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¿Qué es la función generadora de probabilidad?
En estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta puede especificarse mediante la función de masa de probabilidad, o mediante la función de distribución acumulativa. Otra forma de especificar la distribución de una variable aleatoria discreta es mediante su función generadora de probabilidad. La función generadora de probabilidad es una representación en serie de potencias de la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria. Estas funciones generadoras tienen propiedades interesantes y a menudo pueden reducir la cantidad de trabajo que supone analizar una distribución.
La función generadora de probabilidad (F GP) de una variable aleatoria discreta viene dada por:
$$G_X(t)=\mathbb{E}\left(t^X\right)=\sum_{x} t^x\mathbb{P}(X=x)$$
donde \(t\) se conoce como variable ficticia.
Esto procede de la fórmula de la expectativa de una función de una variable aleatoria discreta:
$$\mathbb{E}(g(X))=\suma_{x} g(x)\mathbb{P}(X=x)$$
donde \(g(X)=t^X\).
De la fórmula se deduce que cada término de la PGF es un término \(t^x\) con un coeficiente. El valor del exponente, \(x\), corresponde a un valor que puede tomar el valor aleatorio y el coeficiente de cada término \(t^x\) corresponde a la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor del exponente.
Halla la función generadora de probabilidad de la distribución dada por
| \(x\) | \(-2\) | \(0\) | \(1\) | \(3\) |
| \(\mathbb{P}(X=x)\) | \(fracción 1/6) | \(frac {5} {12}) | \(frac {1} {3}) | \(\frac{1}{12}}) |
Utilizando la fórmula
\[G_X(t)=\mathbb{E}\left(t^X\right)=\sum_{x} t^x\mathbb{P}(X=x)\]
tienes
\[\begin{align} G_X(t)&=\frac{1}{6}t^{-2}+\frac{5}{12}t^0+\frac{1}{3}t^1+\frac{1}{12}t^3 \\ &=\frac{1}{6}t^{-2}+\frac{5}{12}+\frac{1}{3}t+\frac{1}{12}t^3. \end{align}\}]
Naturalmente, querrás utilizar las propiedades de la FGP para agilizar tu trabajo.
Función generadora de probabilidad: Propiedades
Las funciones generadoras de probabilidad tienen propiedades interesantes que a menudo pueden reducir la cantidad de trabajo necesario para analizar una distribución. Por ejemplo, como verás, la PGF puede facilitar el cálculo de la esperanza o la varianza.
Para una variable aleatoria discreta tienes
1. \(G_X(t)=\mathbb{E}(t^X)=\sum_{x} t^x\mathbb{P}(X=x).\)
2. Para cualquier PGF de una variable aleatoria discreta: \[\begin{align} G_X(1)&=suma_{x} 1^x{mathbb{P}(X=x) &=suma_{x}{mathbb{P}(X=x)&&=1. \fin].
Supongamos que la variable aleatoria discreta \(X\) tiene una PGF dada por
$$G_X(t)=\frac{1}{8}(1+t)^3.$$
Entonces,
$$G_X(1)=\frac{1}{8}{2}^3=1.$$
3. \π(\begin{align} G'(t)&=\frac{\mathrm{d} }{mathrm{d} t} G(t) &= \frac{\mathrm{d} t} \mathbb{E}\left(t^X\\right) &=\mathbb{E}\left(Xt^{X-1}\right) \end{align}\)
4. \(G_X'(1)=\mathbb{E}(X)\)
5. Que \(X\) tenga una PGF dada por
$$G_X(t)=\frac{1}{8}(1+t)^3.$$
Entonces
\[\begin{align} G_X'(t)&=\frac{3}{8}(1+t)^2 G_X'(t)&=\frac{3}{8}(2)^2=\frac{3}{2} .\final{align}].
Por lo tanto
\[\mathbb{E}(X)=\frac{3}{2}.\}
5. \(principio) G_X''(t)&=\frac{\mathrm{d^2} {\mathrm{d} x^2} G_X(t) &= \mathbb{E}left(X(X-1)t^{X-2}\right) \end{align})
6. \(Inicio) G_X''(1) &=mathbb{E}(X(X-1)) &=mathbb{E}izquierda(X^2-X\}derecha) &=mathbb{E}izquierda(X^2\}derecha)-mathbb{E}(X)\final{align}})
7. \(\begin{align}\text{Var}(X) &=\mathbb{E}\left(X^2\right)-(\mathbb{E}(X))^2 \\ &=G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2 \end{align}\)
Que \(X\) tenga una PGF dada por
$$G_X(t)=\frac{1}{8}(1+t)^3.$$
Entonces
\[\inicio{alineación} G_X'(1)&=\frac{3}{2} \\ G_X''(t)&=\frac{3}{4}(1+x) G_X''(1)&=\frac{3}{2} \end{align}\}] Por tanto,
\G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2 &=frac{3}{2}+frac{3}{2}-izquierda(\frac{3}{2}derecha)^2 &=frac{3}{4} .\end{align}\].
8. Si las variables aleatorias \(X\) e \(Y\) son discretas e independientes con PGF dadas por \(G_X(t)\) y \(G_Y(t)\) respectivamente, entonces la PGF de \(Z=X+Y\) viene dada por \(G_Z(t)=G_X(t) \cdot G_Y(t)\).
Supongamos que una variable aleatoria discreta \(X\) tiene una PGF dada por
$$G_X(t)=\frac{t^2}{(2-t)^5}$$
y una variable aleatoria discreta \(Y\) tiene una PGF dada por
$$G_Y(t)=\frac{t}{(4-3t)^2}.$$
Dado que \(X\) y \(Y\), halla la PGF de \(Z=X+Y\):
Solución:
Utilizando la propiedad 8,
\[\begin{align} G_Z(t)&=G_X(t) \cdot G_Y(t) &=\frac{t^2}{(2-t)^5} \cdot\frac{t}{(4-3t)^2} = \frac{t^3}{(2-t)^5(4-3t)^2}. \end{align}\]
Ejemplos de funciones generadoras de probabilidad
Éstos son algunos ejemplos en los que se utilizan las distintas propiedades de la FGP:
La función generadora de probabilidad de una variable aleatoria discreta \(X\) viene dada por
$$G_X(t)=z(1+2t+2t^2)^2.$$
a) Halla el valor de \(z\).
b) Da la distribución de probabilidad de \(X\).
Solución:
a) Utilizando la propiedad 2 anterior, sabes que para cualquier PGF
\[\begin{align} G_X(1) &=suma_{x} 1^x\\mathbb{P}(X=x) &=suma_{x}\mathbb{P}(X=x) &\=1, \end{align}\].
así que
\G_X(1)&=1, fin G_X(1)&=z(1+2(1)+2(1)^2)^2 \ 1&=z(1+2+2)^2 \ z&=\frac{1}{25}. \end{align}\]
b) Tienes \(G_X(t)=\frac{1}{25}(1+2t+2t^2)^2.\)
Expandiendo los paréntesis obtienes
\[\begin{align} G_X(t)&=\frac{1}{25}(1+2t+2t^2)(1+2t+2t^2) \frac{1}{25}(1+2t+2t^2+2t+4t^2+4t^3+2t^2+4t^3+4t^4) \frac{1}{25}(1+2t+2t^3+4t^4) &=\frac{1}{25}(1+4t+8t^2+8t^3+4t^4) \\ &=\frac{1}{25}+\frac{4t}{25}+\frac{8t^2}{25}+\frac{8t^3}{25}+\frac{4t^4}{25} \\ &=\frac{1t^0}{25}+\frac{4t^1}{25}+\frac{8t^2}{25}+\frac{8t^3}{25}+\frac{4t^4}{25}. \end{align}\]
Ahora tienes una función en la que puedes leer los valores de los valores de \(x\) con las probabilidades correspondientes de \(x\) utilizando el hecho de que los coeficientes de \(t^x\) son las probabilidades \(\mathbb{P}(X = x)\). Por tanto, la distribución de probabilidad de X es
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
| \(mathbb{P}(X=x)}) | \(frac {1}{25}) | \(frac 4 25) | \(\frac{8}{25}}) | \(\frac{8}{25}}) | \(\frac{4}{25}}) |
Una buena forma de comprobar tu respuesta es asegurarte de que \(\suma_{x}\mathbb{P}(X=x)=1\).
Veamos otro ejemplo.
Supongamos que una variable aleatoria \(X\) tiene una PGF dada por
$$G_X(t)=\frac{1}{10}(4t+3t^2+2t^3+t^4).$$
Halla la varianza de \(X\).
Solución:
Utilizando la propiedad 7 anterior, tienes
\[\begin{align} \(X) &=G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2, fin].
por lo que
\[\inicio G_X'(t)&=\frac{\mathrm{d} }{mathrm{d} t} G_X(t) &= \frac{1}{10}[izquierda(4+6t+6t^2+4t^3\derecha) &=2 G_X'(1)&=2 G_X'(t)&= \frac{{mathrm{d^2}[izquierda]. x^2}(t) G_X(t) &= \frac{3\izquierda(2t^2+2t+1\derecha)}{5} \\ G_X''(1)&=3. \end{align}\]
Por tanto,
\¾[¾inicio \text{Var}(X)&=G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2 \ &=3+2-2^2\ &=1. \end{align}\]
Veamos las PGF de algunas distribuciones estándar.
PGF de la distribución de Poisson
La distribución de Poisson es una distribución discreta que se utiliza para modelizar el número de veces que se produce un suceso aleatorio en un intervalo fijo de tiempo o espacio, suponiendo que los sucesos ocurren de forma independiente y a un ritmo constante.
Si una variable aleatoria discreta \(X\sim \text{Poi}(\lambda)\) la PGF de \(X\) viene dada por
$$G_X(t)=e^{\lambda(t-1)}.$$
Veamos ahora cómo utilizarlo.
El número de visitantes del sitio web viene dado por una tasa de \(4\) por hora. Dado que la variable aleatoria \(X\) es el número de visitantes del sitio web que llegan en una hora aleatoria, y que las visitas son independientes y aleatorias, demuestra, a partir de primeros principios, que la función generadora de probabilidad para \(X\) es
$$G_X(t)=e^{4(t-1)}.$$
Solución:
A partir de la descripción del suceso, puedes ver que la variable aleatoria tiene la propiedad de que \(X\sim Poi(4)\) ya que cada visita es independiente de la otra, y se producen en un periodo de tiempo fijo (una hora) a una tasa media constante \(4.\)
Por tanto
\[\mathbb{P}(X=x)=\frac{e^{-4}4^x}{x!},\]
por lo que
\[\begin{align} G_X(t)&=suma_{x}(t^X)=suma_{x} t^x{mathbb{P}(X=x) &=suma_{x=0}^{infty} t^x{frac{e^{-4}4^x}{x!} \\ y=e^{-4}suma_x=0}^infty}frac {t^x 4^x} ¡x! \\ &=e^{-4} \sum_{x=0}^{\infty}\frac{(4t)^x}{x!} \\ y=e^{-4}e^{4t} y=e^{-4+4t} \\ y=e^{4(t-1)} . \end{align}\]
La igualdad final se deduce de la expansión de Maclaurin de \(e^x\) donde \(x=4t\). Equivalentemente puedes utilizar el sumatorio exponencial:
\[\sum_{k=0}^{\infty} \frac{a^k}{k!} =e^a.\]
PGF de la distribución binomial
Habrás conocido la distribución binomial. Supón que realizas un experimento que consiste en repetir independientemente el mismo ensayo \(n\) veces. Cada vez el ensayo da uno de los dos resultados posibles, éxito o fracaso. Sea \(p\) la probabilidad de éxito, entonces \(X\sim \text{Bin}(n,p)\) denota el número de éxitos en \(n\) ensayos.
Veamos ahora la PGF de la distribución binomial.
Si una variable aleatoria discreta \(X\sim \text{Bin}(n,p)\) la PGF de \(X\) viene dada por
$$G_X(t)=(1-p+pt)^n.$$
Demostrar, a partir de los primeros principios, que la PGF de \(X\sim \text{Bin}(n,p)\) viene dada por
$$G_X(t)=(1-p+pt)^n.$$
Solución:
\G_X(t)&=(1-p+pt)^n. $$ Solución. G_X(t)&=mathbb{E}(t^X)&=suma_{k=0}^{n}t^k\binom{n}{k}p^k(1-p)^{(n-k)} \_suma_{k=0}^{n}binom{n}{k}(tp)^k(1-p)^{(n-k)} &=(tp+(1-p))^n, \end{align}].
donde la igualdad final se deduce del sumatorio binomial:
\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{(n-k)}.\]
Veamos un ejemplo,
La probabilidad de que una semilla germine es \(0,35\). Sea la variable aleatoria \(X\) el número de semillas que han germinado de \(4\) semillas plantadas.
a) Demuestra, a partir de los primeros principios, que la función generadora de probabilidad para \(X\) es
$$G_X(t)=(0.65+0.35t)^4.$$
b) Utilizando tu respuesta a a), determina la media de \(X\).
Solución:
a) Observa que \(X ∼ \text{Bin}(4, 0,35)\}, por lo que
\[\mathbb{P}(X=x)= \binom{6}{x}0.35^x(1-0.35)^{6-x}\]
para \(x=0,\puntos ,6\).
Utilizando la fórmula de la función generadora de probabilidad
\[\begin{align} G_X(t)&=\sum_{x=0}^{4}t^x\mathbb{P}(X=x) \\ &=\sum_{x=0}^{4}t^x\binom{4}{x}0.35^x(1-0.35)^{6-x} \\ &=(0.65)^4+4(0.35)(0.65)^3t+6(0.35)^2(0.65)^2t^2+4(0.35)^3(0.65)t^3+(0.35)^4t^4 \\ &=(0.65)^4+4(0.65)^3(0.35t)+6(0.65)^2(0.35t)^2+4(0.65)(0.35t)^3+(0.35t)^4 \\ &=(0.65+0.35t)^4 ,\end{align}\]
donde la última igualdad se deduce de la fórmula binomial:
\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{(n-k)}.\]
Por lo tanto, la función generadora de probabilidad para \(X\) es
$$G_X(t)=(0.65+0.35t)^4.$$
b) Utilizando la propiedad 4 anterior, se tiene que \(G_X'(t)=\mathbb{E}(X)\), por lo que
\[\begin{align} G_X'(t)&=1,4(0,65+0,35t)^3 \ G_X'(1)&=1,4 \end{align}\].
PGF de la Distribución Geométrica
Si una variable aleatoria discreta \(X\sim \text{Geo}(p)\), la PGF de \(X\) viene dada por
$$G_X(t)=\frac{pt}{1-(1-p)t}.$$
Supongamos una variable aleatoria \(X \sim \text{Geo}(p)\). Demuestra desde los primeros principios que la PGF de \(X\) es
$$G_X(t)=\frac{tp}{1-(1-p)t}.$$
Solución:
Como \( X \sim \text{Geo}(p)\) tienes que \(\mathbb{P}(X=x)=(1-p)^{x-1}p\) por lo que
\[\begin{align} G_X(t)&=suma_{x} t^x\mathbb{P}(X=x) &=suma_{x=1}^{infty} t^x(1-p)^{x-1}p &=tp_suma_{x=1}^{infty} t(1-p)]^{x-1} &=tp_suma_i=0}^{infty} [t(1-p)]^{x-1} [t(1-p)]^{i} , \end{align} \]
donde en la última línea se ha realizado la sustitución \( i=x-1 \). Por tanto,
\[ G_X(t) =\frac{tp}{1-t(1-p)},\]
donde la igualdad se deduce de la suma geométrica:
\ {{suma_{k=0}^{infty} a^k = \frac{1}{1-a}}.
Recuerda que si la variable aleatoria \(X\) tiene una distribución Geométrica, es decir, \(X\sim \text{Geo}(p)\), entonces, suponiendo ensayos independientes con una probabilidad constante de éxito \(p\), \(X\) denota el número de ensayos hasta que se produce un éxito. Teniendo esto en cuenta, veamos un par de ejemplos.
Becky tira un dado justo de seis caras. Sea la variable aleatoria \(X\) el número de tiradas necesarias para que obtenga un múltiplo de \(2\). Dado que cada tirada es independiente, halla la función generadora de probabilidad de \(X\).
Solución:
Sea \(p\) la probabilidad de que Becky saque un número par. Entonces \(p=0,5\) y la variable aleatoria \(X\sim \text{Geo}(0,5).\)
Por tanto, utilizando la fórmula anterior, la función generadora de probabilidad de \(X\) es
\[\nImpieza{align} G_X(t)&=\frac{pt}{1-(1-p)t} |=\frac{0,5t}{1-0,5t}. \end{align}\]
Veamos otro ejemplo.
Sea la variable aleatoria \(X\sim \text{Geo}(p)\), usa el PGF de \(X\) para demostrar que \(\mathbb{E}(X)=\dfrac{1}{p}\) y \(\text{Var}(X)=\dfrac{1-p}{p^2}.\)
Solución:
Utilizando las propiedades 4 y 7 tienes que \(G_X'(1)=\mathbb{E}(X)\) y
\[\text{Var}(X)=G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2.\]
A partir de la definición anterior, una variable aleatoria \(X\sim \text{Geo}(p)\) tiene la PGF dada por
\[G_X(t)=\frac{pt}{1-(1-p)t}.\]
Entonces, utilizando la regla del cociente, tienes que
\G_X'(t) G_X'(t)&=\frac{(1-(1-p)t)(p)-(pt)(-(1-p))}{(1-(1-p)t)^2} \\ &=\frac{p(1-(1-p)t+(1-p)t)}{(1-(1-p)t)^2} \\ y=frac{p}{(1-(1-p)t)^2} \\ G_X'(1)&=\frac{p}{(1-(1-p))^2} \\ &=\frac {p}{p^2} \\ y=frac{1}{p}, fin. \]
por tanto
\[\mathbb{E}(X)=\frac{1}{p} .\]
Utilizando la regla de la cadena, tienes que
\[\bbegin{align} G_X''(t)&=\frac{-2(-(1-p))p}{(1-(1-p)t)^3} \\ &=\frac{2p(1-p)}{(1-(1-p)t)^3} \\ G_X''(1)&=\frac{2p(1-p)}{p^3} \\ &=\frac{2(1-p)}{p^2} .\final{align}]
Por tanto
\[\iniciar{alinear} \text{Var}(X)&=G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2 \\ &=\frac{2(1-p)}{p^2}+\frac{1}{p}-\left(\frac{1}{p}\right)^2 \\ &=\frac{2(1-p)+p-1}{p^2} \\ &=\frac{1-p}{p^2}.\end{align}\]
Funciones generadoras de probabilidad - Puntos clave
- La función generadora de probabilidad (FGP) de una variable aleatoria discreta viene dada por \(G_X(t)=\mathbb{E}(t^X)=\suma_{x} t^x\mathbb{P}(X=x),\) donde \(t\) se conoce como variable ficticia.
- Muchas de las tareas de análisis de variables aleatorias, como hallar la varianza o la expectativa, se simplifican utilizando la PGF de la variable aleatoria.
Si una variable aleatoria discreta \(X\sim \text{Poi}(\lambda)\) la PGF de \(X\) viene dada por \(G_X(t)=e^{\lambda(t-1)}.\)
Si una variable aleatoria discreta \(X\sim \text{Bin}(n,p)\) la PGF de X viene dada por \(G_X(t)=(1-p+pt)^n.\)
Si es una variable aleatoria discreta \(X\sim \text{Geo}(p)\), la PGF de X viene dada por \(G_X(t)=\frac{pt}{1-(1-p)t}.\)
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