Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea

Si has leído nuestros artículos de matrices y determinantes ya conoces estos conceptos y sus propiedades. Además, en el tema de determinantes te explicamos lo que es el menor y el adjunto de una matriz. También, en ese tema solo nos enfocamos en matrices de \(3\times 3\), en las que normalmente se calcula su determinante usando la regla de Sarrus.

Sin embargo, también te encontrarás con matrices de órdenes superiores, de las cuales tendrás que calcular su determinante. Puedes hacerlo utilizando lo que se denomina desarrollo de un determinante por elementos de una línea. Veamos en qué consiste.

Determinantes en matemáticas

Comencemos con un ligero repaso:

Esto significa que el número puede utilizarse para representar esa matriz, y es de gran utilidad para:

1. Resolver ecuaciones lineales.
2. Mostrar cómo se producen los cambios de área y volumen durante las transformaciones lineales.
3. Explicar cómo cambian las variables en las integrales.

El determinante de una matriz \(M\) se representa como \(det[M]\) o \(|M|\).

• Como ya hemos mencionado, una de las maneras para calcular el determinante de una matriz es usando la regla de Sarrus. Pero este no es el único método, ya que el método general es usando los adjuntos de la matriz.

Para calcular el adjunto de una matriz, también tienes que saber lo que es un menor. Esto lo explicamos en nuestro tema de determinantes; pero, vamos a repasarlo.

Ahora sabemos cómo descomponer una matriz en sus menores. También, sabemos cómo encontrar los adjuntos, multiplicando el determinante de los menores con los signos correspondientes. Y tenemos claro que cada adjunto se multiplica por su elemento correspondiente.

Sin embargo, para calcular el determinante de una matriz solo tenemos que elegir una fila o una columna (normalmente una que tenga muchos elementos nulos) y realizar la suma de los elementos de esa línea multiplicados por sus adjuntos.

Por tanto, para una matriz de orden 4:

\[A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix}\]

El determinante se puede calcular según la definición anterior.

Observa que se puede utilizar este método para calcular el determinante de matrices cuadradas de cualquier dimensión usando sus menores y adjuntos.

Cálculo del determinante de una matriz de \(3\times 3\) por elementos de una línea

Veamos el caso de una matriz de \(3\times 3\), antes de saltar a un ejemplo de \(4\times 4\).

En este caso, si se tiene la matriz:

\[A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\]

Calculamos su determinante usando los elementos de la primera fila. Por tanto, su determinante es igual a:

\[\det(A)=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}\]

Donde los valores de los cofactores son:

\[A_{11}=\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\]

\[A_{12}=\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}\]

\[A_{13}=\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\]

Esto es bastante sencillo ¿no es así? Ahora veamos el caso de una matriz de \(4\times 4\).

Cálculo del determinante de orden 4 de una matriz de \(4\times 4\) por elementos de una línea

Para calcular una matriz de orden superior, como una \(4\times 4\), el método del desarrollo por elementos de línea nos ahorra mucho trabajo.

En una matriz del tipo:

\[A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix}\]

Si elegimos la primera fila, tiene un determinante igual a:

\[\det(A)=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}+a_{14}A_{14}\]

Aquí, \(A_{11}, A_{12}...\) son los adjuntos correspondientes; es decir, los determinantes de las matrices que resultan de eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\), las cuales son:

\[A_{11}=+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} \]

\[A_{12}=-\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} \]

\[A_{13}=+\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{44} \end{vmatrix} \]

Por supuesto, estos determinantes se pueden calcular por la regla de Sarrus; pero, también puedes desarrollarlos de esta manera. Podrás pensar que, aun así, este método es muy largo; pero tienes sus ventajas: ¿Qué pasa si en alguna fila o columna existen uno o más ceros? Pues, que para los elementos nulos no hace falta calcular su adjunto; puesto que, al multiplicarlo por 0, el resultado será nulo.

De hecho, hay una recomendación: “siempre intentar desarrollar las filas o columnas que contengan ceros”.

De este modo, si uno de ellos es cero —por ejemplo, \(a_{11}\)—, el determinante:

\[\det(A)=\cancelto{0}{a_{11}A_{11}}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}+a_{14}A_{14}\]

Practiquemos: