Estás en una de esas películas de espías. De repente, el villano te tiene atado a una silla y empieza a oscilar un péndulo delante de ti, con la intención de hipnotizarte, que no uses StudySmarter y así suspendas todos tus exámenes. Como tú eres casi un superhéroe o superheroína no te afecta la hipnosis; y, por el contrario, te empiezas a plantear cómo funciona la energía en un movimiento armónico simple como el del péndulo. Al final, te deshaces de la atadura y derrotas al villano. Y para calmar tu curiosidad y ansias de conocimiento, ¡ya estamos nosotros, listos a ayudarte!
La energía armónica simple es la energía que posee un oscilador cuando realiza un movimiento armónico simple.
Sistema armónico simple
El movimiento armónico simple es la oscilación periódica en la que la aceleración de un oscilador es proporcional al desplazamiento, pero actúa en sentido contrario.
Durante el movimiento armónico simple, la energía se intercambia continuamente entre las energías cinética y potencial.
La energía cinética es la que se adquiere cuando una masa \(m\) está en movimiento, mientras que la energía potencial es la energía almacenada en el oscilador cuando se ha desplazado de su posición de equilibrio.
La energía del movimiento armónico simple puede adoptar la forma de:
- Energía potencial gravitatoria, como en el caso de una masa en un péndulo que se encuentra en una posición diferente a la de equilibrio.
- Energía potencial elástica, como en el caso de una masa sobre un muelle.
¿Qué es la energía en un sistema armónico simple?
La energía neta en un sistema armónico simple es constante y es igual a la suma de la energía cinética y potencial.
Esto puede interpretarse de la siguiente manera:
- Como las dos formas de energía se intercambian continuamente, cuando una de ellas aumenta, la otra disminuye. Por lo tanto, cuando una forma de energía alcanza su punto máximo, la otra forma alcanza su valor mínimo (cero).
- Si la energía es constante, el sistema está oscilando (considerando que no hay pérdidas de energía).
Ejemplo de movimiento armónico simple
Supongamos que tenemos una masa en un péndulo que empieza a oscilar desde su posición de equilibrio. La secuencia de movimiento se muestra en la Figura 1, donde el péndulo se mueve desde la posición inicial hasta la posición máxima a la derecha del punto de equilibrio, que se considera la posición máxima positiva.
Fig.1 : Considerando la derecha como el eje positivo de las \(x\), si aplicamos una fuerza hacia esta dirección y sentido obtendremos la posición máxima positiva. El péndulo volverá y adquirirá (asumiendo los efectos de la fricción como nulos) la posición máxima negativa en el eje negativo de las \(x\).
El péndulo volverá a su punto de equilibrio, pero con el sentido contrario de la aceleración. Será entonces cuando el péndulo se desplace a la posición máxima a la izquierda del punto de equilibrio, que se considera la posición máxima negativa.
La forma de energía del péndulo depende de su posición. El péndulo gana, inicialmente, energía cinética en cuanto empieza a oscilar, mientras que la energía potencial está en su mínimo (\(E_p=0\)). Cuando el péndulo alcanza la máxima amplitud, deja de moverse momentáneamente. La energía cinética disminuye hasta 0, mientras que la energía potencial alcanza su máximo.
Cuando el péndulo continúa moviéndose en la dirección opuesta, la energía cinética comienza a aumentar, mientras que la energía potencial disminuye. Cuando el péndulo alcanza su punto de equilibrio, completando un ciclo periódico, la energía cinética alcanza su máximo, y la energía potencial vuelve a alcanzar su mínimo.
Conservación de la energía mecánica en el movimiento armónico simple
En un oscilador ideal, la energía mecánica se conserva en el movimiento armónico simple. Esto significa que no se tienen en cuenta las fuerzas externas —como la fricción, la resistencia del aire, etc—. Si la energía no se pierde debido a las fuerzas externas, se conserva en el sistema.
La energía mecánica es constante y corresponde a la suma de la energía cinética y potencial.
En el movimiento armónico simple, la energía se intercambia continuamente entre ambas formas, como hemos visto antes.
Por lo tanto, si queremos expresar esto con ecuaciones, sería así:
\(E_c=E_{c.Max}\) en el equilibrio o cuando \(x=0\) (Excepto cuando \(v_0=0\).
\(E_p=E_{p.Max}\) en las amplitudes máximas.
Cuando \(E_c=E_{c.Max}\), \(E_p=0\).
Cuando \(E_p=E_{p.Max}\) , \(E_c=0\).
Gráfica de energía en función del tiempo en el movimiento armónico simple
La conservación de la energía mecánica se ilustra en la gráfica de energía, en función del tiempo para el movimiento armónico simple (que podemos ver en la Figura. 2), donde se pueden derivar las siguientes propiedades:
- Cuando la energía potencial es 0, la energía cinética está en su punto máximo, y viceversa.
- Tanto la energía cinética como la potencial están representadas por funciones periódicas (seno o coseno).
- Las dos funciones periódicas varían en direcciones opuestas.
- La energía es siempre positiva.
- La energía total está representada por una línea recta horizontal en el valor máximo de la energía cinética y potencial, dado que es la suma de estas dos en todo momento.
- Durante un periodo de oscilación, la energía cinética y potencial pasan por dos ciclos completos, ya que un periodo alcanza el punto de máxima amplitud dos veces (negativa y positiva).
Fig. 2: Gráfica de la energía del movimiento armónico simple, en función del tiempo. Se puede ver que cuando la energía cinética es máxima, la potencial es mínima, y viceversa.
La energía media en un oscilador que realiza un movimiento armónico simple es la energía total del oscilador en un rango de tiempo. Este rango corresponde al tiempo que tarda el oscilador en volver a su posición de equilibrio inicial después de haber alcanzado una vez los dos puntos de amplitud.
Desplazamiento en el movimiento armónico simple
Otro gráfico interesante acerca del principio de conservación de la energía es el gráfico de energía en función del desplazamiento (Figura. 3), donde se muestra la energía total y la energía en los puntos de máxima amplitud. En el gráfico se puede observar un patrón de cambio.
Fig. 3: Gráfico de energía del movimiento armónico simplefrente a desplazamiento.
- Como el desplazamiento es una cantidad vectorial, el gráfico tiene valores de desplazamiento positivos y negativos.
- La energía potencial es máxima en la posición de máxima amplitud; donde \(x = \pm X_{max}\); y es 0 en la posición de equilibrio, donde \(x = 0\).
- Esto se representa con una curva en forma de U (convexa).
- La energía total está representada por una línea recta horizontal sobre las curvas, y es constante.
- La energía cinética es máxima en la posición de equilibrio, donde \(x = 0\); y es cero en la posición de amplitud \(x = \pm X_{max}\).
- Esto se representa con una curva en forma de U invertida (cóncava).
Ecuación de energía del movimiento armónico simple
La ecuación de energía del movimiento armónico simple nos permite calcular la magnitud numérica de la energía de un oscilador. Esta ecuación de la energía cinética puede derivarse partiendo de la ecuación de la energía en el movimiento de traslación:
\[E_c=\dfrac{1}{2}mv^2.\]
Donde:
- \(E_c\) es la energía cinética.
- \(m\) es la masa.
- \(v\) es la velocidad.
Ahora, podemos sustituir ahora la ecuación de la velocidad del movimiento armónico simple:
\[\begin{align}v&=\sqrt{\pm\omega(X_{max}^2-x^2} \\ v^2&=\omega^2(X_{max}^2-x^2) \end{align}\]
Con esto, obtenemos lo siguiente,
- donde \(X_{max}\) es la amplitud máxima, mientras que \(x\) es la posición actual de un objeto en un momento dado.
Si el objeto está en posición de equilibrio, la energía cinética es máxima y proporcional a la amplitud máxima:
\[\begin{align}E_c&=\dfrac{1}{2}m\omega^2(X_{max}^2-x^2) \\ E_{c.Max}&=\dfrac{1}{2}m\omega^2X_{max}^2 \end{align},\]
Para la energía potencial, también aplicamos la fórmula de la energía cinética, pero utilizaremos la constante del muelle \(k\). La ecuación de la energía potencial se muestra a continuación,
- donde \(E_p\) es la energía potencial.
Si la posición del objeto es el equilibrio, la energía potencial es máxima y proporcional a la amplitud máxima:
\[\begin{align} E_p&=\dfrac{1}{2}kx^2 \\ E_{p.Max}&=\dfrac{1}{2}kX_{max}^2 \end{align} \]
La energía total puede determinarse por la suma de la energía cinética y potencial:
\[E_{Total}=E_c+E_p\]
Hagamos un ejercicio al respecto:
Una masa de \(5\,\,\mathrm{kg}\) está realizando un movimiento armónico simple. Su posición viene dada por la ecuación \(x(t) = 10\sin(2t)\).
Determina la energía cinética máxima.
Solución:
Como el objeto parece no tener fase, comenzamos utilizando la ecuación de la energía cinética máxima y sustituimos los valores de frecuencia angular, masa y amplitud de la ecuación dada:
\[E_c=\dfrac{1}{2}mX_{max}^2\omega^2\]
Utilizando la ecuación dada, y comparándola con la fórmula del desplazamiento en un momento dado, podemos deducir que la amplitud máxima es igual a \(X_{max}=10\,\,\mathrm{m}\), mientras que \(\omega\) es igual a 2:
\( x(0)=10\sin(2\cdot 0) \) \(X_{max}=10\,\,\mathrm{m}\,\,\&\,\,\omega=2\,\,\mathrm{s^{-1}} \)
Por último, sustituimos la amplitud máxima y la velocidad angular encontradas en la ecuación de energía anterior, y obtenemos:
\[E_{c.Max}=\dfrac{1}{2}\cdot 5\,\,\mathrm{kg}\cdot (10\,\,\mathrm{m})^2\cdot (2\,\,\mathrm{s^{-1}})^2=1000\,\,\mathrm{J} \]
Energía del movimiento armónico simple - Puntos clave
- La energía armónica simple es la energía que posee un oscilador cuando realiza un movimiento armónico simple.
- Durante el movimiento armónico simple, la energía se intercambia continuamente entre las energías cinética y potencial.
- Como la energía mecánica se conserva en el movimiento armónico simple, la energía total es constante.
- Las energías cinética y potencial no pueden ser negativas.
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