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Representación matricial

Representación matricial

Seguro que sabes lo que es una ecuación y, también, qué es una ecuación lineal y qué es un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas representan rectas en el espacio y sus soluciones son los puntos donde estas se cruzan; aunque puede suceder que las rectas nunca se crucen (sean paralelas) o tengan infinitas soluciones (que sean la misma recta).

Estas ecuaciones y las matrices están íntimamente relacionadas entre sí. De hecho, una matriz puede ser la representación de un sistema de ecuaciones lineales. En este artículo te hablaremos sobre cómo podemos simplemente representar un sistema de ecuaciones usando una matriz; ¡comencemos!

Sistema de ecuaciones lineales

Empecemos recordando rápidamente en qué consiste un sistema de ecuaciones lineales.

Un sistema de ecuaciones son dos o más ecuaciones, con dos o más variables, en las que ninguna variable tiene un exponente distinto a la unidad.

Por ejemplo, el siguiente sistema de ecuaciones no es lineal:

\[\left\{ \begin{array}\, x^2+3y=0\\-x-\sqrt[3]{5}y=0\end{array}\right.\]

Esto se debe a que la variable \(x\) en la primera ecuación tiene un término al cuadrado.

La expresión general de un sistema de \(n\) ecuaciones con \(m\) incógnitas es:

\[\left\{\begin{array}\, a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1m}x_{m}=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2m}x_m=b_2\\...\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nm}x_m=b_n \end{array}\right.\]

Aquí, los elementos \(a_{ij}\) representan los coeficientes de la incógnita \(x_j\) y en la ecuación \(i\). El elemento \(b_i\) es el término independiente de la ecuación \(i\).

Las soluciones del sistema son los valores que verifican todas las ecuaciones del sistema a la vez.

Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden resolver usando sustitución, como podrás haber leído en nuestro artículo de sistemas de ecuaciones lineales o, también, usando el método de Gauss (eliminación gaussiana) y Gauss-Jordan.

Pero, hay otro método más sencillo y más organizado que consiste en el uso de matrices y operaciones elementales de matrices para encontrar determinantes. Esto lo puedes estudiar en los temas de las reglas de Sarrus y Cramer y usando la matriz inversa de la matriz de coeficientes.

Si aún no sabes lo que es la matriz de coeficientes, este es el tema que te interesa.

Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales

A partir de la expresión general de un sistema de ecuaciones que hemos mencionado anteriormente, formamos las siguientes matrices:

  • Matriz de coeficientes: \[A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2m} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nm} \end{pmatrix}\]

  • Matriz de incógnitas: \[X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_m \end{pmatrix}\]

  • Matriz de términos independientes: \[B=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ ... \\ b_n \end{pmatrix}\]

  • Matriz ampliada: \[A^*=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1m} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2m} & b_2 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nm} & b_n \end{pmatrix}\]

Podemos expresar un sistema de ecuaciones como una ecuación matricial de este modo:

\[AX=B\Rightarrow \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2m} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nm} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_m \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ ... \\ b_n \end{pmatrix}\]

Matriz de coeficientes

La matriz de coeficientes es la matriz que representa los coeficientes de las incógnitas.

Es muy importante que no la confundas con la matriz ampliada, puesto que muchas veces se comparan estas dos para llegar a resultados como saber si el sistema de ecuaciones es compatible o incompatible.

Matriz ampliada

En la ecuación matricial anterior no hemos representado la matriz ampliada \(A^*\), porque esta matriz es la unión de la matriz de coeficientes y de la matriz de términos independientes. Muchas veces se escribe la matriz ampliada separando la matriz de coeficientes de la matriz de términos independientes con una línea vertical:

\[A^*=(A|B)\]

Ecuaciones lineales y matrices: ejemplos

Hagamos unos ejemplos para que practiques cómo pasar un sistema de ecuaciones a su representación matricial.

Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\left\{\begin{array}\,2x-4y=1\\2x-2y=-1\end{array}\right.\]

Escríbelo como una ecuación matricial.

Solución:

Vamos a representar el sistema como una ecuación matricial del tipo:

\[AX=B\]

Para esto, la matriz de coeficientes es:

\[A=\begin{pmatrix}2 & -4 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}\]

La matriz de incógnitas es:

\[X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\]

La matriz de términos independientes:

\[B=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\]

Por tanto, la ecuación matricial que representa el sistema es:

\[\begin{pmatrix}2 & -4 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\]

Representa el siguiente sistema de ecuaciones en forma matricial (matriz ampliada):

\[\left\{\begin{array}\,2x-y+z=3\\x-2y=-1\\ 3x-y+4z=1\end{array}\right.\]

Solución:

Representamos la matriz de coeficientes:

\[A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end{pmatrix}\]

Ahora, representamos la matriz de términos independientes:

\[B=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Por tanto, la matriz ampliada \(A^*=(A|B)\) es:

\[A^*=\left(\begin{array}{rrr|r}2 & -1 & 1 & 3 \\1 & -2 & 0 & -1 \\ 3 & -1 & 4 & 1\end{array}\right)\]

Esta representación matricial nos ayuda, ya que podemos usar operaciones de suma, resta y multiplicación entre las filas para reducir estas matrices a matrices triangulares superiores. Este es uno de los distintos tipos de matrices y nos ayuda a resolver problemas más fácilmente.

Expresión vectorial de un sistema de ecuaciones lineales

Hay otra manera de expresar un sistema de ecuaciones lineales: usando una serie de vectores que se denota de la siguiente manera.

\[\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\...\\a_{n1}\end{pmatrix}x_1+\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\...\\a_{n2}\end{pmatrix}x_2+...+\begin{pmatrix}a_{1m}\\a_{2m}\\...\\a_{nm}\end{pmatrix}x_m=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\...\\b_n\end{pmatrix}\]

\[A_1x_1+A_2x_2…A_mx_m=B\]

  • Donde \(A_i\) son las columnas de la matriz de coeficientes.

Una transformación lineal es un objeto importante dentro de las matrices y ecuaciones.

Una transformación lineal es, por ejemplo, sumar todas las ecuaciones de la matriz por una constante , o multiplicarlas por un número.

Sin embargo, estas transformaciones pueden llegar a ser mucho más complicadas y tienen, también, una representación matricial.

Representación matricial - Puntos clave

  • Un sistema de ecuaciones son dos o más ecuaciones con dos o más variables, en las que ninguna variable tiene un exponente distinto a la unidad.
  • Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden representar como una ecuación matricial: \(AX=B\).
  • Se pueden obtener varias matrices a partir de un sistema de ecuaciones:
    • Matriz de coeficientes.
    • Matriz de incógnitas.
    • Matriz de términos independientes.
    • Matriz ampliada.
  • También, hay otra manera muy extendida de representar sistemas como el de las matrices; esta se denomina expresión vectorial:

\[A_1x_1+A_2x_2+...+A_mx_m=B\]

Preguntas frecuentes sobre Representación matricial

La representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales se basa en colocar los coeficientes de las incógnitas en una matriz de: tantas filas como número de ecuaciones y tantas columnas como número de incógnitas. 


También se puede representar la matriz de términos independientes formados por los términos independientes de las ecuaciones.

Es el resultado de tomar los coeficientes y resultados de una serie de ecuaciones y crear una matriz con ellos.

Una matriz es ampliada cuando incluye la matriz de coeficientes y la matriz de términos independientes, de modo que:

A*=(A|B).

La matriz de coeficientes se crea con los coeficientes de las incógnitas de un sistema de ecuaciones. Los elementos de cada fila son los coeficientes de las incógnitas de cada ecuación.

Cuestionario final de Representación matricial

Pregunta

¿Se puede representar un sistema de ecuaciones lineales usando una matriz?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, eso crea una matriz de coeficientes y un vector o matriz de términos independientes.

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Pregunta

La matriz que contiene los coeficientes de las ecuaciones se denomina:

Mostrar respuesta

Answer

La matriz de coeficientes.

Show question

Pregunta

El vector columna que contienen los términos independientes de las ecuaciones se denomina:

Mostrar respuesta

Answer

El vector de términos independientes.

Show question

Pregunta

Si dos matrices que representan un sistema de ecuaciones son equivalentes, ¿qué ocurre con las soluciones que proporciona cada matriz?

Mostrar respuesta

Answer

Las soluciones de \(A\) son iguales a las de \(B\).

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Pregunta

Una matriz \(A\) tiene por soluciones \(y=5\) y \(x=-3\). Se sabe que la matriz \(B\) es equivalente a \(A\). ¿Cuáles son las soluciones de la matriz \(B\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=5\) y \(x=-3\).

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Pregunta

Una matriz \(A\) tiene por resultados \(y=6\), \(x=-9\). Se sabe que la matriz \(B\) es equivalente a \(-A\). ¿Cuáles son las soluciones de la matriz \(B\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=-6\) y \(x=9\).

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Pregunta

Un sistema de ecuaciones lineales tiene incógnitas con potencias mayores que uno, ¿verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Falso, un sistema lineal es un sistema cuyas incógnitas sólo contienen potencias elevadas a uno \(x^1, y^1…n^1\).

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Pregunta

¿Cuál de las siguientes matrices representa el siguiente sistema de ecuaciones?

\[3x+4y=0\]

\[2x-5y=0\]

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Answer

\(\begin{pmatrix}3 & 4 & | & 0 \\ 2 & -5 & | & 0 \end{pmatrix}\).

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Pregunta

¿Cual es el vector de términos independientes del siguiente sistema?

\[3x+4y - 7z=0\]

\[2x-5y - 3y=0\]

\[x-2y+11z=0\]

Mostrar respuesta

Answer

\(B=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\).

Show question

Pregunta

Cuando un sistema de ecuaciones tiene sólo elementos iguales a cero como términos independientes, ¿cómo se conoce este tipo de sistema?

Mostrar respuesta

Answer

Sistema homogéneo.

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Pregunta

La solución de una ecuación donde todas sus variables son iguales a cero, ¿es válida?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, esta se conoce como solución trivial, en este caso todas las incógnitas valen \(0\).

Show question

Pregunta

Todo sistema de ecuaciones homogéneo tiene al menos una solución, ¿o no?

Mostrar respuesta

Answer

Al ser homogéneo tiene por lo menos la solución trivial.

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Pregunta

¿Están relacionadas las matrices y los sistemas de ecuaciones?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, de hecho una matriz puede servir como una representación ordenada y simplificada de un sistema de ecuaciones.

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