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Figura 1. La distribución chi-cuadrado es útil para encontrar una relación entre dos cosas; como los precios de la ropa en distintas tiendas.
En este artículo, conocerás un nuevo tipo de distribución para responder a preguntas como éstas: la distribución chi-cuadrado. Estudiarás la fórmula de la distribución chi-cuadrado, las propiedades de una distribución chi-cuadrado, las tablas de distribución chi-cuadrado y trabajarás con varios ejemplos de distribución chi-cuadrado. También se te presentarán las principales aplicaciones de la distribución chi-cuadrado, entre las que se incluyen:
la prueba chi-cuadrado de bondad de ajuste, que te indica si los datos se ajustan a una determinada distribución, como en el ejemplo del número de lotería.
la prueba de homogeneidad chi-cuadrado - que te dice si dos poblaciones tienen la misma distribución, como en el ejemplo de la ropa.
la prueba chi-cuadrado de independencia - que comprueba la variabilidad, como en el ejemplo de la cafetera.
Cada una de ellas tiene su propio artículo.
Definición de la distribución chi-cuadrado
¿Qué ocurre cuando elevas al cuadrado una variable aleatoria con distribución normal? Conoces la distribución de probabilidad de la propia variable aleatoria, pero ¿qué te dice sobre la distribución de la variable aleatoria elevada al cuadrado? Esa pregunta condujo al descubrimiento de la distribución chi-cuadrado, y resulta ser útil en una gran variedad de contextos.
Una distribución chi-cuadrado \( (\chi^{2}) \) es una distribución de probabilidad continua de la suma de variables aleatorias al cuadrado, independientes, normales estándar, que se utiliza ampliamente en las pruebas de hipótesis.
La distribución chi-cuadrado es la base de tres pruebas chi-cuadrado:
la prueba chi-cuadrado para la bondad del ajuste, que te permite comparar las distribuciones de probabilidad observadas con las distribuciones esperadas,
la prueba chi-cuadrado de independencia y la prueba chi-cuadrado de homogeneidad;
la prueba chi-cuadrado de independencia te permite comprobar la independencia de variables categóricas, y
la prueba chi-cuadrado de homogeneidad te permite comprobar si dos variables categóricas siguen la misma distribución de probabilidad
la prueba de la varianza única: te permite estimar la distribución muestral de la varianza.
La forma básica de una distribución chi-cuadrado viene determinada por sus grados de libertad, denotados por \(k\).
Los grados de libertad, \(k\), son el número de valores que pueden variar libremente.
Veamos un ejemplo.
Supongamos que tienes \(4\) números que suman \(1\):
\[ X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4} = 1 \].
¿Cuántos de los valores \(X\) son libres de variar?
Solución:
La respuesta es \ (3), porque si conoces \ (3) de los números, puedes resolver el \ (4^):
\[ X_{4} = 1 - (X_{1} + X_{2} + X_{3}) \]
Por tanto, este ejemplo tiene \(3\) grados de libertad .
En la práctica, los grados de libertad, \(k\), suelen ser uno menos que el número de observaciones.
El siguiente gráfico ilustra ejemplos de distribuciones chi-cuadrado con distintos valores de \(k\).
Figura 2. Comparación de distribuciones chi-cuadrado con distintos grados de libertad.
Dado que muy pocas observaciones del mundo real siguen una distribución chi-cuadrado, el objetivo principal de una distribución chi-cuadrado es la comprobación de hipótesis.
Relación de la distribución chi-cuadrado con la distribución normal estándar
La razón por la que una distribución chi-cuadrado es útil para la comprobación de hipótesis es su estrecha relación con la distribución normal estándar: una distribución normal cuya media es \(0\) y su varianza es \(1\). Repasemos esta relación.
Supongamos que tomas una muestra aleatoria de una distribución normal estándar, \(Z\). Si elevas al cuadrado todos los valores de tu muestra, ahora tienes la distribución chi-cuadrado con un grado de libertad, o \( k = 1 \). Así que, matemáticamente, lo representas como
\[ \chi_{1}^{2} = Z^{2} \]
Ahora, supongamos que quieres tomar muestras aleatorias de \(2\) distribuciones normales estándar independientes, \( Z_{1} \) y \( Z_{2} \). Si elevas al cuadrado cada muestra y las sumas cada vez que muestreas un par de valores, tienes la distribución chi-cuadrado con dos grados de libertad, o \( k = 2 \). Esto se representa matemáticamente como
\[ \chi_{2}^{2} = (Z_{1})^{2} + (Z_{2})^{2} \].
Siguiendo con este patrón, en general, si tomas muestras aleatorias de \(k\) distribuciones normales estándar independientes y luego elevas al cuadrado y sumas esos valores, obtienes una distribución chi-cuadrado con \(k\) grados de libertad. De nuevo, esto se representa matemáticamente como
\[ \chi_{k}^{2} = (Z_{1})^{2} + (Z_{2})^{2} + \ldots + (Z_{k})^{2} \].
En resumen, un uso común de la distribución chi-cuadrado es hallar la suma de variables aleatorias al cuadrado, distribuidas normalmente. Así, si \( Z_{i} \) representa una variable aleatoria distribuida normalmente, entonces
\[ \suma_{i=1}^{k} Z_{i}^{2} \sim \chi^{2}_{k} \]
Fórmula de la distribución chi-cuadrado
Las pruebas chi-cuadrado son pruebas de hipótesis cuyos estadísticos de prueba siguen una distribución chi-cuadrado bajo la hipótesis nula. La primera prueba de ji-cuadrado que se descubrió, y la más utilizada, fue la prueba de ji-cuadrado de Pearson.
La fórmula de la distribución chi-cuadrado de Pearson (también conocida como estadística o estadística de prueba) es
\[ \chi^{2} = \suma \frac{(O-E)^{2}}{E} \]
donde
\( \chi^{2} \) es el estadístico de la prueba chi-cuadrado
\( \suma \) es el operador de suma
\( O \) es la frecuencia observada
\( E \) es la frecuencia esperada
Si tomas muchas muestras de una población y calculas el estadístico de la prueba ji-cuadrado de Pearson para cada muestra, el estadístico de la prueba seguirá una distribución ji-cuadrado; siempre que la hipótesis nula sea cierta.
Media de una distribución chi-cuadrado
La media de una distribución chi-cuadrado son los grados de libertad:\[ \mu \left[ \chi^{2} \right] = k. \]
Varianza de una distribución chi-cuadrado
La varianza de una distribución chi-cuadrado es el doble de los grados de libertad:\[ \sigma^{2} \left[ \chi^{2} \right] = 2k. \]
Modo de una distribución chi-cuadrado
La moda de una distribución chi-cuadrado son los grados de libertad menos dos (cuando \( k \geq 2 \)):\[ \text{mode} \left[ \chi^{2} \right] = k - 2, \text{ if } k \geq 2 \]
Desviación típica de una distribución chi-cuadrado
La desviación típica de una distribución chi-cuadrado es la raíz cuadrada del doble de los grados de libertad:
\[ \sigma \izquierda[ \chi^{2} \derecha] = \sqrt{2k} \]
Propiedades de la distribución chi-cuadrado
La distribución chi-cuadrado tiene varias propiedades que hacen que sea fácil trabajar con ella y muy adecuada para la comprobación de hipótesis:
Una distribución chi-cuadrado es una distribución continua .
Una distribución chi-cuadrado se define mediante un único parámetro: los grados de libertad, \(k\).
La suma de variables aleatorias chi-cuadrado independientes también es una variable aleatoria chi-cuadrado, y los grados de libertad de la suma son la suma de los grados de libertad:\[ \chi^{2}_{k_{1}} + \chi^{2}_{k_{2}} + \sim \chi^{2}_{k_{1}} + k_{2}} \].
Rango de una distribución chi-cuadrado
Una distribución chi-cuadrado nunca es negativa. Esto es más fácil de ver en la fórmula de la razón de varianzas. Como tanto la parte superior como la inferior de la fracción son positivas, la proporción nunca puede ser negativa. Dicho de otro modo
\[ \frac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}} \geq 0 \]
Esto significa que el rango es:\text{rango} \left[ \chi^{2} \right] = 0 \to \infty \]
Simetría de una distribución Chi-cuadrado
La restricción de que una variable aleatoria distribuida chi-cuadrado nunca puede ser negativa significa que una distribución chi-cuadrado no puede ser simétrica. Es una distribución no simétrica. Sin embargo, una distribución chi-cuadrado se vuelve cada vez más simétrica a medida que aumenta \(k\).
Forma de una distribución chi-cuadrado
La forma de una distribución chi-cuadrado depende de los grados de libertad, \(k\). A medida que aumenta el valor de \(k\), la distribución ji-cuadrado se parece más a la curva de campana de una distribución normal. Esto se debe a que, aunque una distribución chi-cuadrado nunca puede ser negativa, llega hasta el infinito en sentido positivo. En términos estadísticos, se dice que una distribución chi-cuadrado está sesgada a la derecha porque la cola derecha es más larga que la izquierda.
La asimetría de una distribución chi-cuadrado es igual a:
\[ \text{Skewness} \left[ \chi^{2} \right] = \sqrt{\frac{8}{k}} \]
Esto significa que la media de una distribución chi-cuadrado es mayor que la mediana y la moda. A medida que \(k\) se hace cada vez mayor, el número bajo la raíz cuadrada se acerca cada vez más a cero, por lo que la asimetría de la distribución se aproxima a cero a medida que \(k\) se acerca a infinito.
Cuando una distribución chi-cuadrado tiene uno o dos grados de libertad
Cuando una distribución chi-cuadrado sólo tiene uno o dos grados de libertad ( \( k = 1 \) o \( k = 2 \) ) tiene forma de "J" invertida.
Figura 3. Gráficos de una distribución chi-cuadrado cuando tiene uno y dos grados de libertad.
Debido a la forma de estas distribuciones chi-cuadrado, significa que existe una alta probabilidad de que \( \chi^{2} \) se aproxime a cero.
Cuando una distribución ji-cuadrado tiene tres o más grados de libertad
Cuando una distribución chi-cuadrado tiene tres o más grados de libertad ( \( k \geq 3 \) ), adopta una forma de protuberancia que tiene un pico en el centro que se parece más a una distribución normal. Esto significa que hay una baja probabilidad de que \( \chi^{2} \) esté muy cerca o muy lejos de cero.
Cuando \(k\) es sólo ligeramente mayor que \(2\), la distribución chi-cuadrado tiene una cola derecha mucho más larga que la cola izquierda; es decir, está fuertemente sesgada a la derecha.
Figura 4. Gráficos de una distribución chi-cuadrado cuando tiene tres y cinco grados de libertad.
Recuerda que la media de una distribución chi-cuadrado son los grados de libertad, y observa que el pico siempre está a la izquierda de la media. Observa también que la cola izquierda termina en cero, pero la cola derecha es eterna. El pico de la distribución nunca puede estar realmente en el centro; siempre debe estar a la izquierda del centro (porque la mitad del infinito también es infinita).
A medida que aumentan los grados de libertad, \(k\), disminuye la inclinación de la distribución. A medida que los grados de libertad se acercan a infinito, la distribución se aproxima a la de una distribución normal.
Figura 5. Una distribución chi-cuadrado que tiene \(90\) grados de libertad. En este punto, puedes utilizar una distribución normal como una buena aproximación de la distribución chi-cuadrado.
De hecho, cuando \( k \geq 90 \), puedes considerar una distribución normal como una buena aproximación de la distribución ji-cuadrado.
Tablas de distribución chi-cuadrado
Hoy en día, muchas calculadoras y cualquier software estadístico pueden calcular una distribución chi-cuadrado. Pero antes de que ese software fuera omnipresente, la gente necesitaba una forma fácil de aproximarse a ese valor. Por eso crearon la tabla ji-cuadrado. La tabla de distribución chi-cuadrado es una herramienta de referencia que puedes utilizar para encontrar valores críticos chi-cuadrado.
Un valor crítico chi-cuadrado es un umbral de significación estadística para las pruebas de hipótesis. También define intervalos de confianza para determinados parámetros.
A continuación se muestra un ejemplo de tabla de distribución chi-cuadrado para \(1-5\) grados de libertad.
| Puntos porcentuales de la distribución chi-cuadrado | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Grados de libertad(k) | Probabilidad de un valor mayor de X2; Nivel de significación (α) | ||||||||
| 0.99 | 0.95 | 0.90 | 0.75 | 0.50 | 0.25 | 0.10 | 0.05 | 0.01 | |
| 1 | 0.000 | 0.004 | 0.016 | 0.102 | 0.455 | 1.32 | 2.71 | 3.84 | 6.63 |
| 2 | 0.020 | 0.103 | 0.211 | 0.575 | 1.386 | 2.77 | 4.61 | 5.99 | 9.21 |
| 3 | 0.115 | 0.352 | 0.584 | 1.212 | 2.366 | 4.11 | 6.25 | 7.81 | 11.34 |
| 4 | 0.297 | 0.711 | 1.064 | 1.923 | 3.357 | 5.39 | 7.78 | 9.49 | 13.28 |
| 5 | 0.554 | 1.145 | 1.610 | 2.675 | 4.351 | 6.63 | 9.24 | 11.07 | 15.09 |
Tabla 1: Datos de la tabla, ejemplo de distribución chi-cuadrado.
La columna de la izquierda te indica los grados de libertad, \(k\). La fila superior te indica el complemento de la probabilidad de un valor mayor de \( \chi^{2} \) que te interesa; es decir, si quieres una probabilidad de \(0,9\), buscas en la columna denominada \(0,1\). El número de cada celda es el valor crítico en el que la distribución chi-cuadrado tiene esa probabilidad que queda a la derecha.
Veamos un ejemplo.
Supongamos que tienes una distribución ji-cuadrado con \(6\) grados de libertad, y quieres saber el valor en el que tu distribución ji-cuadrado alcanza \(5\%\) de probabilidad. ¿Cómo puedes utilizar una tabla de distribución chi-cuadrado para ello?
Solución:
- Te dan el dato de que tienes \(6\) grados de libertad, así que elige la fila que coincida con eso; la fila \(6\).
- Quieres saber el valor en el que tu distribución chi-cuadrado alcanza la probabilidad \(5\%\), así que eliges la columna que es el complemento de \(5\% = 0,05\). Ésta es la columna \(0,95\).
- Con la fila y la columna especificadas, identifica el valor crítico en la celda. El valor crítico es \(1,635\).
- Esto significa que tu distribución chi-cuadrado alcanza la probabilidad \(5\%\) cuando es mayor o igual que \(1,635\).
- Matemáticamente, se escribe:\[ P(\chi_6}^{2} \geq 1,635) = 0,95 \].
- Esto significa que tu distribución chi-cuadrado alcanza la probabilidad \(5\%\) cuando es mayor o igual que \(1,635\).
Estas tablas son muy importantes para la comprobación de hipótesis. Si tu estadístico de prueba es mayor que el número de la celda correspondiente, significa que has encontrado pruebas para rechazar la hipótesis nula. Consulta el artículo sobre Pruebas Chi-cuadrado para obtener más información.
Aplicaciones de la distribución chi-cuadrado
¿Cuáles son algunas aplicaciones habituales de la distribución chi-cuadrado? Pues bien, la distribución chi-cuadrado aparece en muchas pruebas y teorías estadísticas. A continuación se indican algunas de las más comunes.
Inferencias sobre la varianza de la población
Una de las principales motivaciones de la distribución chi-cuadrado es hacer inferencias sobre la desviación típica poblacional \( (\sigma) \) o la varianza \( (\sigma^{2}) \) a partir de una muestra relativamente pequeña. Con una distribución chi-cuadrado, puedes probar la hipótesis de que la varianza de una población es igual a un valor específico mediante la prueba de una varianza única. Como alternativa, puedes calcular intervalos de confianza para la varianza de la población.
Un gran sindicato se esfuerza por conseguir que todos los empleados que tienen el mismo nivel de antigüedad cobren salarios similares. Su objetivo: una desviación típica en el salario por hora inferior a \($3\).
- Para comprobar si han alcanzado su objetivo, el sindicato toma al azar una muestra de 30 empleados con el mismo nivel de antigüedad. La desviación típica de la muestra es de 2,95 $, ligeramente inferior a su objetivo de 3 $.
¿Es suficiente para concluir que la verdadera desviación típica de todos los empleados con el mismo nivel de antigüedad es inferior a \(3 $)?
Solución:
Para averiguarlo, el sindicato debe utilizar la prueba de la varianza única para determinar si la desviación típica es significativamente distinta de \($3\), utilizando
una hipótesis nula de \( H_{0}: \sigma^{2} \geq 3^{2} \) y
una hipótesis alternativa de \ ( H_{a}: \sigma^{2} < 3^{2} \).
Entonces, comparando un estadístico de la prueba chi-cuadrado con la distribución chi-cuadrado adecuada, la unión puede decidir si es apropiado rechazar la hipótesis nula.
Prueba ji-cuadrado de Pearson
Las pruebas ji-cuadrado de Pearson son algunas de las aplicaciones más comunes de las distribuciones ji-cuadrado. Utilizas estas pruebas para determinar si tus datos son significativamente diferentes de lo que esperas. Los dos tipos de pruebas chi-cuadrado de Pearson son:
la prueba de bondad de ajuste chi-cuadrado y
la prueba chi-cuadrado de independencia.
Supongamos que una empresa de camisetas quiere saber si todos los colores de sus camisetas son igual de populares. Para averiguarlo, registran el número de ventas por color de camiseta durante una semana. Estos datos se representan en la tabla siguiente:
| Ventas por color de camiseta | |
|---|---|
| Color | Frecuencia |
| Negro | 80 |
| Azul | 90 |
| Gris | 70 |
| Rojo | 60 |
| Blanco | 100 |
Tabla 2. Datos de ventas por color de camiseta.
Como la empresa vendió \(400\) camisetas, \(80\) ventas por color significaría que los colores fueron igualmente populares. Basándote en los números de la tabla, sabes que la empresa no vendió \(80\) de cada color de camiseta. Sin embargo, sólo se trata de una muestra de una semana, por lo que debes esperar que las cifras no sean iguales debido al azar.
Pero, ¿da esta muestra suficiente confianza para concluir que la frecuencia de venta de camisetas difiere realmente entre colores?
Solución:
Aquí es donde entra en juego una prueba de bondad de ajuste chi-cuadrado. Podría probar si las frecuencias observadas son significativamente diferentes de las frecuencias iguales.
Si le dices a la empresa que compare el estadístico de la prueba chi-cuadrado de Pearson con la distribución chi-cuadrado adecuada, la empresa podrá determinar la probabilidad de que estos valores de venta de camisetas se deban al azar.
Definición de la distribución F
Las distribuciones chi-cuadrado también forman parte integrante de la definición de la distribución \(F\), una distribución utilizada en los Análisis de la Varianza (ANOVAs).
- Supongamos que tomas muestras aleatorias de una distribución ji-cuadrado.
- A continuación, divides la muestra por los grados de libertad de la distribución ji-cuadrado.
- Repite los pasos \( 1-2 \) con una distribución ji-cuadrado diferente.
- Si tomas los cocientes de los valores de estas dos distribuciones, obtendrás una distribución \(F\).
Ejemplos de distribución chi-cuadrado
Ahora, ¡vamos a trabajar con algunos ejemplos!
Eleva al cuadrado y suma \(15\) variables aleatorias normales estándar. ¿Qué distribución sigue esta suma?
Solución:
Una variable aleatoria normal estándar al cuadrado sigue una distribución chi-cuadrado con \(1\) grados de libertad. La suma de variables aleatorias chi-cuadrado también sigue una distribución chi-cuadrado, siendo los grados de libertad de la suma la suma de los grados de libertad individuales. Sigamos este proceso.
- Sea \(Z\) una variable aleatoria normal estándar:\[ Z_{i}^{2} \sim \chi_{1}^{2} \].
- Entonces:\[ Z_{1}^{2} + Z_{2}^{2} = \chi_{1}^{2} + \chi_{1}^{2} \sim \chi_{2}^{2} .\]
- Así que si tienes la suma de \(15 Z_{i}^{2}), tienes:\[ \suma_{i = 1}^{15} Z_{i}^{2} = \suma_{i = 1}^{15} \chi_{1}^{2} \sim \chi_{15}^{2}. \]
- La suma de \(15\) variables aleatorias normales al cuadrado sigue una distribución chi-cuadrado con \(15\) grados de libertad.
Partiendo del ejemplo anterior:
¿Cuáles son las
- media
- la varianza,
- desviación típica y
- asimetría
de la distribución del ejemplo anterior?
Solución:
- La media de una distribución chi-cuadrado es igual a los grados de libertad:[ \mu \left[ \chi_{15}^{2} \right] = k = 15 \].
- La varianza de una distribución chi-cuadrado es dos veces los grados de libertad:\[ \sigma^{2} \left[ \chi_{15}^{2} \right] = 2(15) = 30 \]
- La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza:\[ \begin{align}\sigma \left[\chi_{15}^{2} \right] &= \sqrt{ \sigma^{2} \izquierda[ \chi_{15}^{2} \ derecho]} \&= \sqrt{30} \aprox. 5,477.\end{align} \]
- La asimetría también tiene una fórmula:\text{Skewness} \left[ \chi_{15}^{2} \right] = \sqrt{\frac{8}{15}} \aproximadamente 0,73].
He aquí un ejemplo utilizando una tabla chi-cuadrado.
Utilizando una tabla chi-cuadrado, halla los valores críticos \(90\%\), \(95\%\) y \(99\%\) para una distribución chi-cuadrado con \(8\) grados de libertad.
Solución:
Para esta pregunta sólo tienes que leer la tabla.
- Hay \(8\) grados de libertad; encuentra la fila correspondiente a \(8\) grados de libertad.
- Para hallar los valores críticos, halla las columnas correspondientes a \(0,1\), \(0,05\) y \(0,01\).
- \(0,1\) corresponde al valor crítico de \(90\%\).
- \(0,05\) corresponde al valor crítico para \(95\%\).
- \El 0,01% corresponde al valor crítico del 99%.
- A continuación, lee los números de las casillas.
- Los valores críticos son:
- \(13.36\),
- \(15,51%) y
- \(20.09\).
- Los resultados se destacan en la tabla siguiente:
- Los valores críticos son:
Tabla 3. Ejemplo de distribución Chi-cuadrado.
| Puntos porcentuales de la distribución Chi-cuadrado | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Grados de libertad(k) | Probabilidad de un valor mayor de X2; Nivel de significación (α) | ||||||||
| 0.99 | 0.95 | 0.90 | 0.75 | 0.50 | 0.25 | 0.10 | 0.05 | 0.01 | |
| 6 | 0.872 | 1.635 | 2.204 | 3.455 | 5.348 | 7.84 | 10.64 | 12.59 | 16.81 |
| 7 | 1.239 | 2.167 | 2.833 | 4.255 | 6.346 | 9.04 | 12.02 | 14.07 | 18.48 |
| 8 | 1.647 | 2.733 | 3.490 | 5.071 | 7.344 | 10.22 | 13.36 | 15.51 | 20.09 |
| 9 | 2.088 | 3.325 | 4.168 | 5.899 | 8.343 | 11.39 | 14.68 | 16.92 | 21.67 |
Distribución Chi-cuadrado - Puntos clave
- Una distribución Chi-cuadrado \( (\chi^{2}) \) es una distribución de probabilidad continua de la suma de variables aleatorias al cuadrado, independientes y normales, que se utiliza ampliamente en las pruebas de hipótesis.
- La distribución chi-cuadrado es la base de tres pruebas de hipótesis chi-cuadrado:
la prueba chi-cuadrado de bondad de ajuste,
la prueba chi-cuadrado de independencia y la prueba chi-cuadrado de homogeneidad, y
la prueba de varianza única.
- La fórmula de la distribución chi-cuadrado de Pearson (también conocida como estadística o estadística de prueba) es
\[ \chi^{2} = \suma \frac{(O-E)^{2}}{E} \]
- Un uso habitual de la distribución chi-cuadrado es hallar la suma de variables aleatorias al cuadrado, distribuidas normalmente. Así, si \( Z_{i} \) representa una variable aleatoria distribuida normalmente, entonces
\[ \suma_{i=1}^{k} z_{i}^{2} \sim \chi^{2}_{k} \]
- Las propiedades de una distribución chi-cuadrado son:
- Media: \[ \mu \left[ \chi^{2} \right] = k \]
- Varianza: \[ \sigma^{2} \izquierda[ \chi^{2} \ derecha] = 2k \]
- Modo: |texto{modo} \left[ \chi^{2}\\right] = k - 2, \text{ if } k \geq 2 \]
- Desviación típica: |izquierda[ \chi^{2} \derecha] = \sqrt{2k} \]
- Rango: |texto{rango} \left[ \chi^{2} \right] = 0 \to \infty \]
- Simetría: distribución no simétrica que se vuelve cada vez más simétrica a medida que aumenta \(k\).
- Forma: depende únicamente de los grados de libertad, \(k\), el número de valores que son libres de variar.
- La suma de variables aleatorias con distribución chi-cuadrado también sigue una distribución chi-cuadrado, siendo la media de la suma la suma de medias y la varianza de la suma la suma de varianzas:\[ \chi_{k_{1}}^{2} + \chi_{k_{2}}^{2} = \chi_{k_{1}+k_{2}}^{2} \].
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