Trazado de Rayos en Espejos

Ley de reflexión

Para un rayo de luz que rebota en una superficie, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, medido desde un eje perpendicular a la superficie en el punto en que incide el rayo. Ambos están representados por \(q\) en el diagrama siguiente.

La ley de la reflexión establece que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, StudySmarter Originals.

Ley de Snell

La ley de Snell describe la relación entre el ángulo de incidencia y el ángulo de refracción en un límite entre materiales con diferentes índices de refracción. La relación entre los senos de los ángulos de incidencia y refracción es igual a la relación entre las velocidades de la luz en cada material y al recíproco de la relación entre los índices de refracción de los materiales.

$\frac{\sin \left({\theta }_2\right)}{\sin \left({\theta }_1\right)}=\frac{v_2}{v_1}=\frac{n_1}{n_2}$

Utilizando estas dos leyes podemos predecir la trayectoria que seguirá un rayo de luz a través de un sistema de lentes y/o espejos mediante un diagrama de rayos.

Ejemplos de trazado de rayos

Diagramas de rayos utilizando la ley de Snell

Un rayo de luz viaja a través del aire (\(n_1=1\)) hacia un prisma de cristal (\(n_2=1,5\)) como se muestra a continuación. Determina los ángulos del rayo cuando atraviesa el cristal y después de salir del prisma.

Problema de ejemplo de la ley de Snell: un rayo de luz se aproxima a un prisma de cristal con un ángulo de 30 grados respecto a la normal de la superficie. Originales de StudySmarter.

El ángulo de incidencia \(\theta_1=30^\circ\), por lo que podemos utilizar la ley de Snell para calcular el ángulo de refracción \(\theta_2\) en el primer límite:

\begin{align*} xml-ph-0000@deepl.internal &\frac{\sin\left(\theta_2\right)}{\sin\left(\theta_1\right)}=\frac{1}{1.5},\\ xml-ph-0001@deepl.internal &\theta_2=\arcsin\left(\frac{1}{1.5}\times\sin\left(30^\circ\right)\right)=19.5^\circ. xml-ph-0002@deepl.internal \end{align*}

Esto nos permite calcular el ángulo que recorre el rayo a través del prisma. El rayo se aproxima al bloque horizontalmente (\(0^\circ\)) y tiene un ángulo de refracción de \(19,5^\circ\) en el primer límite. Como el límite tiene una inclinación de \(30^\circ\), el ángulo con que el rayo atraviesa el prisma es de \(10,5^\circ\) por debajo de la horizontal:

\[30^\circ-19.5^\circ=10.5^\circ.\]

Dibujando la trayectoria del rayo, comprobamos que el siguiente límite con el que choca es la cara derecha del prisma, que es vertical. Esto significa que el ángulo de incidencia \(\theta_1=10,5^\circ\). Podemos calcular entonces el ángulo de refracción en este límite:

\[\theta_2=\arcsin\left(\frac{1.5}{1}\times\sin\left(10.5^\circ\right)\right)=15.9^\circ.\]

Como el segundo límite que atraviesa el rayo es vertical, el rayo sale del prisma viajando en un ángulo \(15,9^\circ\) por debajo de la horizontal

Ejemplo de solución de la ley de Snell, StudySmarter Originals.

La ley de la reflexión y la ley de Snell pueden utilizarse conjuntamente para calcular las trayectorias de los rayos a través de sistemas más complejos en los que intervienen tanto la reflexión como la refracción. Las mismas técnicas también pueden aplicarse en tres dimensiones utilizando ángulos 3D, pero en este artículo nos ceñiremos a los problemas 2D por simplicidad.

Trazado de rayos en reflejos de espejo

Al mirar un objeto en un espejo plano, el objeto parece estar situado en algún lugar detrás del espejo, pero ¿cómo puede ser, si vemos que el espejo es un objeto delgado y no hay espacio físico detrás de él? La respuesta es que la imagen que ves en el espejo es virtual, no existe en un espacio físico real.

Imágenes virtuales

Al calcular qué imagen se verá en un reflejo, podemos utilizar el trazado de rayos para dibujar las trayectorias que sigue cada rayo de luz para llegar al ojo/cámara. Mientras que en la realidad la luz viaja desde el objeto hacia el observador, podemos trazar las trayectorias de los rayos de luz que parten del observador para determinar a qué objetos llegan. Como la luz viaja en línea recta, estas trayectorias son las mismas para la luz que viaja en cualquier dirección entre el objeto y el observador.

En el diagrama siguiente, un observador ve una flecha (el objeto) reflejada en un espejo plano. Podemos trazar las trayectorias de los rayos de luz que se originan en el observador, se reflejan en el espejo y llegan a un punto del objeto real. Representan las trayectorias reales que recorren los rayos luminosos procedentes del objeto para llegar al observador.

Diagrama de rayos que muestra cómo cuando un observador ve un objeto en un espejo, los rayos de luz parecen converger desde un objeto situado detrás del espejo, StudySmarter Originals

Cuando los rayos de luz llegan al observador, parece que proceden de detrás del espejo. Esto se debe a que la imagen que un observador percibe de la luz que llega a su ojo se interpreta basándose en el hecho de que la luz sólo viaja en línea recta. Esto significa que se percibe que los rayos reflejados se extienden a través de la superficie del espejo, dando la apariencia de que proceden de detrás de él y creando una imagen especular virtual del objeto. La imagen virtual parece estar a un desplazamiento \(i\) detrás del espejo, que es igual a menos el desplazamiento perpendicular real entre el objeto y el espejo, \(p\):

$i=-p$

para espejos planos.

Trazado de rayos en espejos cóncavos y convexos

Como era de esperar, el comportamiento de las reflexiones se vuelve más complejo cuando introducimos espejos curvos cóncavos y convexos. Sin embargo, se siguen aplicando los mismos principios y podemos utilizar el trazado de rayos para comprender lo que ocurre. Limitaremos esta explicación a los espejos convexos y cóncavos que tienen la forma de una pequeña sección de una superficie esférica, por lo que su curvatura puede definirse por el radio \(r\) de la esfera. En un espejo cóncavo \(r\) es positivo, en un espejo convexo es negativo, y en un espejo plano \(r\) es infinito. El centro de curvatura \(C\) es el punto central de la esfera imaginaria de radio \(r\). El eje central es un eje entre el centro de la superficie del espejo y el centro de curvatura.

Los espejos cóncavos y convexos tienen una sección transversal circular con radio \(r\). El eje central se encuentra entre el centro de curvatura \(C\) y el centro de la superficie del espejo, StudySmarter Originals.

Como hemos visto antes, para un espejo plano la magnitud de la distancia imagen \(i\) es siempre igual a la distancia objeto \(p\). Exploremos si éste es el caso de los espejos curvos. El diagrama siguiente muestra un objeto situado delante de un espejo cóncavo y otro convexo. Si trazamos las trayectorias de los rayos de luz emitidos desde un punto del objeto hasta el espejo y prolongamos sus reflejos por detrás del espejo, comprobamos que la distancia de la imagen y la distancia del objeto ya no son iguales.

Extender los rayos reflejados por un objeto situado junto a un espejo para encontrar su punto de convergencia nos indica dónde aparecerá la imagen especular. En un espejo cóncavo, el objeto es más grande y está más lejos detrás del espejo, mientras que en un espejo convexo es más pequeño y está más cerca, StudySmarter Originals.

Un espejo convexo crea una imagen más pequeña que parece más cercana (|(|i|<|p|\\)). Esto significa que el campo de visión es mayor en un espejo convexo, ya que los objetos aparecen más pequeños, por lo que se puede ver más que en un espejo cóncavo del mismo tamaño.

Podemos encontrar una forma de relacionar el radio de curvatura con la distancia del objeto y de la imagen, pero antes tenemos que establecer el punto focal de los espejos curvos. Considera un objeto situado en el eje central de un espejo curvo, a gran distancia de la superficie del espejo. Como el objeto está lejos, podemos considerar que los rayos de luz que emite son paralelos cuando llegan al espejo, como se muestra en el diagrama siguiente.

En un espejo cóncavo, el punto focal está delante del espejo, lo que lo hace real. En un espejo convexo, se encuentra detrás del espejo, por lo que es un punto focal virtual , StudySmarter Originals

Al trazar las trayectorias de los rayos reflejados, descubrimos que se cruzan en un punto del eje central: para un espejo cóncavo, se trata de un foco real situado delante del espejo, mientras que para un espejo convexo, es un foco virtual situado detrás del espejo. Como los rayos reflejados en el espejo cóncavo son los caminos reales que recorre la luz, se proyectaría una imagen del objeto lejano sobre una superficie situada en el foco. Por el contrario, si colocamos una superficie en el foco virtual del espejo convexo, no se proyecta ninguna imagen, ya que los rayos reales nunca llegan a ese punto.

Para ambos tipos de espejos curvos, el punto de enfoque se sitúa en el eje central a la distancia focal \(f\) dada por:

\[f=\frac{1}{2}r.\]

Al igual que la distancia del objeto y la imagen, es positiva si está delante del espejo y negativa si está detrás.

Trazado de rayos de imágenes en espejos esféricos

Colocar un objeto en distintas posiciones alrededor del punto focal de un espejo curvo hace que la imagen se comporte de distintas maneras, como se muestra en los diagramas de rayos siguientes.

El comportamiento de la imagen creada por un espejo cóncavo depende de la ubicación del objeto en relación con el punto focal. [ Izquierda ] Si el objeto se encuentra entre el punto focal y el espejo, éste crea una imagen virtual. [ Centro ] Si el objeto está en el punto focal, los rayos reflejados son paralelos y se extienden hasta el infinito sin converger y formar una imagen. [ Derecha ] Si el objeto está en el exterior del punto focal, el reflejo forma una imagen real situada fuera del punto focal del espejo, StudySmarter Originals.

• Cuando el objeto se coloca entre el punto focal y el espejo, un observador verá una imagen virtual del objeto que parece estar detrás del espejo.

• A medida que el objeto se aleja del espejo, la imagen parece moverse más detrás del espejo, hasta que el objeto se sitúa en el punto focal. Esto produce un reflejo con rayos paralelos, haciendo que la imagen aparezca a una distancia infinita tanto delante como detrás del espejo. Sin embargo, esta imagen es imposible de observar, ya que los rayos reflejados nunca convergen en ninguna dirección.

• Si el objeto se desplaza fuera del punto focal, los rayos reflejados convergen ahora delante del espejo para producir una imagen real invertida. Si colocáramos una superficie en la posición de la imagen, ésta se proyectaría sobre ella, ya que las trayectorias reales que recorren los rayos convergen en este punto. Éste es el único escenario en el que un espejo puede producir una imagen real.

La relación entre la distancia del objeto \(p\), la distancia de la imagen \(i\) y la distancia focal \(f\) es la ecuación del espejo:

\[\frac{1}{p}+\frac{1}{i}=\frac{1}{f}=\frac{2}{r}.\]

Esta ecuación es válida para cualquier espejo cóncavo, convexo o plano. Para un espejo plano, la curvatura \(r=\infty\), lo que también significa \(f=\infty\).