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Factorización de polinomios

Factorización de polinomios

Ya sabes lo que es un una función, ya sabes acerca del dominio y rango de funciones, así como también seguro ya sabes lo que son los polinomios. Pero comparemos dos casos, por ejemplo tienes dos polinomios que puedes ver debajo.

\[x^2+10\]

\[4x^2-10x-3\]

A pesar que ambos son polinomios y ambas expresiones son funciones cuadráticas, estas no tienen el mismo rango.

Por ejemplo la primera función toma cualquier valor y solo nos da números positivos. Tomemos \(x=-3\) como ejemplo:

\[(-3)^2+10=16\]

En cambio la segunda función puede darnos un número negativo, incluso si \(x\) es positiva, por ejemplo:

\[4(1)^2-10(1)-3=-9\]

Esto es debido a que hay puntos donde la función es igual a cero o \(x=0\), otros puntos donde la función es negativa y otros puntos donde es positiva. En cálculo y análisis, estos puntos en los que \(x=0\) se conocen como raíces.

Raíces de un polinomio

Las raíces de un polinomio, son los puntos de la función donde esta es igual a cero.

En este sentido, el valor de \(x\) al insertarlo dentro de \(f(x)\) debe darnos como resultado cero.

Veamos un ejemplo sencillo.

Encuentra las raíces de la función \(x^2-4\).

Solución:

Debido a que las raíces son los puntos donde \(f(x)=0\), debemos encontrar valores para los cuales \(x^2-4=0\). Despejando \(x^2\), obtenemos:

\[x^2=4\]

Aquí hay dos posibilidades:

\[x=2\]

\[x=-2\]

Si sustituimos ambas:

\[(2)^2-4=4-4=0\]

\[(-2)^2-4=4-4=0\]

Esto confirma que son raíces de la función.

La función que vimos como ejemplo es de hecho un polinomio conformado por sólo dos términos, también denominado un binomio.

Raíces y factores de un polinomio cuadrático

Las raíces de un polinomio se pueden encontrar por diversos métodos. Si el polinomio es de segundo grado, estas pueden encontrarse fácilmente usando la fórmula cuadrática o:

\[x=\dfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Donde los términos \(a\), \(b\) y \(c\) son los coeficientes del trinomio:

\[ax^2+bx+c=0\]

La fórmula cuadrática que vimos en párrafos anteriores es una forma de factorizar un polinomio, una vez que se encuentran las raíces de una cuadrática como \(x_1=a’\) y \(x_2=b’\), el polinomio puede factorizarse como:

[ax^2+bx+c=(x-a’)(x-b’)\]

Encuentra las raíces de la expresión \(x^2+8x+15\) y expresarla como \((x±a’)(x±b’)\).

Solución:

Primero usaremos la fórmula cuadrática:

\[x=\dfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Aquí \(a=1\) \(b=8\) y \(c=15\), si usamos estos valores tenemos:

\[x=\dfrac{-8+\sqrt{8^2-4(1)(15)}}{2(1)}\]

\[x=\dfrac{-8-\sqrt{8^2-4(1)(15)}}{2(1)}\]

Esto nos da:

\[x=-3\]

\[x=-5\]

Por lo cual tenemos que:

\[x^2+8x+15=(x+3)(x+5)\]

Esto es muy fácil de hacer si se tiene una expresión sencilla y sin términos más grandes que una potencia cuadrática.

Formas de factorizar un polinomio

Sin embargo, puede haber polinomios más complejos y para esto requerimos otros métodos que consisten en factorizar los polinomios. En este sentido hay un método muy poderoso que consiste en encontrar factores de un polinomio.

Un factor es un término \(Q(x)\) que puede ser sustraído del polinomio. Este factor debe cumplir que al dividir el polinomio \(P(x)\) entre este, debe dar un residuo de cero.

Veamos el ejemplo más sencillo de esto que es un factor constante.

Se tiene el polinomio \(P(x)=2x^2+4x+8\), ¿qué factor puede extraerse de este polinomio?

Solución:

Si observamos, el polinomio tiene solo coeficientes pares, así que tomamos el coeficiente par más grande que es dos. Al dividir \(P(x)\) entre dos obtenemos:

\[\dfrac{P(x)}{2}=\dfrac{2x^2+4x+8}{2}=x^2+2x+4\]

Así que \(2\) es un factor común.

Factorización de polinomios simples

En este artículo lo que nos interesa son factores comunes que son raíces de polinomios o que nos ayuden a encontrar las raíces de un polinomio. La forma más simple es un polinomio donde todos los términos que le componen tienen una \(x\) por ejemplo \(3x^3+2x-7x^2\).

En estos casos suceden dos cosas:

  1. El término de \(x\) es un factor común del polinomio.

  2. El término de \(x\) es de hecho una raíz de la función.

Hagamos un ejemplo sencillo.

Obtén una de las raíces del polinomio \(9x^7+8x-3x^3\).

Solución:

Realmente no podemos usar la fórmula cuadrática y es un polinomio con una potencia muy elevada, pero podemos observar que todos sus términos tienen al menos una \(x\), de este modo podemos deducir que:

  1. \(x\) es un factor común de la expresión.
  2. \(x\) es una raíz del polinomio.

Así que podemos expresar \(9x^7+8x-3x^3\) como:

\[x(9x^6+8-3x^2)\]

Aquí \(x\) es el factor común.

Por supuesto, esto no funciona para polinomios donde no se tiene una \(x\) en cada término y tampoco para el polinomio resultante del ejemplo anterior \(9x^6+8-3x^2\). Para esto requerimos otro tipo de factorización, requerimos factorizar un término del tipo \(x-b\). Para poder hacer esto haremos uso del teorema del factor y el teorema del resto.

Teorema del factor

El teorema del factor en matemáticas nos dice que si hay una expresión del tipo \(f(x)=(ax+b)\) que sea factor de un polinomio, entonces al sustituir los valores de \(a\) y \(b\) en el polinomio \(P(x)\) su resultado será cero. Veamos un ejemplo.

Se tiene el polinomio de segundo grado \(P(x)=x^2-x-2\) y se nos dice que la expresión \(x+1\) es un factor del polinomio. Comprueba esto usando el teorema del factor.

Solución:

Para comprobar que esta expresión es un factor del polinomio, introducimos el valor de la raíz \(x=-1\) en el polinomio:

\[(-1)^2-(-1)-2\]

Y esto es igual a:

\[1+1-2=0\]

Por lo tanto el término \(x+1\) es un factor del polinomio y además esto significa que \(x=-1\) es una raíz de la expresión original.

Podría suceder que el término no sea un factor, así que es siempre importante verificar. Ahora veamos un caso específico del teorema del factor, el teorema del residuo o del resto.

Teorema del resto

Es un caso particular del teorema del factor, este nos dice que al dividir cualquier polinomio \(P(x)\) entre una expresión lineal del tipo \((x+a)\) o \((x-a)\), su residuo será cero, si y sólo si al sustituir el valor de \(a\) en el polinomio \(P(x)\) su valor es cero.

Veamos un ejemplo muy rápidamente.

Se tiene la expresión \(x^3+3x-20\), ¿es la expresión lineal \(x+1\) una raíz de este polinomio?

Solución:

Si esta expresión es una raíz, también debe ser un factor común y un factor común debe cumplir que al dividir el polinomio original \(x^3+3x-20\) entre \(x+1\), nos da un resto de cero en la división.

Así que podemos comprobar si esta expresión es una raíz y un factor simplemente al sustituir el valor de \(x=-1\) en el polinomio y comprobar que su resultado sea cero.

\[(-1)^3+3(-1)-20\]

Esto nos da:

\[-1-3-20=-24\]

Debido a que el residuo no es cero, este no es una raíz y por lo tanto el término \(x+1\) no es un factor tampoco.

Factorización de polinomios por división

Habrá veces que debamos hacer operaciones algo largas queramos o no para poder factorizar polinomios. Una opción que tenemos es hacer divisiones, de este modo los factores resultantes de la división son las raíces de la función.

Para esto se debe de conocer una raíz de antemano, de este modo se divide el polinomio \(P(x)\) entre la raíz \(x=a\), expresada como \(x-a\), esto es:

\[\dfrac{P(x)}{x-a}\]

Si la división es exacta y el residuo es cero, la expresión resultante de esta división que es \(x+b\) es otro factor del polinomio original.

Factorización de polinomios ejercicios

Hagamos algunos ejercicios para que recuerdes los teoremas del factor, del residuo y cómo factorizar polinomios.

Encuentra el factor más simple del polinomio \(P(x)=5x^10+10x^8+20x^6\).

Solución:

Aquí es importante observar que se puede factorizar tanto una constante como \(x\).

Podemos extraer el término \(x^6\) ya que por leyes de las potencias \(x^mx^n=x^{m+n}\). Así que, por ejemplo \(x^10=x^6x^4\) que es la potencia más alta que podemos extraer.

Por otra parte, todos los coeficientes son múltiplos de \(5\):

\[5=5·1\]

\[5=5·2=10\]

\[5=5·4=20\]

Así que podemos extraer el término \(5x^6\) para obtener:

\[(x^4+2x^2+4)(5x^6)\]

El término \((5x^6)\) es un factor y además \(x=0\) es una raíz del polinomio de grado diez que tenemos.

El polinomio \(P(x)=x^2+x-6\) está formado por el factor \(x+3\) y otro factor desconocido \(x-a\). Para encontrar el segundo término de su factorización divide la expresión \(P(x)\) entre \(x+3\).

Solución:

Sabemos que el término debe tener una \(x\) inicial así que:

\[(x+3) \sqrt{x^2+x-6}\]

Debemos encontrar un término que al multiplicar por \(x\) nos de \(x^2\), este es de hecho \(x\):

\[(x+3) \sqrt{x^2+x-6}| x\]

Si multiplicamos esta \(x\) por los términos de la expresión \(x+3\), tenemos:

\[x^2+3x\]

Y si restamos esto de los dos primeros términos dentro de la división, nos da:

\[x^2+x-x^2-3x=0-2x\]

El número \(-6\) simplemente se deja igual y tenemos la expresión:

\[-2x-6\]

Ahora debemos encontrar un número que al multiplicar por la expresión \(x+3\) elimine \(-2x-6\), este es de hecho \(-2\).

\[(x+3) \sqrt{x^2+x-6}| x-2\]

Al multiplicar \(x-2\) por \(x-3\) y restarlo del polinomio que tenemos, esto nos da:

\[-2x-6+2x+6=0\]

Esto significa que el binomio \(x-2\) es el segundo factor de \(x^2+x-6\). Asi tenemos que:

\[x^2+x-6=(x+3)(x-2)\]

Encuentra los dos términos que componen el polinomio \(3x^2+2x-3\) usando la fórmula cuadrática.

Solución:

Primero debemos identificar los coeficientes de la función que son:

\(a=3\), \(b=2\) y \(c=-3\).

Ahora aplicamos la fórmula cuadrática que es:

\[x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Sustituyendo, esto nos da:

\[x_1=\dfrac{-2+\sqrt{2^2-4·3·(-3)}}{2·3}\]

\[x_2=\dfrac{-2-\sqrt{2^2-4·3·(-3)}}{2·3}\]

Si hacemos las operaciones, se obtiene:

\[x_1=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{10}}{3}\]

\[x_2=-\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{10}}{3}\]

Así que los dos factores que componente el polinomio original son:

\[(x+\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{10}}{3})\]

\[(x+\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{10}}{3})\]

Factorización de polinomios - Puntos clave

  • Las raíces de un polinomio, son los puntos de las función donde está es igual a cero.
  • El teorema del factor en matemáticas nos dice que si hay una expresión del tipo \(f(x)=(ax+b)\) que sea factor de un polinomio, entonces al sustituir los valores de \(a\) y \(b\) en el polinomio \(P(x)\) su resultado será cero.
  • El teorema del resto, este nos dice que al dividir cualquier polinomio \(P(x)\) entre una expresión lineal del tipo \((x+a)\) o \(x-a\), su residuo será cero, si y sólo si al sustituir el valor de \(a\) en el polinomio \(P(x)\) su valor es cero.
  • Las raíces de un polinomio, se pueden encontrar al factorizar el polinomio original.

Preguntas frecuentes sobre Factorización de polinomios

Para factorizar un polinomio se debe encontrar un término común, un factor. En caso de que el polinomio sea de segundo orden, se puede encontrar incluso una factorización de la forma (x+a)(x+b) usando la fórmula cuadrática.
Para otra forma, se debe conocer una raíz de antemano y proceder a dividir el polinomio entre el término x-a, donde a es la raíz conocida. Esta división da como resultado otro factor del polinomio.

Un binomio o polinomio de dos términos se puede factorizar fácilmente si:


1.- Ambos términos poseen una x, de este modo se sustrae la x con la potencia más baja de los dos términos, por ejemplo el binomio x4+3x3 se puede factorizar como (x+3)x3

2.- Si el binomio posee un término constante, entonces se pueden encontrar las raíces de la función despejando x, estas raíces (a, b) son los términos x-a y x-b de los factores que producen el binomio.

Es un caso particular del teorema del factor, este nos dice que  al dividir cualquier polinomio P(x) entre una expresión lineal del tipo (x+a) o (x-a), su residuo será cero, si y sólo si al sustituir el valor de a en el polinomio P(x) su valor es cero.

El teorema del factor en matemáticas nos dice que si hay una expresión del tipo f(x)=(ax+b) que sea factor de un polinomio, entonces al sustituir los valores de a y b en el polinomio P(x) su resultado será cero.

Cuestionario final de Factorización de polinomios

Pregunta

Aplica al teorema del resto al polinomio \(P(x)=x^2+x-6\) si el factor es \(x-2\).

Mostrar respuesta

Answer

1.- Sustituir el factor en la expresión original:

\[P(x)=(2)^2+(2)-6\]

2.- Reducir:

\[P(x)=4+2-6=6-6=0.\]

Show question

Pregunta

Aplica al teorema del resto al polinomio \(P(x)=x^2+x-6\) si el factor es \(x+3\).

Mostrar respuesta

Answer

1.- Sustituir del factor en la expresión original:

\[P(x)=(-3)^2+(-3)-6\]

2.- Reducir:

\[P(x)=9-3-6=9-9=0.\]

Show question

Pregunta

¿El teorema del factor común y el teorema del resto o residuo están relacionados?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, el teorema del resto es un caso particular del teorema del residuo.

Show question

Pregunta

¿Qué nos dice el teorema del resto?

Mostrar respuesta

Answer

Que al sustituir el valor de \(a\) de un factor común \(x-a\) de un polinomio \(P(x)\) el resto o residuo será uno.

Show question

Pregunta

Si se encuentra una raíz en un polinomio se puede decir que:

Mostrar respuesta

Answer

Esta raíz forma parte de un factor común.

Show question

Pregunta

¿Qué es una raíz en un polinomio?

Mostrar respuesta

Answer

Las raíces de un polinomio, son los puntos de las funciones donde esta es igual a cero.

Show question

Pregunta

Se sabe que dos factores del polinomio \(P(x)\) son iguales a \((x-3)\) y \(x+10\), ¿cuáles son sus raíces?

Mostrar respuesta

Answer

\(x=3\)

\(x=-10\).

Show question

Pregunta

Se sabe que un factor del polinomio \(P(x)\) es igual a \((x-c)\), ¿cuál es su raíz?

Mostrar respuesta

Answer

\[x=c\]

Show question

Pregunta

¿Los factores de un polinomio y las raíces están relacionados?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, debido a que un factor común de cualquier función polinómica es un término que expresa una raíz de la función.

Show question

Pregunta

Encuentra una de las raíces de la función \(x^6+3x\) usando un factor común.

Mostrar respuesta

Answer

\(x\).

Show question

Pregunta

Encuentra la raíces de la siguiente expresión \(-x^4-27\), cuando lo hagas expresa la función original como la multiplicación de dos factores.

Mostrar respuesta

Answer

No posee ninguna raíz o factorización posible, debido a que  la función es siempre negativa.

Show question

Pregunta

Encuentra la raíces de la siguiente expresión \(x^2+9\), cuando lo hagas expresa la función original como la multiplicación de dos factores.

Mostrar respuesta

Answer

No posee ninguna raíz o factorización posible, debido a que la función es siempre positiva.

Show question

Pregunta

Encuentra la raíces de la siguiente expresión \(2x^2-8\), cuando lo haga expresa la función original como la multiplicación de dos factores.

Mostrar respuesta

Answer

\((x+2)(x-2)\).

Show question

Pregunta

Encuentra la raíces de la siguiente expresión \(x^2-9\), cuando lo haga expresa la función original como la multiplicación de dos factores.

Mostrar respuesta

Answer

\((x+3)(x-3)\).

Show question

Pregunta

¿Qué es un factor?

Mostrar respuesta

Answer

Un término común de una expresión matemática.

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