Sistemas de ecuaciones lineales

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Imagínate que un día vas al mercado y compras 2 kilos de manzanas y 3 kilos de naranjas y todo te cuesta 7€. Otro día vuelves al mercado y esta vez compras 1 kilo de manzanas y 2 de naranjas y todo te cuesta 4€. Si llamamos al precio de las manzanas $x$ y al de las naranjas $y$, podemos escribir la ecuación de la primera compra como:

\[2x+3y=7\]

Y de la segunda compra como::

\[x+2y=4\]

Cada ecuación por separado no tiene una única solución porque no sabes el precio de las manzanas o el de las naranjas, solo el total. Sin embargo, si juntas estas dos ecuaciones obtienes lo que se denomina un sistema de ecuaciones lineales.

\[\left\{\begin{array}\,2x+3y=7\\x+2y=4\end{array}\right.\]

En este artículo te explicaremos todo lo que necesitas saber sobre los sistemas de ecuaciones.

En primer lugar explicaremos qué son los sistemas de ecuaciones.
Después pasaremos a ver cuál es la importancia de los sistemas de ecuaciones lineales y cuál es su significado.
A continuación, aprenderemos a hallar la solución de los sistemas de ecuaciones lineales viendo qué se necesita para resolver un sistema de ecuaciones.
Aprenderemos que podemos solucionar los sistemas por el método de eliminación o reducción.
También explicaremos el método de sustitución para resolver sistemas.
Luego veremos cómo resolver sistemas de ecuaciones con un término cuadrático.
Después veremos dónde se aplican los sistemas de ecuaciones lineales.
A continuación, profundizaremos en algunos problemas aplicados de sistemas de ecuaciones lineales como el problema de la demanda y precio.
También estudiaremos cómo se relacionan las matrices con los sistemas de ecuaciones.
Por último, haremos algunos ejercicios sobre sistemas de ecuaciones lineales.

¿Qué son los sistemas de ecuaciones?

Los sistemas de ecuaciones son conjuntos de ecuaciones con múltiples valores desconocidos.

Pueden utilizarse para calcular lo que representa cada incógnita. También, a veces, puedes verlas referidas como ecuaciones simultáneas.

Sistemas de ecuaciones lineales Solución de sistemas de ecuaciones lineales StudySmarter Fig. 1. Imagen de dos rectas que tienen una solución (el punto donde se cruzan).

La gráfica anterior muestra un sistema de ecuaciones, en este caso lineales:

$$\left\{\begin{array}\,y=x+3\\y=15x-4\end{array}\right.$$

Hay una solución que satisface ambas ecuaciones y puedes verla en el punto donde se cruzan las dos líneas. Esta es una forma de resolver sistemas de ecuaciones; pero, en esta guía te mostraremos formas mejores y más rápidas. ¡Así que sigue leyendo!

Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican por la cantidad de variables y ecuaciones que tienen; un sistema con dos variables debe tener dos ecuaciones y se conoce como sistema $2\times 2$. Un sistema de ecuaciones lineales también se conoce como sistema de ecuaciones de primer grado.

Consulta nuestra guía de resolución de ecuaciones lineales, si necesitas un repaso a la resolución de una incógnita, ya que nos basaremos en ella.

Importancia de los sistemas de ecuaciones lineales

Si quieres resolver una ecuación con una sola incógnita, el proceso suele ser muy sencillo. Sin embargo, las cosas se complican cuando se introducen más incógnitas.

Piensa en la primera ecuación de antes:

$2x+y=5$

Puedes probar con diferentes números y ver que una posible solución sería $(x=2,y=1)$.

Pero, en realidad, hay infinitas soluciones. Piensa en lo que pasaría si x o y fueran fracciones. Necesitamos una segunda ecuación para identificar una única solución.

Otra manera de clasificar un sistema de ecuaciones lineales es por su número de soluciones.

Significado de un sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales se representa en un espacio cartesiano. Por ejemplo, si se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, este sistema es igual a dos rectas en dos dimensiones.

Ejemplo de esto son las siguientes rectas:

$$\left\{\begin{array}\,2y+3x=0\\\dfrac{2}{3}y-3x=2\end{array}\right.$$

Esto se vería en un plano cartesiano de dos dimensiones como:

Sistemas de ecuaciones lineales Significado de un sistema de ecuaciones lineales StudySmarter Fig. 2: Representación gráfica de ecuaciones en forma de rectas interceptando una a la otra.

Solo puede ser igual a dos dimensiones, si las incógnitas en ambas ecuaciones son las mismas.

Si se tuviesen tres incógnitas, estas serían rectas en tres dimensiones.

Otro punto importante es que cuando estas ecuaciones se igualan entre sí, lo que se busca es el punto donde se intersecan; es decir, el punto donde ambas ecuaciones tienen el mismo valor. Esto se puede ver en la figura inferior:

Sistemas de ecuaciones lineales Significado de un sistema de ecuaciones lineales StudySmarter

Fig. 3. Sistema de ecuaciones lineales, donde cada ecuación es una recta. El punto donde se cruzan ambas es $A$.

Los sistemas de ecuaciones lineales usan ecuaciones lineales de primer grado simples; por sí mismas, estas pueden resolverse por el método de sustitución, si se conoce una de las variables.

Solución de sistemas de ecuaciones lineales

Puedes resolver sistemas de ecuaciones de varias maneras. Te mostraremos las dos mejores formas, ya que son más rápidas que usar una gráfica como la mostrada antes. Cada forma puede ser más fácil, dependiendo de la pregunta, y puedes encontrar una que te resulte más natural, así que asegúrate de probar las dos.

¿Qué se necesita para resolver un sistema de ecuaciones?

Para resolver un sistema de ecuaciones se necesita lo siguiente:

El número de ecuaciones debe ser el mismo que el número de variables.
Las ecuaciones no deben contener términos que sea imposible despejar.

Resolviendo por eliminación o reducción

Una forma de resolver sistemas de ecuaciones es por eliminación. En este método debes realizar operaciones aritméticas entre las distintas ecuaciones para eliminar variables al combinarlas; el método también se conoce como método por reducción. Puedes utilizar este método más fácilmente cuando la incógnita que quieres eliminar tiene el mismo coeficiente en cada ecuación; pero, te mostraremos cómo utilizarlo también en otros casos.

Volvamos a nuestras ecuaciones originales:

$2x+y=5$

$x-y=1$

Vemos que, si sumamos cada uno de los lados de las dos ecuaciones, podremos eliminar fácilmente. (Puedes sumar o restar las ecuaciones dependiendo de la situación.) ¡Probemos!

$2x+y+x-y=5+1$

Esto nos deja con la ecuación única:

$3x=6\Rightarrow x=2$

Ahora podemos sustituirla en una de las ecuaciones originales para encontrar $y$:

$2-y=1\Rightarrow y=1$

Por último, es importante que compruebes siempre tu trabajo sustituyendo estos valores en la otra ecuación:

$2x+y=5\Rightarrow 2·2+1=5\Rightarrow 5=5$

Esto es crucial para ayudarte a detectar los errores que hayas podido cometer.

Resuelve:

$x+4y=11$

$x-y=1$

Solución:

Para empezar, puedes restar cada uno de los lados de la ecuación para eliminar la $x$:

$(x+4y)-(x-y)=5y$

$11-1=10$

Ahora puedes trabajar con las respuestas para formar una nueva ecuación que resuelva la $y$:

$5y=10\Rightarrow y=2$

Esta respuesta ya puede sustituirse en una de las ecuaciones originales para resolver la $x$:

$x-y=1$

$x-2=1$

$x=1+2=3$

Por último, no olvides comprobar tus respuestas, sustituyéndolas en una de las ecuaciones:

$x+4y=11\Rightarrow 3+4·2=11$

Resolución por eliminación (diferentes coeficientes)

Veamos ahora un nuevo ejemplo:

Resuelve:

$$\left\{\begin{array}\,3x+2y=10\\2x+3y=15\end{array}\right.$$

Solución:

En este ejemplo, el uso de la eliminación no es tan sencillo como antes. Tenemos que cambiar las ecuaciones de alguna manera para que los coeficientes sean los mismos. Podemos hacerlo siempre que realicemos la misma operación en ambos lados de la ecuación.

Parece que podemos obtener el mismo coeficiente de $y$ multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por 2. Vamos a intentarlo:

$$\left\{\begin{array}\,9x+6y=30\\4x+6y=30\end{array}\right.$$

Ahora podemos restarlas para eliminar la $y$, y luego sustituir nuestra respuesta por $x$, como antes:

$9x+6y-4x+6y=5x$

$30-30=0$

$5x=0$

$x=0$

Comprobando:

$3x+2y=10\Rightarrow 3·0+2·5=10$

Resuelve:

$$\left\{\begin{array}\,4x+2y=44\\7x+4y=83\end{array}\right.$$

Solución:

Para ello, primero hay que hacer que dos de los coeficientes sean iguales. Entonces, podemos multiplicar la primera ecuación por 2, lo que nos da estas ecuaciones:

$8x+4y=88$

$7x+4y=83$

Ahora puedes restar una ecuación de la otra para eliminar la $y$ y resolver para $x$:

$8x+4y-7x-4y=x$

$88-83=5$

$x=5$

Luego puedes introducir $x$ en una de las ecuaciones para resolver la variable $y$:

$7x+4y=83\Rightarrow 7·5+4y=83\Rightarrow y=12$

No olvides que es posible comprobar tus respuestas sustituyendo ambas respuestas en la ecuación y comprobando que funciona:

$4·5+2·12=44$

Resolver por sustitución

Hay otra forma en la que podríamos haber abordado el primer conjunto de ecuaciones: la sustitución. Recuerda que en los ejemplos anteriores, una vez que hemos encontrado un valor, podemos sustituirlo en la ecuación para encontrar el otro. Este método implica la misma técnica, pero en un punto diferente del proceso.

Resuelve:

$$\left\{\begin{array}\, 5x+y=28\\y=2x\end{array}\right.$$

Solución:

Para utilizar el método de sustitución puedes empezar por sustituir la ecuación 2, en la $y$ de la ecuación 1, para ayudarte a encontrar la $x$:

$5x+y=28$

$5x+2x=28$

Despejando:

$x=4$

Ahora puedes sustituir $x=4$ en una de las ecuaciones, para encontrar la $y$:

$y=2x\Rightarrow y=2·4=8$

Resuelve:

$$\left\{\begin{array}\, 2x+y=5\\x-y=1\end{array}\right.$$

Solución:

En este caso necesitamos reordenar la ecuación 2, para obtenerla en términos de $y$. Hacer esto nos permitirá sustituirla en la ecuación 1 y resolver para $x$:

$y=x-1$

$2x+(x-1)=5$

$3x-1=5$

$x=2$

El último paso sigue siendo el mismo: simplemente utilizamos este valor en la segunda ecuación, lo que nos da $y = 1$, como antes. Finalmente, ¡asegúrate de comprobar tu respuesta!

Resolver sistemas de ecuaciones con un término cuadrático

Para resolver sistemas de ecuaciones con una cuadrática, nos basamos en el método de sustitución de antes.

Resuelve:

$$\left\{\begin{array}\, y-3x=6\\x^2+2x=y\end{array}\right.$$

Solución:

En una gráfica, estas ecuaciones se verían así:

Sistemas de ecuaciones lineales solución parábola línea StudySmarter

Fig. 4: Soluciones de un sistema de ecuaciones donde hay una ecuación cuadrática (parábola).

Lo primero que tenemos que hacer en este caso es reordenar la primera ecuación. La clave es hacer que ambas sean iguales a y, (es decir, que sean iguales a la misma cosa), porque eso significa que podemos hacer que ambas sean iguales entre sí:

$y=3x+6$

$x^2+2x=3x+6$

$x^2-x-6=0$

¡Ahora tenemos una ecuación cuadrática que puedes resolver con el método que prefieras! En este ejemplo vamos a utilizar la factorización.

Si necesitas algo de práctica con esto, consulta nuestro artículo sobre la factorización de expresiones cuadráticas.

$x^2-x-6=0(x-3)(x+2)=0$

$x=3$

$x=-2$

Como puedes ver, tenemos dos valores posibles para $x$. Esto significa que tenemos que sustituir cada uno de ellos para encontrar dos pares de soluciones para nuestro sistema de ecuaciones:

$y=3·3+6=15$

$y=3·(-2)+6=0$

Esto nos da los pares:

$x=3$

$y=15$

$x=-2$

$y=0$

En este ejemplo, teníamos dos soluciones, pero es importante recordar que no tiene por qué haber dos. Puede haber una o incluso ninguna; igual que cuando se resuelve una ecuación cuadrática por sí sola.

Por ejemplo, piensa en cuántas soluciones habría en la gráfica que se muestra a continuación:

Sistemas de ecuaciones lineales Problemas de sistemas de ecuaciones lineales StudySmarter Fig. 5. Representación gráfica de un sistema de ecuaciones.

Aplicación de sistemas de ecuaciones lineales

Para formar tus propios sistemas de ecuaciones, es posible que tengas que interpretar un cuerpo de texto. Algunas preguntas tienen más palabras y requieren un poco de reflexión para construir las ecuaciones antes de resolverlas.

Alí compra 2 caramelos y 3 chicles (o gomas). Bea compra 3 caramelos y 2 chicles. El total de Ali asciende a $0{,}10$ libras y Bea paga $0{,}15$ libras. ¿Cuánto cuestan los caramelos y los chicles?

Solución:

Primero hay que identificar las variables. En este caso son los caramelos y los chicles. Podemos ver que 2 caramelos y 3 chicles cuestan 10 p, y 3 caramelos y 2 gomas cuestan 15 p. Con esta información podemos escribir las siguientes ecuaciones, en las que g representa los chicles y t los caramelos:

$$\left\{\begin{array}\, 3g-2t=10\\2g+3t=15\end{array}\right.$$

Como puedes ver, se trata de uno de los sistemas de ecuaciones de antes.

En general, cualquier problema en el que se tengan varias ecuaciones y se desee conocer cuándo tienen una solución (es decir, estas ecuaciones tienen el mismo valor en un punto $(x,y)$ serán problemas en los que podrás aplicar sistemas de ecuaciones lineales.

Te hemos dado un ejemplo muy simple; sin embargo, una manera general de verlo (si se tienen dos variables, por ejemplo) sería modelar:

Problemas que contengan distancia $x$ y tiempo $y$ de dos objetos, en los que una de las dos variables es conocida y esta es lineal.
Problemas de gastos e inversión, cuando estos son lineales y dependen de dos variables.
Problemas de inversión y demanda.

Se debe enfatizar en que esto solo es posible si el problema se compone de términos que no tienen ninguna potencia más grande que uno.

Problemas aplicados de sistemas de ecuaciones lineales

Como mencionamos, existen aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales en economía que pueden ser bastante cotidianos. Veamos brevemente: uno de ellos es el problema de la demanda y los precios de los productos.

Problema de demanda y precios

En estos casos, se debe conocer la función que define la demanda de un producto o cuánto crece la demanda en un tiempo dado:

$y_1=\text{demanda}$

Por otro lado, se debe haber calculado cuánto disminuye el precio si se producen cada vez más.

$y_2=\text{precio}$

En este caso, el punto donde la demanda y el precio se encuentran se llama punto de equilibrio. Este el punto óptimo donde hay la mayor producción al menor precio posible de este producto. Esto se puede ver en la imagen a continuación:

Sistemas de ecuaciones lineales Aplicación de sistemas de ecuaciones lineales StudySmarter Fig. 6. En problemas de demanda y precio, las ecuaciones de cada una se cruzan en el punto de equilibrio.

Matrices y sistemas de ecuaciones

Los sistemas de ecuaciones se pueden ordenar en objetos llamados matrices. Una matriz es una disposición bidimensional de coeficientes que pueden representar los coeficientes de ecuaciones. Las matrices ordenan las ecuaciones horizontalmente, donde cada renglón es una ecuación y cada columna corresponde al miembro de la ecuación con la misma variable.

Veamos un ejemplo:

Expresa las siguientes ecuaciones como una matriz:

$$\left\{\begin{array}\, 2x+y=7\\3x=4\\y=1\end{array}\right.$$

Solución:

En primer lugar, necesitamos ordenar las ecuaciones por renglones:

$$\left\{\begin{array}\,2x&+&y&=&7\\3x&&&=&4\\&&y&=&1\end{array}\right.$$

Ahora, necesitamos eliminar las variables y dejar solo los coeficientes. Las variables que no existan en una de las ecuaciones tendrán un $0$ por coeficiente, y las que no tengan coeficiente tendrán un $1$. Después, procedemos a poner todo entre paréntesis y dividir los coeficientes de los resultados:

$\begin{pmatrix} 2&1&7\\3&0&4\\0&1&1\end{pmatrix}$

El resultado es una matriz.

Un sistema de ecuaciones lineales puede tener una solución, ninguna solución o infinitas soluciones; cuando tiene infinitas soluciones significa que las ecuaciones son una combinación de las otras.

Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales

Ahora, hagamos algunos ejercicios usando sistemas de ecuaciones lineales:

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\left\{\begin{array}\, 2x+3y=6\\4x=2\end{array}\right.$$

Solución:

Este caso es el ejemplo mas básico: lo que debemos hacer es despejar $x$. Para saber cuánto vale $x$, pasamos el número $4$ a dividir al otro lado:

$x=\dfrac{2}{4}\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}$

Ahora sustituyes este valor en la ecuación, donde están ambas variables:

$2·\dfrac{1}{2}+3y=6$

$1+3y=6$

Debes despejar ahora la $y$; para esto, pasas el $1$ al otro lado restando:

$3y=6-1\Rightarrow 3y=5$

Luego pasas el $3$ dividiendo:

$y=\dfrac{5}{3}$

¡Listo! el resultado del sistema es:

$x=\dfrac{1}{2}$

$y=\dfrac{5}{3}$

Hagamos un ejemplo con dos ecuaciones, pero más complicado:

Resuelve el siguiente sistema:

$$\left\{\begin{array}\, 3x-45y=0\\4x-2y=0\end{array}\right.$$

Solución:

En este caso, habrá que despejar una variable para dejarla en términos de la otra. Por ejemplo, usemos $x$ en la segunda ecuación. Empezamos por pasar $y$ del otro lado sumando:

$4x=2y$

Ahora, pasamos el número $4$ dividiendo:

$x=\dfrac{2y}{4}$

$x=\dfrac{1}{2}y$

Luego, debemos usar este valor en la primera ecuación; para ello, necesitamos insertar el valor de $x=\frac{1}{2}y$ en $3x$:

$3x=3\dfrac{1}{2}y=\dfrac{3}{2}y$

Entonces, lo sustituimos en la primera ecuación, otra vez:

$\dfrac{3}{2}y-45y=0$

Ahora lo sumamos, o restamos, dependiendo del signo:

$-\dfrac{87}{2}y=0$

En este punto hay algo de lo que te puedes dar cuenta: que el valor de $y$ sea $0$, solo es posible si $y=0$.

Por lo tanto, si sustituimos ese valor en la segunda ecuación, tenemos:

$4x-2·0=0$

$4x=0$

Nuevamente, para que esto sea cierto, $x$ debe ser $0$. En este sistema los valores son:

$x=0$

$y=0$

Esto es lo que se conoce como solución trivial.

Ya que cada vez avanzamos más, hagamos el mismo ejemplo anterior pero con un cambio:

En este caso, una ecuación es igual a una constante:$$\left\{\begin{array}\, 3x+45y=5\\4x-2y=0\end{array}\right.$$Solución:

Podemos repetir los pasos del ejemplo anterior hasta tener que despejar $x$ en la primera ecuación, lo cual nos deja:

$\dfrac{3}{2}y-45y=5$

$-\dfrac{87}{2}y=5$

Ahora $y$ puede ser distinto de $0$. En este caso, despejamos:

y=-\dfrac{10}{87}

Ya que sabemos el valor de $y$, procedemos a sustituir esto en la segunda ecuación, para obtener $x$:

4x-2·\dfrac{-10}{87}=0\Rightarrow x=-\dfrac{20}{348}

Sistemas lineales de ecuaciones - Puntos clave

Los sistemas de ecuaciones nos permiten encontrar soluciones únicas.
El método gráfico consiste en dibujar cada ecuación en una gráfica y la solución es el punto donde se cruzan las líneas.
El método de eliminación consiste en eliminar una incógnita, sumando o restando las ecuaciones, y luego resolver la incógnita restante.
El método de sustitución implica reordenar una ecuación para que esté en términos de una incógnita, y luego sustituirla en la otra para resolver la incógnita restante.
Puedes resolver sistemas de ecuaciones con términos cuadráticos, reordenando la ecuación lineal y haciéndola igual a la cuadrática para construir una ecuación cuadrática y resolverla usando tu método preferido.
Recuerda que, a menudo, hay múltiples soluciones. También podría suceder que no haya ninguna.

Preguntas frecuentes sobre Sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones son conjuntos de ecuaciones con múltiples valores desconocidos. Pueden utilizarse para calcular lo que representa cada incógnita. También, a veces, puedes verlas referidas como ecuaciones simultáneas.

Un ejemplo seria:

2x+4y=0

2x-3y=2
Donde x y y son ls variables del sistema.

Para resolver un sistema de ecuaciones, se puede usar el método de reducción o sustitución.

Para resolver un sistema de ecuaciones se necesita lo siguiente:

El número de ecuaciones debe ser el mismo que el número de variables.
Las ecuaciones no deben contener términos que sea imposible despejar.

Los tipos de sistemas de ecuaciones lineales varían dependiendo de su forma de clasificación:

Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican por la cantidad de variables y ecuaciones que estos tienen; un sistema con dos variables, debe tener dos ecuaciones y se conoce como un sistema 2x2.
Otra manera de clasificar un sistema de ecuaciones lineales es por su número de soluciones. Los hay sin solución, con una solución o con soluciones infinitas.

Una ecuación lineal de primer grado puede ser resuelta por el método de sustitución, si se conoce una de las variables.

Cuestionario final de Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Quiz - Teste dein Wissen

Pregunta

¿Qué son los sistemas de ecuaciones?

Mostrar respuesta

Answer

Los sistemas de ecuaciones simultáneas son conjuntos de ecuaciones con múltiples valores desconocidos.

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Pregunta

¿Cuál es el método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones?

Mostrar respuesta

Answer

El método consiste en graficar todas las ecuaciones y observar dónde las gráficas coinciden: en esos puntos existe la solución al problema.

Show question

Pregunta

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación $x+2=1$?

Mostrar respuesta

Answer

Única solución: $x=-1$.

Show question

Pregunta

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación $x+y=1$?

Mostrar respuesta

Answer

Infinitas soluciones.

Show question

Pregunta

¿Cuáles son las dos maneras de resolver un sistema de ecuaciones?

Mostrar respuesta

Answer

Por sustitución o eliminación.

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Pregunta

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por eliminación:

$x+y=3$.

$x-y=1$.

Mostrar respuesta

Answer

$x=2$, $y=1$.

Show question

Pregunta

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por eliminación:

$x+2y=2$.

$x+y=4$.

Mostrar respuesta

Answer

$x=6$ y $y=-2$.

Show question

Pregunta

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por eliminación:

$2x+4y=12$.

$x-y=5$.

Mostrar respuesta

Answer

Ambas respuestas son correctas.

Show question

Pregunta

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por sustitución:

$3x+2y=2$.

$x-y=4$.

Mostrar respuesta

Answer

Ninguna respuesta es correcta.

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Pregunta

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por sustitución:

$x-2y=14$.

$x-y=7$.

Mostrar respuesta

Answer

$x=0$ y $y=7$.

Show question

Pregunta

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por sustitución:

$3x-2y=3$.

$4x+4y=7$.

Mostrar respuesta

Answer

$x=1$ y $y=0$.

Show question

Pregunta

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

$3x-y=12$.

$y=x^2+7$.

Mostrar respuesta

Answer

No tiene solución

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Pregunta

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

$y=6$

$y=3x^2+3x$

Mostrar respuesta

Answer

$y=6, x=1 y x=-2$.

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Pregunta

Crea un sistema de ecuaciones y resuelve la siguiente pregunta: ¿Cuánto cuesta cada lápiz y goma?

$12$ lápices y $4$ gomas cuestan $1$ dólar con $40$ centavos.
$6$ lápices y $5$ gomas cuestan $85$ centavos.

Mostrar respuesta

Answer

Los lápices cuestan $10$ centavos y las gomas cuestan $5$ centavos.

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Pregunta

Resuelve: ¿Cuál es la edad de los tres?

Sid y Rohan tienen una edad de $16$ cuando se suman ambas.
Matt y Rohan tienen una edad de $24$ si se suman ambas.
Sid y Matt tienen una edad de $12$ si se suman.

Mostrar respuesta

Answer

Sid tiene $2$, Rogan tiene $12$ y Matt tiene $10$.

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Pregunta

El método de Gauss se aplica a:

Mostrar respuesta

Answer

Definición: Funciones de cálculo.

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Pregunta

El método de Gauss toma un sistema de:

Mostrar respuesta

Answer

Ecuaciones.

Show question

Pregunta

¿Qué parte de las ecuaciones sufre cambios cuando se realiza el método de Gauss?

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Answer

Los coeficientes de las incógnitas.

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Pregunta

Cuando se modifican los coeficientes, también se modifica(n):

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Answer

Los resultados.

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Pregunta

¿Cuáles son los coeficientes de la ecuación $15x+34y=0$?

Mostrar respuesta

Answer

$15$ y $34$.

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Pregunta

¿Las siguientes ecuaciones son dependientes o independientes?

\[3x+4y=7\]

\[9x+12y=21\].

Mostrar respuesta

Answer

Dependientes.

Show question

Pregunta

¿Las siguientes ecuaciones son dependientes o independientes?

\[-x+4y=\frac{1}{4}\]

\[x+12y=2\].

Mostrar respuesta

Answer

Independientes.

Show question

Pregunta

¿Un sistema que tiene un número menor de ecuaciones que de variables se puede resolver?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, es un sistema compatible indeterminado.

Show question

Pregunta

Todos los sistemas de ecuaciones que tienen el mismo número de variables y ecuaciones tienen una única solución. ¿Verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Falso, pueden tener infinitas soluciones.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el nombre de un sistema de ecuaciones con infinitas soluciones?

Mostrar respuesta

Answer

Compatible indeterminado.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el nombre de un sistema de ecuaciones con una única solución?

Mostrar respuesta

Answer

Compatible determinado.

Show question

Pregunta

¿Cuáles son las tres características que debe cumplir un sistema antes de ser resuelto?

Mostrar respuesta

Answer

Ser independiente, compatible y determinado.

Show question

Pregunta

El método de Gauss toma un sistema de ecuaciones y lo transforma en un sistema:

Mostrar respuesta

Answer

Único.

Show question

Pregunta

Transforma el siguiente sistema de ecuaciones en un sistema triangular:

\[x-y=9\]

\[3x+6y=3\].

Mostrar respuesta

Answer

\[1x-1y=9\]

\[0x+y=\frac{-24}{9}\].

Show question

Pregunta

Resuelve el siguiente sistema, usando el método de Gauss:

\[2x-y=9\]

\[4x-2y=4,5\]

Mostrar respuesta

Answer

No tiene una solución única, ya que no son independientes.

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Pregunta

¿Se puede representar un sistema de ecuaciones lineales usando una matriz?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, eso crea una matriz de coeficientes y un vector o matriz de términos independientes.

Show question

Pregunta

La matriz que contiene los coeficientes de las ecuaciones se denomina:

Mostrar respuesta

Answer

La matriz de coeficientes.

Show question

Pregunta

El vector columna que contienen los términos independientes de las ecuaciones se denomina:

Mostrar respuesta

Answer

El vector de términos independientes.

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Pregunta

Si dos matrices que representan un sistema de ecuaciones son equivalentes, ¿qué ocurre con las soluciones que proporciona cada matriz?

Mostrar respuesta

Answer

Las soluciones de $A$ son iguales a las de $B$.

Show question

Pregunta

Una matriz $A$ tiene por soluciones $y=5$ y $x=-3$. Se sabe que la matriz $B$ es equivalente a $A$. ¿Cuáles son las soluciones de la matriz $B$?

Mostrar respuesta

Answer

$y=5$ y $x=-3$.

Show question

Pregunta

Una matriz $A$ tiene por resultados $y=6$, $x=-9$. Se sabe que la matriz $B$ es equivalente a $-A$. ¿Cuáles son las soluciones de la matriz $B$?

Mostrar respuesta

Answer

$y=-6$ y $x=9$.

Show question

Pregunta

Un sistema de ecuaciones lineales tiene incógnitas con potencias mayores que uno, ¿verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Falso, un sistema lineal es un sistema cuyas incógnitas sólo contienen potencias elevadas a uno $x^1, y^1…n^1$.

Show question

Pregunta

¿Cuál de las siguientes matrices representa el siguiente sistema de ecuaciones?

\[3x+4y=0\]

\[2x-5y=0\]

Mostrar respuesta

Answer

$\begin{pmatrix}3 & 4 & | & 0 \\ 2 & -5 & | & 0 \end{pmatrix}$.

Show question

Pregunta

¿Cual es el vector de términos independientes del siguiente sistema?

\[3x+4y - 7z=0\]

\[2x-5y - 3y=0\]

\[x-2y+11z=0\]

Mostrar respuesta

Answer

$B=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$.

Show question

Pregunta

Cuando un sistema de ecuaciones tiene sólo elementos iguales a cero como términos independientes, ¿cómo se conoce este tipo de sistema?

Mostrar respuesta

Answer

Sistema homogéneo.

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Pregunta

La solución de una ecuación donde todas sus variables son iguales a cero, ¿es válida?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, esta se conoce como solución trivial, en este caso todas las incógnitas valen $0$.

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Pregunta

Todo sistema de ecuaciones homogéneo tiene al menos una solución, ¿o no?

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Answer

Al ser homogéneo tiene por lo menos la solución trivial.

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Pregunta

¿Están relacionadas las matrices y los sistemas de ecuaciones?

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Answer

Sí, de hecho una matriz puede servir como una representación ordenada y simplificada de un sistema de ecuaciones.

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Pregunta

¿Qué representa la solución de un sistema de ecuaciones?

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Answer

El punto donde se cruzan las rectas que representan las ecuaciones.

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Pregunta

¿Qué condición se tiene que cumplir para que un sistema de $n$ ecuaciones sea compatible determinado?

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Answer

$Rg(A)=Rg(A*)=n$.

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Pregunta

¿Qué condición se tiene que cumplir para que un sistema de $n$ incógnitas sea compatible indeterminado?

Mostrar respuesta

Answer

$Rg(A)=Rg(A*)<n$.

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Pregunta

¿Cómo se denomina a un sistema de ecuaciones con una única solución?

Mostrar respuesta

Answer

Sistema compatible determinado de ecuaciones lineales.

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Pregunta

Si $Rg(A)=Rg(A*)$, el sistema de ecuaciones es:

Mostrar respuesta

Answer

Compatible.

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Pregunta

Si se tiene el sistema siguiente:

\[2x-3y+7z=21\]

\[2y-6z=4\]

\[-4x+6y-14z=-42\]

¿Qué tipo de sistema es?

Mostrar respuesta

Answer

$\det(A)=8\Rightarrow Rg(A)=3 \Righarrow Rg(A*)=3$. Esto hace que el sistema sea compatible determinado.

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Pregunta

¿Qué método usamos para discutir un sistema de ecuaciones según el rango de las matrices asociadas?

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Answer

El método de Rouché-Frobenius.

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Sistemas de ecuaciones lineales

¿Qué son los sistemas de ecuaciones?

Los sistemas de ecuaciones son conjuntos de ecuaciones con múltiples valores desconocidos.

Importancia de los sistemas de ecuaciones lineales

Significado de un sistema de ecuaciones lineales

Solución de sistemas de ecuaciones lineales

¿Qué se necesita para resolver un sistema de ecuaciones?

Resolviendo por eliminación o reducción

Resolución por eliminación (diferentes coeficientes)

Resolver por sustitución

Resolver sistemas de ecuaciones con un término cuadrático

Aplicación de sistemas de ecuaciones lineales

Problemas aplicados de sistemas de ecuaciones lineales

Problema de demanda y precios

Matrices y sistemas de ecuaciones

Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas lineales de ecuaciones - Puntos clave

Preguntas frecuentes sobre Sistemas de ecuaciones lineales

¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales y cuáles son algunos ejemplos?

¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales?

¿Qué se necesita para resolver un sistema de ecuaciones?

¿Cuáles son los tipos de sistemas de ecuaciones lineales?

¿Cómo se resuelve una ecuación lineal de primer grado?

Cuestionario final de Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Quiz - Teste dein Wissen

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