Un conjunto puede contener cualquier cosa: ya sea una colección de números, días de la semana, frutas, etc. Un ejemplo sencillo es un conjunto de enteros positivos hasta el 5, que tiene el siguiente aspecto: {1, 2, 3, 4, 5}. Pero, ¿cómo definimos y utilizamos exactamente los conjuntos? ¡Echemos un vistazo!
¿Qué son los conjuntos numéricos?
En matemáticas, los conjuntos son una colección organizada de objetos llamados elementos. Se señalan, matemáticamente, con corchetes { }.
Los elementos de los conjuntos pueden representarse mediante varias notaciones, lista o el constructor de conjuntos. Volveremos a ello más adelante.
Símbolos utilizados en los conjuntos
Se utilizan símbolos específicos para describir determinados conjuntos numéricos. A continuación se muestran los más comunes y su significado.
| Símbolo | Significado |
| \(U\) | Conjunto universal. |
| \(n(s)\) | Número cardinal del conjunto \(X\). |
| \(\left\{\right\}\) | Denota un conjunto. |
\(\in\) | Es un elemento de. |
\(\notin\) | No es un elemento de. |
\(\varnothing\) | Conjunto vacío o nulo. |
\(\cup\) | Unión. |
\(\cap\) | Intersección. |
\(\subseteq\) | Subconjunto |
\(\supseteq\) | Superconjunto |
Tabla 1: Conjuntos comunes.
Elementos de un conjunto
Los elementos contenidos en un conjunto numérico se denominan elementos del conjunto. Se denotan mediante llaves con comas que separan cada elemento.
Podemos utilizar una notación específica para indicar que algo es un elemento de un conjunto determinado.
Por ejemplo, si tuviéramos \(A=\{1, 2, 3, 4\}\), podríamos escribir que \(3\in A\), lo que significa que \(3\) es un elemento de \(A\). Sin embargo, como es evidente que \(5\) no es un elemento de \(A\), se puede denotar como \(5\notin A\).
He aquí ejemplos de conjuntos de uso común.
Orden de los conjuntos
Para definir un conjunto numérico, este debe ser una colección de elementos únicos. Una propiedad importante de los conjuntos es que los elementos deben estar relacionados de algún modo entre sí o compartir una propiedad común.
Por ejemplo, al definir una lista de colores primarios en un conjunto, queremos decir que todos los elementos son colores primarios.
La cardinalidad denota el número total de elementos de un conjunto numérico.
Esto significa que si tenemos un conjunto de números naturales menores que 6, la cardinalidad de ese conjunto será 5:
Supongamos que nuestro conjunto es \(A=\{1, 2, 3, 4, 5\}\): hay cinco elementos presentes en el conjunto. Esto hace que nuestra cardinalidad sea 5.
La cardinalidad de \(A\) se denota por \(|A|\) o \(n(A)\).
- donde \(n\) es el número de elementos entre paréntesis, y \(A\) es un conjunto cualquiera.
Representación de conjuntos
Hay varias formas de representar conjuntos numéricos. La diferencia fundamental está en la forma de enumerar los elementos: pueden representarse de forma semántica, de lista o de constructor de conjuntos.
Forma semántica de representar conjuntos
Esta notación es una forma de enunciar los elementos de un conjunto numérico.
- Por ejemplo, podemos enumerar los números primos naturales inferiores a 20.
- Otro ejemplo es la lista de los meses de un año.
Forma de lista para representar conjuntos
La forma de lista es la notación más utilizada para los conjuntos numéricos. Los elementos se denotan con corchetes y se separan con comas. Con este tipo de notación, se suelen mencionar los elementos del conjunto.
Por ejemplo, un conjunto de números naturales impares inferiores a 10 será \(A = \{1, 3, 5, 7, 9\}\).
Equiparar \(A\) a nuestro conjunto significa que en cualquier lugar donde encontremos \(A\), estamos hablando de nuestra lista de números naturales impares.
En otro caso, tenemos un conjunto con elementos infinitos, que se suele expresar con una serie de puntos al final del último elemento indicado.
Por ejemplo, un conjunto de números enteros positivos se denotará por \(\mathbb Z^+= \{1, 2, 3, 4, 5,...\}\). Esto significa que hay infinitos números que siguen al \(5\) en el orden ya expresado.
Forma de representación con el constructor de conjuntos
Esta notación matemática, se utiliza para describir conjuntos numéricos demostrando las propiedades que deben satisfacer sus miembros. En esta forma de representación, suele haber un enunciado que describe específicamente la característica común de todos los elementos de un conjunto.
Por ejemplo, un conjunto de enteros positivos hasta \(5\) puede ser denotado por el constructor de conjuntos como \(\{x|x\leq 5\}\).
Otro ejemplo podría ser \(\{x|x\space\text{es un número par,}\space x\leq 12\}\). Esta notación afirma que todos los elementos del conjunto \(A\) son números pares menores o iguales que \(12\). Al escribirlo en forma de lista, tendremos \(A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}\), y su cardinalidad será \(6\).
Tipos de conjuntos
Hay muchos tipos de conjuntos numéricos en matemáticas. Los repasaremos en esta sección.
Conjunto vacío
Los conjuntos que no contienen ningún elemento se llaman conjuntos vacíos o nulos. Se indican con \(\{\}\) o \(\varnothing\).
Conjunto único
Este tipo de conjuntos solo contiene un elemento. También se denominan conjuntos unitarios.
Por ejemplo, \(A = \{4\}\).
Conjuntos finitos
Son conjuntos con un número contable de elementos.
Por ejemplo, \(A = \{\text{un conjunto de enteros positivos menores que 7}\}\) será \(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) o \(\{x | x \space\text{es un entero positivo}<7\}\).
Conjunto infinito
Son conjuntos que contienen un número infinito de elementos.
- Un ejemplo de este conjunto es \(\mathbb Z = \{\text{conjunto de todos los enteros}\}\).
- Otro ejemplo son los múltiplos de \(3\), que se puede denotar por \(C = \{3, 6,9, 12, 15...\}\).
La serie de puntos después del último elemento enumerado se utiliza para expresar su condición de infinito.
Conjuntos iguales
Se dice que dos conjuntos son iguales cuando contienen los mismos elementos. El orden en el que están dispuestos no importa.
Por ejemplo, si tuviera dos conjuntos, \(A\) y \(B\), donde \(A = \{2, 3, 4, 5\}\) y \(B = \{5, 4, 3, 2\}\), se dice que son iguales.
Conjuntos equivalentes
Cuando dos conjuntos contienen el mismo número de elementos, aunque éstos sean diferentes, se consideran equivalentes.
Por ejemplo, \(A = \{1,2,3,4\}\) y \(B = \{9, a, 3, w\}\) son equivalentes.
Conjuntos disjuntos
Dos conjuntos se consideran disjuntos, o ajenos, si no contienen un elemento común.
Por ejemplo, los conjuntos A y B son disjuntos si \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) y \(B = \{7, 8, 9, 10\}\).
Subconjuntos
El conjunto \(A\) se considera un subconjunto de \(B\) si todos los elementos de \(A\) están presentes en el conjunto \(B\). Se expresa matemáticamente mediante la notación \(A \subseteq B\). Según esta definición, los conjuntos se consideran subconjuntos de sí mismos.
Por ejemplo, si \(B = \{4, 6, 8\}\) y \(A = \{6, 8\}\), entonces \(A\subseteq B\).
Cuando un conjunto \(A\) no es subconjunto de otro \(B\), se denota \(A\nsubseteq B\).
Los conjuntos vacíos también se consideran subconjuntos de todo conjunto. Y los conjuntos vacíos tienen, a su vez, un subconjunto (él mismo), mientras que los conjuntos no vacíos tienen, al menos, 2 subconjuntos (0 y él mismo).
Subconjuntos propios
Si \(A\subseteq B\) y, sin embargo, \(A\neq B\), entonces \(A\) se considera un subconjunto propio de \(B\). Esto se puede denotar por \(A\subset B\).
Por ejemplo, si \(A = \{9, 12\}\) y \(B = \{3, 6, 9, 12\}\), entonces \(A\subset B\).
Superconjuntos
El conjunto \(A\) se considera un superconjunto de \(B\) si todos los elementos de \(B\) están presentes en el conjunto \(A\). Se denota con el símbolo \(\supseteq\).
Por ejemplo, si \(A = \{1,2,3,4\}\) y \(B = \{1,2,3\}\), entonces \(A\supseteq B\).
Conjuntos universales
Es un conjunto que contiene elementos de todos los conjuntos afines sin repetirse. Se denota con el símbolo \(U\).
Por ejemplo, si \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) y \(B = \{2, 4, 6, 8\}\), entonces el conjunto universal es \(U = \{1, 2, 3 , 4, 6, 8\}\).
Operaciones usando conjuntos
Bajo ciertas condiciones, se pueden realizar operaciones de conjuntos en la teoría de conjuntos. Algunas operaciones básicas son:
Unión de conjuntos
Intersección de conjuntos
Complemento de un conjunto
Producto cartesiano de conjuntos
Diferencia de conjuntos.
Unión de conjuntos
Una unión de conjuntos se denota con el símbolo \(\cup\) y contiene todos los elementos de los conjuntos relacionados. Así, si tenemos los conjuntos \(A\) y \(B\), la unión serán todos los elementos de \(A\) y \(B\). Matemáticamente, la unión de \(A\) y \(B\) se verá como \(A\cup B\).
Si \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) y \(B = \{3, 4, 5, 6, 7\}\), \(A\cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\). Esto se puede representar en un diagrama de Venn como el siguiente:
Fig. 1. La unión de los dos conjuntos da como resultado el conjunto representado en morado, que son todos los elementos de los dos conjuntos.
Intersección de conjuntos
Un conjunto de intersección se denota con el símbolo \(\cap\), y es aquel que contiene elementos comunes de conjuntos relacionados. Una intersección de conjuntos \(A\) y \(B\) serán elementos que aparecen tanto en \(A\) como en \(B\). Esto significa que una intersección de conjuntos \(A\) y \(B\) se escribirá, matemáticamente, como \(A\cap B\).
Si \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) y \(B = \{3, 4, 5, 6, 7\}\), \(A\cap B = \{3, 4\}\). Esto también puede representarse en un diagrama de Venn:
Fig. 2. La intersección de estos dos conjuntos da como resultado el conjunto en morado, que son los elementos compartidos por ambos conjuntos.
Complementos de un conjunto
Los conjuntos complementarios contienen todos los elementos del conjunto universal que no están en el conjunto dado. Suponiendo que \(A\) es un subconjunto de un conjunto mucho mayor, llamado conjunto universal, el complemento de \(A\) son todos los elementos presentes en el conjunto universal que no están presentes en \(A\). El complemento se denotará por \(A'\).
Si tenemos \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) y \(A\), el subconjunto \(A\) es \(A= \{1, 4, 6\}\), el subconjunto \(B\) es \(B= \{5, 7\}\) . Entonces \(A '= \{2, 3, 5, 7\}\).
Fig. 3. Complemento de un conjunto.
Producto cartesiano de conjuntos
El producto cartesiano de conjuntos se define como el conjunto de todos los pares ordenados \((x, y)\) de dos conjuntos, \(A\) y \(B\), tales que \(x\) pertenece a \(A\) e \(y\) pertenece a \(B\).
Si \(A = \{1, 2\}\) y \(B = \{3, 4, 5\}\), entonces el Producto Cartesiano de \(A\) y \(B\) es \(\{(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)\}\), y se denota por \(A\times B\).
Diferencia de conjuntos
La diferencia de conjuntos se denota por \(A - B\) y enumera los elementos del conjunto \(A\) que no están presentes en el conjunto \(B\).
Por ejemplo, si \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) y \(B = \{1, 3, 5, 7\}\), entonces \(A - B = \{2, 4\}\).
Propiedades de los conjuntos
Los conjuntos numéricos, al igual que los números, también tienen propiedades asociadas. La fórmula del conjunto se da, en general, como \(n (A\cup B) = n (A) + n (B) - n (A\cap B)\).
Donde:
- \(A\) y \(B\) son dos conjuntos
- \(n (A\cup B)\) muestra el número de elementos presentes en \(A\) o en \(B\)
- \(n (A\cap B)\) muestra el número de elementos presentes tanto en \(A\) como en \(B\).
En esta sección veremos seis propiedades importantes dados tres conjuntos: \(A\), \(B\) y \(C\).
Propiedad conmutativa:
\(A\cup B = B\cup A\).
\(A\cap B = B\cap A\).
Propiedad asociativa:
Propiedad distributiva:
Propiedad de la identidad:
Propiedad de complemento:
Propiedad de idempotencia:
\(A \cap A = A\).
\(A\cup A = A\).
Conjuntos numéricos
Como mencionamos anteriormente, los conjuntos son objetos y estos pueden ser números. Los tipos de números son, de hecho, conjuntos numéricos. Por ejemplo, el conjunto numérico de los enteros son todos aquellos números que no tienen parte decimal. Veamos algunos enunciados para hacer algunos ejemplos.
El conjunto de los números enteros contiene los números \(1\) y \(2\). Esto se puede escribir como:
\[\{1,2\}\in \mathbb Z\]
El número \(-4\) no es parte del conjunto de los números naturales. Esto se puede escribir como:
\[\{-4\}\notin\mathbb N\]
El número \(2\) por ejemplo es un miembro que es parte de la intersección de los conjuntos de los números enteros y los numeros positivos.
Conjuntos numéricos: ejemplos
A continuación, se presentan algunos ejemplos trabajados sobre conjuntos numéricos.
Define los siguientes conjuntos en el diagrama de Venn.
- \(A \cap B\).
- \(B'\).
- \(A\cup B\).
Fig. 4. Diagrama de Venn de dos conjuntos.
Solución:
- \(A \cap B\) significa elementos que están presentes tanto en \(A\) como en \(B\). Es decir, donde ambos se cruzan: \(A\cap B = \{1, 4\}\).
- \(B'\) significa todos los elementos que no están presentes en \(B\): \(B'= \{3, 6\}\).
- \(A\cup B\) significa todos los elementos que aparecen en \(A\) o en \(B\): \(A\cup B = \{1, 4\}\).
Sea \(A = \{12, 13, 15, 17, 18, 19\}\) y \(B = \{13, 14, 16, 18, 19, 21, 25\}\).
Hallar:
- \(A\cap B\).
- \(A\cup B\).
- La cardinalidad de \(B\).
Solución:
- \(A\cap B = \{13, 18, 19\}\).
- \(A\cup B = \{12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 25\}\).
- \(n (B) = 7\).
Conjuntos y subconjuntos numéricos
Se puede decir que si se tiene un conjunto con más de un miembro, se puede tener un subconjunto que es menor que el conjunto original. En este sentido, todo conjunto está formado por subconjuntos.
Otro ejemplo de conjuntos dentro de otros conjuntos es el conjunto de los complejos. Los números complejos son un superconjunto de los números reales. No profundizaremos en los complejos, ya que está mas allá del tema de este artículo; pero te diremos que los complejos pueden ser subdivididos en números imaginarios y números reales, donde los reales son los complejos que no poseen una parte imaginaria.
Conjuntos numéricos: esquema
Los conjuntos numéricos pueden ser representados en un diagrama de Venn, como lo hemos visto; y pueden ser subdidvididos en subconjuntos, como ya mencionamos.
Un ejemplo es el conjunto de los reales, que se puede dividir en conjuntos de otros tipos de números, dependiendo de su naturaleza.
Conjuntos Matemáticas - Puntos clave
- Los conjuntos en matemáticas son una colección organizada de objetos llamados elementos.
- Los conjuntos pueden representarse en forma semántica, en forma de lista y en forma de constructor de conjuntos.
- La representación de conjuntos en forma de lista se denota con llaves y separada por comas.
- Cada ejemplo de un conjunto tiene un conjunto vacío como subconjunto.
- Los conjuntos vacíos se denotan con \(\{\}\) o \(\varnothing\).
- Un conjunto \(A\) se considera subconjunto de \(B\) si todos los elementos de \(A\) están presentes en el conjunto \(B\).
- Un conjunto de intersección es aquel que contiene elementos comunes de conjuntos relacionados.
- Los conjuntos complemento son conjuntos que contienen todos los elementos del conjunto universal que no están en el conjunto dado.
- Una unión de conjuntos contiene todos los elementos de los conjuntos relacionados.
- La cardinalidad denota el número total de elementos de un conjunto.
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