Si te decimos que sumes uno a los números del uno al diez, sabes sus resultados, ¿no es así? Podríamos preguntarte ¿cuáles son los números a los cuales le sumamos una unidad? y tu respuesta sería del uno al diez. Después, si te preguntamos ¿cuáles son los resultados?, tu respuesta sería del \(2\) al \(11\).
De acuerdo con esto podrás observar que hay una diferencia entre:
- Los números sobre los cuales se opera o los números a los cuales les sumamos uno.
- Los números que son el resultado de la suma.
En análisis, estos números pertenecen a dos grupos distintos; aunque ambos son números reales, un grupo es el resultado de la operación y el otro abarca los números a los cuales haces la operación.
La operación puede ser llamada función; el resultado, rango; y los números sobre los cuales opera, el dominio.
Pero, expliquemos con un más profundidad qué es cada cosa.
Definición de función
Empecemos por recordar qué es una función.
Una función es una relación matemática que asigna a cada elemento \(x\) de un conjunto \(X\) un elemento \(y\) de un conjunto \(Y\).
El elemento \(y\) correspondiente a cada elemento \(x\) se denomina imagen \(x\) y se representa como \(y=f(x)\).
En tus libros de matemáticas verás continuamente la expresión \(f(x)\); esta expresión se usa para definir lo que es una función matemática. La letra \(x\) es la variable independiente de la función y \(y\) es la variable dependiente, puesto que su valor depende del valor de \(x\).
Cómo definir una función
Ya sabemos lo que es una función; pero, ¿cómo expresamos una? Pues, hay varias maneras de conseguirlo; te explicaremos cuatro de ellas:
Podemos expresar una función a partir de un enunciado en el que, a través de palabras, explicamos la relación entre los dos conjuntos \(X\) y \(Y\). Por ejemplo: el precio de los tomates es de 1,5 €/kg. Con esta relación podemos calcular el precio de tantos kilos de tomate, como queramos.
Otra manera para definir una función es a través de una tabla de datos. La tabla puede tener dos columnas en las que en una ponemos: los datos del conjunto \(X\) y el correspondiente valor del conjunto \(Y\). Como ejemplo, observa la tabla 1. En ella vemos cómo se relaciona el año con el número de habitantes en una cuidad.
Año | Número de habitantes |
2000 | 1.000 |
2002 | 1.500 |
2004 | 2.000 |
2006 | 2.500 |
2008 | 3.000 |
Tabla 1. Función, a través de una tabla de datos, que relaciona el año con el número de habitante de una ciudad.
También, podemos definir una función a través de una gráfica. Una gráfica es una representación en la que los puntos de una línea están asociados a dos valores o coordenadas: \(x\) y \(y\). Un punto que pertenece a la gráfica que tiene coordenadas \((a,b)\) cumple \(f(a)=b\).
Sin embargo, la manera más habitual de definir una función es a través de una expresión matemática o fórmula.
Esta es la forma en la que verás definida la mayoría de las funciones que estudies.
Si quieres saber más acerca de este punto, lee nuestro artículo Funciones.
Dominio de una función
El conjunto \(X\) del cual se toman los valores \(x\) que se introducen en la función recibe el nombre de dominio de la función —\(D(f)\)—.
Por tanto, el dominio son todos los valores que se pueden introducir en una función.
Por ejemplo, si tenemos una función definida como \(f(x)=\ln(x)\), esta función \(x\) no puede tomar cualquier valor: solo puede tomar valores positivos, sin incluir el cero.
Por tanto, el dominio de esta función sería \(D(f)=(0,\infty)\).
El dominio también se indica entre paréntesis o corchetes:
Un paréntesis indica que el dominio no toma los valores extremos, sino los valores entre ellos.
Los corchetes indican que la función toma los valores extremos.
Calcula el dominio de la función \(f(x)=3x-2\).
Solución
Sabemos que el dominio es el conjunto de todos los valores que pueden introducirse en una función. Por tanto, normalmente es más fácil determinar cuáles puntos son los que no se pueden introducir en la función y restárselos al conjunto de todos los demás números —en este caso, el conjunto de \(\mathbb R\)—.
En la función \(f(x)=3x-2\) podemos ver fácilmente que no hay ningún número real que no pueda introducirse en la función; es decir, que todos los números reales se pueden meter en la función y que esta proporcione un resultado. Por tanto, \(D(f)=\mathbb R\).
Calcula el dominio de la función \(f(x)=\dfrac{x}{x-1}\).
Solución
Como vimos, es más fácil determinar en qué puntos la función no puede tomar valores. Si observamos esta función, vemos que hay un denominador.
Ya sabemos que el único número que no puede estar en un denominador es el \(0\), puesto que no es posible dividir nada entre \(0\). Por tanto, igualamos el denominador a \(0\) para determinar si hay algún valor de \(x\) que haga que este denominador sea nulo:
\[x-1=0\]
\[x=1\]
Entonces, para \(x=1\) el denominador se anula y la función no puede calcularse. Este valor no pertenece al dominio de la función.
Finalmente, el dominio de la función es \(D(f)=\mathbb R -\{1\}\).
Recorrido de una función
El conjunto \(Y\), formado por todas las imágenes \(y\) de los elementos de \(X\), se llama recorrido de la función —\(R(f)\)—. El recorrido también recibe el nombre de imagen o rango.
Por tanto, el recorrido de una función son todos los valores que la función devuelve después de haber introducido todos los valores del dominio. Si observas bien, esto no significa que el dominio y el recorrido son el mismo conjunto de números. Es más, normalmente no coincidirán.
Hagamos un ejercicio al respecto:.
Calcula el dominio y el recorrido de la función \(f(x)=e^x\).
Solución
Como anteriormente, para calcular el dominio nos fijamos en los puntos en los que la función podría tener algún problema. Como es una exponencial, sabemos que podemos hacer la exponencial de cualquier número: negativos, positivos, racionales, el cero; no hay ningún problema. Por tanto, el dominio de la función es \(D(f)=\mathbb R\).
Ahora, vamos a determinar el recorrido. Sabemos que el recorrido son todos los valores que puede tomar la función después de introducir todos los valores del dominio; que, en este caso, son todos los números reales. Como es una exponencial, vemos que si introducimos números negativos, el resultado es un número positivo; pequeño, pero positivo. Si metemos el cero, la exponencial da como resultado un \(1\). Si metemos números positivos en la exponencial, obtenemos números positivos más grandes.
Con esto vemos, que solo obtenemos números positivos por encima del cero: ni siquiera llegamos nunca a obtener el cero en una exponencial. Entonces, el recorrido de la función es \(R(f)=(0,\infty)\).
El recorrido de una función también puede ser discontinuo, pero esto lo podrás ver explicado en nuestro artículo sobre discontinuidades y, también, en el de límites.
Dominio de funciones elementales
Hay muchas funciones elementales en cálculo y análisis; mencionaremos algunas de estas y sus correspondientes dominios.
Dominio de polinomios
En general, las funciones polinómicas, como no tienen ninguna operación más que sumas y restas de polinomios, no tienen ninguna discontinuidad. De acuerdo con esto, su dominio es \(D(f)=\mathbb R\).
Dominio de funciones racionales
Tal como vimos en uno de los ejemplos anteriores, en las funciones en las que hay un cociente de funciones polinómicas, los problemas en el dominio se dan cuando el denominador es igual a \(0\). Por tanto, el dominio de estas funciones son todos los reales menos los valores del denominador que hacen que este sea igual a \(0\).
Dominio de funciones radicales
Para las funciones radicales cuyo índice es par, el radicando solo puede ser un número positivo, puesto que no se puede calcular la raíz par de un número negativo. Dicho esto, el dominio de estas funciones es el intervalo de valores que hacen que este radicando sea mayor de \(0\).
Dominio y rango de funciones - Puntos clave
- Una función es una relación matemática entre dos conjuntos de números: uno de ellos es el grupo sobre el cual se opera y el otro es su resultado.
- El conjunto \(X\) del cual se toman los valores \(x\) que se introducen en la función recibe el nombre de dominio de la función, \(D(f)\).
- El conjunto \(Y\) formado por todas las imágenes \(y\) de los elementos de \(X\) se llama recorrido de la función, \(R(f)\). El recorrido también recibe el nombre de imagen o rango.
- El dominio de las funciones se determina observando el punto o puntos en los que la función da problemas; por ejemplo: un denominador no puede ser cero.
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