Si has leído nuestros artículos de matrices y determinantes ya conoces estos conceptos y sus propiedades. Además, en el tema de determinantes te explicamos lo que es el menor y el adjunto de una matriz. También, en ese tema solo nos enfocamos en matrices de \(3\times 3\), en las que normalmente se calcula su determinante usando la regla de Sarrus.
Sin embargo, también te encontrarás con matrices de órdenes superiores, de las cuales tendrás que calcular su determinante. Puedes hacerlo utilizando lo que se denomina desarrollo de un determinante por elementos de una línea. Veamos en qué consiste.
Determinantes en matemáticas
Comencemos con un ligero repaso:
El determinante es un número único asociado una matriz cuadrada.
Esto significa que el número puede utilizarse para representar esa matriz, y es de gran utilidad para:
- Resolver ecuaciones lineales.
- Mostrar cómo se producen los cambios de área y volumen durante las transformaciones lineales.
- Explicar cómo cambian las variables en las integrales.
El determinante de una matriz \(M\) se representa como \(det[M]\) o \(|M|\).
- Como ya hemos mencionado, una de las maneras para calcular el determinante de una matriz es usando la regla de Sarrus. Pero este no es el único método, ya que el método general es usando los adjuntos de la matriz.
Para calcular el adjunto de una matriz, también tienes que saber lo que es un menor. Esto lo explicamos en nuestro tema de determinantes; pero, vamos a repasarlo.
¿Qué es un menor?
Un menor es el determinante de una submatriz que se obtiene suprimiendo una fila y una columna. Tanto la columna como a fila están asociadas a un elemento.
Cuando esto ocurre,
- Para una matriz de orden 3, sus menores son de orden 2.
- Para una matriz de orden 4, sus menores son de orden 3; y, así, sucesivamente.
Por ejemplo, una matriz:
\[A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix}\]
Como hemos dicho, un menor de esta matriz resulta de elegir uno de sus elementos y eliminar su fila y su columna.
En esta matriz de ejemplo podemos crear el menor de \(a_{23}\), eliminando la segunda fila y la tercera columna:
\[M_{23}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cancel{a_{13}} & a_{14} \\ \cancel{a_{21}} & \cancel{a_{22}} & \cancel{a_{23}} & \cancel{a_{24}} \\ a_{31} & a_{32} & \cancel{a_{33}} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & \cancel{a_{43}} & a_{44} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{44} \end{vmatrix} \]
Para indicar más claramente lo que significan los menores:
- \(M_{11}\) es el menor asociado al elemento de la primera fila y la primera columna,
- \(M_{12}\) es el menor asociado al elemento de la primera fila y la segunda columna,
- \(M_{13}\) es el menor asociado al elemento de la primera fila y la tercera columna y así sucesivamente.
Por tanto, una matriz de 3 por 3 tiene 9 menores y una matriz de 4 por 4 tiene 16 menores. Los menores son importantes porque se utilizan para definir los adjuntos. Estos adjuntos se utilizan a su vez para calcular los determinantes.
Una submatriz es una matriz formada al tomar un bloque de la matriz original.
Por ejemplo, si se tiene la matriz,
\[M=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9\end{pmatrix}\]
la siguiente matriz es una submatriz de \(M\):
\[M_s=\begin{pmatrix}1 & 2 \\4 & 5\end{pmatrix}\]
Adjuntos de una matriz
Un adjunto se utiliza en el cálculo de los determinantes y tiene el mismo valor numérico que el menor, pero puede tener un signo diferente.
El adjunto se expresa como:
\[C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\]
donde:
- \(i\) es el índice de la fila,
- \(j\) es el índice de la columna,
- \(C_{ij}\) es el cofactor o adjunto correspondiente a la i-ésima fila y a la j-ésima columna, y
- \(M_{ij}\) es el menor correspondiente a la i-ésima fila y a la j-ésima columna.
Recuerda que solo puede cambiar el signo al comparar un adjunto con su correspondiente menor. Por tanto, debes observar que cuando \(i+j\) es un número par, entonces \(C_{ij}=M_{ij}\). Mientras tanto, cuando \(i+j\) es impar, entonces \(C_{ij}=-M_{ij}\).
Por ejemplo, para el caso de matrices de orden 4, se ha introducido una fórmula de signos más sencilla, que es la siguiente:
\[\begin{equation} \begin{vmatrix} + & - & + & - \\ - & + & - & +\\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{vmatrix}\end{equation}\]
En resumen, los adjuntos de de una matriz son elementos que sustituyen cada entrada de una matriz; estos elementos son el resultado de:
Cálculo del determinante de una matriz por elementos de una línea
Ahora sabemos cómo descomponer una matriz en sus menores. También, sabemos cómo encontrar los adjuntos, multiplicando el determinante de los menores con los signos correspondientes. Y tenemos claro que cada adjunto se multiplica por su elemento correspondiente.
Sin embargo, para calcular el determinante de una matriz solo tenemos que elegir una fila o una columna (normalmente una que tenga muchos elementos nulos) y realizar la suma de los elementos de esa línea multiplicados por sus adjuntos.
El determinante de una matriz es igual a la suma de los elementos de una línea multiplicados por sus adjuntos.
Por tanto, para una matriz de orden 4:
\[A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix}\]
El determinante se puede calcular según la definición anterior.
Por ejemplo, el determinante de la matriz \(A\) se puede calcular (utilizando la segunda fila, en este caso) como:
\[|A|=a_{21}(C_{21})+a_{22}(C_{22})+a_{23}(C_{23})+a_{24}(C_{24})\]
Observa que se puede utilizar este método para calcular el determinante de matrices cuadradas de cualquier dimensión usando sus menores y adjuntos.
Cálculo del determinante de una matriz de \(3\times 3\) por elementos de una línea
Veamos el caso de una matriz de \(3\times 3\), antes de saltar a un ejemplo de \(4\times 4\).
En este caso, si se tiene la matriz:
\[A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\]
Calculamos su determinante usando los elementos de la primera fila. Por tanto, su determinante es igual a:
\[\det(A)=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}\]
Donde los valores de los cofactores son:
\[A_{11}=\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\]
\[A_{12}=\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}\]
\[A_{13}=\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\]
Esto es bastante sencillo ¿no es así? Ahora veamos el caso de una matriz de \(4\times 4\).
Cálculo del determinante de orden 4 de una matriz de \(4\times 4\) por elementos de una línea
Para calcular una matriz de orden superior, como una \(4\times 4\), el método del desarrollo por elementos de línea nos ahorra mucho trabajo.
En una matriz del tipo:
\[A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix}\]
Si elegimos la primera fila, tiene un determinante igual a:
\[\det(A)=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}+a_{14}A_{14}\]
Aquí, \(A_{11}, A_{12}...\) son los adjuntos correspondientes; es decir, los determinantes de las matrices que resultan de eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\), las cuales son:
\[A_{11}=+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} \]
\[A_{12}=-\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} \]
\[A_{13}=+\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{44} \end{vmatrix} \]
\[A_{14}=-\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{vmatrix} \]
Por supuesto, estos determinantes se pueden calcular por la regla de Sarrus; pero, también puedes desarrollarlos de esta manera. Podrás pensar que, aun así, este método es muy largo; pero tienes sus ventajas: ¿Qué pasa si en alguna fila o columna existen uno o más ceros? Pues, que para los elementos nulos no hace falta calcular su adjunto; puesto que, al multiplicarlo por 0, el resultado será nulo.
De hecho, hay una recomendación: “siempre intentar desarrollar las filas o columnas que contengan ceros”.
De este modo, si uno de ellos es cero —por ejemplo, \(a_{11}\)—, el determinante:
\[\det(A)=\cancelto{0}{a_{11}A_{11}}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}+a_{14}A_{14}\]
Practiquemos:
Calcula el determinante de la siguiente matriz por los elementos de una línea:
\[A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 & 0 \end{pmatrix} \]
Solución:
Como podemos observar, hay varios elementos nulos; por esto podemos elegir cualquier fila o columna que contenga algún cero, para facilitar los cálculos. Pero, además, si sumamos la segunda fila a la primera, podemos obtener otro cero fácilmente para el elemento \(a_{21}\):
\[|A|=\begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 & 0 \end{vmatrix} \]
De este modo, tenemos dos ceros en la misma columna. Por tanto, lo más fácil es desarrollar el determinante por los elementos de la primera columna:
\[|A|=a_{11}A_{11}+\cancelto{0}{a_{21}A_{21}}+\cancelto{0}{a_{31}A_{31}}+a_{41}A_{41}\]
Entonces, solo tenemos que calcular los determinantes de los adjuntos \(A_{11}\) y \(A_{41}\), recordando que deben ir multiplicados por el signo de la paridad del elemento en el que están:
\[|A|=(1)^{1+1}·1·A_{11}+(-1)^{1+4}·2·A_{41}=A_{11}-2A_{41}\]
\[|A|=\begin{vmatrix} -2 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 3 & 0 \end{vmatrix} -2 \begin{vmatrix} -2 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}\]
Puedes resolver estos determinantes, también, por cualquier método; por ejemplo, la regla de Sarrus:
\[|A|=(15+1+10-6)-2(2-12-3+20)=20-14=6\]
Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea - Puntos clave
- Los determinantes son un número único asociado a una matriz.
- Para calcular una matriz de orden superior como una \(4\times 4\), el método del desarrollo por elementos de línea nos ahorra mucho trabajo.
- El desarrollo por elementos de línea nos dice que el determinante de una matriz es igual a la suma de los elementos de una línea multiplicados por sus adjuntos.
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