Seguro que sabes lo que es una ecuación y, también, qué es una ecuación lineal y qué es un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas representan rectas en el espacio y sus soluciones son los puntos donde estas se cruzan; aunque puede suceder que las rectas nunca se crucen (sean paralelas) o tengan infinitas soluciones (que sean la misma recta).
Estas ecuaciones y las matrices están íntimamente relacionadas entre sí. De hecho, una matriz puede ser la representación de un sistema de ecuaciones lineales. En este artículo te hablaremos sobre cómo podemos simplemente representar un sistema de ecuaciones usando una matriz; ¡comencemos!
Sistema de ecuaciones lineales
Empecemos recordando rápidamente en qué consiste un sistema de ecuaciones lineales.
Un sistema de ecuacionesson dos o más ecuaciones, con dos o más variables, en las que ninguna variable tiene un exponente distinto a la unidad.
Por ejemplo, el siguiente sistema de ecuaciones no es lineal:
Aquí, los elementos \(a_{ij}\) representan los coeficientes de la incógnita \(x_j\) y en la ecuación \(i\). El elemento \(b_i\) es el término independiente de la ecuación \(i\).
Las soluciones del sistema son los valores que verifican todas las ecuaciones del sistema a la vez.
Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden resolver usando sustitución, como podrás haber leído en nuestro artículo de sistemas de ecuaciones lineales o, también, usando el método de Gauss (eliminación gaussiana) y Gauss-Jordan.
Pero, hay otro método más sencillo y más organizado que consiste en el uso de matrices y operaciones elementales de matrices para encontrar determinantes. Esto lo puedes estudiar en los temas de las reglas de Sarrus y Cramer y usando la matriz inversa de la matriz de coeficientes.
Si aún no sabes lo que es la matriz de coeficientes, este es el tema que te interesa.
Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales
A partir de la expresión general de un sistema de ecuaciones que hemos mencionado anteriormente, formamos las siguientes matrices:
La matriz de coeficientes es la matriz que representa los coeficientes de las incógnitas.
Es muy importante que no la confundas con la matriz ampliada, puesto que muchas veces se comparan estas dos para llegar a resultados como saber si el sistema de ecuaciones es compatible o incompatible.
Matriz ampliada
En la ecuación matricial anterior no hemos representado la matriz ampliada \(A^*\), porque esta matriz es la unión de la matriz de coeficientes y de la matriz de términos independientes. Muchas veces se escribe la matriz ampliada separando la matriz de coeficientes de la matriz de términos independientes con una línea vertical:
\[A^*=(A|B)\]
Ecuaciones lineales y matrices: ejemplos
Hagamos unos ejemplos para que practiques cómo pasar un sistema de ecuaciones a su representación matricial.
Esta representación matricial nos ayuda, ya que podemos usar operaciones de suma, resta y multiplicación entre las filas para reducir estas matrices a matrices triangulares superiores. Este es uno de los distintos tipos de matrices y nos ayuda a resolver problemas más fácilmente.
Expresión vectorial de un sistema de ecuaciones lineales
Hay otra manera de expresar un sistema de ecuaciones lineales: usando una serie de vectores que se denota de la siguiente manera.
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Preguntas frecuentes sobre Representación matricial
¿Cómo hacer una representación matricial?
La representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales se basa en colocar los coeficientes de las incógnitas en una matriz de: tantas filas como número de ecuaciones y tantas columnas como número de incógnitas.
También se puede representar la matriz de términos independientes formados por los términos independientes de las ecuaciones.
¿Cómo es la representación matricial de un sistema de ecuaciones?
Es el resultado de tomar los coeficientes y resultados de una serie de ecuaciones y crear una matriz con ellos.
¿Cuándo una matriz es ampliada?
Una matriz es ampliada cuando incluye la matriz de coeficientes y la matriz de términos independientes, de modo que:
A*=(A|B).
¿Cómo se calcula la matriz de coeficientes?
La matriz de coeficientes se crea con los coeficientes de las incógnitas de un sistema de ecuaciones. Los elementos de cada fila son los coeficientes de las incógnitas de cada ecuación.
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Lily Hulatt
Especialista en Contenido Digital
Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
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