¿Te has preguntado alguna vez por qué un objeto parcialmente sumergido en agua parece estar doblado o roto?
Por ejemplo, cuando pones un lápiz en un vaso de agua. Esto ocurre porque la luz se desvía al pasar de un medio a otro.
El astrónomo holandés Willebrord Snell estudió este fenómeno e ideó una fórmula para calcular cuánto se desvía la luz en situaciones como esta: la ley de Snell. La ley de Snell es muy útil en muchas aplicaciones modernas, como el diseño de lentes e, incluso, de cables de Internet de alta velocidad. En este artículo hablaremos de la ley de Snell, aprenderemos su ecuación y veremos cómo utilizarla.
Refracción de la ley de Snell
La ley de Snell se aplica cuando se produce el fenómeno de la refracción.
La refracción es el proceso por el que las ondas cambian de dirección cuando viajan entre distintos medios en los que la luz se propaga a distinta velocidad.
Estos medios tienen índices de refracción diferentes. El índice de refracción de un medio \(n\) viene dado por
\[n=\dfrac{c}{v},\]
Donde:
- \(c\) es la velocidad de la luz en el vacío (\(c=3\cdot 10^8\,\mathrm{m/s}\)).
- \(v\) es la velocidad de la luz en el medio
Ambas medidas en metros por segundo \(\mathrm{m/s}\).
Como las unidades del numerador y del denominador en la ecuación del índice de refracción son iguales, el valor de \(n\) no tiene unidades: es un cociente.
Por ejemplo, el índice de refracción del aire es aproximadamente \(n_{aire}=1\), y el del agua, \(n_{agua}=1,33\).
El índice de refracción de un medio indica la velocidad a la que viaja la luz en él: cuanto mayor sea el valor de \(n\), más despacio viaja la luz.
¿Qué es la ley de Snell?
La ley de Snell es la ecuación que relaciona los ángulos de incidencia y el ángulo del rayo de luz refractado, en función de los índices de refracción de los dos medios distintos en los que se mueve el rayo.
La expresión es la siguiente:
\[n_1\cdot\sin(\theta_1)=n_2\cdot\sin(\theta_2)\]
Fig. 1: Diagrama de un rayo de luz que se refracta en un límite entre dos medios.El diagrama anterior muestra la trayectoria de un rayo de luz que se desplaza desde un medio con índice de refracción \(n_1\) a otro con índice de refracción \(n_2\), donde \(n_2>n_1\), por lo que el rayo se curva hacia la normal (lo contrario pasaría si \(n_1>n_2\).
Es posible que ya hayas visto la ecuación que relaciona la velocidad de la luz con la longitud de onda y la frecuencia de una onda:
\[c=v\cdot \lambda ,\]
- Donde: \(c\) y \(v\) representan las mismas cantidades que en la primera ecuación, y \(\lambda\) es la longitud de onda de la luz medida en metros.
Cuando un rayo de luz se desplaza de un material a otro, su frecuencia no cambia, pero sí su velocidad; lo que significa que su longitud de onda debe cambiar. En la situación mostrada anteriormente, a medida que la luz se desplaza del primer medio al siguiente, su velocidad disminuye, por lo que la longitud de onda también disminuye.
El diagrama muestra los frentes de onda de los rayos de luz entrante y saliente. Puedes ver que están más espaciados después de cruzar la frontera.
Podemos utilizar la trigonometría junto con las ecuaciones expuestas anteriormente para demostrar la Ley de Snell.
Algunas de las distancias y ángulos útiles están marcados en el diagrama \(A\) y \(B\); representan las distancias que recorren los rayos entrantes y salientes en un determinado período de tiempo (podrían representar las longitudes de onda, y se obtendría el mismo resultado). Se relacionan con las velocidades de la luz en los distintos medios como:
\[\begin{align} A&=v_1T \\ \\ B&=v_2T \end{align} \]
- En estas ecuaciones \(v_1\) y \(v_2\) representan las velocidades de la luz en los medios \(1\) y \(2\), respectivamente, y \(T\) es un período de tiempo arbitrario medido en segundos.
Fig. 2: Se pueden construir dos triángulos a partir de los frentes de onda a ambos lados del límite entre los dos medios.
Podemos identificar dos triángulos rectángulos en el límite. Luego, utilizando trigonometría, podemos relacionar los ángulos \(\theta_1\) y \(\theta_2\) con los lados conocidos:
\[\begin{align} \sin(\theta_1)&=\dfrac{A}{C} \\ \\ \sin(\theta_2)&=\dfrac{B}{C} \end{align} \]
Por tanto:
\[\begin{align} \dfrac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}&=\dfrac{A}{B} \\ \\ \dfrac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}&=\dfrac{v_1T}{v_2T} \\ \\ \dfrac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}&=\dfrac{v_1}{v_2} \end{align} \]
A continuación, podemos expresar las velocidades en cada medio, en función de su índice de refracción, utilizando la definición del índice de refracción:
\[v=\frac{c}{n}\rightarrow \dfrac{v_1}{v_2}=\dfrac{c/n_1}{c/n_2}=\dfrac{n_2}{n_1}\]
Esto nos lleva a la expresión:
\[\dfrac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}=\dfrac{n_2}{n_1}\]
que puede reordenarse para obtener la Ley de Snell:
\[n_1\cdot\sin(\theta_1)=n_2\cdot\sin(\theta_2)\]
Fórmula de la ley de Snell
La Ley de Snell puede utilizarse para hallar estas magnitudes cuando la luz incide sobre distintos medios.
Como vimos anteriormente, la Ley de Snell es:
\[n_1\cdot\sin(\theta_1)=n_2\cdot\sin(\theta_2),\]
Donde:
- \(n_1\) es el índice de refracción del material del lado de la frontera donde comienza el rayo de luz.
- \(n_2\) es el índice de refracción del segundo material.
El diagrama que se muestra a continuación ilustra lo que representan los ángulos en la ecuación.
Fig. 3: La ley de Snell describe cómo se refracta la luz en un límite entre dos medios distintos
El diagrama anterior se denomina diagrama de rayos, y tiene varias características clave que debes recordar. Veamos sus definiciones:
La línea perpendicular a la superficie del nuevo medio se llama normal.
Si el rayo incidente está a lo largo de la normal, no se producirá refracción, y el rayo refractado también estará a lo largo de la normal.
El ángulo entre el rayo luminoso incidente y la normal se denomina ángulo de incidencia.
El ángulo entre el rayo saliente y la normal en el lado opuesto del límite se conoce como ángulo de refracción.
Ejemplo de la ley de Snell
La Ley de Snell puede utilizarse en muchos problemas para averiguar cómo se comportará un rayo de luz al incidir sobre un límite entre dos medios de diferente índice de refracción.
Hay una forma útil de comprobar tus cálculos cuando trabajas con la Ley de Snell.
Piensa en un coche que pasa de una carretera lisa, a través de un límite, a un campo embarrado. El coche se moverá más despacio en el campo que en la carretera. Si el coche se adentrara en el campo en ángulo, el lado del coche que entrara primero en el campo se movería más despacio que el lado que aún está en la carretera. Esto haría que el coche girara en la dirección del lado que se mueve más despacio hasta que ambos lados se movieran a la misma velocidad.
Del mismo modoPodemos pensar en un rayo de luz :
- Si un rayo de luz pasa de un medio con un índice de refracción menor a otro mayor, la trayectoria del rayo se inclinará hacia la normal.
- Esto, porque el rayo de luz se mueve más despacio en el medio con mayor índice de refracción, igual que el coche se mueve más despacio en el campo.
- Si un rayo de luz pasa de un medio con un índice de refracción mayor a otro menor, la trayectoria del rayo se desviará de la normal.
Hagamos un ejercicio de ejemplo:
Un rayo de luz incide sobre un bloque de cristal. El ángulo de incidencia es \(45^{\circ}\). Teniendo en cuenta que la refracción del aire y del vidrio son \(n_1=1\) y \(n_2=1,5\), respectivamente, ¿cuál es el ángulo de refracción?
Antes de hacer el cálculo, piensa si el rayo de luz se inclinará hacia la normal o se alejará de ella.
Fig. 4: Diagrama de un rayo de luz que se refracta en un límite.
Solución:
En este problema utilizamos la ley de Snell:
\[n_1\cdot\sin(\theta_1)=n_2\cdot\sin(\theta_2)\]
Podemos introducir los valores marcados en la figura así:
\[1\cdot\sin(45^{\circ})=1,5\cdot\sin(x)\]
Lurgo, esta expresión puede reordenarse para hallar:
\[\begin{align} x&=\arcsin\left(\dfrac{\sin(45)}{1,5}\right) \\ x&=28^{\circ} \end{align}\]
Veamos otro ejemplo de la ley de Snell:
Un rayo de luz incide sobre un prisma de forma triangular, como se muestra en el diagrama siguiente. El ángulo de incidencia en la primera cara es \(45^{\circ}\) y el ángulo en la parte superior del prisma es \(40^{\circ}\). ¿Cuál es el ángulo de refracción desde la segunda cara del prisma (cuando el rayo sale del prisma al aire)? Considera que el prisma está hecho del mismo cristal que en el ejemplo anterior.
Fig. 5: Diagrama que muestra un rayo de luz que se difracta a ambos lados de un prisma.
Solución:
Este problema puede parecer complicado al principio, pero basta con utilizar la trigonometría y dos aplicaciones de la Ley de Snell.
Es útil etiquetar los ángulos que creas necesarios, como en la figura anterior. El ángulo que queremos encontrar es el ángulo de refracción de la segunda cara, que está marcado con la letra \(y\). El ángulo \(x\) es, de hecho, el mismo que en el primer ejemplo. Se puede hallar mediante el uso de la Ley de Snell para el rayo de luz que incide en la primera frontera entre el cristal y el prisma:
\[\begin{align} \sin(45^{\circ})&=1,5\cdot\sin(x) \\ x&=\arcsin\left(\dfrac{\sin(45^{\circ})}{1,5}\right)=28^{\circ} \end{align}\]
Los ángulos \(x\) y \(a\) forman el ángulo recto entre la normal y el límite, por lo que suman \(90\) grados. Por tanto, el ángulo \(a\) es:
\[a=90^{\circ}-x=62^{\circ}\]
El ángulo en el vértice superior del triángulo, A, es \(40^{\circ}\). Se puede ver que este vértice también forma un triángulo con los puntos donde los rayos de luz se encuentran con los dos límites. Sabemos que los ángulos de un triángulo suman \(180^{\circ}\) y, como el ángulo \(a\) lo acabamos de encontrar, ahora se puede calcular el ángulo \(b\):
\[b=180^{\circ}-40^{\circ}-a=140^{\circ}-62^{\circ}=78^{\circ}\]
Una vez más, los ángulos \(b\) y \(c\) se suman para formar el ángulo recto entre la normal y el límite del lado derecho del prisma, por lo que:
\[90^{\circ}-b=c=12^{\circ}\]
Por último, hay que aplicar de nuevo la Ley de Snell para hallar el ángulo \(y\), que es el ángulo de refracción cuando el rayo de luz sale del prisma:
\[\begin{align} 1,5\cdot\sin(12^{\circ})&=\sin(y) \\ \\ y&=\arcsin\left(\dfrac{\sin(12^{\circ})}{1,5}\right)=8^{\circ}\end{align}\]
Índices de refracción de distintos materiales
La siguiente tabla muestra el índice de refracción de varios medios: el índice de refracción del aire, el índice de refracción del agua o el índice de refracción del vidrio crown, con cuatro cifras significativas.
| Medio | Índice de refracción |
| Aire | \(1,000\) |
| Hielo | \(1,309\) |
| Agua | \(1,333\) |
| Vidrio crown | \(1,517\) |
| Circón | \(1,923\) |
| Diamante | \(2,417\) |
Tabla 1: Índices de refracción de distintos medios como los índices de refracción del aire, el agua o el vidrio.
Tal y como sabemos, la relación entre los índices de refracción de dos medios diferentes es inversamente proporcional a la relación de la velocidad de propagación de la luz en cada uno de ellos:
\[\begin{align} \dfrac{n_2}{n_1}&=\dfrac{\dfrac{c}{v_1}}{\dfrac{c}{v_2}}\\\\\dfrac{n_2}{n_1}&=\dfrac{v_1}{v_2} \end{align}\]
Por tanto, la luz se propagará más rápido en materiales con un índice de refracción más cercano a \(1\).
¿Qué es la reflexión total interna?
La reflexión interna total es el fenómeno que se produce al reflejarse la luz completamente en un límite cuando su ángulo de incidencia es lo suficientemente grande.
Este es un caso muy particular e interesante del ángulo de refracción, que podemos explorar utilizando la Ley de Snell. Si aumentamos el ángulo de incidencia de un rayo de luz que incide sobre un límite, el ángulo de refracción también aumentará, hasta que sea mayor que \(90^{\circ}\).
Entonces, toda la luz se refleja, en lugar de salir del primer medio, lo que se denomina reflexión interna total. Esto únicamente puede ocurrir cuando el rayo de luz se desvía de la normal, al pasar de un material de índice de refracción más bajo a otro de índice de refracción más alto.
La ley de Snell es:
\[n_1\cdot\sin(\theta_1)=n_2\cdot\sin(\theta_2)\]:
Se puede reordenar para obtener:
\[\dfrac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}=\dfrac{n_2}{n_1}\]
Queremos hallar el ángulo crítico.
Ángulo crítico
El ángulo crítico de un límite es el ángulo de incidencia de un rayo de luz en el que se refracta a lo largo de la línea del límite.
Cuando la luz se refleja a lo largo del límite, el ángulo refractado es \(90^{\circ}\), por lo que:
\[\sin(\theta_2)=\sin(90^{\circ})=1\]
y nuestra ecuación se convierte en:
\[\sin(\theta_c)=\dfrac{n_2}{n_1}\]
Donde \(\theta_c\) es el ángulo crítico.
Esto puede reordenarse para hallar el ángulo crítico:
\[\theta_c=\arcsin\left(\dfrac{n_2}{n_1}\right)\]
La reflexión interna total se produce cuando el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo crítico.
El fenómeno de la reflexión total interna se utiliza en muchas aplicaciones diferentes:
Por ejemplo, el envío de información por fibras ópticas y la observación de objetos minúsculos a través de microscopios.
Enviar información utilizando fibras ópticas es más eficaz que los cables de cobre tradicionales, ya que las fibras ópticas pueden transportar más información con menos pérdidas en la señal. ¡Estas fibras permiten transferir alrededor de 1 Gigabyte de datos por segundo!
¡Es increíble lo que podemos conseguir comprendiendo la Ley de Snell!
Ley de Snell - Puntos clave
- La refracción es el proceso por el que las ondas cambian de dirección cuando viajan entre distintos medios en los que la luz se propaga a velocidades diferentes.
- El índice de refracción de un medio es la relación entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en el medio.
- La ley de Snell relaciona los índices de refracción de dos medios a ambos lados de su frontera y también los ángulos de incidencia y refracción.
- La ley de Snell puede deducirse considerando la distancia entre frentes de onda a ambos lados de un límite que ha atravesado un rayo de luz.
- Si un rayo de luz incide en un límite paralelo a la normal, no se producirá refracción y el rayo continuará a lo largo de la normal.
- Un rayo de luz que se desplaza desde un medio de mayor índice de refracción a otro de menor, se desvía de la normal.
- Un rayo de luz que se desplaza de un medio de menor índice de refracción a otro de mayor se inclinará hacia la normal.
- La reflexión interna total es el fenómeno que se produce cuando la luz se refleja completamente en un límite cuando su ángulo de incidencia es lo suficientemente grande.
- El ángulo crítico de un límite es el ángulo de incidencia de un rayo luminoso en el que se refracta a lo largo de la línea del límite.
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