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Considera la siguiente tabla:
Número de pizzas consumidas en enero (x) | Número de personas (frecuencia) |
0 | 3 |
1 | 1 |
2 | 4 |
3 | 2 |
4 | 0 |
5 | 2 |
La tabla de frecuencias anterior puede decirnos cuántas personas comieron un determinado número de pizzas en enero. Por ejemplo, el número de personas que tomaron exactamente 2 pizzas en enero fue 4. Ahora, supongamos que queremos saber cuántas personas tomaron un máximo de 2 pizzas en enero. Esto estaría representado por la frecuencia acumulada en x = 2, que sería igual a la suma del número de personas que tomaron 0, 1 y 2 pizzas en enero, es decir, \(3 +1 +4 = 8\).
Tabla de frecuencias acumuladas
Una tabla de frecuencias acumuladas es una herramienta estadística muy útil para ayudarnos a tratar frecuencias y frecuencias acumuladas. Para construir una tabla de frecuencias acumuladas a partir del ejemplo anterior, basta con añadir otra columna para la frecuencia acumulada. La frecuencia acumulada para cada valor de x es igual a la suma de la frecuencia para ese valor de x y la frecuencia acumulada para el valor anterior de x (la frecuencia acumulada para el primer valor de x será igual a la frecuencia).
Así, obtenemos la siguiente tabla de frecuencias acumuladas:
Número de pizzas consumidas en enero (x) | Número de personas (frecuencia) | Frecuencia acumulada |
0 | 3 | 3 |
1 | 1 | 3 + 1 = 4 |
2 | 4 | 4 + 4 = 8 |
3 | 2 | 8 + 2 = 10 |
4 | 0 | 10 + 0 = 10 |
5 | 2 | 10 + 2 = 12 |
Gráfico de frecuencias acumuladas
Otra herramienta muy utilizada para tratar las frecuencias acumuladas es el gráfico de frecuencias acumuladas.
Dibujemos el gráfico de frecuencias acumuladas del ejemplo anterior. El valor de x se representa en el eje de abscisas y la frecuencia acumulada en el eje de ordenadas.
Ejemplo de gráfico de frecuencia acumulada, Nilabhro Datta - StudySmarter Originals
Frecuencia acumulada para una distribución de frecuencias agrupadas
En estadística, los datos se agrupan muy a menudo en clases que representan un rango continuo de valores. Es una práctica muy habitual en el caso de la distribución de frecuencias.
Por ejemplo, considera la siguiente tabla de distribución de frecuencias:
Valoraciones de restaurantes (x) | Número de restaurantes (frecuencia) |
0.0 - 1.0 | 12 |
1.0 - 2.0 | 28 |
2.0 - 3.0 | 45 |
3.0 - 4.0 | 40 |
4.0 - 5.0 | 35 |
Para obtener la tabla de frecuencias acumuladas a partir de los datos anteriores, podemos seguir los mismos pasos que hicimos para el ejemplo anterior con valores discretos.
Valoraciones de restaurantes (x) | Marca de clase | Número de restaurantes (frecuencia) | Frecuencia acumulada (y) |
0.0 - 1.0 | 0.5 | 12 | 12 |
1.0 - 2.0 | 1.5 | 28 | 40 |
2.0 - 3.0 | 2.5 | 45 | 85 |
3.0 - 4.0 | 3.5 | 40 | 125 |
4.0 - 5.0 | 4.5 | 35 | 160 |
Ahora, para crear el gráfico de frecuencias acumuladas, necesitamos utilizar la marca de clase para cada clase. La marca de clase es el valor medio de cada clase. Por tanto, la marca de clase para la clase 1,0 - 2,0 será \frac(\frac{1,0 + 2,0}{2} = 1,5\). Del mismo modo, la nota de la clase 4,0 - 5,0 será 4,5.
Así, el gráfico de frecuencias acumuladas obtenido será el siguiente:
La curva de frecuencias acumuladas para la distribución de frecuencias dada, Nilabhro Datta - Study Smart Originals
Como puedes ver, el gráfico se ha trazado utilizando la marca respectiva de cada clase (0,5, 1,5, 2,5 ...). Observa que el valor más bajo posible es 0, por lo que el gráfico empieza en (0, 0)
Para la siguiente tabla de frecuencias que muestra la masa de los mangos en gramos, construye la tabla de frecuencias acumuladas y la gráfica de frecuencias acumuladas.
Masa en gramos (x) | Frecuencia |
50 ≤ x < 70 | 22 |
70 ≤ x < 90 | 23 |
90 ≤ x < 110 | 47 |
110 ≤ x < 130 | 18 |
130 ≤ x < 150 | 7 |
Solución
Crea la tabla de frecuencias acumuladas resultante.
Masa en gramos (x) | Marca de clase | Frecuencia | Frecuencia acumulada |
50 ≤ x < 70 | 60 | 22 | 22 |
70 ≤ x < 90 | 80 | 23 | 45 |
90 ≤ x < 110 | 100 | 47 | 92 |
110 ≤ x < 130 | 120 | 18 | 110 |
130 ≤ x < 150 | 140 | 7 | 117 |
Ahora puedes dibujar la correspondiente gráfica de frecuencias acumuladas.
La curva de frecuencias acumuladas para la distribución de frecuencias agrupadas dada, Nilabhro Datta - Study Smarter Originals
Estimación de medianas, cuartiles y percentiles mediante la frecuencia acumulada
En el caso de la distribución de frecuencias agrupadas, normalmente no es posible calcular los valores exactos de medianas, cuartiles y percentiles. Utilizando gráficos de frecuencias acumuladas, es posible estimar estos valores.
Consejo: Los valores obtenidos son aproximaciones y no van a ser valores exactos.
Aquí tienes un esquema aproximado del proceso que puedes seguir para obtener el valor de las medianas, cuartiles y percentiles a partir de una distribución de frecuencias agrupadas utilizando gráficos de frecuencias acumuladas.
Pasos:
1) Dada una tabla de distribución de frecuencias agrupadas, obtén la tabla de frecuencias acumuladas.
2) En el gráfico, traza los puntos obtenidos de la tabla de frecuencias acumuladas utilizando el límite superior de la clase (no la marca de clase), y la frecuencia acumulada correspondiente.
3) Dibuja una curva aproximada de mejor ajuste a través de los puntos trazados.
4) Estima los valores de mediana/cuartil/percentil necesarios a partir del gráfico. Por ejemplo, en un gráfico trazado a partir de una distribución de frecuencias con 200 resultados anotados:
\(\frac{200}{2}\}) = valor 100 es la media
\(\frac{200}{4}\) = valor 50 es el cuartil inferior y \(200 \cdot \frac{3}{4}\) = valor 150 es el cuartil superior
\(200 \cdot \frac{90}{100}\) = valor 180 es el percentil 90 y \( 200 \cdot \frac{30}{100}\) = valor 60 es el percentil 30 .
Considera la siguiente tabla de frecuencias que muestra la masa de los mangos en gramos, construye la tabla de frecuencias acumuladas y el gráfico de frecuencias acumuladas.
Estima el valor o valores de a) la mediana b) los cuartiles superior e inferior c) el percentil 43 d) el percentil 85
Masa en gramos (x) | Frecuencia |
50 ≤ x < 70 | 17 |
70 ≤ x < 90 | 23 |
90 ≤ x < 110 | 30 |
110 ≤ x < 130 | 18 |
130 ≤ x < 150 | 12 |
Solución
Crea la tabla de frecuencias acumuladas resultante.
Masa en gramos (x) | Frecuencia | Frecuencia acumulada |
50 ≤ x < 70 | 17 | 17 |
70 ≤ x < 90 | 23 | 40 |
90 ≤ x < 110 | 30 | 70 |
110 ≤ x < 130 | 18 | 88 |
130 ≤ x < 150 | 12 | 100 |
Ahora traza los puntos en un gráfico tomando la masa a lo largo del eje X y la frecuencia acumulada a lo largo del eje Y, y dibuja la curva de mejor ajuste a través de esos puntos.
Ejemplo de curva de frecuencias acumuladas de mejor ajuste para estimar la mediana, los cuartiles y los percentiles, Nilabhro Datta - StudySmarter Originals
A partir del gráfico anterior, podemos obtener nuestras estimaciones para la mediana, los cuartiles y los percentiles necesarios.
Mediana = valordel (\(\frac{100}{2}\) = 50)º punto de datos = 95,78
Cuartil superior = valor de (\(100 \cdot \frac{3}{4}\) = 75) º punto de datos = 115,53 Cuartil inferior = valor de (\(100 \cdot \frac{1}{4}\) = 25)º punto de datos = 77,88
Valor del percentil 43 = valor de (\(100 \cdot \frac{43}{100}\) = 43)rd punto de datos = 90,87
Valor del percentil 85 = valor de (\(100 \cdot \frac{85}{100}\) = 85) º punto de datos = 125,95
Frecuencia acumulada - Puntos clave
La frecuencia se refiere al número de veces que se produce un suceso o resultado. La frecuencia acumulada en un punto x es la suma de las frecuencias individuales hasta y en el punto x.
Dos métodos utilizados habitualmente para representar la información de frecuencia acumulada son los gráficos de frecuencia acumulada y las tablas de frecuencia acumulada.
Para la distribución de frecuencias agrupadas, normalmente no es posible calcular los valores exactos de medianas, cuartiles y percentiles. Utilizando gráficos de frecuencias acumuladas, es posible estimar estos valores.
Los valores de medianas, cuartiles y percentiles obtenidos de los gráficos de frecuencias acumuladas suelen ser las mejores aproximaciones y no valores exactos.
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