Modelo de Black-Scholes

Origen del modelo Black-Scholes

¿Te preguntarás cómo surgió exactamente el Modelo Black-Scholes? Black y Scholes presentaron su modelo en un artículo titulado "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", publicado en el Journal of Political Economy. Desde entonces, el Modelo Black-Scholes se ha utilizado ampliamente en el comercio de opciones.

Por qué utilizar el Modelo Black-Scholes de valoración de opciones

El Modelo Black-Scholes puede aplicarse para calcular el precio teórico de las opciones de compra y venta europeas, sin tener en cuenta los dividendos pagados durante la vida de la opción. Un uso típico del Modelo Black-Scholes es evaluar opciones en mercados relacionados con el dinero. Este modelo, sin duda, tiene ventaja sobre otros enfoques. He aquí algunas razones por las que deberías utilizar el Modelo Black-Scholes:

• Sus supuestos sobre el comportamiento del mercado han sido considerados plausibles por numerosos estudios.
• Es bastante sencillo de calcular, lo que resulta beneficioso para las decisiones financieras sensibles al tiempo.
• El modelo tiene en cuenta varios factores que afectan al precio de las opciones, como el precio de las acciones, el precio de ejercicio, la fecha de vencimiento, la volatilidad y los tipos de interés sin riesgo.

Interpretación de los resultados del modelo Black-Scholes

Ya has utilizado el Modelo Black-Scholes. Ahora, ¿cómo interpretas los resultados? Siguiendo el modelo, el valor de la opción suele expresarse mediante esta fórmula: \[ C = S_0e^{-qt}N(d_1) - Xe^{-rt}N(d_2) \]. Una vez que introduzcas los números y completes el cálculo utilizando esta fórmula, obtendrás un valor. Este valor puede interpretarse como el valor razonable teórico de la opción en función de los datos utilizados. Si el precio de mercado actual de la opción es superior a este valor, podrías concluir que la opción está sobrevalorada, y viceversa. Recuerda que, aunque este modelo proporciona un valor teórico, los precios reales de mercado pueden variar en función de otros factores, como el sentimiento del mercado, que el modelo no tiene en cuenta.

Supuestos del Modelo Black Scholes

El Modelo Black-Scholes se basa en varios supuestos para agilizar el proceso de fijación del precio de las opciones. Aunque la comodidad es su punto fuerte, es importante recordar que estos supuestos pueden no ser ciertos en todos los mercados o situaciones. Los principales supuestos del Modelo Black-Scholes abarcan el tipo sin riesgo, la volatilidad y la distribución normal.

Suposición de la tasa sin riesgo en el modelo Black-Scholes

En el núcleo del Modelo Black-Scholes se encuentra el concepto de tasa libre de riesgo. La tasa libre de riesgo es una tasa hipotética de rendimiento que se espera de una inversión sin riesgo. En el Modelo Black-Scholes, se supone que el tipo sin riesgo es constante y conocido durante toda la vida de la opción. Esta suposición simplifica el modelo, ya que elimina la necesidad de predecir los tipos de interés futuros. Sin embargo, como puedes imaginar, esto rara vez ocurre en la realidad. Los tipos de interés fluctúan, y predecirlos es una tarea notoriamente difícil. La fórmula del Modelo Black-Scholes, como ya se ha señalado, es: \[ C = S_0e^{-qt}N(d_1) - Xe^{-rt}N(d_2) \] En esta fórmula, \( r \) representa el tipo sin riesgo. Como tal, el tipo sin riesgo influye directamente en el precio de la opción, afectando al tipo de descuento utilizado.

Suposición de volatilidad en el Modelo Black-Scholes

El Modelo Black-Scholes también hace una suposición sobre la volatilidad. El modelo supone que la volatilidad del activo subyacente es constante y conocida durante toda la vida de la opción. La volatilidad, tal como la asume el modelo, se refiere a la desviación típica de los rendimientos del activo. Esto puede causar una discrepancia entre las estimaciones del modelo y los precios reales, porque la volatilidad tiende a cambiar con el tiempo. La volatilidad es notoriamente difícil de estimar y esta suposición suele dar lugar a errores en la fijación de precios.

Suposición de distribución normal

A continuación está el supuesto de la distribución lognormal de los precios de los activos. El Modelo Black-Scholes funciona bajo el supuesto de que los rendimientos del activo subyacente se distribuyen normalmente. Pero los rendimientos de los activos en el mundo real presentan asimetría y curtosis, es decir, los rendimientos no siempre son simétricos y pueden apartarse de la distribución normal en forma de campana. Debes recordar que los modelos se basan en supuestos simplificadores para hacerlos manejables: la precisión perfecta en la modelización de mercados financieros complejos es casi imposible, y el modelo Black-Scholes no es una excepción.

Limitaciones del modelo Black-Scholes

Aunque el Modelo Black-Scholes se utiliza mucho y es muy respetado, no es una herramienta perfecta. Como cualquier modelo, tiene limitaciones y detractores. Algunas de las principales limitaciones proceden de las propias suposiciones del modelo, en particular sobre los tipos sin riesgo, la volatilidad y la distribución normal. Comprender estas limitaciones puede guiarte para saber cuándo el modelo proporciona información valiosa y cuándo puede quedarse corto.

Inconvenientes de los supuestos del modelo Black-Scholes

A pesar de la amplia aplicación del Modelo Black-Scholes y de su profunda influencia en el campo de la economía financiera, sus limitaciones surgen de sus supuestos, que a menudo están reñidos con la realidad. Un supuesto clave del Modelo Black-Scholes es que los mercados son perfectamente eficientes y que no existen oportunidades de arbitraje. En otras palabras, supone que los mercados siempre están perfectamente equilibrados, y que los valores siempre tienen un precio correcto. Pero en realidad, los mercados no siempre son eficientes y de vez en cuando se presentan oportunidades de arbitraje. Otro supuesto importante es el de los dividendos. El Modelo Black-Scholes original supone que la acción subyacente no paga dividendos. Sin embargo, muchas acciones pagan dividendos por naturaleza, algo que el modelo no tenía en cuenta inicialmente. Más concretamente, los supuestos relacionados con los tipos sin riesgo y la volatilidad también plantean problemas:

• Tasa Libre de Riesgo Constante: El Modelo Black-Scholes supone la existencia y el conocimiento de una tasa libre de riesgo, que se utiliza a efectos de descuento. Sin embargo, el tipo sin riesgo no es constante en la realidad. Puede cambiar en función de infinidad de factores, como la política monetaria y las expectativas de inflación. Por tanto, la suposición de un tipo sin riesgo constante suele ser inexacta.
• Volatilidad constante: La suposición de una volatilidad constante suele incumplirse en los escenarios del mundo real. La volatilidad tiende a cambiar con el tiempo y con frecuencia está sujeta a "agrupaciones de volatilidad": a periodos de alta volatilidad suelen seguir periodos de alta volatilidad, y a periodos de baja volatilidad, periodos de baja volatilidad.

Estos supuestos simplifican la realidad para que el modelo sea teórica y computacionalmente manejable. Sin embargo, también limitan la precisión del modelo en determinados escenarios de mercado.

Limitaciones del modelo Black-Scholes Distribución normal

Un supuesto crucial y a menudo criticado del Modelo Black-Scholes es que supone una distribución log-normal de los precios de los activos. Esto sugiere que los precios de los activos tienden tanto a subir como a bajar con la misma probabilidad. El modelo supone que los rendimientos de los activos subyacentes se distribuyen normalmente. En consecuencia, los acontecimientos "extremos" o valores atípicos se consideran improbables. Sin embargo, en la práctica, los mercados financieros han demostrado que pueden producirse variaciones extremas de los precios, y más de lo que sugeriría una distribución normal. La realidad no está de acuerdo. Las observaciones empíricas de los rendimientos de los activos a menudo muestran asimetría y exceso de curtosis, lo que significa que los rendimientos pueden ser asimétricos y mostrar resultados más extremos de lo previsto según una distribución normal. Esta limitación se hizo especialmente visible en periodos de crisis financiera, cuando se produjeron acontecimientos extremos con más frecuencia de lo que el modelo podría predecir. Como consecuencia de estas limitaciones, el Modelo Black-Scholes, por muy útil que sea, debe aplicarse con precaución y conociendo bien sus supuestos y limitaciones inherentes. Por esta razón, con el tiempo han surgido múltiples variaciones del Modelo Black-Scholes clásico, que intentan abordar estos supuestos problemáticos y proporcionar una herramienta de fijación de precios más precisa para las opciones en un mercado complejo y volátil. Una de esas variaciones es el Modelo Black-Scholes-Merton, que prevé la fijación del precio de las opciones que pagan dividendos.

Ejemplo del Modelo Black-Scholes

Ha llegado el momento de ver el Modelo Black-Scholes en acción. Mediante un ejemplo práctico, podrás comprender mejor el papel que desempeñan los supuestos en el modelo y cómo se realizan los cálculos. Considera un ejemplo en el que se dispone de toda la información relevante sobre una opción y su acción correspondiente.

Modelo de Black Scholes - Un ejemplo resuelto

Tomemos una situación hipotética para una opción de compra sobre una acción que no paga dividendos. Haremos los cálculos del Modelo Black-Scholes utilizando estos datos:

• Precio de la acción, \( S_0 = 1000 £ \)
• Precio de ejercicio, \( X = 100 £ \)
• Tiempo hasta el vencimiento, \( T = 6 \) meses o 0,5 años
• Tipo sin riesgo, \( r = 5\% \)
• Volatilidad, \( \sigma = 20\% \)

En primer lugar, calculemos \( d_1 \). \[ d_1 = \frac{ln(\frac{S_0}{X}) + (r + \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}} \} Inserta los valores dados, y esto nos da: \[ d_1 = \frac{ln(\frac{1000}{100}) + (0.05 + \frac{(0,2)^2}{2})0,5} {0,2qrt{0,5}}. \aprox 2,0494 \] A continuación, calculamos \( d_2 \): \[ d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T} \] Sustituye los valores: \[ d_2 = 2,0494 - 0,2\sqrt{0,5} \approx 1.8494 \] Una vez que tenemos \( d_1 \) y \( d_2 \), podemos hallar el valor de la opción de compra mediante la fórmula de Black-Scholes: \[ C = S_0N(d_1) - Xe^{-rT}N(d_2) \] Suponiendo que \( N(d_1) \approx 0.98 \) y \( N(d_2) \aprox 0,97 \) de las Tablas Normales Estándar, \[ C = 1000 \times 0,98 - 100 \times e^{-0,05 \times 0,5} \times 0,97 \approx £920,5 \] Por tanto, según el Modelo Black-Scholes, el valor estimado de la opción de compra es de aproximadamente £920,5.

De los supuestos a los cálculos: un ejemplo

Para ilustrar cómo se aplican en la práctica los supuestos del Modelo Black-Scholes, volvamos a nuestro ejemplo de una opción de compra de una acción que no paga dividendos. Los parámetros de la opción son los mismos: un precio de la acción de 1000€, un precio de ejercicio de 100€, 6 meses hasta el vencimiento, un tipo sin riesgo del 5% y una volatilidad del 20%. El supuesto de eficiencia del mercado del Modelo Black-Scholes implica que el precio actual de la acción de 1000 £ refleja plenamente toda la información pública disponible. Por tanto, no hay posibilidad de comprar la acción por menos de su valor justo de mercado ni de venderla por más. La suposición de un tipo sin riesgo constante simplifica nuestros cálculos. Utilizamos un tipo sin riesgo del 5%. En la práctica, el tipo sin riesgo puede fluctuar durante la vida de la opción, pero para nuestro propósito, se mantiene constante. La suposición de una volatilidad constante en el Modelo Black-Scholes nos permite utilizar una volatilidad del 20% durante toda la vida de la opción. Del mismo modo, en un mercado real, la volatilidad podría fluctuar. Por último, suponemos una distribución lognormal del precio de las acciones. Esto implica el supuesto básico de que el precio de la acción subyacente puede subir teóricamente hasta el infinito, mientras que no puede caer por debajo de cero. Con estos supuestos, puedes entender cómo se reflejan en los cálculos del Modelo de Black-Scholes, tal como se ha ilustrado en el ejemplo anterior. Recuerda que el precio calculado de la opción de compra (920,5€) se basa en estos supuestos, y cualquier desviación en el escenario de mercado respecto a estos supuestos puede afectar al precio real de la opción.

Usos del Modelo Black Scholes

El Modelo Black-Scholes, debido a su estructura simple y a su trazabilidad analítica, ha recibido una amplia aceptación y sigue siendo una herramienta fundamental en finanzas. Su valor se deriva especialmente de su capacidad para calcular el precio exacto de una opción antes de que llegue a su fecha de vencimiento. Pero ése no es el alcance de sus aplicaciones. El Modelo Black-Scholes tiene muchos usos que van más allá de su propósito original. Profundicemos en cómo se utiliza en la práctica en los mercados financieros y cómo puede ayudar en la planificación financiera.

Aplicaciones prácticas del Modelo Black-Scholes

Uno podría preguntarse cómo podría utilizarse un modelo teórico como el Modelo Black-Scholes en escenarios del mundo real. En realidad, las aplicaciones prácticas del modelo son amplias. Pero además de esta función básica, el modelo también se aplica en áreas como las estrategias de negociación, las regulaciones financieras y la gestión del riesgo:

• Estrategias de negociación: Los operadores de opciones también utilizan el Modelo Black-Scholes para comprender mejor las decisiones de negociación. Pueden utilizar el modelo para identificar las opciones que tienen un precio demasiado alto o demasiado bajo en el mercado. Estas discrepancias ofrecen oportunidades de negociación, especialmente para el arbitraje.
• Regulaciones financieras: Las autoridades reguladoras utilizan el Modelo Black-Scholes para calcular el precio justo de las opciones. Esto forma parte de sus actividades de supervisión y ayuda a garantizar que los mercados sean justos y transparentes.
• Gestión de riesgos: Los bancos y otras instituciones financieras utilizan el Modelo Black-Scholes para gestionar el riesgo. Les ayuda a comprender la sensibilidad del precio de las opciones a diversos factores: el precio del activo subyacente, el tiempo hasta el vencimiento, los tipos de interés y la volatilidad. Esta información ayuda a estructurar una estrategia de mitigación del riesgo.

Pero recuerda: aunque el Modelo Black-Scholes puede ser una herramienta eficaz en la valoración de opciones y la gestión del riesgo, no está exento de limitaciones. Sus supuestos subyacentes pueden no ser siempre ciertos en las condiciones reales del mercado, lo que puede dar lugar a imprecisiones en la valoración de las opciones. Por lo tanto, cualquier aplicación del modelo debe hacerse con precaución.

El modelo Black-Scholes: una herramienta para la planificación financiera

Más allá de las aplicaciones prácticas en los mercados financieros, puede que te preguntes cómo afecta este modelo financiero a los particulares y a su planificación financiera. Aunque al principio pueda parecer extraño, el Modelo Black-Scholes tiene usos en la planificación financiera personal. Veamos un ejemplo. Supongamos que tienes opciones sobre acciones en la empresa para la que trabajas. Estas opciones sobre acciones te dan derecho a comprar acciones de la empresa a un precio predeterminado en el futuro. El modelo Black-Scholes puede utilizarse para estimar el valor actual de estas opciones. El modelo también puede utilizarse para medir el riesgo potencial de una cartera financiera que contenga opciones. Al determinar la capacidad de respuesta de los precios de las opciones a los cambios en el precio del activo subyacente, el tiempo hasta el vencimiento, los tipos de interés y la volatilidad, puedes comprender mejor el perfil de riesgo de tu cartera. Esta información puede orientar las decisiones sobre si mantener o vender las opciones, ayudando potencialmente a optimizar los rendimientos y gestionar el riesgo. Además, el Modelo Black-Scholes también puede aplicarse en otros aspectos de la planificación financiera, como la estrategia de inversión y la toma de decisiones, la planificación de la jubilación, la planificación del patrimonio, etc. De nuevo, se recomienda precaución al utilizar el Modelo Black-Scholes para estas aplicaciones. Los supuestos del modelo no siempre se cumplen en el mundo real, y tener en cuenta esta discrepancia es importante al aplicar el modelo a la planificación financiera personal. Sin embargo, cuando se utiliza correctamente y con comprensión, el Modelo Black-Scholes puede ser realmente una herramienta valiosa para la planificación financiera y la toma de decisiones.