Seguro que asocias un vector con sus coordenadas. Por ejemplo, si tomas el vector con coordenadas \(3,2\) sabrías dónde se encuentra este vector; pero, ¿y si te preguntamos el valor del vector?
El valor del vector es conocido como la magnitud. Si las coordenadas nos dicen la dirección del vector, la magnitud nos dice su longitud.
Esta cantidad es muy importante, ya que en física significa conceptos como velocidad, aceleración, etc.
Matemáticamente, para poder saber esta magnitud, debes de hacer una operación llamada módulo.
Operación módulo
El módulo es una operación que consiste en la raíz cuadrada de la suma de los varios componentes que definen una cantidad vectorial.
Por ejemplo si la cantidad tiene dos componentes, solo se suman dos; y si la cantidad tiene tres componentes, solo se suman tres.
Rara vez usarás la operación módulo para algo con más de tres dimensiones, ya que en el sentido físico del mundo real, solo podemos definir un vector en dos dimensiones.
La fórmula general de la operación módulo es la siguiente: \(|\overrightarrow{X}|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+...x_n^2}\).
- Aquí \(|\overrightarrow{X}|\) es la magnitud de la cantidad o el valor real.
Como habrás observado, el módulo se suele representar con dos barras verticales con un vector arriba. Esto está relacionado con el valor absoluto de un número real; pero un número real es, en sí mismo, la cantidad. Realmente es la misma operación, puesto que el módulo también proporciona siempre un valor positivo.
Módulo de un vector
Como ya mencionamos, la operación módulo se puede aplicar a vectores. En física, muchas veces verás la aceleración expresada en sus componentes \(x\) y \(y\); a veces, también \(z\), si estás en tres dimensiones. Esto se puede ver en la imagen inferior para dos dimensiones:
Fig. 1. Vector y sus componentes en \(x\) y \(y\).
Recuerda que para un espacio de dos dimensiones las coordenadas usuales son \(x\) y \(y\); pero, también pueden ser \(x\) y \(z\), o cualquier otra combinación de las tres coordenadas.
En estos casos, es útil saber la magnitud de la velocidad, aceleración o fuerza; en este caso, necesitaremos saber el módulo del vector. Para poder saber la magnitud, simplemente debemos aplicar la fórmula de la operación módulo.
Fórmula del módulo de un vector
La fórmula del módulo de un vector es muy sencilla: simplemente debes elevar los componentes del vector al cuadrado, sumarlos y aplicar la raíz cuadrada. Veamos las fórmulas del módulo para un vector en dos y tres dimensiones:
\[X=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\]
Ahora, aprendamos cómo las podemos aplicar en un par de ejemplos:
Calcula el módulo de un vector, si éste tiene componentes como: \(\overrightarrow{v}=(3,5,10)\).
Aquí, nuestro vector está en tres dimensiones; por lo tanto, debemos usar:
\[|\overrightarrow{v}|=\sqrt{3^2+5^2+10^2}\]
\[|\overrightarrow{v}|=\sqrt{9+25+100}\]
\[|\overrightarrow{v}|=11,75\]
Ahora, ensayemos con un problema con un sentido más físico:
Una bola de billar se mueve sobre un tablero de billar. Usando un sistema de coordenadas, puesto en una de las esquinas del tablero, se determina que una de las bolas de billar —al salir disparada— tiene los siguientes componentes de velocidad:
\[v_x=1\frac{m}{s}\]
\[v_y=0,8\frac{m}{s}\]
Se desea saber cuál es la magnitud de la velocidad, así que procederemos a calcularla usando la operación módulo:
- Lo primero que observamos es que debemos usar la operación con solo dos coordenadas, que son \(x\) y \(y\).
- Después, simplemente sustituimos.
\[V=\sqrt{(1 \frac{m}{s})^2 +(0,8 \frac{m}{s})^2}\]
\[V=1,28 \frac{m}{s}\]
Una propiedad importante de la operación modulo es que siempre es positiva.
Módulo de un número complejo
Los números complejos también tienen un módulo y la forma siguiente: \(I=a+bi\).
- Aquí \(a\) es la parte real del número complejo y \(b\) es la parte imaginaria del número complejo.
Los complejos son representados en el plano como vectores en dos dimensiones, en donde:
Si te das cuenta, esto significa que los complejos también tienen una magnitud; para calcular esta magnitud, se debe calcular el módulo de un número complejo.
i representa la raíz de menos uno en un numero complejo.
Calculando la magnitud de un número complejo
Para calcular la magnitud de un número complejo, debemos usar la operación módulo; en este caso, la \(i\) del número imaginario no se toma en cuenta, sino solo el valor que multiplica esta \(i\).
Veamos un ejemplo:
Se tiene el número complejo: \(I=(5, 3-2i)\).
La magnitud de este número está dada por la operación módulo siguiente:
\[|I|=\sqrt{(5,3)^2+(-2)^2}\]
Como puedes ver, el símbolo i no se tiene en cuenta:
\[|I|=\sqrt{28,09+4}=5,66\]
Esto se puede ver en la siguiente imagen:
Fig. 2. Módulo de un número complejo.
Aplicaciones del módulo de números
La operación módulo tiene diversas aplicaciones en el mundo real, muchas de ellas tienen que ver con el cálculo de cantidades físicas.
Puedes aprender más sobre esto en nuestro artículo sobre sistemas de referencia.
En física se usan marcos de referencia. Usando estos marcos de referencia, se pueden medir cantidades como:
velocidades
aceleraciones
fuerzas
presiones
etc.
Para poder calcular la magnitud de estas, deberemos usar la operación módulo.
Módulo - Puntos clave
- Un vector tiene dirección y magnitud; la magnitud se puede obtener usando sus componentes.
- Para obtener la magnitud usando los componentes de un vector, debes usar la operación módulo.
- El módulo de un vector es la raíz cuadrada de la suma de sus componentes al cuadrado.
- La magnitud es siempre positiva.
- La magnitud de un vector puede ser usada para un vector en dos, tres y más dimensiones.
- Los números complejos que son representados por vectores también tienen un módulo.
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