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Fig. 1: ¡Incluso tu café quiere que seas feliz!
Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias con desviaciones típicas conocidas
Si sólo te interesara el precio medio del café en una ciudad, podrías hacer un intervalo de confianza para una media poblacional. En ese caso, para hacer un intervalo de confianza adecuado necesitarías que:
El tamaño de la muestra sea suficientemente grande (\(n \ge 30\)) o la distribución de la población sea aproximadamente normal.
La muestra sea aleatoria o sea razonable suponer que es representativa de la población mayor.
Si conoces la desviación típica de la población, \ (\sigma), el intervalo de confianza viene dado por
\[ \bar{x} \pm (z \text{valor crítico})\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\}].
donde \(\bar{x}\) es la media muestral.
Pero aquí tienes dos ciudades distintas y quieres comparar el precio medio del café, así que ¿cómo construyes el intervalo de confianza? Empecemos por enumerar algunas de las notaciones que se utilizan en adelante.
En primer lugar, la notación de población:
Población \(1\) | Población \(2\) | |
Población Media | \( \mu_1\) | \( \mu_2\) |
Desviación típica de la población | \(sigma 1) | \(sigma_2) |
Y ahora las muestras:
Muestra de Población \(1\\) | Muestra de la población (2) | |
Tamaño de la muestra | \(n_1\) | \(n_2\) |
Media de la muestra | \(\bar{x}_1\) | \(barra x 2) |
Desviación típica de la muestra | \(s_1\) | \(s_2\) |
Entonces, las condiciones para construir un intervalo de confianza para la diferencia de dos medias son:
Las muestras son independientes.
O el tamaño de la muestra es suficientemente grande (\(n_1 \ge 30\) y \(n_2 \ge 30\)) o la distribución de la población es aproximadamente normal.
Las muestras son aleatorias o es razonable suponer que las muestras son representativas de la población más amplia.
Estas condiciones no cambian aunque no conozcas las desviaciones típicas de la población.
Como las muestras son independientes y aleatorias, sabes que
\[ \mu_{bar{x}_1 - \bar{x}_2} = \mu_1 - \mu_2\]
y que
\[ \sigma_{x_1 - x_2} = \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{sigma_2^2}{n_2} }.\]
Entonces el intervalo de confianza para la diferencia de las dos medias poblacionales es
\[\bar{x}_1 - \bar{x}_2 \pm (z \text{ valor crítico})\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} +\frac{\sigma_2^2}{n_2} } .\]
En general, no vas a saber cuáles son las desviaciones típicas de la población, pero veamos un ejemplo que ilustra el uso de las fórmulas.
Haces una encuesta en \(40\) cafeterías de pueblos pequeños y \(49\) cafeterías de grandes ciudades, y descubres que el precio medio de una taza grande de café es \(3,75\$) y en las grandes ciudades es \(4,50\$). También sabes que la desviación típica de la población en las ciudades pequeñas es de \(1,20\), y en las grandes ciudades la desviación típica de la población de \(0,98\).
Construye un intervalo de confianza \(99\%\) para la diferencia de sus dos medias, y saca conclusiones a partir de él.
Solución:
Es útil exponer la información que tienes. Llama a la población de la ciudad pequeña \(1\) y a la población de la ciudad grande \(2\). Entonces sabrás que
\¾[ \begin{array}{lll} & n_1 = 40 & \bar{x}_1 = 3,75 & \sigma_1 = 1,20 ¾ & n_2 = 49 & \bar{x}_2 = 4,50 & \sigma_2 = 0,98 . \end{array}\]
Sabes que el valor crítico (z) para un intervalo de confianza (99%) es (2,58). Entonces calcula el intervalo de confianza para la diferencia de medias,
\(z {text}{valor crítico})\qrt{\frac{{sigma_1^2}{n_1}). +\frac{\sigma_2^2}{n_2} } \\ & \qquad = 3,75-4,50 \pm 2,58 \sqrt{\frac{(1,20)^2}{40} + frac {(0,98)^2} {49} } \\ y cuadrado = -0,75 pm 2,58 cuadrado = 0,036 + 0,0196 \\ y cuadrado = (-1,36, -0,14) .end
¿Qué puedes concluir de esto? En primer lugar, puedes concluir que el método utilizado para construir esta estimación de intervalo consigue captar la diferencia real en las medias poblacionales aproximadamente el \(99\%\) de las veces.
Y lo que es más importante, puedes concluir con un \(99\%\) de confianza que la diferencia real en el precio medio de una taza grande de café está entre \(-$1,36\$) y \(-$0,14\$). Como ambos extremos del intervalo de confianza son negativos, puedes estimar que el precio medio de una taza grande de café es entre \(\$0 ,14\) y \ (\$1,36\) más bajo en un pueblo pequeño que en una gran ciudad.
Observa que en el ejemplo anterior ambos extremos del intervalo de confianza eran negativos. ¿Qué ocurre si un extremo es negativo y el otro positivo? Eso implica que \(0\) está dentro del intervalo de confianza, por lo que, en otras palabras, sería plausible que no hubiera diferencia entre las dos medias.
Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias poblacionales independientes
Si no conoces las desviaciones típicas de la población, pero sabes que tus muestras son independientes (es decir, que la elección de un miembro de la primera población no afecta a tu elección de un miembro de la segunda población), puedes calcular el intervalo de confianza mediante la fórmula
\[\bar{x}_1 - \bar{x}_2 \pm (t \text{ valor crítico})\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + frac {s_2^2} {n_2} } ,\]
donde el grado de libertad para el valor crítico \(t\) se calcula mediante
\[df = \frac{(V_1 + V_2)^2}{\dfrac{V_1^2}{n_1-1} + \dfrac{V_2^2}{n_2-1},\]
y
\[ V_1 = \frac{s_1^2}{n_1}, \quad V_2 = \frac{s_2^2}{n_2} .\]
Ésta es la misma forma en que calcularías el grado de libertad para una prueba de dos muestras \(t\)-.
Veamos un ejemplo de aplicación de estas fórmulas y extracción de conclusiones.
Haces una encuesta en \(40\) cafeterías de pueblos pequeños y \(49\) cafeterías de grandes ciudades, y descubres que el precio medio de una taza grande de café es \(3,75\$) y en las grandes ciudades es \(4,50\$). También sabes que la desviación típica muestral en las ciudades pequeñas es \(1,00\\), y en las grandes ciudades la desviación típica muestral de \(0,70\).
Construye un intervalo de confianza \(99\%\) para la diferencia de sus dos medias, y saca conclusiones a partir de él.
Solución:
Primero hallar \(V_1\) y \(V_2\),
\[ \begin{align} V_1 &= \frac{s_1^2}{n_1} \\ &= \frac{1^2}{40} \\ &= 0,025 \end{align} \]
y
\[ \frac{1^2}{40} V_2 &= \frac{s_2^2}{n_2} \\ &= \frac{0,70^2}{49} \\ &= 0,01, \end{align} \]
así que
\df &= \frac{(V_1 + V_2)^2} {dfrac{V_1^2} {n_1-1} + \dfrac{V_2^2} {n_2-1} } \\ ¾ &= ¾frac {(0,025 + 0,01 )^2} {¾dfrac {0,025^2} {40-1} + ¾dfrac {0,01^2} {49-1} \\ &=\frac{0.001225}{\dfrac{0.000625}{39} + \dfrac {0,0001} {48} } \\ &aproximadamente 67,6 . \end{align}\]
La mayoría de las tablas \(t\)-no tendrán \(df = 68\) en ellas, sin embargo una calculadora te dará el valor \(t\)-crítico apropiado de \(2,65\).
A continuación, calcula el intervalo de confianza para la diferencia de las dos medias poblacionales,
\[\begin{align} \bar{x}_1 - \bar{x}_2 & \pm (t \text{ valor crítico})\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + frac {s_2^2} {n_2} } \\ &\quad = 3,75-4,50 \pm (2,65)\sqrt{\frac{1^2}{40} + frac{0,75^2}{49} } \\ ¾cuadrado ¾aprox -0,75 ¾pm 0,51 ¾cuadrado = (-1,26, -0,24). \end{align}\]
Por tanto, puedes concluir con \(99\%\) de confianza que la diferencia real en el precio medio de una taza grande de café está entre \(-$1,26\) y \(-$0,24\). Como ambos extremos del intervalo de confianza son negativos, puedes estimar que el precio medio de una taza grande de café es entre \(\$0 ,24\) y \ (\$1,26\) más bajo en un pueblo pequeño que en una gran ciudad.
¿En qué se diferencia el margen de error del intervalo de confianza?
Margen de error de un intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias poblacionales
En realidad, el margen de error se define como la mitad de la anchura del intervalo de confianza. Así que en el caso de la diferencia entre dos medias, cuando no conoces las desviaciones típicas de la población, el margen de error viene dado por
\[ \text{margen de error} = (t \text{valor crítico})\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} +\frac{s_2^2}{n_2} } }. \]
Por otra parte, si conoces las desviaciones típicas de la población, el margen de error es
\margen de error = (z {valor crítico}){cuadrado} {frac {sigma_1^2}{n_1}) +\frac{\sigma_2^2}{n_2} } . \]
En cualquier caso, es justo la mitad de la anchura del intervalo de confianza.
Fórmula del intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias
Ser capaz de utilizar la fórmula es, sin duda, una parte de la elaboración de un intervalo de confianza. Igual de importante es ser capaz de utilizar la información que te da la fórmula para sacar conclusiones. De hecho, ¡la mayoría de los programas estadísticos toman los datos que les das y hacen los cálculos por ti!
Al observar el intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias, pueden ocurrir tres cosas:
Ambos extremos del intervalo son negativos.
Ambos extremos del intervalo son positivos.
Uno de los extremos es negativo y el otro positivo.
Ya has visto un ejemplo de conclusión cuando ambos puntos finales son negativos, así que veamos un ejemplo de la conclusión que puedes sacar en cada uno de los otros dos casos.
Supongamos que tienes un nuevo tratamiento médico y quieres observar la media de días hasta la recuperación de las personas que reciben el tratamiento frente a las que no lo reciben. Las personas fueron asignadas aleatoriamente al grupo de tratamiento o a un grupo placebo. Define
- Población \(1\) - personas que reciben el tratamiento; y
- Población \(2\) - personas que reciben un placebo.
Supongamos que el intervalo de confianza \(90\%\) para la diferencia de las dos medias, \(\bar{x}_1 - \bar{x}_2 \) es \( (14,7, 23,1)\). ¿Qué conclusión puedes sacar sobre si el tratamiento es mejor o peor que el placebo?
Solución:
Aquí ambos puntos finales del intervalo de confianza son positivos. Esto significa que crees que \(\mu_1 - \mu_2 > 0\), o en otras palabras, que el tiempo medio de recuperación de las personas que recibieron el tratamiento médico es mayor que el tiempo medio de recuperación de las personas que recibieron el placebo, y que de hecho el tiempo de recuperación de las personas que reciben el tratamiento médico es mayor en al menos \(14\) días. Desgraciadamente, esto implicaría que el nuevo tratamiento médico no ayuda a las personas a recuperarse más rápidamente.
A continuación, el caso en que un punto final es negativo y otro positivo.
Utilicemos exactamente la misma configuración que en el ejemplo anterior. Así que
- Población \(1\) - personas que reciben el tratamiento; y
- Población \(2\) - personas que reciben un placebo.
Supongamos que el intervalo de confianza \(90\%\) para la diferencia entre las dos medias, \(\bar{x}_1 - \bar{x}_2 \) es \( (-3,4, 4,3)\). ¿Qué conclusión puedes sacar sobre si el tratamiento es mejor o peor que el placebo?
Solución:
Aquí se incluye el cero en el intervalo de confianza. Eso implica que es verosímil que \(\mu_1\) y \(\mu_2\) sean iguales. En otras palabras, es plausible que el nuevo tratamiento médico no fuera ni más ni menos eficaz que el placebo. Así que puedes decir que, aunque el nuevo tratamiento médico probablemente no ayudó, tampoco fue probablemente peor que el placebo.
Siempre es útil ver otro ejemplo.
Ejemplo de intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias poblacionales
Veamos algo que al principio podrías confundir con un problema de diferencia entre dos medias.
Es habitual que a los alumnos de una clase se les haga un examen previo, luego aprendan el material y después hagan un examen real. Esto se hace para medir (con suerte) cuánto están aprendiendo los alumnos en la clase. ¿Es éste realmente un caso en el que construirías un intervalo de confianza para la diferencia entre las dos medias poblacionales?
Solución:
Recuerda que una de las condiciones para construir un intervalo de confianza para la diferencia de dos medias es que tus muestras sean independientes. En este ejemplo, un alumno que realiza automáticamente el pre-test se incluye en el grupo que realiza el test real. Definitivamente, ¡estas muestras no son independientes!
Así que, aunque parezca una pregunta de diferencia de dos medias, en realidad tendrás que fijarte en las personas de la clase y en la diferencia de sus puntuaciones en el examen y hacer un intervalo de confianza para una media poblacional.
El hecho de que aparezca la palabra "diferencia" no implica que tengas que hacer un intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias. Se consideran muestras pareadas emparejadas, y un intervalo de confianza estándar para una media poblacional es la forma de abordar este problema.
A continuación, veamos un ejemplo en el que las muestras son independientes.
Supongamos que quieres saber si el color de la taza de café influye en la opinión de la gente sobre el sabor. Consigues \(24\) personas y las asignas aleatoriamente a uno de los dos grupos de tratamiento: una taza de café blanca o una taza de café naranja.
¿Es de algún modo mejor el café en una taza naranja?
A ambos grupos se les dio exactamente el mismo café y se les pidió que valoraran el sabor en una escala de \(0\) a \(100\). Los resultados figuran en la tabla siguiente.
| Muestra | Tamaño de la muestra | Valoración media de la calidad | Desviación típica de la muestra |
| Muestra 1: taza de café blanca | \(n_1 = 12\) | \(\bar{x}_1 = 50,35\) | \(s_1 = 20.17\) |
| Muestra 2: taza de café naranja | \(n_2 = 12\) | \(\bar{x}_2= 61,48\) | \(s_2 = 16.69\) |
¿Puedes concluir que el color de la taza influye en la valoración media de la calidad del café?
Solución:
Primero comprobemos que se cumplen todas las condiciones para construir un intervalo de confianza para la diferencia de dos medias. Sin duda, las muestras son independientes y se han seleccionado al azar, pero el tamaño de la muestra es inferior a \(30\). Eso significa que tendrás que suponer que las distribuciones de las dos calificaciones de calidad son aproximadamente normales. No es descabellado suponerlo, pero habrá que mencionarlo cuando llegues a una conclusión.
A continuación tendrás que calcular los grados de libertad. Aquí
\[ \begin{align} V_1 &= \frac{s_1^2}{n_1} |= \frac{(20,17)^2}{12} \\ y aproximadamente 33,9, fin. \]
y
\V_2 &= \frac {20,17 ^2} {12} V_2 &= \frac{s_2^2}{n_2} \\ V_2 &= \frac{(16,69)^2}{12} \\ &&aproximadamente 23,2, \end{align}\}]
así que
\df &= \frac{(33,9 + 23,2)^2} {{dfrac{(33,9)^2} {12-1} + \dfrac{(23,2)^2} {12-1} } \\ &= \frac{3260,41}{\dfrac{1149,21}{11} + \dfrac{538,23}{11} } \\ &&aproximadamente 21,25 . \end{align}\]
No se dio un nivel de confianza, pero es habitual utilizar un nivel \(95\%). Por tanto, el valor crítico \(t\) sería \(2,08\).
A continuación, construye el intervalo de confianza,
\[ \begin{align} \bar{x}_1 - \bar{x}_2 &\pm (t \text{ valor crítico})\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + frac {s_2^2} {n_2} } \\ &\quad = 50.35 - 61.49 \pm 2.08\sqrt{\frac{(20.17)^2}{12} +\frac{(16.69)^2}{12} } \\ & & &cuadrado = (-26,85, 4,67).end
Así que, suponiendo que las distribuciones de las dos valoraciones de calidad sean aproximadamente normales, puedes concluir con \(95\%\) de confianza que la diferencia real en la valoración media está entre \(-26,85\) y \(4,67\). Como el cero está en el intervalo de confianza, es plausible concluir que no hay diferencia en la valoración media de la escala de sabor entre la taza blanca y la taza naranja.
Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias - Aspectos clave
- Las condiciones para construir un intervalo de confianza para la diferencia de dos medias son:
Las muestras son independientes.
O bien el tamaño de la muestra es suficientemente grande (\(n_1 \ge 30\) y \(n_2 \ge 30\)) o bien la distribución de la población es aproximadamente normal.
Las muestras son aleatorias o es razonable suponer que las muestras son representativas de la población total.
Si conoces las desviaciones típicas de la población, la fórmula del intervalo de confianza para la diferencia de las dos medias es
\[\bar{x}_1 - \bar{x}_2 \pm (z \text{ valor crítico})\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} +\frac{\sigma_2^2}{n_2} } ,\]donde \( \bar{x}_1\) es la media de la muestra \(1\), \(\bar{x}_2\) es la media de la muestra \(2\), \(\sigma_1\) es la desviación típica de la población \(1\), y \(\sigma_2\) es la desviación típica de la población \(2\).
El grado de libertad de un intervalo de confianza para la diferencia de dos medias se calcula mediante
\[df = \frac{(V_1 + V_2)^2}{\dfrac{V_1^2}{n_1-1} + \dfrac{V_2^2}{n_2-1},\}].
donde \(n_1\) y \(n_2\) son los tamaños de las muestras, \(s_1\) y \(s_2\) son las desviaciones típicas de las muestras, y
\[ V_1 = \frac{s_1^2}{n_1}, \quad V_2 = \frac{s_2^2}{n_2} .\]
Si no conoces la desviación típica de la población, la fórmula del intervalo de confianza para la diferencia de dos medias es
\[\bar{x}_1 - \bar{x}_2 \pm (t \text{ valor crítico})\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + frac {s_2^2} {n_2} } ,\]donde \ (n_1\) y \(n_2\) son los tamaños de las muestras, \(s_1\) y \(s_2) son las desviaciones típicas de las muestras, y \(\bar{x_1}\) y \(\bar{x}_2\) son las medias muestrales.
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