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Módulo

Seguro que asocias un vector con sus coordenadas. Por ejemplo, si tomas el vector con coordenadas \(3,2\) sabrías dónde se encuentra este vector; pero, ¿y si te preguntamos el valor del vector?

El valor del vector es conocido como la magnitud. Si las coordenadas nos dicen la dirección del vector, la magnitud nos dice su longitud.

Esta cantidad es muy importante, ya que en física significa conceptos como velocidad, aceleración, etc.

Matemáticamente, para poder saber esta magnitud, debes de hacer una operación llamada módulo.

Operación módulo

El módulo es una operación que consiste en la raíz cuadrada de la suma de los varios componentes que definen una cantidad vectorial.

Por ejemplo si la cantidad tiene dos componentes, solo se suman dos; y si la cantidad tiene tres componentes, solo se suman tres.

Rara vez usarás la operación módulo para algo con más de tres dimensiones, ya que en el sentido físico del mundo real, solo podemos definir un vector en dos dimensiones.

La fórmula general de la operación módulo es la siguiente: \(|\overrightarrow{X}|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+...x_n^2}\).

  • Aquí \(|\overrightarrow{X}|\) es la magnitud de la cantidad o el valor real.

Como habrás observado, el módulo se suele representar con dos barras verticales con un vector arriba. Esto está relacionado con el valor absoluto de un número real; pero un número real es, en sí mismo, la cantidad. Realmente es la misma operación, puesto que el módulo también proporciona siempre un valor positivo.

Módulo de un vector

Como ya mencionamos, la operación módulo se puede aplicar a vectores. En física, muchas veces verás la aceleración expresada en sus componentes \(x\) y \(y\); a veces, también \(z\), si estás en tres dimensiones. Esto se puede ver en la imagen inferior para dos dimensiones:

Módulo componentes StudySmarterFig. 1. Vector y sus componentes en \(x\) y \(y\).

Recuerda que para un espacio de dos dimensiones las coordenadas usuales son \(x\) y \(y\); pero, también pueden ser \(x\) y \(z\), o cualquier otra combinación de las tres coordenadas.

En estos casos, es útil saber la magnitud de la velocidad, aceleración o fuerza; en este caso, necesitaremos saber el módulo del vector. Para poder saber la magnitud, simplemente debemos aplicar la fórmula de la operación módulo.

Fórmula del módulo de un vector

La fórmula del módulo de un vector es muy sencilla: simplemente debes elevar los componentes del vector al cuadrado, sumarlos y aplicar la raíz cuadrada. Veamos las fórmulas del módulo para un vector en dos y tres dimensiones:

\[X=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\]

Ahora, aprendamos cómo las podemos aplicar en un par de ejemplos:

Calcula el módulo de un vector, si éste tiene componentes como: \(\overrightarrow{v}=(3,5,10)\).

Aquí, nuestro vector está en tres dimensiones; por lo tanto, debemos usar:

\[|\overrightarrow{v}|=\sqrt{3^2+5^2+10^2}\]

\[|\overrightarrow{v}|=\sqrt{9+25+100}\]

\[|\overrightarrow{v}|=11,75\]

Ahora, ensayemos con un problema con un sentido más físico:

Una bola de billar se mueve sobre un tablero de billar. Usando un sistema de coordenadas, puesto en una de las esquinas del tablero, se determina que una de las bolas de billar —al salir disparada— tiene los siguientes componentes de velocidad:

\[v_x=1\frac{m}{s}\]

\[v_y=0,8\frac{m}{s}\]

Se desea saber cuál es la magnitud de la velocidad, así que procederemos a calcularla usando la operación módulo:

  • Lo primero que observamos es que debemos usar la operación con solo dos coordenadas, que son \(x\) y \(y\).
  • Después, simplemente sustituimos.

\[V=\sqrt{(1 \frac{m}{s})^2 +(0,8 \frac{m}{s})^2}\]

\[V=1,28 \frac{m}{s}\]

Una propiedad importante de la operación modulo es que siempre es positiva.

Módulo de un número complejo

Los números complejos también tienen un módulo y la forma siguiente: \(I=a+bi\).

  • Aquí \(a\) es la parte real del número complejo y \(b\) es la parte imaginaria del número complejo.

Los complejos son representados en el plano como vectores en dos dimensiones, en donde:

  • La parte imaginaria es el eje de las \(y\).

  • La parte real es el eje de las \(x\).

Si te das cuenta, esto significa que los complejos también tienen una magnitud; para calcular esta magnitud, se debe calcular el módulo de un número complejo.

i representa la raíz de menos uno en un numero complejo.

Calculando la magnitud de un número complejo

Para calcular la magnitud de un número complejo, debemos usar la operación módulo; en este caso, la \(i\) del número imaginario no se toma en cuenta, sino solo el valor que multiplica esta \(i\).

Veamos un ejemplo:

Se tiene el número complejo: \(I=(5, 3-2i)\).

La magnitud de este número está dada por la operación módulo siguiente:

\[|I|=\sqrt{(5,3)^2+(-2)^2}\]

Como puedes ver, el símbolo i no se tiene en cuenta:

\[|I|=\sqrt{28,09+4}=5,66\]

Esto se puede ver en la siguiente imagen:

Módulo número complejo StudySmarterFig. 2. Módulo de un número complejo.

Aplicaciones del módulo de números

La operación módulo tiene diversas aplicaciones en el mundo real, muchas de ellas tienen que ver con el cálculo de cantidades físicas.

Puedes aprender más sobre esto en nuestro artículo sobre sistemas de referencia.

En física se usan marcos de referencia. Usando estos marcos de referencia, se pueden medir cantidades como:

  • velocidades

  • aceleraciones

  • fuerzas

  • presiones

  • etc.

Para poder calcular la magnitud de estas, deberemos usar la operación módulo.

Módulo - Puntos clave

  • Un vector tiene dirección y magnitud; la magnitud se puede obtener usando sus componentes.
  • Para obtener la magnitud usando los componentes de un vector, debes usar la operación módulo.
  • El módulo de un vector es la raíz cuadrada de la suma de sus componentes al cuadrado.
  • La magnitud es siempre positiva.
  • La magnitud de un vector puede ser usada para un vector en dos, tres y más dimensiones.
  • Los números complejos que son representados por vectores también tienen un módulo.

Preguntas frecuentes sobre Módulo

Es la magnitud del vector o su valor.

El módulo es una operación que consiste en la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los varios componentes que definen una cantidad vectorial.

El módulo de un vector se calcula usando la suma del cuadrado de sus componentes. El proceso es el siguiente::


1. Elevar al cuadrado sus componentes; por ejemplo, x, y y z (si es un vector en el espacio), o solo x y y (si es un vector en el plano).

2. Sumar estos cuadrados entre sí.

3. Obtener la raíz cuadrada de la suma.

Es el valor real de un vector, la cantidad que nos indica cuánto vale. Por ejemplo, la magnitud de la aceleración es el valor real de la aceleración, no de sus componentes.

Cuestionario final de Módulo

Pregunta

¿Cuál es la función módulo?

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Answer

El módulo es una operación que consiste en la raíz cuadrada de la suma de los varios componentes que definen una cantidad vectorial.

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Pregunta

¿Qué nos dicen las coordenadas del vector?

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Answer

Su dirección.

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Pregunta

La magnitud del vector también es igual a:

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Answer

La longitud del vector.

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Pregunta

¿Cómo se representa el módulo de un vector?

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Answer

Con dos barras alrededor del vector y una flecha en la parte superior.

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Pregunta

Es la fórmula del módulo de un vector para un vector que tiene dos componentes:

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Answer

\[\sqrt[2]{x^2+y^2}\]

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Pregunta

Es la fórmula del módulo de un vector para un vector que tiene tres componentes:

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Answer

\(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

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Pregunta

Calcula el módulo del vector que inicia en el origen \((0; 0)\) y cuyas coordenadas finales son \((3; 5)\).

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Answer

\(5,83\).

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Pregunta

Calcula el módulo del vector que inicia en el origen \((0; 0)\) y cuyas coordenadas finales son \( (7; 2,1)\).

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Answer

\(7,3\).

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Pregunta

Calcula el módulo del vector que inicia en el origen \((0; 0)\) y cuyas coordenadas finales son \((1; 1)\).

Mostrar respuesta

Answer

\(1,41\).

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Pregunta

Calcula el módulo del vector que inicia en el origen \((0; 0; 0)\) y cuyas coordenadas finales son \((6; 15; 3,4)\).

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Answer

\( 16,5\).

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Pregunta

La operación del módulo de un vector tiene un sentido físico en diversos problemas, uno de ellos es:

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Answer

La velocidad resultante.

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Pregunta

Si una bola de billar se mueve en \(45^o\) con una velocidad horizontal de \(1.2 \frac{m}{s}\) y vertical de \(1.6 \frac{m}{s}\), ¿cuál es la velocidad resultante?

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Answer

\(2\frac{m}{s}\).

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Pregunta

¿Qué número complejo representa la letra \(i\)?

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Answer

\(i\) representa la raíz de \(-1\) en un número complejo o \(\sqrt{-1}\).

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Pregunta

¿Cual es el módulo del siguiente número complejo?: \(3+5i\).

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Answer

\(5,83\)

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Pregunta

El módulo de un número complejo es una magnitud. ¿Verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Verdadero.

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