Los sistemas de ecuaciones lineales son conjuntos de ecuaciones con múltiples valores desconocidos.
Pueden utilizarse para calcular lo que representa cada incógnita. También, a veces, puedes verlas referidas como ecuaciones simultáneas.
Fig. 1. Imagen de dos rectas que tienen una solución (el punto donde se cruzan).
La gráfica anterior muestra un sistema de ecuaciones, en este caso lineales:
$$\left\{\begin{array}\,y=x+3\\y=15x-4\end{array}\right.$$
Hay una solución que satisface ambas ecuaciones y puedes verla en el punto donde se cruzan las dos líneas. Esta es una forma de resolver sistemas de ecuaciones; pero, en esta guía te mostraremos formas mejores y más rápidas. ¡Así que sigue leyendo!
Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican por la cantidad de variables y ecuaciones que tienen; un sistema con dos variables debe tener dos ecuaciones y se conoce como sistema \(2\times 2\). Un sistema de ecuaciones lineales también se conoce como sistema de ecuaciones de primer grado.
Consulta nuestra guía de resolución de ecuaciones lineales, si necesitas un repaso a la resolución de una incógnita, ya que nos basaremos en ella.
Importancia de los sistemas de ecuaciones lineales
Si quieres resolver una ecuación con una sola incógnita, el proceso suele ser muy sencillo. Sin embargo, las cosas se complican cuando se introducen más incógnitas.
Piensa en la primera ecuación de antes:
$$2x+y=5$$
Puedes probar con diferentes números y ver que una posible solución sería \((x=2,y=1)\).
Pero, en realidad, hay infinitas soluciones. Piensa en lo que pasaría si x o y fueran fracciones. Necesitamos una segunda ecuación para identificar una única solución.
Otra manera de clasificar un sistema de ecuaciones lineales es por su número de soluciones.
Significado de un sistema de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales se representa en un espacio cartesiano. Por ejemplo, si se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, este sistema es igual a dos rectas en dos dimensiones.
Ejemplo de esto son las siguientes rectas:
$$\left\{\begin{array}\,2y+3x=0\\\dfrac{2}{3}y-3x=2\end{array}\right.$$
Esto se vería en un plano cartesiano de dos dimensiones como:
Fig. 2: Representación gráfica de ecuaciones en forma de rectas interceptando una a la otra.
Solo puede ser igual a dos dimensiones, si las incógnitas en ambas ecuaciones son las mismas.
Si se tuviesen tres incógnitas, estas serían rectas en tres dimensiones.
Otro punto importante es que cuando estas ecuaciones se igualan entre sí, lo que se busca es el punto donde se intersecan; es decir, el punto donde ambas ecuaciones tienen el mismo valor. Esto se puede ver en la figura inferior:
Fig. 3. Sistema de ecuaciones lineales, donde cada ecuación es una recta. El punto donde se cruzan ambas es \(A\).
Los sistemas de ecuaciones lineales usan ecuaciones lineales de primer grado simples; por sí mismas, estas pueden resolverse por el método de sustitución, si se conoce una de las variables.
Solución de sistemas de ecuaciones lineales
Puedes resolver sistemas de ecuaciones de varias maneras. Te mostraremos las dos mejores formas, ya que son más rápidas que usar una gráfica como la mostrada antes. Cada forma puede ser más fácil, dependiendo de la pregunta, y puedes encontrar una que te resulte más natural, así que asegúrate de probar las dos.
¿Qué se necesita para resolver un sistema de ecuaciones?
Para resolver un sistema de ecuaciones se necesita lo siguiente:
Resolviendo por eliminación o reducción
Una forma de resolver sistemas de ecuaciones es por eliminación. En este método debes realizar operaciones aritméticas entre las distintas ecuaciones para eliminar variables al combinarlas; el método también se conoce como método por reducción. Puedes utilizar este método más fácilmente cuando la incógnita que quieres eliminar tiene el mismo coeficiente en cada ecuación; pero, te mostraremos cómo utilizarlo también en otros casos.
Volvamos a nuestras ecuaciones originales:
$$2x+y=5$$
$$x-y=1$$
Vemos que, si sumamos cada uno de los lados de las dos ecuaciones, podremos eliminar fácilmente. (Puedes sumar o restar las ecuaciones dependiendo de la situación.) ¡Probemos!
$$2x+y+x-y=5+1$$
Esto nos deja con la ecuación única:
$$3x=6\Rightarrow x=2$$
Ahora podemos sustituirla en una de las ecuaciones originales para encontrar \(y\):
$$2-y=1\Rightarrow y=1$$
Por último, es importante que compruebes siempre tu trabajo sustituyendo estos valores en la otra ecuación:
$$2x+y=5\Rightarrow 2·2+1=5\Rightarrow 5=5$$
Esto es crucial para ayudarte a detectar los errores que hayas podido cometer.
Resuelve:
$$x+4y=11$$
$$x-y=1$$
Solución:
Para empezar, puedes restar cada uno de los lados de la ecuación para eliminar la \(x\):
$$(x+4y)-(x-y)=5y$$
$$11-1=10$$
Ahora puedes trabajar con las respuestas para formar una nueva ecuación que resuelva la \(y\):
$$5y=10\Rightarrow y=2$$
Esta respuesta ya puede sustituirse en una de las ecuaciones originales para resolver la \(x\):
$$x-y=1$$
$$x-2=1$$
$$x=1+2=3$$
Por último, no olvides comprobar tus respuestas, sustituyéndolas en una de las ecuaciones:
$$x+4y=11\Rightarrow 3+4·2=11$$
Resolución por eliminación (diferentes coeficientes)
Veamos ahora un nuevo ejemplo:
Resuelve:
$$\left\{\begin{array}\,3x+2y=10\\2x+3y=15\end{array}\right.$$
Solución:
En este ejemplo, el uso de la eliminación no es tan sencillo como antes. Tenemos que cambiar las ecuaciones de alguna manera para que los coeficientes sean los mismos. Podemos hacerlo siempre que realicemos la misma operación en ambos lados de la ecuación.
Parece que podemos obtener el mismo coeficiente de \(y\) multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por 2. Vamos a intentarlo:
$$\left\{\begin{array}\,9x+6y=30\\4x+6y=30\end{array}\right.$$
Ahora podemos restarlas para eliminar la \(y\), y luego sustituir nuestra respuesta por \(x\), como antes:
$$9x+6y-4x+6y=5x$$
$$30-30=0$$
$$5x=0$$
$$x=0$$
Comprobando:
$$3x+2y=10\Rightarrow 3·0+2·5=10$$
Resuelve:
$$\left\{\begin{array}\,4x+2y=44\\7x+4y=83\end{array}\right.$$
Solución:
Para ello, primero hay que hacer que dos de los coeficientes sean iguales. Entonces, podemos multiplicar la primera ecuación por 2, lo que nos da estas ecuaciones:
$$8x+4y=88$$
$$7x+4y=83$$
Ahora puedes restar una ecuación de la otra para eliminar la \(y\) y resolver para \(x\):
$$8x+4y-7x-4y=x$$
$$88-83=5$$
$$x=5$$
Luego puedes introducir \(x\) en una de las ecuaciones para resolver la variable \(y\):
$$7x+4y=83\Rightarrow 7·5+4y=83\Rightarrow y=12$$
No olvides que es posible comprobar tus respuestas sustituyendo ambas respuestas en la ecuación y comprobando que funciona:
$$4·5+2·12=44$$
Resolver por sustitución
Hay otra forma en la que podríamos haber abordado el primer conjunto de ecuaciones: la sustitución. Recuerda que en los ejemplos anteriores, una vez que hemos encontrado un valor, podemos sustituirlo en la ecuación para encontrar el otro. Este método implica la misma técnica, pero en un punto diferente del proceso.
Resuelve:
$$\left\{\begin{array}\, 5x+y=28\\y=2x\end{array}\right.$$
Solución:
Para utilizar el método de sustitución puedes empezar por sustituir la ecuación 2, en la \(y\) de la ecuación 1, para ayudarte a encontrar la \(x\):
$$5x+y=28$$
$$5x+2x=28$$
Despejando:
$$x=4$$
Ahora puedes sustituir \(x=4\) en una de las ecuaciones, para encontrar la \(y\):
$$y=2x\Rightarrow y=2·4=8$$
Resuelve:
$$\left\{\begin{array}\, 2x+y=5\\x-y=1\end{array}\right.$$
Solución:
En este caso necesitamos reordenar la ecuación 2, para obtenerla en términos de \(y\). Hacer esto nos permitirá sustituirla en la ecuación 1 y resolver para \(x\):
$$y=x-1$$
$$2x+(x-1)=5$$
$$3x-1=5$$
$$x=2$$
El último paso sigue siendo el mismo: simplemente utilizamos este valor en la segunda ecuación, lo que nos da \(y = 1\), como antes. Finalmente, ¡asegúrate de comprobar tu respuesta!
Resolver sistemas de ecuaciones con un término cuadrático
Para resolver sistemas de ecuaciones con una cuadrática, nos basamos en el método de sustitución de antes.
Resuelve:
$$\left\{\begin{array}\, y-3x=6\\x^2+2x=y\end{array}\right.$$
Solución:
En una gráfica, estas ecuaciones se verían así:
Fig. 4: Soluciones de un sistema de ecuaciones donde hay una ecuación cuadrática (parábola).
Lo primero que tenemos que hacer en este caso es reordenar la primera ecuación. La clave es hacer que ambas sean iguales a y, (es decir, que sean iguales a la misma cosa), porque eso significa que podemos hacer que ambas sean iguales entre sí:
$$y=3x+6$$
$$x^2+2x=3x+6$$
$$x^2-x-6=0$$
¡Ahora tenemos una ecuación cuadrática que puedes resolver con el método que prefieras! En este ejemplo vamos a utilizar la factorización.
Si necesitas algo de práctica con esto, consulta nuestro artículo sobre la factorización de expresiones cuadráticas.
$$x^2-x-6=0(x-3)(x+2)=0$$
$$x=3$$
$$x=-2$$
Como puedes ver, tenemos dos valores posibles para \(x\). Esto significa que tenemos que sustituir cada uno de ellos para encontrar dos pares de soluciones para nuestro sistema de ecuaciones:
$$y=3·3+6=15$$
$$y=3·(-2)+6=0$$
Esto nos da los pares:
$$x=3$$
$$y=15$$
y
$$x=-2$$
$$y=0$$
En este ejemplo, teníamos dos soluciones, pero es importante recordar que no tiene por qué haber dos. Puede haber una o incluso ninguna; igual que cuando se resuelve una ecuación cuadrática por sí sola.
Por ejemplo, piensa en cuántas soluciones habría en la gráfica que se muestra a continuación:
Fig. 5. Representación gráfica de un sistema de ecuaciones.
Aplicación de sistemas de ecuaciones lineales
Para formar tus propios sistemas de ecuaciones, es posible que tengas que interpretar un cuerpo de texto. Algunas preguntas tienen más palabras y requieren un poco de reflexión para construir las ecuaciones antes de resolverlas.
Alí compra 2 caramelos y 3 chicles (o gomas). Bea compra 3 caramelos y 2 chicles. El total de Ali asciende a \(0{,}10\) libras y Bea paga \(0{,}15\) libras. ¿Cuánto cuestan los caramelos y los chicles?
Solución:
Primero hay que identificar las variables. En este caso son los caramelos y los chicles. Podemos ver que 2 caramelos y 3 chicles cuestan 10 p, y 3 caramelos y 2 gomas cuestan 15 p. Con esta información podemos escribir las siguientes ecuaciones, en las que g representa los chicles y t los caramelos:
$$\left\{\begin{array}\, 3g-2t=10\\2g+3t=15\end{array}\right.$$
Como puedes ver, se trata de uno de los sistemas de ecuaciones de antes.
En general, cualquier problema en el que se tengan varias ecuaciones y se desee conocer cuándo tienen una solución (es decir, estas ecuaciones tienen el mismo valor en un punto \((x,y)\) serán problemas en los que podrás aplicar sistemas de ecuaciones lineales.
Te hemos dado un ejemplo muy simple; sin embargo, una manera general de verlo (si se tienen dos variables, por ejemplo) sería modelar:
- Problemas que contengan distancia \(x\) y tiempo \(y\) de dos objetos, en los que una de las dos variables es conocida y esta es lineal.
- Problemas de gastos e inversión, cuando estos son lineales y dependen de dos variables.
- Problemas de inversión y demanda.
Se debe enfatizar en que esto solo es posible si el problema se compone de términos que no tienen ninguna potencia más grande que uno.
Problemas aplicados de sistemas de ecuaciones lineales
Como mencionamos, existen aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales en economía que pueden ser bastante cotidianos. Veamos brevemente: uno de ellos es el problema de la demanda y los precios de los productos.
Problema de demanda y precios
En estos casos, se debe conocer la función que define la demanda de un producto o cuánto crece la demanda en un tiempo dado:
$$y_1=\text{demanda}$$
Por otro lado, se debe haber calculado cuánto disminuye el precio si se producen cada vez más.
$$y_2=\text{precio}$$
En este caso, el punto donde la demanda y el precio se encuentran se llama punto de equilibrio. Este el punto óptimo donde hay la mayor producción al menor precio posible de este producto. Esto se puede ver en la imagen a continuación:
Fig. 6. En problemas de demanda y precio, las ecuaciones de cada una se cruzan en el punto de equilibrio.
Matrices y sistemas de ecuaciones
Los sistemas de ecuaciones se pueden ordenar en objetos llamados matrices. Una matriz es una disposición bidimensional de coeficientes que pueden representar los coeficientes de ecuaciones. Las matrices ordenan las ecuaciones horizontalmente, donde cada renglón es una ecuación y cada columna corresponde al miembro de la ecuación con la misma variable.
Veamos un ejemplo:
Expresa las siguientes ecuaciones como una matriz:
$$\left\{\begin{array}\, 2x+y=7\\3x=4\\y=1\end{array}\right.$$
Solución:
En primer lugar, necesitamos ordenar las ecuaciones por renglones:
$$\left\{\begin{array}\,2x&+&y&=&7\\3x&&&=&4\\&&y&=&1\end{array}\right.$$
Ahora, necesitamos eliminar las variables y dejar solo los coeficientes. Las variables que no existan en una de las ecuaciones tendrán un \(0\) por coeficiente, y las que no tengan coeficiente tendrán un \(1\). Después, procedemos a poner todo entre paréntesis y dividir los coeficientes de los resultados:
$$\begin{pmatrix} 2&1&7\\3&0&4\\0&1&1\end{pmatrix}$$
El resultado es una matriz.
Un sistema de ecuaciones lineales puede tener una solución, ninguna solución o infinitas soluciones; cuando tiene infinitas soluciones significa que las ecuaciones son una combinación de las otras.
Sistemas de ecuaciones lineales de ejercicios
Ahora, hagamos algunos ejercicios usando sistemas de ecuaciones lineales:
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
$$\left\{\begin{array}\, 2x+3y=6\\4x=2\end{array}\right.$$
Solución:Este caso es el ejemplo mas básico: lo que debemos hacer es despejar \(x\). Para saber cuánto vale \(x\), pasamos el número \(4\) a dividir al otro lado:
$$x=\dfrac{2}{4}\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}$$
Ahora sustituyes este valor en la ecuación, donde están ambas variables:
$$2·\dfrac{1}{2}+3y=6$$
$$1+3y=6$$
Debes despejar ahora la \(y\); para esto, pasas el \(1\) al otro lado restando:
$$3y=6-1\Rightarrow 3y=5$$
Luego pasas el \(3\) dividiendo:
$$y=\dfrac{5}{3}$$
¡Listo! el resultado del sistema es:
$$x=\dfrac{1}{2}$$
$$y=\dfrac{5}{3}$$
Hagamos un ejemplo con dos ecuaciones, pero más complicado:
Resuelve el siguiente sistema:
$$\left\{\begin{array}\, 3x-45y=0\\4x-2y=0\end{array}\right.$$
Solución:
En este caso, habrá que despejar una variable para dejarla en términos de la otra. Por ejemplo, usemos \(x\) en la segunda ecuación. Empezamos por pasar \(y\) del otro lado sumando:
$$4x=2y$$
Ahora, pasamos el número \(4\) dividiendo:
$$x=\dfrac{2y}{4}$$
$$x=\dfrac{1}{2}y$$
Luego, debemos usar este valor en la primera ecuación; para ello, necesitamos insertar el valor de \(x=\frac{1}{2}y\) en \(3x\):
$$3x=3\dfrac{1}{2}y=\dfrac{3}{2}y$$
Entonces, lo sustituimos en la primera ecuación, otra vez:
$$\dfrac{3}{2}y-45y=0$$
Ahora lo sumamos, o restamos, dependiendo del signo:
$$-\dfrac{87}{2}y=0$$
En este punto hay algo de lo que te puedes dar cuenta: que el valor de \(y\) sea \(0\), solo es posible si \(y=0\).
Por lo tanto, si sustituimos ese valor en la segunda ecuación, tenemos:
$$4x-2·0=0$$
$$4x=0$$
Nuevamente, para que esto sea cierto, \(x\) debe ser \(0\). En este sistema los valores son:
$$x=0$$
$$y=0$$
Esto es lo que se conoce como solución trivial.
Ya que cada vez avanzamos más, hagamos el mismo ejemplo anterior pero con un cambio:
En este caso, una ecuación es igual a una constante:$$\left\{\begin{array}\, 3x+45y=5\\4x-2y=0\end{array}\right.$$
Solución:Podemos repetir los pasos del ejemplo anterior hasta tener que despejar \(x\) en la primera ecuación, lo cual nos deja:
$$\dfrac{3}{2}y-45y=5$$
$$-\dfrac{87}{2}y=5$$
Ahora \(y\) puede ser distinto de \(0\). En este caso, despejamos:
$$y=-\dfrac{10}{87}$$
Ya que sabemos el valor de \(y\), procedemos a sustituir esto en la segunda ecuación, para obtener \(x\):
$$4x-2·\dfrac{-10}{87}=0\Rightarrow x=-\dfrac{20}{348}$$
Sistemas lineales de ecuaciones - Puntos clave
- Los sistemas de ecuaciones nos permiten encontrar soluciones únicas.
- El método gráfico consiste en dibujar cada ecuación en una gráfica y la solución es el punto donde se cruzan las líneas.
- El método de eliminación consiste en eliminar una incógnita, sumando o restando las ecuaciones, y luego resolver la incógnita restante.
- El método de sustitución implica reordenar una ecuación para que esté en términos de una incógnita, y luego sustituirla en la otra para resolver la incógnita restante.
- Puedes resolver sistemas de ecuaciones con términos cuadráticos, reordenando la ecuación lineal y haciéndola igual a la cuadrática para construir una ecuación cuadrática y resolverla usando tu método preferido.
- Recuerda que, a menudo, hay múltiples soluciones. También podría suceder que no haya ninguna.
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