¿Sabías que el área de un triángulo, el volumen de un paralelepípedo y la resolución de un sistema lineal de ecuaciones tienen algo en común? Pues sí. Todos ellos se calculan mediante el uso de una magnitud matemática: el determinante.
¿Qué es el determinante de una matriz?
El determinante de una matriz es un número único que se asocia a una matriz cuadrada.
El determinante de una matriz \(M\) se representa como \(\det(M)\) o \(|M|\).
Esto significa que el número puede utilizarse para representar esa matriz. Tiene gran utilidad para resolver ecuaciones lineales, mostrar cómo se producen los cambios de área y volumen durante las transformaciones lineales y explicar cómo cambian las variables en las integrales.
Tipos de determinantes
Los determinantes son de tres tipos, con base al tipo de matriz cuadrada:
El determinante de primer orden, para una matriz de \(1\times 1\), en la que el determinante de la matriz y los elementos de la matriz son los mismos.
Los determinantes de segundo orden y los determinantes de tercer orden se explicarán en detalle más adelante.
Aunque existen determinantes de orden superior, como los de las matrices de \(4\times 4\), de \(5\times 5\), etc., comenzaremos con la matriz de orden 2, a continuación.
Determinante de una matriz de orden 2
El determinante de una matriz de \(2\times 2\) suele denominarse determinante de segundo orden.
Se obtiene realizando la resta del producto de los elementos de la diagonal derecha menos el producto de los elementos de la diagonal izquierda. Así, para una matriz \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\), tenemos:
\[|A|=ad-bc\]
Halla el determinante de segundo orden de la matriz:
\[A= \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\]
Solución:
El determinante de la matriz, según la fórmula anterior es:
\[|A|=3·4-6·1=6\]
Determinante de una matriz de orden 3
El determinante de una matriz de orden 3 también se llama determinante de tercer orden.
No sigue el planteamiento sencillo del determinante de orden 2. De hecho, requiere la elaboración de un menor.
¿Qué es un menor?
Un menor es el determinante de una submatriz que se obtiene suprimiendo una fila y columna; esta columna y fila están asociadas a un elemento.
Cuando esto ocurre, una matriz de orden 3 pasa a ser de orden 2.
Por ejemplo, si una matriz es:
\[A= \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\]
El determinante se obtiene produciendo 3 menores resultantes de la eliminación de las filas y columnas asociadas a los elementos de la primera fila, por separado. Esto significa que \(a\), \(b\) y \(c\) producirían cada menor de la siguiente manera:
\[A= \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\]
Cuando se eliminan las filas y columnas asociadas al elemento \(a\), se tiene:
\[M_{11}= \begin{pmatrix} \cancel{a} & \cancel{b} & \cancel{c} \\ \cancel{d} & e & f \\ \cancel{g} & h & i \end{pmatrix}\]
\[M_{11}= \begin{pmatrix} e & f \\ h & i \end{pmatrix}\]
El menor es: \(M_{11}=ei-fh\).
Cuando se eliminan las filas y columnas asociadas al elemento \(b\) se tiene:
\[M_{12}= \begin{pmatrix} \cancel{a} & \cancel{b} & \cancel{c} \\ d & \cancel{e} & f \\ g & \cancel{h} & i \end{pmatrix}=M_{12}= \begin{pmatrix} d & f \\ g & i \end{pmatrix}\]
El menor es: \(M_{12}=di-fg\).
Cuando se eliminan las filas y columnas asociadas al elemento \(c\) se tiene:
\[M_{13}= \begin{pmatrix} \cancel{a} & \cancel{b} & \cancel{c} \\ d & e & \cancel{f} \\ g & h & \cancel{I} \end{pmatrix}=M_{13}= \begin{pmatrix} d & e \\ g & h \end{pmatrix}\]
El menor es: \(M_{13}=dh-eg\).
Para indicar claramente lo que significan los menores:
\(M_{11}\) es el menor asociado al elemento de la primera fila y la primera columna,
\(M_{12}\) es el menor asociado al elemento de la primera fila y la segunda columna, y
\(M_{13}\) es el menor asociado al elemento de la primera fila y la tercera columna.
Además, una matriz de 3 por 3 tiene 9 menores, concretamente \(M_{11}, M_{12}, M_{13}, M_{21}, M_{22}, M_{23}, M_{31}, M_{32}\) y \(M_{33}\). Los menores son importantes porque se utilizan para definir los adjuntos. Estos adjuntos se utilizan, a su vez, para calcular los determinantes.
¿Qué es un adjunto?
Un adjunto se utiliza en el cálculo de los determinantes, y tiene el mismo valor numérico que el menor, pero puede tener un signo diferente.
El adjunto se expresa como:
\[C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\]
donde,
\(i\) es el índice de la fila
\(j\) es el índice de la columna,
\(C_{ij}\) es el adjunto correspondiente a la i-ésima fila y a la j-ésima columna, y
\(M_{ij}\) es el menor correspondiente a la i-ésima fila y a la j-ésima columna.
Recuerda que sólo puede cambiar el signo al comparar un adjunto con su correspondiente menor. Por tanto, debes observar que cuando \(i+j\) es un número par, entonces \(C_{ij}=M_{ij}\). Mientras tanto, cuando \(i+j\) es impar, entonces \(C_{ij}=-M_{ij}\). Por tanto, \(M_{11}=C_{11}, M_{12}=-C_{12}, M_{13}=C_{13}\), etc.
Tras la aplicación de la fórmula, se ha introducido una fórmula de signos más sencilla, que es la siguiente:
\[\begin{equation} \begin{vmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{vmatrix}\end{equation}\]
Cálculo del determinante
Ahora sabemos cómo descomponer la matriz de \(3\times 3\) en menores de \(2\times 2\) para encontrar sus determinantes. Después, encontramos el adjunto, multiplicando el determinante de los menores con los signos correspondientes.
A continuación, cada adjunto se multiplica por su elemento correspondiente. La suma de todos los productos da el determinante de una matriz de \(3\times 3\). Por tanto:
\[A=\begin{equation} \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\end{equation}\]
\[|A|=a(C_{11})+b(C_{12})+c(C_{13})\]
Hay que tener en cuenta que los determinantes se pueden calcular utilizando cualquier fila o columna, no solo la primera fila.
Por ejemplo, el determinante de la matriz A también se puede calcular (utilizando la segunda fila, en este caso) como:
\[|A|=d(C_{21})+e(C_{22})+f(C_{23})\]
En los ejemplos se utilizará solo la primera fila, para que puedas probar los ejemplos utilizando diferentes filas o columnas.
Observa que este método puede usarse para calcular el determinante de matrices cuadradas de cualquier dimensión a partir de sus menores y adjuntos.
Halla el determinante de la matriz:
\[A=\begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\end{equation}\]
Solución:
\[|A|=\begin{equation} \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}\end{equation}\]
Paso 1: Saca los menores.
\[M_{11}=\begin{equation}\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\end{equation}=1·1-3·1=-2\]
\[M_{12}=\begin{equation}\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}\end{equation}=2·1-3·0=2\]
\[M_{13}=\begin{equation}\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}\end{equation}=2·1-1·0=2\]
Paso 2: Ahora que ya tienes los determinantes de los menores, encuentra los adjuntos:
\[C_{11}=+1(M_{11})=(+1)·(-2)=-2\]
\[C_{12}=(-1)(M_{12})=(-1)·2=-2\]
\[C_{13}=+1(M_{13})=(+1)·2=2\]
Paso 3: Ahora que has calculado los adjuntos, halla la suma de todos los productos entre los elementos y sus correspondientes adjuntos:
\[|A|=a(C_{11})+b(C_{12})+c(C_{13})\]
\[|A|=1·(-2)+3·(-2)+0·2=-8\]
Cálculo de determinantes de orden 3 por el método de Sarrus
Para calcular el determinante de una matriz utilizando el método de Sarrus, se utiliza la siguiente fórmula:
\[|A|=\begin{equation}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\end{equation}\]
\[|A|=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{13}a_{21}a_{32}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}\]
Halla el determinante de la matriz:
\[A=\begin{equation}\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\2 & 1 & 3\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\end{equation}\]
Solución:
Aplicando la regla de Sarrus para calcular el determinante, obtenemos:
\[|A|=1·1·1+0·2·1+3·3·0-0·1·0-3·2·1-1·3·1=\]
\[=1+0+0-0-6-3=-8\]
Puedes observar que es la misma matriz que en el ejemplo anterior, y hemos obtenido el mismo determinante usando métodos distintos. ¡Ahora puedes elegir tú cuál prefieres usar en cada caso!
Propiedades de los determinantes
Hay varias propiedades de los determinantes en las matrices que facilitarían tanto la comprensión como la resolución de las operaciones matriciales. Estas son:
El determinante de una matriz es igual en cualquier fila o columna.
El determinante es igual a 0 cuando todos los elementos de una fila o columna son 0.
El determinante de una matriz identidad es 1.
Cuando una matriz \(A\) se multiplica por un escalar \(c\), el determinante de la nueva matriz \(cA\) es igual al producto del determinante \(A\) y \(c\) por la potencia del número de filas n de la matriz cuadrada. \(|cA|=c^n|A|\).
Cuando se intercambian dos filas o columnas de una matriz, el determinante de la nueva matriz es el producto de (-1) por el determinante de la matriz anterior.
Cuando se intercambian las filas y columnas de una matriz (transpuesta), el determinante de la matriz transpuesta es igual al determinante de la matriz original: \(|A|=|A^t|\).
El determinante de una matriz inversa se expresa como: \(|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}\).
Cuando dos filas o columnas de una matriz son idénticas, el determinante de la matriz es 0.
Cuando una o varias filas o columnas son combinaciones lineales de otras filas o columnas, el determinante es 0.
El determinante de una matriz elevada n veces es su determinante elevado n veces: \(|A^n|=|A|^n\).
El determinante de \(AB\) es igual al producto de los determinantes de cada matriz: \(|AB|=|A|·|B|\).
Ejercicios de propiedades de los determinantes
A continuación, vamos a realizar varios ejercicios para practicar con las propiedades de los determinantes.
Calcula:
\[\begin{equation}\begin{vmatrix} 1 & 1+2a & 3a \\ 2 & 2+2a & 3a \\ 3 & 3+2a & 3a \end{vmatrix}\end{equation}\]
Solución:
Aplicando las propiedades de los determinantes:
\[\begin{equation}\begin{vmatrix} 1 & 1+2a & 3a \\ 2 & 2+2a & 3a \\ 3 & 3+2a & 3a \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3a \\ 2 & 2 & 3a \\ 3 & 3 & 3a\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1 & 2a & 3a \\ 2 & 2a & 3a \\ 3 & 2a & 3a\end{vmatrix}=0+0=0\end{equation}\]
Hemos descompuesto el determinante en una suma de determinantes. Como puedes observar:
- En el primero, dos columnas son iguales, por lo que este determinante será cero.
- En el segundo determinante, dos columnas son el mismo número multiplicado por una constante, por lo que son proporcionales, y el determinante es cero.
La suma de estos dos determinantes es, por tanto, cero.
Calcula el siguiente determinante:
\[|A|=\begin{equation}\begin{vmatrix} 0 & 3 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -2 & -1 \end{vmatrix}\end{equation}\]
Solución:
Aplicamos las propiedades de los determinantes para conseguir ceros en la primera columna, restamos la tercera fila a la segunda fila:
\[|A|=\begin{equation}\begin{vmatrix} 0 & 3 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -2 & -1\end{vmatrix}\end{equation}\]
Como en la primera columna todos los elementos son todos nulos menos uno, el determinante será la multiplicación de este elemento no nulo por el signo correspondiente de su adjunto y su menor:
\[A= \begin{pmatrix} \cancel{0} & 3 & 1 & 1 & 2 \\ \cancel{3} & \cancel{-1} & \cancel{0} & \cancel{2} & \cancel{0} \\ \cancel{0} & 0 & 2 & 4 & 0 \\ \cancel{0} & 1 & 2 & 4 & 1 \\ \cancel{0} & 2 & 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}\]
En este caso, el adjunto corresponde al \(3\) multiplicado por el signo de la posición de la fila 2 y la columna 1; es decir, \(3·(-1)^{2+1}=-3\).
Después, operamos con las filas para conseguir más filas o columnas de ceros y llegar a otro menor:
\[|A|=(-1)^{2+1}·3\begin{equation}\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 1 \\ 2 & 0 & -2 & -1\end{vmatrix}=(-3)\begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & -2 & -2 \end{vmatrix}\end{equation}=\]
\[=(-3)·2\begin{equation}\begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & -1 \end{vmatrix}\end{equation}\]
Finalmente, hallamos el determinante, usando la regla de Sarrus:
\[|A|=-6(3·0·-1+-1·1·2+2·1·-2-2·0·2-1·-1·-1-3·1·-2)=\]
\[=-6(-2-4-1+6)=6\]
Método de Gauss para calcular el determinante
El método de Gauss consiste en convertir una matriz cuadrada en una matriz triangular; puesto que por las propiedades de los determinantes, este solo será la multiplicación de los elementos de la diagonal.
Para calcular el determinante usando este método, realizaremos los siguientes pasos:
Se transforma la matriz en una matriz triangular (superior o inferior).
Se calcula el determinante, multiplicando los elementos de la diagonal principal.
Calcula el determinante:
\[|A|=\begin{equation}\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}\end{equation}\]
Solución:
Cambiamos filas o columnas para poner ceros donde más nos interese (recuerda que se multiplica por (-1) por cada permutación):
\[|A|=\begin{equation}\begin{vmatrix} 1&2&-1\\-1&0&1\\-2&1&0\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-2&1&0\\-1&0&1\\1&2&-1\end{vmatrix}=+\begin{vmatrix}1&-2&0\\0&-1&1\\2&1&-1\end{vmatrix}\end{equation}\]
Ahora podemos operar con las columnas o filas para conseguir ceros; por ejemplo, la segunda columna pasará a ser la suma de la segunda columna más dos veces la primera columna, \(C_2=C_2+2C_1\):
\[|A|=\begin{equation}\begin{vmatrix}1&0&0\\0&-1&1\\2&5&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\2&5&4\end{vmatrix}\end{equation}\]
En la última transformación hemos hecho \(C_3=C_3+C_2\). Al final, hemos obtenido un determinante triangular inferior, y su valor se calcula simplemente multiplicando los elementos de la diagonal principal. Por tanto:
\[|A|=1·(-1)·4=-4\]
Recuerda que puedes ver más temas relacionados en otros de nuestros artículos, como el de Matrices.
Determinantes - Puntos clave
\[|A|=\begin{equation}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\end{equation}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\]
\[|A|=\begin{equation}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\end{equation}=\]
\[=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{13}a_{21}a_{32}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}\]
- Un menor es el determinante de la matriz obtenida derivado de la supresión de la respectiva fila y columna asociada a un elemento.
- El adjunto se utiliza en el cálculo de los determinantes, y tiene el mismo valor numérico que el menor, pero puede tener un signo diferente.
- Las propiedades de los determinantes nos permiten operar con filas y columnas, para aplicar transformaciones de modo que podemos calcular el determinante usando un método más sencillo.
- El método de Gauss consiste en transformar una matriz en una matriz triangular superior o inferior de modo que su determinante sea la multiplicación de los elementos en la diagonal principal.\[M_{11}= \begin{pmatrix} e & f \\ h & i \end{pmatrix}\]
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