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Definición de la función de distribución acumulativa
En primer lugar, veamos la definición oficial de función de distribución acumulativa para una variable aleatoria \(X\).
Sea \(X\) una variable aleatoria. La función de distribución acumulativa, o FDC, \(F(x)\) se define como
\[ F(x) = P(X \le x).\]
En otras palabras, la función de distribución acumulativa se define utilizando la probabilidad de la variable aleatoria. No importa si se trata de una variable aleatoria continua o discreta, la definición es la misma en ambos casos. Sin embargo, el resto de este artículo se centrará en el caso en que \(X\) sea una variable aleatoria continua.
Función de distribución acumulativa a partir de la función de densidad de probabilidad
Recordemos la definición de función de densidad de probabilidad.
La función de densidad de probabilidad , o PDF, de una variable aleatoria continua \(X\) es una función integrable \(f_X(x)\) que satisface lo siguiente
- \(f_X(x) \ge 0\) para todo \(x\) en \(X\); y
- \(\int_X f_X(x) \, \mathrm{d} x = 1\).
Entonces la probabilidad de que X esté en el intervalo ([a,b]) es \[ P(a<X<b) = \int_a^b f_X(x) \, \mathrm{d} x .\].
¿Qué relación tiene esto con la función de distribución acumulativa? Observa que la probabilidad \(P(a<X<b)\) aparece en la definición anterior. Como la función de distribución acumulativa \(F(x)\) se define como \( F(x) = P(X \le x)\), puedes reescribir la definición de la función de distribución acumulativa en términos de la función de densidad de probabilidad de la siguiente manera:
Sea \(X\) una variable aleatoria continua. La función de distribución acumulativa \(F(x)\) se define como
\[ \begin{align} F(x) &= P(X \le x) &= \int_{-\infty}^x f_X(t) \, \mathrm{d} t ,\end{align}].
donde \(f_X(x)\) es una función de densidad de probabilidad para \(X\).
Eso significa que puedes pasar de una función de distribución acumulativa a la función de densidad de probabilidad por diferenciación, y de la función de densidad de probabilidad a la función de distribución acumulativa por integración.
Fig. 1 - Paso de una CDF a una PDF.
A continuación, veamos las propiedades de una función de distribución acumulativa.
Propiedades de la función de distribución acumulativa
Ya conoces algunas de las propiedades de una función de distribución acumulativa por el simple hecho de estar definida en términos de probabilidad:
la función de distribución acumulativa es siempre como mínimo cero;
la función de distribución acumulativa es como máximo uno; y
la función de distribución acumulativa es el área bajo la función de densidad de probabilidad.
Resulta que puedes leer la probabilidad de una variable aleatoria continua directamente a partir del gráfico de la función de distribución acumulativa. Veamos un ejemplo rápido.
Para una variable aleatoria continua \(X\), dada la función de distribución acumulativa como se muestra en el gráfico siguiente, halla \(P(X \le 3,5)\).
Fig. 2 - Gráfico de una función de distribución acumulativa
Solución:
No te dejes engañar porque la gráfica está etiquetada como
\[ \int f_X(x)\, \mathrm{d}x.\]
Recuerda que para una función de densidad de probabilidad \(f_X(x)\), la integral escrita es lo mismo que la función de densidad acumulativa \(F(x)\).
Puede ser útil hallar la ecuación de la función de distribución acumulativa, ya que en la imagen no queda claro qué es exactamente \(F(3,5)\). Dada la gráfica, puedes ver que los puntos \((1,0)\) y \((11,1)\) son los dos puntos extremos de la recta diagonal. La ecuación de esa recta es entonces
\[y= \frac{1}{10}x-\frac{1}{10},\]
por lo que puedes escribir la fórmula de la función de distribución acumulativa como
\F(x) = inicio 0 y x < 1 -dfrac{1}{10}x-dfrac{1}{10} y 1 -frac{1}{10} y 1 -frac{1}{11} y x > 11 -final].
Ahora
\[ F(3,5) = \frac{1}{10}(3,5)-\frac{1}{10} = 0,25.\]
En otras palabras, \ (P(X \le 3,5) = 0,25\).
La distribución normal es un ejemplo estándar de variable aleatoria continua, así que veámosla a continuación.
Función de distribución acumulativa de la función de densidad de probabilidad de la distribución normal
La función de distribución acumulativa de la distribución normal no es más que la integral de la función de densidad de probabilidad, como cabría esperar. A continuación puedes ver la gráfica de una distribución normal estándar, y luego la función de distribución acumulativa asociada a ella.
Fig. 3 - Gráfica de la función de densidad de probabilidad de la distribución normal estándar
Fig. 4 - Gráfica de la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar
Por supuesto, ¡siempre ayuda ver más ejemplos!
Ejemplo de función de distribución acumulativa
Para el primer ejemplo, veamos cómo determinar si una función es una función de distribución acumulativa o una función de densidad de probabilidad.
Define
\[g(x) = \inicio{casos} 0 & x \le 0 \ln x + 1 & x>0fin{casos}.\N].
(a) ¿Podría ser \(g(x)\) una función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria continua? Explica por qué sí o por qué no.
(b) ¿Podría ser \(g(x)\) una función de distribución acumulativa para una variable aleatoria continua? Explica por qué sí o por qué no.
Solución:
(a) Para que algo sea una función de densidad de probabilidad, siempre debe ser al menos cero. Sin embargo
\[\begin{align} g\left(\frac{1}{4}\right) &= \ln\left(\frac{1}{4}\right) + 1 \\\\ {align} &= \ln 1 - \ln 4 + 1 \ {align} &\approx -0,39 \ {align} &< 0,\end{align} \]
por lo que no puede ser una función de densidad de probabilidad.
(b) Para que algo sea una función de distribución acumulativa, no puede tomar valores mayores que \(1\). Sin embargo
\[\iniciar{alinear} g\izquierda(3\derecha) &= \ln\izquierda(3\derecha) + 1 \\\a1,\final{alinear} \]
por lo que \(g(x)\) tampoco puede ser una función de distribución acumulativa.
Que algo se escriba a trozos no significa que tenga nada que ver con la probabilidad.
Si sabes que algo es una función de densidad de probabilidad, puedes hallar la función de distribución acumulativa.
Supongamos que \(X) es una variable aleatoria continua, y que la función de densidad de probabilidad es
\f(x) = ksin x & 0 \le x \le \pi \ 0 &\text{si no \fin].
(a) Encuentra el valor de \(k\) que hace que esto funcione.
(b) Halla la función de distribución acumulativa asociada.
(c) Halla \(P\left(x\le \dfrac{\pi}{4}\right)\).
Solución:
(a) Recuerda que para que algo sea una función de densidad de probabilidad, el área bajo la curva debe ser igual a uno. En otras palabras, necesitas
\[ \int_-\infty}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x = 1.\]
Introduciendo la función, obtienes
\[ \begin{align} f(x) \int_-\infty}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x &= \int_0^\pi k \sin x \, \mathrm{d}x \\\t -k\cos x \fantom{\frac{}} \(-k\cos 0) - (-k\cos 0) - (-k(-1) + k(1)) - (-k(1)) - (-k(-1) + k(1)) - (-k(-1) + k(1)) - (-k(-1) + k(1)) 2k. \fin].
Así que para que \(f(x)\) sea una función de densidad de probabilidad necesitas que \(2k = 1\), por lo que \(k = \dfrac{1}{2}\).
(b) Por la primera parte del problema, sabes que
\[f(x) = \begin{casos} \sen x & 0 \le x \le \pi \ 0 &\text{por lo demás} \fin].
Por las propiedades de la función de distribución acumulativa, también sabes que \(F(x)=0\) para \(x \le 0\), y \(F(x)=1\) para \(x \ge \pi). Sólo queda la parte molesta entre \(0\) y \(\pi\). Si integras
\[\begin{align} F(x) &= \int \dfrac{1}{2}{2}sin x \, \mathrm{d}x \\ &= -\frac{1}{2}cos x + C \end{align}}].
donde \(C\) es la constante de integración. Puesto que \(F(0)=0\),
|frac{1}{2}cos x + C &= -\frac{1}{2}\cos 0 + C \frac{1}{2} + C, fin. \]
y debe darse el caso de que \(C = \dfrac{1}{2}\). Por tanto, la función de distribución acumulativa es
\[ F(x) = \begin{casos} 0 & x \le 0 \ -\dfrac{1}{2}\cos x + \dfrac{1}{2} & 0 \le x\le \pi \end{casos}.\}]
(c) Para hallar \ (P\left(x\le \dfrac{\pi}{4}\right)\), basta con evaluar \(F\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \), lo que nos da
\[ inicio{alineación} P\left(x \le \dfrac{\pi}{4}|derecha) &= F\left( \dfrac{\pi}{4}|derecha) &= -\dfrac{1}{2}cos \left( \dfrac{\pi}{4}|derecha) + \dfrac{1}{2} \\ &= -\frac {1}{2}\ izquierda(\frac {2}{2} {2}derecha) + \frac {1}{2} \\ y aproximadamente 0,145. \fin]
Función de distribución acumulativa - Puntos clave
Para cualquier variable aleatoria \(X\), la función de distribución acumulativa \(F(x)\) se define como
\[ F(x) = P(X \le x).\]
Para una variable aleatoria continua \(X\) con función de densidad de probabilidad\ (f_X(x)\), lafunción de distribución acumulativa \(F(x)\) se define como
\[ \begin{align} F(x) &= P(X \le x) &= \int_{-\infty}^x f_X(t) \, \mathrm{d} t .\end{align}].
- La función de distribución acumulativa es siempre como mínimo cero, como máximo uno, y es el área bajo la función de densidad de probabilidad.
- Para obtener una función de distribución acumulativa a partir de una función de densidad de probabilidad, integra la función de densidad de probabilidad. Para obtener una función de densidad de probabilidad a partir de una función de distribución acumulativa, diferencia la función de densidad de probabilidad.
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