Seguro que sabes lo que es una ecuación y, también, qué es una ecuación lineal y qué es un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas representan rectas en el espacio y sus soluciones son los puntos donde estas se cruzan; aunque puede suceder que las rectas nunca se crucen (sean paralelas) o tengan infinitas soluciones (que sean la misma recta).
Estas ecuaciones y las matrices están íntimamente relacionadas entre sí. De hecho, una matriz puede ser la representación de un sistema de ecuaciones lineales. En este artículo te hablaremos sobre cómo podemos simplemente representar un sistema de ecuaciones usando una matriz; ¡comencemos!
Sistema de ecuaciones lineales
Empecemos recordando rápidamente en qué consiste un sistema de ecuaciones lineales.
Un sistema de ecuaciones son dos o más ecuaciones, con dos o más variables, en las que ninguna variable tiene un exponente distinto a la unidad.
Por ejemplo, el siguiente sistema de ecuaciones no es lineal:
\[\left\{ \begin{array}\, x^2+3y=0\\-x-\sqrt[3]{5}y=0\end{array}\right.\]
Esto se debe a que la variable \(x\) en la primera ecuación tiene un término al cuadrado.
La expresión general de un sistema de \(n\) ecuaciones con \(m\) incógnitas es:
\[\left\{\begin{array}\, a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1m}x_{m}=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2m}x_m=b_2\\...\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nm}x_m=b_n \end{array}\right.\]
Aquí, los elementos \(a_{ij}\) representan los coeficientes de la incógnita \(x_j\) y en la ecuación \(i\). El elemento \(b_i\) es el término independiente de la ecuación \(i\).
Las soluciones del sistema son los valores que verifican todas las ecuaciones del sistema a la vez.
Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden resolver usando sustitución, como podrás haber leído en nuestro artículo de sistemas de ecuaciones lineales o, también, usando el método de Gauss (eliminación gaussiana) y Gauss-Jordan.
Pero, hay otro método más sencillo y más organizado que consiste en el uso de matrices y operaciones elementales de matrices para encontrar determinantes. Esto lo puedes estudiar en los temas de las reglas de Sarrus y Cramer y usando la matriz inversa de la matriz de coeficientes.
Si aún no sabes lo que es la matriz de coeficientes, este es el tema que te interesa.
Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales
A partir de la expresión general de un sistema de ecuaciones que hemos mencionado anteriormente, formamos las siguientes matrices:
Matriz de coeficientes: \[A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2m} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nm} \end{pmatrix}\]
Matriz de incógnitas: \[X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_m \end{pmatrix}\]
Matriz de términos independientes: \[B=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ ... \\ b_n \end{pmatrix}\]
Matriz ampliada: \[A^*=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1m} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2m} & b_2 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nm} & b_n \end{pmatrix}\]
Podemos expresar un sistema de ecuaciones como una ecuación matricial de este modo:
\[AX=B\Rightarrow \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2m} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nm} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_m \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ ... \\ b_n \end{pmatrix}\]
Matriz de coeficientes
La matriz de coeficientes es la matriz que representa los coeficientes de las incógnitas.
Es muy importante que no la confundas con la matriz ampliada, puesto que muchas veces se comparan estas dos para llegar a resultados como saber si el sistema de ecuaciones es compatible o incompatible.
Matriz ampliada
En la ecuación matricial anterior no hemos representado la matriz ampliada \(A^*\), porque esta matriz es la unión de la matriz de coeficientes y de la matriz de términos independientes. Muchas veces se escribe la matriz ampliada separando la matriz de coeficientes de la matriz de términos independientes con una línea vertical:
\[A^*=(A|B)\]
Ecuaciones lineales y matrices: ejemplos
Hagamos unos ejemplos para que practiques cómo pasar un sistema de ecuaciones a su representación matricial.
Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
\[\left\{\begin{array}\,2x-4y=1\\2x-2y=-1\end{array}\right.\]
Escríbelo como una ecuación matricial.
Solución:
Vamos a representar el sistema como una ecuación matricial del tipo:
\[AX=B\]
Para esto, la matriz de coeficientes es:
\[A=\begin{pmatrix}2 & -4 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}\]
La matriz de incógnitas es:
\[X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\]
La matriz de términos independientes:
\[B=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\]
Por tanto, la ecuación matricial que representa el sistema es:
\[\begin{pmatrix}2 & -4 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\]
Representa el siguiente sistema de ecuaciones en forma matricial (matriz ampliada):
\[\left\{\begin{array}\,2x-y+z=3\\x-2y=-1\\ 3x-y+4z=1\end{array}\right.\]
Solución:
Representamos la matriz de coeficientes:
\[A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end{pmatrix}\]
Ahora, representamos la matriz de términos independientes:
\[B=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\]
Por tanto, la matriz ampliada \(A^*=(A|B)\) es:
\[A^*=\left(\begin{array}{rrr|r}2 & -1 & 1 & 3 \\1 & -2 & 0 & -1 \\ 3 & -1 & 4 & 1\end{array}\right)\]
Esta representación matricial nos ayuda, ya que podemos usar operaciones de suma, resta y multiplicación entre las filas para reducir estas matrices a matrices triangulares superiores. Este es uno de los distintos tipos de matrices y nos ayuda a resolver problemas más fácilmente.
Expresión vectorial de un sistema de ecuaciones lineales
Hay otra manera de expresar un sistema de ecuaciones lineales: usando una serie de vectores que se denota de la siguiente manera.
\[\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\...\\a_{n1}\end{pmatrix}x_1+\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\...\\a_{n2}\end{pmatrix}x_2+...+\begin{pmatrix}a_{1m}\\a_{2m}\\...\\a_{nm}\end{pmatrix}x_m=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\...\\b_n\end{pmatrix}\]
\[A_1x_1+A_2x_2…A_mx_m=B\]
- Donde \(A_i\) son las columnas de la matriz de coeficientes.
Una transformación lineal es un objeto importante dentro de las matrices y ecuaciones.
Una transformación lineal es, por ejemplo, sumar todas las ecuaciones de la matriz por una constante , o multiplicarlas por un número.
Sin embargo, estas transformaciones pueden llegar a ser mucho más complicadas y tienen, también, una representación matricial.
Representación matricial - Puntos clave
- Un sistema de ecuaciones son dos o más ecuaciones con dos o más variables, en las que ninguna variable tiene un exponente distinto a la unidad.
- Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden representar como una ecuación matricial: \(AX=B\).
- Se pueden obtener varias matrices a partir de un sistema de ecuaciones:
- Matriz de coeficientes.
- Matriz de incógnitas.
- Matriz de términos independientes.
- Matriz ampliada.
- También, hay otra manera muy extendida de representar sistemas como el de las matrices; esta se denomina expresión vectorial:
\[A_1x_1+A_2x_2+...+A_mx_m=B\]
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