¿Has visto alguna vez un procedimiento de endoscopia y te has preguntado cómo es posible examinar el interior de un cuerpo humano con esta técnica? El principio de la reflexión interna total utilizado en la fibra óptica también se emplea en los endoscopios, y es lo que permite realizar dicho procedimiento. Por supuesto, también hay otras aplicaciones en nuestra vida cotidiana que se basan en el principio de reflexión interna total.
¿Qué es la reflexión interna total?
La reflexión interna total es un fenómeno en el que la luz de un medio se refleja completamente este desde su entorno.
La reflexión interna total se produce cuando el ángulo entre la luz incidente y la normal del límite (\(\theta_1\)) es mayor que el ángulo crítico \(\theta_c\). El efecto consiste en que ninguna luz se refracta en el segundo medio y toda la luz se refleja.
Ángulo crítico en la reflexión total interna
El ángulo crítico \(\theta_c\) es el nombre que recibe el ángulo de incidencia que produce un ángulo de refracción de \(90º\).
Observemos el siguiente diagrama, en el que el haz de luz viaja desde un medio que tiene un índice de refracción \(n_1\) a un segundo medio con un índice de refracción \(n_2\) donde \(n_2 < n_1\).
Fig. 1: El comportamiento de un haz de luz está relacionado con el índice de refracción y el ángulo de incidencia.
Los espejos que utilizamos en nuestra vida cotidiana reflejan alrededor del 90% de la luz que incide sobre ellos y absorben el resto. Esta parte absorbida de la luz se refracta, como se muestra en la Fig. 1 (a). Como el índice de refracción del segundo límite \(n_2\) es menor que el índice de refracción del primer límite, el ángulo de refracción \(\theta_2\) es mayor que el ángulo incidente \(\theta_1\).
Cuando el ángulo de incidencia \(\theta_1\) aumenta, el ángulo de refracción \(\theta_2\) también aumenta. Sin embargo, este únicamente puede llegar a \(90º\), lo que ocurre cuando el ángulo incidente es igual al ángulo crítico \(\theta_c\) (Fig. 1 (b)).
La reflexión interna total de la luz se produce cuando el ángulo incidente de la luz \(\theta_1\) es mayor que el ángulo crítico \(\theta_c\) (Fig. 1 (c)).
Ley de Snell y la reflexión total interna
La ley de Snell establece que entre dos medios dados, los senos de la relación de los ángulos de incidencia y de refracción son constantes.
La reflexión interna total depende de la ley de Snell, que establece que la relación entre el ángulo incidente y el ángulo de refracción puede expresarse como:
\[n_1\cdot sin(\theta_1)=n_2\cdot sin(\theta_2)\]
Como hemos dicho, el ángulo de refracción es de \(90º\) cuando el ángulo incidente es igual al ángulo crítico o \(\theta_1 = \theta_c\).
- Como \(sin(90º) = 1\), la ecuación es la siguiente: \[n_1\cdot sin(\theta_1)=n_2\]
- Por lo tanto, el ángulo crítico entre los límites de dos materiales, cuando \(n_1 > n_2\), se puede determinar con la siguiente ecuación: \[\theta_c=sin^{-1}\left(\dfrac{n_2}{n_1}\right)\]
Debemos tener en cuenta que hay dos condiciones que deben cumplirse para que se produzca la reflexión interna total de la luz:
El ángulo incidente debe ser mayor que el ángulo crítico: \(\theta_1 > \theta_c\).
El índice de refracción del medio inicial debe ser mayor que el índice de refracción del segundo medio: \(n_1 > n_2\).
Fibra óptica y la reflexión total
Las fibras ópticas tienen aplicaciones en diversos campos, como las comunicaciones para transmitir señales telefónicas, señales de cable, señales de televisión, Internet y señales médicas. Estas fibras son muy finas, lo que permite que la luz entre por un lado e incida en el interior de la fibra con un ángulo mayor que el ángulo crítico. Esto hace que la luz se desplace por la fibra y salga de ella con el mismo ángulo de entrada.
Los endoscopios son dispositivos utilizados en física médica para ver los conductos interiores del cuerpo humano. En los endoscopios, las fibras ópticas están recubiertas de un material llamado revestimiento.
El revestimiento es el recubrimiento exterior de las fibras ópticas, que tiene un índice de refracción menor que el material del interior de la fibra óptica. Por tanto, el revestimiento impide que la luz se refracte entre las fibras de un haz.
Fig. 2: Rayos de luz en el interior de una fibra óptica.
Mientras que la luz con un ángulo de incidencia mayor que el ángulo de aceptación máximo \(θ_a\) se refracta parcialmente fuera de la fibra, la luz con un ángulo de incidencia mayor que el ángulo de aceptación máximo \(θ_a\) se refracta parcialmente dentro de la fibra. Tras varios encuentros con la interfaz núcleo-revestimiento de la fibra, la luz residual parcialmente reflejada se pierde finalmente. El requisito de una reflexión interna del 100% en el contacto entre el núcleo y el revestimiento determina el ángulo de aceptación máximo \(θ_a\).
Ángulo de aceptación
Para determinar el ángulo de aceptación \(θ_a\), debemos observar la ecuación que nos permite calcular el ángulo crítico \(θ_c\): \[sin(\theta_c)=\dfrac{n_2}{n_1}\]
- Como se puede ver en la Fig. 2, \(\theta_c' = 90°-\theta_c\).
- La ecuación, por tanto, nos ayuda a determinar el ángulo de aceptación \(\theta_a\), suponiendo que la fibra está en el aire, el cual tiene un índice de refracción de 1. Esto se puede expresar de la siguiente manera: \[sin(\theta_a)=\dfrac{n_1}{1}\cdot sin(\theta_c')\]
- Como hemos visto anteriormente, la luz sale de la fibra con el mismo ángulo con el que entró en ella, lo que significa que \(\theta_a = \theta_a'\).
- En conclusión, la onda de luz que se refleja en los conductos del cuerpo humano entra en la fibra óptica del endoscopio y viaja, a través de la fibra óptica, con reflexión interna total. Así, la luz sale de la fibra óptica con el mismo ángulo con el que entró en ella. Por lo tanto, la imagen se transfiere de forma que un observador pueda examinarla.
Fig. 3: Un haz de luz que viaja a través de una fibra óptica.
Ejemplos de reflexión total interna
Veamos un ejemplo de cómo calcular el ángulo crítico, cuando hay reflexión total interna.
Una onda con una longitud de onda de \(\lambda=750\,\,\mathrm{nm}\) pasa del agua al aire, que tienen un índice de refracción de \(n_{agua}=1,33\) y \(n_{aire}=1\), respectivamente.
Calcula el ángulo crítico para que haya reflexión total interna.
Solución:
Este es un ejercicio típico para calcular el ángulo crítico.
- Recordemos que para calcular el ángulo crítico, necesitamos que \(\theta_2=90º\).
- Por tanto, partimos de la siguiente ecuación: \[n_1\cdot\theta_1=n_2\]
- Ahora, tan solo tenemos que aislar el ángulo y calcular su valor en el momento crítico: \[\theta_c=sin^{-1}\left(\dfrac{n_2}{n_1}\right)=sin^{-1}\left(\dfrac{1}{1,33}\right)=48,75º\]
De la misma manera, también nos sirve para calcular otros valores, como el índice de refracción.
Una onda tiene reflexión total interna a partir de un ángulo crítico de \(\theta_c=66,55º\). Si pasa de un medio desconocido a el agua, ¿cuál es el índice de refracción de este medio?, ¿puedes decir de que medio se trata?
Solución:
- Volvemos a usar la ecuación para la reflexión total interna: \[n_1\cdot\theta_1=n_2\]
- Ahora, aislamos el índice de refracción interna \(n_1\), de tal forma que obtenemos: \[n_1=\dfrac{n_2}{sin(66,55º)}=\dfrac{1,33}{sin(66,55º)}=1,45\]
- Si nos fijamos en las tablas, el primer medio con un índice de refracción de \(n=1,45\) es el vidrio común.
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