Dominio y rango de funciones

Definición de función

Empecemos por recordar qué es una función.

En tus libros de matemáticas verás continuamente la expresión \(f(x)\); esta expresión se usa para definir lo que es una función matemática. La letra \(x\) es la variable independiente de la función y \(y\) es la variable dependiente, puesto que su valor depende del valor de \(x\).

Cómo definir una función

Ya sabemos lo que es una función; pero, ¿cómo expresamos una? Pues, hay varias maneras de conseguirlo; te explicaremos cuatro de ellas:

• Podemos expresar una función a partir de un enunciado en el que, a través de palabras, explicamos la relación entre los dos conjuntos \(X\) y \(Y\). Por ejemplo: el precio de los tomates es de 1,5 €/kg. Con esta relación podemos calcular el precio de tantos kilos de tomate, como queramos.

• Otra manera para definir una función es a través de una tabla de datos. La tabla puede tener dos columnas en las que en una ponemos: los datos del conjunto \(X\) y el correspondiente valor del conjunto \(Y\). Como ejemplo, observa la tabla 1. En ella vemos cómo se relaciona el año con el número de habitantes en una cuidad.

Tabla 1. Función, a través de una tabla de datos, que relaciona el año con el número de habitante de una ciudad.

• También, podemos definir una función a través de una gráfica. Una gráfica es una representación en la que los puntos de una línea están asociados a dos valores o coordenadas: \(x\) y \(y\). Un punto que pertenece a la gráfica que tiene coordenadas \((a,b)\) cumple \(f(a)=b\).

• Sin embargo, la manera más habitual de definir una función es a través de una expresión matemática o fórmula.

  Esta es la forma en la que verás definida la mayoría de las funciones que estudies.

Si quieres saber más acerca de este punto, lee nuestro artículo Funciones.

Dominio de una función

Por tanto, el dominio son todos los valores que se pueden introducir en una función.

El dominio también se indica entre paréntesis o corchetes:

• Un paréntesis indica que el dominio no toma los valores extremos, sino los valores entre ellos.

• Los corchetes indican que la función toma los valores extremos.

Recorrido de una función

Por tanto, el recorrido de una función son todos los valores que la función devuelve después de haber introducido todos los valores del dominio. Si observas bien, esto no significa que el dominio y el recorrido son el mismo conjunto de números. Es más, normalmente no coincidirán.

Hagamos un ejercicio al respecto:.

Dominio de funciones elementales

Hay muchas funciones elementales en cálculo y análisis; mencionaremos algunas de estas y sus correspondientes dominios.

Dominio de polinomios

En general, las funciones polinómicas, como no tienen ninguna operación más que sumas y restas de polinomios, no tienen ninguna discontinuidad. De acuerdo con esto, su dominio es \(D(f)=\mathbb R\).

Dominio de funciones racionales

Tal como vimos en uno de los ejemplos anteriores, en las funciones en las que hay un cociente de funciones polinómicas, los problemas en el dominio se dan cuando el denominador es igual a \(0\). Por tanto, el dominio de estas funciones son todos los reales menos los valores del denominador que hacen que este sea igual a \(0\).

Dominio de funciones radicales

• Las funciones con radicales que tienen un índice de raíz impar pueden tomar valores en toda la recta real; es decir, su dominio es todo \(\mathbb R\).

• Para las funciones radicales cuyo índice es par, el radicando solo puede ser un número positivo, puesto que no se puede calcular la raíz par de un número negativo. Dicho esto, el dominio de estas funciones es el intervalo de valores que hacen que este radicando sea mayor de \(0\).