Intervalos de confianza para la pendiente de un modelo de regresión

Significado del intervalo de confianza para la pendiente de una recta de regresión

A estas alturas ya sabes que cuando existe una relación lineal entre una variable \(x\) y una variable \(y\) -el coeficiente de correlación lineal \(r\) es distinto de cero-, puedes modelizarla con una regresión lineal. Esta regresión consiste en

\[\hat{y}=\beta_0+\beta_1x\]

donde:

• \(\beta_0\) es la intersección y;

• \(\beta_1\) es la pendiente de la regresión;

• \(x\) es la variable independiente; y

• \es el valor predicho de la variable dependiente.

Para recordar mejor este tema, consulta nuestro artículo Regresión por mínimos cuadrados. Recuerda que el coeficiente de correlación \(r\) te indica el grado de correlación entre las dos variables. Si \(r\) es cercano a cero, entonces hay poca o ninguna correlación entre las variables, mientras que valores de \(r\) cercanos a \(-1\) o \(1\) indican que hay una fuerte correlación entre las dos variables.

Por otro lado, la pendiente \(\beta_1\) representa cuánto cambia \( \hat{y}) ante los cambios en los valores \(x\), es decir, por cada unidad de aumento de \(x\), \(\hat{y}) aumenta \(\beta_1\) unidades.

Calculando un intervalo de confianza con un nivel de confianza alto, digamos \(c\%\), para la pendiente \(\beta_1\), obtienes dos valores que definen los límites de un intervalo de valores en el que puedes encontrar la pendiente. Puedes afirmar con \ (c\%\) seguridad que el valor de la pendiente estará entre esos dos valores.

Además, puedes afirmar que el método utilizado para construir el intervalo consigue capturar la pendiente real del modelo de regresión lineal en aproximadamente \(c\%\) de las veces.

Condiciones del intervalo de confianza para la pendiente de una recta de regresión

Las condiciones para construir un intervalo de confianza para la pendiente de una regresión lineal son las mismas que para construir una regresión lineal. Estas condiciones son:

1. Condición de variable cuantitativa: La correlación sólo se aplica si ambas variables son cuantitativas.

2. Condición suficientemente lineal: Observa el diagrama de dispersión y asegúrate de que tus datos tienen una relación aproximadamente lineal. La correlación sólo mide la fuerza de una asociación lineal. Esto también puede hacerse observando el coeficiente de correlación de los datos.

3. Independencia de las variables: Los datos deben recogerse aleatoriamente, y si se realiza un muestreo sin reemplazo, el tamaño de la muestra es menor o igual que \(10\%\) de la población total.

4. Normal: La variable independiente se distribuye normalmente.

Fórmula del intervalo de confianza para la pendiente de la recta de regresión

Como cualquier intervalo de confianza que hayas estudiado hasta ahora, un intervalo de confianza para la pendiente \(\beta_1\) de la recta de regresión por mínimos cuadrados tiene la siguiente estructura:

estadístico muestral - margen de error \(\le \beta_1\le) estadístico muestral + margen de error,

donde margen de error = valor crítico \(\times\) error estándar.

Ahora, sólo tienes que entender qué es cada uno de esos tres elementos para la pendiente \(\beta_1\):

• El estadístico muestral será \(\hat{\beta}_1\), el estimador puntual de la pendiente \(\beta_1\);

• Para el margen de error

  • esta vez el valor crítico será de una distribución \(t\) con \(n-2\) grados de libertad, es decir, \(t\) con \(df=n-2\);

  • el error típico de la pendiente, escrito \(SE_{beta_1}\), será:\[SE_{\beta_1}=\frac{s}{sqrt{\suma_{i=1}^{n}(x_i-bar{x})^2}}]donde \(s) es la desviación típica de la muestra calculada como:\[s={sqrt{\frac{\suma_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2}{n-2}}\}].

Así, la fórmula para un intervalo de confianza para la pendiente \(\beta_1\) es:

\hat{\beta}_1- t\cdot SE_{\beta_1}le \hat{\beta}_1+ t\cdot SE_{\beta_1}le \hat{\beta}_1+ t\cdot SE_{\beta_1}].

o una versión aún más corta

\hat{\beta}_1\pm t\cdot SE_{\beta_1}].

Este intervalo de confianza sirve para cualquier nivel de confianza, pero los niveles de confianza que verás con más frecuencia son \(90\%\), \(95\%\) y \(99\%\). Estos son los valores que debes considerar al calcular el valor crítico \(t\).

Cálculos del intervalo de confianza para la pendiente de la recta de regresión

Por lo que has leído hasta ahora, la fórmula del intervalo de confianza para la pendiente sugiere una serie de pasos que debes seguir cuando quieras hallarla.

Paso 1: Halla la estadística muestral \(\hat{\beta}_1\).

Obtienes el valor del estimador puntual \(\hat{\beta}_1\) construyendo la recta de regresión para el conjunto de datos con el que trabajas.

Paso 2: Selecciona un nivel de confianza \(c\%\).

El nivel de confianza describe la incertidumbre de un método de muestreo. Lo más frecuente es que te pidan un nivel de confianza de \(90\%\), \(95\%\) o \(99\%\).

La finalidad de conocer el nivel de confianza es poder hallar el valor crítico \(t\), consultando una tabla \(t\), con dos datos

1. los grados de libertad, dados por:\text{tamaño de la muestra } -2 = n-2\]donde \(n\) es el tamaño de la muestra; y

2. el nivel de confianza ajustado a la tabla que estés utilizando.

Paso 3: Halla el margen de error \(t\cdot SE_{\beta_1}\).

Como ya sabes, el margen de error es el producto del valor crítico \(t\) por el valor del error típico. La fórmula del error típico es

\[SE_{\beta_1}=\frac{s}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}}\]

donde \(s\) es la desviación típica de la muestra.

Paso 4: Halla el intervalo de confianza.

Aquí sólo tienes que sustituir en la fórmula los valores que has obtenido en el paso anterior:

\[\hat{\beta}_1\pm t\cdot SE_{\beta_1}\\}].

Veamos un ejemplo en el que puedes aplicar los pasos a mano.

Ejemplo de intervalo de confianza para la pendiente de una recta de regresión

Veamos un ejemplo de realización de los cálculos necesarios para hallar el intervalo de confianza de la pendiente de una recta de regresión.