Sistemas de ecuaciones lineales

Piensa en la primera ecuación de antes:

$2x+y=5$

Puedes probar con diferentes números y ver que una posible solución sería \((x=2,y=1)\).

Pero, en realidad, hay infinitas soluciones. Piensa en lo que pasaría si x o y fueran fracciones. Necesitamos una segunda ecuación para identificar una única solución.

Volvamos a nuestras ecuaciones originales:

$2x+y=5$

$x-y=1$

Vemos que, si sumamos cada uno de los lados de las dos ecuaciones, podremos eliminar fácilmente. (Puedes sumar o restar las ecuaciones dependiendo de la situación.) ¡Probemos!

$2x+y+x-y=5+1$

Esto nos deja con la ecuación única:

$3x=6\Rightarrow x=2$

Ahora podemos sustituirla en una de las ecuaciones originales para encontrar \(y\):

$2-y=1\Rightarrow y=1$

Por último, es importante que compruebes siempre tu trabajo sustituyendo estos valores en la otra ecuación:

$2x+y=5\Rightarrow 2·2+1=5\Rightarrow 5=5$

Resuelve:

$x+4y=11$

$x-y=1$

Solución:

Para empezar, puedes restar cada uno de los lados de la ecuación para eliminar la \(x\):

$(x+4y)-(x-y)=5y$

$11-1=10$

Ahora puedes trabajar con las respuestas para formar una nueva ecuación que resuelva la \(y\):

$5y=10\Rightarrow y=2$

Esta respuesta ya puede sustituirse en una de las ecuaciones originales para resolver la \(x\):

$x-y=1$

$x-2=1$

$x=1+2=3$

Por último, no olvides comprobar tus respuestas, sustituyéndolas en una de las ecuaciones:

$x+4y=11\Rightarrow 3+4·2=11$

Resuelve:

$$\left\{\begin{array}\,3x+2y=10\\2x+3y=15\end{array}\right.$$

Solución:

En este ejemplo, el uso de la eliminación no es tan sencillo como antes. Tenemos que cambiar las ecuaciones de alguna manera para que los coeficientes sean los mismos. Podemos hacerlo siempre que realicemos la misma operación en ambos lados de la ecuación.

Parece que podemos obtener el mismo coeficiente de \(y\) multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por 2. Vamos a intentarlo:

$$\left\{\begin{array}\,9x+6y=30\\4x+6y=30\end{array}\right.$$

Ahora podemos restarlas para eliminar la \(y\), y luego sustituir nuestra respuesta por \(x\), como antes:

$9x+6y-4x+6y=5x$

$30-30=0$

$5x=0$

$x=0$

Comprobando:

$3x+2y=10\Rightarrow 3·0+2·5=10$

Resuelve:

$$\left\{\begin{array}\,4x+2y=44\\7x+4y=83\end{array}\right.$$

Solución:

Para ello, primero hay que hacer que dos de los coeficientes sean iguales. Entonces, podemos multiplicar la primera ecuación por 2, lo que nos da estas ecuaciones:

$8x+4y=88$

$7x+4y=83$

Ahora puedes restar una ecuación de la otra para eliminar la \(y\) y resolver para \(x\):

$8x+4y-7x-4y=x$

$88-83=5$

$x=5$

Luego puedes introducir \(x\) en una de las ecuaciones para resolver la variable \(y\):

$7x+4y=83\Rightarrow 7·5+4y=83\Rightarrow y=12$

No olvides que es posible comprobar tus respuestas sustituyendo ambas respuestas en la ecuación y comprobando que funciona:

$4·5+2·12=44$

Resuelve:

$$\left\{\begin{array}\, 5x+y=28\\y=2x\end{array}\right.$$

Solución:

Para utilizar el método de sustitución puedes empezar por sustituir la ecuación 2, en la \(y\) de la ecuación 1, para ayudarte a encontrar la \(x\):

$5x+y=28$

$5x+2x=28$

Despejando:

$x=4$

Ahora puedes sustituir \(x=4\) en una de las ecuaciones, para encontrar la \(y\):

$y=2x\Rightarrow y=2·4=8$

Resuelve:

$$\left\{\begin{array}\, 2x+y=5\\x-y=1\end{array}\right.$$

Solución:

En este caso necesitamos reordenar la ecuación 2, para obtenerla en términos de \(y\). Hacer esto nos permitirá sustituirla en la ecuación 1 y resolver para \(x\):

$y=x-1$

$2x+(x-1)=5$

$3x-1=5$

$x=2$

El último paso sigue siendo el mismo: simplemente utilizamos este valor en la segunda ecuación, lo que nos da \(y = 1\), como antes. Finalmente, ¡asegúrate de comprobar tu respuesta!

Resuelve:

$$\left\{\begin{array}\, y-3x=6\\x^2+2x=y\end{array}\right.$$

Solución:

En una gráfica, estas ecuaciones se verían así:

Fig. 4: Soluciones de un sistema de ecuaciones donde hay una ecuación cuadrática (parábola).

Lo primero que tenemos que hacer en este caso es reordenar la primera ecuación. La clave es hacer que ambas sean iguales a y, (es decir, que sean iguales a la misma cosa), porque eso significa que podemos hacer que ambas sean iguales entre sí:

$y=3x+6$

$x^2+2x=3x+6$

$x^2-x-6=0$

¡Ahora tenemos una ecuación cuadrática que puedes resolver con el método que prefieras! En este ejemplo vamos a utilizar la factorización.

$x^2-x-6=0(x-3)(x+2)=0$

$x=3$

$x=-2$

Como puedes ver, tenemos dos valores posibles para \(x\). Esto significa que tenemos que sustituir cada uno de ellos para encontrar dos pares de soluciones para nuestro sistema de ecuaciones:

$y=3·3+6=15$

$y=3·(-2)+6=0$

Esto nos da los pares:

$x=3$

$y=15$

y

$x=-2$

$y=0$

Alí compra 2 caramelos y 3 chicles (o gomas). Bea compra 3 caramelos y 2 chicles. El total de Ali asciende a \(0{,}10\) libras y Bea paga \(0{,}15\) libras. ¿Cuánto cuestan los caramelos y los chicles?

Solución:

Primero hay que identificar las variables. En este caso son los caramelos y los chicles. Podemos ver que 2 caramelos y 3 chicles cuestan 10 p, y 3 caramelos y 2 gomas cuestan 15 p. Con esta información podemos escribir las siguientes ecuaciones, en las que g representa los chicles y t los caramelos:

$$\left\{\begin{array}\, 3g-2t=10\\2g+3t=15\end{array}\right.$$

Como puedes ver, se trata de uno de los sistemas de ecuaciones de antes.

Expresa las siguientes ecuaciones como una matriz:

$$\left\{\begin{array}\, 2x+y=7\\3x=4\\y=1\end{array}\right.$$

Solución:

En primer lugar, necesitamos ordenar las ecuaciones por renglones:

$$\left\{\begin{array}\,2x&+&y&=&7\\3x&&&=&4\\&&y&=&1\end{array}\right.$$

Ahora, necesitamos eliminar las variables y dejar solo los coeficientes. Las variables que no existan en una de las ecuaciones tendrán un \(0\) por coeficiente, y las que no tengan coeficiente tendrán un \(1\). Después, procedemos a poner todo entre paréntesis y dividir los coeficientes de los resultados:

$\begin{pmatrix} 2&1&7\\3&0&4\\0&1&1\end{pmatrix}$

El resultado es una matriz.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\left\{\begin{array}\, 2x+3y=6\\4x=2\end{array}\right.$$

Este caso es el ejemplo mas básico: lo que debemos hacer es despejar \(x\). Para saber cuánto vale \(x\), pasamos el número \(4\) a dividir al otro lado:

$x=\dfrac{2}{4}\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}$

Ahora sustituyes este valor en la ecuación, donde están ambas variables:

$2·\dfrac{1}{2}+3y=6$

$1+3y=6$

Debes despejar ahora la \(y\); para esto, pasas el \(1\) al otro lado restando:

$3y=6-1\Rightarrow 3y=5$

Luego pasas el \(3\) dividiendo:

$y=\dfrac{5}{3}$

¡Listo! el resultado del sistema es:

$x=\dfrac{1}{2}$

$y=\dfrac{5}{3}$

Resuelve el siguiente sistema:

$$\left\{\begin{array}\, 3x-45y=0\\4x-2y=0\end{array}\right.$$

Solución:

En este caso, habrá que despejar una variable para dejarla en términos de la otra. Por ejemplo, usemos \(x\) en la segunda ecuación. Empezamos por pasar \(y\) del otro lado sumando:

$4x=2y$

Ahora, pasamos el número \(4\) dividiendo:

$x=\dfrac{2y}{4}$

$x=\dfrac{1}{2}y$

Luego, debemos usar este valor en la primera ecuación; para ello, necesitamos insertar el valor de \(x=\frac{1}{2}y\) en \(3x\):

$3x=3\dfrac{1}{2}y=\dfrac{3}{2}y$

Entonces, lo sustituimos en la primera ecuación, otra vez:

$\dfrac{3}{2}y-45y=0$

Ahora lo sumamos, o restamos, dependiendo del signo:

$-\dfrac{87}{2}y=0$

En este punto hay algo de lo que te puedes dar cuenta: que el valor de \(y\) sea \(0\), solo es posible si \(y=0\).

Por lo tanto, si sustituimos ese valor en la segunda ecuación, tenemos:

$4x-2·0=0$

$4x=0$

Nuevamente, para que esto sea cierto, \(x\) debe ser \(0\). En este sistema los valores son:

$x=0$

$y=0$

Podemos repetir los pasos del ejemplo anterior hasta tener que despejar \(x\) en la primera ecuación, lo cual nos deja:

$\dfrac{3}{2}y-45y=5$

$-\dfrac{87}{2}y=5$

Ahora \(y\) puede ser distinto de \(0\). En este caso, despejamos:

Ya que sabemos el valor de \(y\), procedemos a sustituir esto en la segunda ecuación, para obtener \(x\):