El 14 de octubre de 2012, Felix Baumgartner, un paracaidista austriaco, saltó desde una altura de 39.068 metros sobre la superficie de la Tierra. Su objetivo era convertirse en el primer paracaidista en caer a una velocidad superior a la del sonido. Tuvo que saltar desde una altura tan grande porque la ley de gravitación de Newton no es válida en la atmósfera terrestre: hay que tener en cuenta la contribución de la fricción del aire.
Si no hubiera rozamiento del aire, la aceleración causada por el campo gravitatorio de la Tierra aumentaría continuamente la velocidad de los objetos que caen. Sin embargo, cuando aparece una fuerza que se resiste al movimiento de los objetos, existe una velocidad máxima que los objetos pueden alcanzar, dadas sus condiciones iniciales; esta es conocida como velocidad terminal.
- Primero veremos qué es la velocidad terminal y cuando se da.
- Después estudiaremos la fórmula de la velocidad terminal y cómo se obtiene.
- A continuación, hablaremos de consideraciones energéticas y la fuerza de arrastre, una de las fuerzas responsables de esta velocidad.
- Finalmente, veremos algunos ejemplos de velocidad terminal para que te familiarices con esta magnitud.
¿Qué es la velocidad terminal?
La velocidad terminal es la velocidad máxima que puede alcanzar un objeto que se mueve a través de un medio que se opone a su movimiento; es decir, un medio que dispersa parte de la energía cinética del cuerpo en movimiento.
Fig. 1: Un objeto que se suelta inicialmente va desacelerando hasta que ambas fuerzas (gravitatoria y la fricción o resistencia) se igualan y su aceleración es \(0\), alcanzando así su velocidad terminal.
En muchos casos, encontramos que la velocidad terminal no tiene por qué ser un vector, porque la dirección del movimiento es fija (o conocida) y solo nos importa la magnitud de la velocidad. Por ejemplo, cuando consideramos la velocidad terminal de un objeto que cae hacia la Tierra afectada por el rozamiento del aire, sabemos que la dirección del movimiento es radial hacia el centro de la Tierra y, por tanto, no necesitamos especificarla.
El adjetivo terminal indica que la velocidad es la máxima que pueden alcanzar los objetos, pero no significa que los objetos vayan a alcanzar siempre ese valor. Que lo hagan depende de las propiedades del sistema y de las condiciones iniciales del objeto. Además, aunque pensemos que los objetos que se mueven en un medio disipativo aumentarán su velocidad y se aproximarán lentamente al valor terminal, también pueden empezar con una velocidad mayor que la terminal, en cuyo caso la alcanzarán disminuyendo progresivamente.
¿Cuál es la fórmula de la velocidad terminal?
La fórmula de la velocidad terminal que utilizamos generalmente es la siguiente:
\[v_t=\sqrt{\dfrac{2mg}{\rho\cdot A\cdot C_D}},\]
donde
\(v_t\) es la velocidad terminal del objeto en movimiento
\(\rho\) es la densidad del fluido
\(C_D\) un número llamado coeficiente de arrastre
\(A\) el área del cuerpo que es perpendicular a la dirección del movimiento.
Igualmente, la velocidad terminal es una cantidad asintótica que no puede calcularse de forma sencilla, porque depende fundamentalmente de los detalles de la dinámica de cada caso. Podemos intentar dar aproximaciones cinemáticas y energéticas, que pueden aplicarse a algunas situaciones; pero, normalmente, necesitamos la aportación de la dinámica (la evolución del sistema a todo tiempo). ¡Veamos cómo podemos encontrar esta fórmula!
Derivación cinemática
En primer lugar, consideremos una determinada fuerza que genera la dinámica en un sistema. Podríamos considerar combinaciones complejas de fuerzas, pero aquí nos limitaremos al caso en el que tenemos una fuerza total resultante:
\[\vec{F_T}=\sum_i \vec{F_i}\]
Aquí, \(F_T\) es la fuerza total, mientras que \(F_i\) son todas las fuerzas que actúan sumadas como vectores.
La fuerza resultante, en el caso de los objetos que caen hacia la Tierra en condiciones ideales, es la fuerza gravitatoria.
Consideremos ahora lo que se suele conocer como fuerza de arrastre, que no es otra cosa que la fuerza resultante que recoge las propiedades disipativas del medio. Como esta fuerza disipa energía, pues se alimenta de la energía cinética de los cuerpos, se opone a su movimiento, disminuyendo su velocidad.
La clave para entender cómo calcular la velocidad terminal reside en la primera ley del movimiento de Newton.
La primera ley del movimiento de Newton, que es válida para todos los sistemas físicos, establece que el movimiento de un objeto no se ve afectado si no hay una fuerza total que actúe sobre él. Si el objeto no se moviera, permanecería quieto, mientras que si se moviera, seguiría haciéndolo a velocidad constante.
Matemáticamente, esto equivale a igualar la fuerza total que actúa sobre el cuerpo y la fuerza de arrastre, lo que nos permite resolver un valor de la velocidad concreto. Es decir:
\[\vec{F_T}=\vec{F}_{\text{arrastre}}\]
Para resolver esta ecuación, necesitaremos generalmente resolver la dinámica (evolución a todo tiempo) de forma exacta. En el último apartado veremos algunos ejemplos de cálculos explícitos.
Consideraciones energéticas de la velocidad terminal
Podemos deducir de la primera ley de Newton que cuando la fuerza total es igual a cero se alcanza una velocidad terminal. Esta es una situación que solo se puede dar cuando tenemos fuerzas que generan el movimiento y fuerzas que se oponen a él (fuerza de arrastre); a no ser que haya fuerzas que decaen en el tiempo o el espacio. Aunque la idea que subyace a la primera ley de Newton es intuitiva y lógica (un sistema no afectado no cambia), intentaremos derivar el concepto de velocidad final, a partir de consideraciones puramente energéticas.
Un medio disipativo es un medio que dispersa la energía del cuerpo, al reducir su velocidad y disminuir así su energía cinética.
Si una fuerza genera un movimiento, un objeto bajo su influencia se acelerará continuamente y, teóricamente, alcanzará una velocidad infinita en un tiempo infinito. Sin embargo, en un medio disipativo, esto no puede ocurrir porque hay una pérdida de energía hacia el medio que impide que la energía cinética supere un determinado valor, si la pérdida es mayor que la ganancia de energía (que es el caso siempre en aplicaciones reales).
Si podemos modelar la pérdida de energía a partir de la expresión de la fuerza de arrastre, solo tenemos que equipararla a la ganancia de la energía cinética del cuerpo, debida al movimiento generador de la fuerza.
Resulta que algunas de estas relaciones también se pueden encontrar utilizando la segunda ley del movimiento de Newton, que relaciona las fuerzas con el cambio de momento; una cantidad muy relacionada con la energía cinética.
Fuerza de arrastre
La situación más común en la que estudiamos la velocidad terminal es la de un fluido que frena el movimiento de los cuerpos en su interior. Para estudiar adecuadamente los ejemplos que siguen, proporcionamos la fórmula experimental de la fuerza de arrastre de un fluido y explicamos brevemente su dependencia. La dirección de esta fuerza es siempre opuesta al movimiento del cuerpo.
La fórmula es:
\[F_D=\dfrac{1}{2}\cdot v^2\cdot C_D\cdot A\cdot \rho\]
Aquí,
\(\rho\) es la densidad del fluido
\(v\) la velocidad del objeto en movimiento
\(C_D\) un número llamado coeficiente de arrastre
\(A\) el área del cuerpo que es perpendicular a la dirección del movimiento.
Como podemos ver en la fórmula matemática, cuanto más denso sea el fluido, mayor será su oposición al movimiento. La dependencia de la fórmula de las características del objeto se cuantifica mediante tres variables. Dos de ellas corresponden a su tamaño (superficie) y a su forma (coeficiente de resistencia). La tercera (la velocidad) corresponde a su estado de movimiento y explica la existencia de una velocidad terminal. La dependencia de la velocidad indica que cuanto más rápido se mueva un objeto, más fuerte será la fuerza de arrastre, lo que conducirá al mencionado estado estacionario de velocidad máxima constante finita.
Ejemplos de velocidad terminal
Velocidad terminal de una pelota
Para la fuerza gravitatoria, utilizamos la ley de Newton. Solo consideramos el valor escalar y no la dirección de la fuerza para simplificar nuestros cálculos. Consideremos la caída de un cuerpo esférico, como una pelota.
Para las esferas, el coeficiente de arrastre \(C_D\) es de \(0,47\). La densidad del aire no es constante, pero tomaremos una situación cercana al mar, donde tenemos un valor de \(\rho = 1,225\,\mathrm{kg/m^{3}}\). El área de una esfera perpendicular al movimiento es la de un círculo, es decir, \(A = \pi\cdot r^2\), y la masa y el radio de la esfera son \(m = 1\,\mathrm{kg}\) y \(r = 1\,\mathrm{m}\).
La fuerza gravitatoria puede aproximarse mediante la fórmula:
\[F_g=mgh=9,81\cdot h\,\mathrm{N}\]
Aquí, \(g\) es la aceleración del campo gravitatorio cerca de la superficie de la tierra \((9,81 \,\mathrm{m/s^2})\), mientras que \(h\) es la altura sobre la superficie de la tierra.
La fuerza de arrastre, con nuestros datos, tiene un valor de:
\[F_D=\dfrac{1}{2}\rho\cdot v^2\cdot C_D\cdot A=0,9\cdot v^2\,\mathrm{N}\]
Para calcular la velocidad en todo momento, tendríamos que resolver el sistema de ecuaciones, mediante la segunda ley de Newton, que implica la resolución de ecuaciones diferenciales. Así, después de haber calculado la solución general, encontramos que el valor de la velocidad terminal en este caso es:
\[v=\sqrt{\dfrac{2mg}{\rho A C_D}}=\sqrt{\dfrac{19,62}{1,81}}=3,30\,\mathrm{m/s}\]
Ley de la gravitación modificada
Consideremos un cuerpo esférico o una bola que cae:
- Para las esferas, el coeficiente de arrastre \(C_D\) es \(0,47\).
- La densidad del aire no es constante, pero tomaremos una situación cercana al mar, donde tenemos un valor de \(\rho = 1,225\,\mathrm{kg/m^3}\).
- El área de una esfera perpendicular al movimiento es la de un círculo -es decir, \(A = π·r^2\) -, y la masa y el radio de la esfera son \(m = 1\,\mathrm{kg}\) y \(r = 1\,\mathrm{m}\), respectivamente.
Imagina que la ley de la gravitación en nuestra naturaleza fuera diferente de la que conocemos como ley de Newton. La ley que proponemos también depende de \(g\) y de la masa del objeto que cae; pero, en lugar de depender linealmente de la altura, depende linealmente de la velocidad radial \(v\):
\[\tilde{F}_g=mgv\]
En vez de tener que resolver la dinámica —que es una estrategia válida para determinar la velocidad, la posición y la aceleración en todo momento—, podríamos considerar la primera ley de Newton, en lugar de la segunda. La primera ley establece que la velocidad de un objeto será constante cuando no actúe ninguna fuerza sobre él. Como sabemos que la velocidad terminal es constante, sabemos que el objeto la alcanzará cuando las fuerzas tengan el mismo valor.
Si igualamos ambas fuerzas, obtendremos:
\[\tilde{F}_g=F_D\rightarrow 9,81\cdot v=0,9\cdot v^2\rightarrow v=0\,\mathrm{m/s} \text{ ó } v=\dfrac{9,81}{0,9}=10,9\,\mathrm{m/s}\]
Estas dos soluciones corresponden:
al inicio de nuestro experimento, en el que no hay velocidad porque estamos dejando caer la bola
y a la situación en la que se ha alcanzado una velocidad terminal.
Dependiendo del espacio disponible para que la bola caiga, la velocidad alcanzada será la velocidad terminal o un valor inferior (porque quizás no tenía suficiente espacio para acelerar).
Como hemos dicho antes, si hubiéramos soltado la bola con una velocidad inicial mayor que el valor terminal, habría evolucionado hacia el valor terminal, desacelerando lentamente hasta alcanzarlo por arriba.
Fig. 2: Evolución temporal de la velocidad para una situación en la que la velocidad terminal se alcanza desde arriba (azul) o desde abajo (turquesa). Normalmente, la velocidad terminal se alcanza asintóticamente.
Velocidad terminal - Puntos clave
- La velocidad terminal es el valor máximo de velocidad que puede alcanzar un objeto mientras se mueve dentro de un medio que disipa energía (normalmente un fluido o un gas).
- Normalmente, hay que resolver la dinámica para estudiar la evolución de la posición, la velocidad y la aceleración en todo momento, para llegar a estudiar el límite para tiempos largos. Sin embargo, en algunas situaciones, se puede utilizar la primera ley de Newton para calcular el valor de la velocidad terminal.
- El mecanismo que subyace a la aparición de una velocidad terminal se remonta al equilibrio entre la energía ganada por el cuerpo en su movimiento y la energía disipada por el medio.
- La fuerza que disipa energía y que siempre actúa en contra del movimiento se llama fuerza de arrastre. Tiene una expresión matemática ampliamente estudiada para fluidos sencillos.
Résumenes 
Exámenes 
Magazine 
Formacion Profesional 
