^2}=\dfrac{Ax+B}{(x+a)^2}+\dfrac{Cx+D}{(x+b)^2}\]
Mismos factores cuadráticos:
\[\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)}{(x^2+a)^2}=\dfrac{Ax+B}{x^2+a}+\dfrac{Cx+D}{(x^2+a)^2}\]
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