¿Cómo se dibuja un diagrama de Venn?

Para dibujar un diagrama de Venn, podemos seguir una serie de pasos lógicos. Primero veremos cómo dibujar un diagrama para dos subconjuntos del espacio muestral. De momento, los llamaremos A y B.

Paso1: Dibuja dos círculos, que tengan una sección superpuesta en el centro.

Paso2: Dibuja un rectángulo alrededor del exterior de estos dos círculos, dejando espacio entre los círculos y el rectángulo.

Paso3: Rotula el rectángulo con 𝛏, hazlo por fuera. Este rectángulo representa todo nuestro espacio muestral.

Paso4: Etiqueta un círculo A, y el otro B, ya que representan nuestros dos subconjuntos.

El resultado debería tener este aspecto:

Ejemplo de diagrama de Venn con dos subconjuntos del espacio muestral , Tom Maloy - StudySmarter Originals

Para tres subconjuntos del espacio muestral, digamos A, B y C, seguimos pasos similares pero con tres círculos superpuestos, como se ve a continuación.

Ejemplo de diagrama de Venn con tres subconjuntos del espacio muestral, Tom Maloy - StudySmarter Originals

Ejemplos de diagramas de Venn

Para entender cómo funcionan los diagramas de Venn, veamos los siguientes ejemplos de diagramas de Venn.

Operadores lógicos sobre conjuntos

Cuando tenemos varios conjuntos actuando conjuntamente, podemos describir partes de ellos utilizando operadores lógicos. Todos estos símbolos son comunes siempre que hablamos de la Notación del diagrama de Venn.

Unión de conjuntos

La unión de conjuntos, denotada por ∪, es un operador lógico que podemos utilizar sobre los conjuntos. Cuando veamos este operador, debemos pensar en sustituirlo por "o". Por ejemplo, si denoto A=personas a las que les gusta el rugby y B=personas a las que les gusta el críquet, y escribo la afirmación A∪B, lo interpretaríamos como "las personas a las que les gusta el críquet o las personas a las que les gusta el rugby o las personas a las que les gustan ambas cosas". En un diagrama de Venn, si sombreara A∪B, quedaría así:

Unión de 2 conjuntos, Tom Maloy, Study Smarter Originals

Por tanto, para que un objeto esté en A∪B, tiene que estar en cualquiera de los dos conjuntos.

Intersección de conjuntos

La intersección de conjuntos es un operador lógico diferente que utilizamos en los conjuntos y se denota por ∩. Cuando veamos este operador, debemos pensar en sustituirlo por "y". Con A y B denotados como arriba, si viéramos A∩B, deberíamos interpretarlo como "Personas a las que les gusta el críquet y el rugby". En un diagrama de Venn, quedaría así:

Intersección de 2 conjuntos, Tom Maloy, Study Smarter Original

Para que un objeto esté en A∩B, tiene que estar en ambos conjuntos.

Complemento de conjuntos

El último operador lógico que debemos conocer es el complemento, en el que debemos pensar como "no". Si quisiera escribir el complemento de A, podría escribir o bien A' o bien $\overline{A}$.

De nuevo con A como arriba, interpretaríamos $\overline{A}$ como "el conjunto de personas a las que no les gusta el rugby". En un diagrama de Venn, esto se vería así:

Complemento de un conjunto, Tom Maloy, Study Smarter Originals

¿Cómo se representa la probabilidad mediante diagramas de Venn?

Como hemos dicho antes, los diagramas de Venn pueden ayudarnos a determinar probabilidades. Por ejemplo, si nos fijamos en el ejemplo 2 anterior, podríamos plantear una pregunta como "hallar la Probabilidad de que un alumno sólo estudie una de las asignaturas de matemáticas, física o química". En este caso, utilizaríamos la ecuación general de probabilidad$P(eventhappening)=\frac{timeseventhappens}{totalnumberofevents}$que nos da $\frac{11+14+6}{11+14+6+1+2+8+5+3}=\frac{31}{50}$.

Dos sucesos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo. En un diagrama de Venn, esto significaría que la intersección está vacía, y si A y B son mutuamente excluyentes, P(AB)=0.

Relaciones lógicas en un diagrama de Venn

También se nos puede pedir que sombreemos un diagrama de Venn basándonos en una relación lógica, y tenemos un método para hacerlo, como se muestra a continuación.

Supongamos que tenemos una relación lógica entre dos conjuntos, digamos A y B. (por ejemplo, A'∪B o A∩B')

Paso 1: Sombrea de un color la relación lógica sobre A.

Paso 2: Sombrea de otro color la relación lógica sobre B.

Paso3: Si los dos sucesos (A y B) están relacionados por una unión, nuestro diagrama mostrará la relación donde haya algún sombreado. Si se trata de una intersección, estaría donde haya sombreado de ambos.