Energía cinética rotacional

Fórmula de la energía cinética rotacional

La fórmula de la energía cinética traslacional, generalmente conocida como \(E\) (usaremos \(E_t\) en nuestro artículo, para distinguirla), es la siguiente:

\[E_t=\dfrac{1}{2}mv^2\]

Donde:

• \(m\) es la masa, con unidades de \(\mathrm{kg}\).
• \(v\) es la velocidad de traslación, con unidades de \(\mathrm{m/s}\).

Mientras que la fórmula de la energía cinética rotacional es muy similar a la fórmula de la energía cinética traslacional, difieren con respecto al componente de velocidad de la ecuación.

Fig. 1: Un tiovivo es un ejemplo de objeto con energía cinética rotacional.

Velocidad angular

Cuando estudiamos el movimiento de rotación de los objetos, podemos observar que la velocidad lineal es diferente para cada punto del ciclo de rotación de un cuerpo alrededor de su eje. La razón es porque la velocidad lineal es una cantidad vectorial que, en el movimiento de rotación, es siempre tangente a la trayectoria circular del movimiento. Por lo tanto, siempre está cambiando de dirección. Esto se muestra en la siguiente figura, donde la velocidad de un cuerpo varía (\(v_1, v_2\)) en dos períodos de tiempo diferentes \((t_1, t_2\)).

Fig. 2: Velocidad de traslación en movimiento de rotación.

Por lo tanto, para describir el movimiento de rotación con mayor precisión, se necesita una nueva variable llamada velocidad angular \(\omega\). Las unidades para el momento angular son los radianes por segundo \(\mathrm{rad/s}\). Esta variable está relacionada con la magnitud de la velocidad de traslación \(v\) y el radio \(r\), como se muestra en la ecuación siguiente:

\[\begin{align}v&=\omega\cdot r \\ \omega&=\dfrac{2\pi}{T}=2\cdot\pi\cdot f \end{align} \]

También, es útil observar que la velocidad angular puede expresarse en términos del período \(T\) en segundos (\(\mathrm{s}\)) o de la frecuencia \(f\) en Hertz (\(\mathrm{Hz}\)). Esta última relación es especialmente útil para el movimiento periódico.

Fig. 3: Velocidad angular en el movimiento de rotación.

Obtención de la fórmula de la energía cinética de rotación

Para obtener la energía cinética rotacional (\(E_r\)), tenemos que sustituir la velocidad angular en la fórmula de la energía cinética:

\[E_t=\dfrac{1}{2}mv^2\]

Recordemos que la relación entre la velocidad de traslación y la velocidad angular puede expresarse como:

\[v=\omega\cdot r\]

Si sustituimos la velocidad de traslación por la relación dada, obtenemos:

\[E_r=\dfrac{1}{2}m\omega^2r^2\]

En las fórmulas anteriores:

• \(m\) es la masa.
• \(\omega\) es la velocidad angular.
• \(r\) es el radio.
• \(v\) es la velocidad de traslación.

Momento de inercia y energía cinética de rotación

En el caso de un cuerpo fijo en rotación, en el que podemos suponer que la masa está concentrada en un único punto (generalmente en el centro) que gira alrededor de un eje fijo, podemos utilizar el momento de inercia como equivalente a su masa.

Este momento de inercia de un cuerpo puede expresarse, de forma general, como el producto de su masa \(m\), y la distancia perpendicular \(r\) desde el eje de rotación, como se muestra a continuación:

\[I=m\cdot r^2\]

Ahora, podemos simplificar aún más la fórmula de la energía cinética de rotación derivada anteriormente, sustituyendo la masa y el radio por el momento de inercia. Se puede ver, en la ecuación siguiente, que las fórmulas de energía cinética lineal y rotacional tienen la misma forma matemática:

\[E_r=\dfrac{1}{2}m\omega^2r^2=\dfrac{1}{2}I\omega^2\]

Trabajo en el movimiento rotacional

Veamos ahora cómo podemos calcular el trabajo en un movimiento rotacional. Sabemos que:

En nuestro caso, los objetos no se desplazan de un punto a otro sino que giran alrededor de un eje un cierto ángulo. Es por ello que podemos expresar el trabajo como:

\[W=\int_{\theta_B}^{\theta_A}\left(\sum_i^N \tau_i\right) d\theta,\]

• Donde: \(\tau\) es el torque o momento de fuerza y \(\theta\) es el ángulo.

De la misma forma, podemos ver el trabajo como la energía necesaria para pasar de un estado a otro. Por tanto, si calculamos la energía de rotación en los instantes inicial y final que nos interesan de la rotación alrededor de un eje fijo y restamos estos valores, podemos obtener el trabajo realizado:

\[W=E_{rf}-E_{r0}\]

• Donde el subíndice \(f\) indica final y \(0\) inicial.

Relación entre la energía cinética de rotación y energía cinética traslacional

Esta relación se utiliza en los casos en los que un objeto está rodando, o moviéndose linealmente —con energía cinética de traslación— y rotacionalmente —con energía cinética de rotación—. Para encontrar la fracción de energía cinética de un objeto que es rotacional, tenemos que dividir la energía cinética rotacional sobre la energía cinética total. Para hallar la fracción de energía cinética que es traslacional, dividimos la energía traslacional sobre la energía cinética total:

\[\begin{align}\text{Fracc. }E_r=\dfrac{E_r}{E_r+E_t}\\\text{Fracc. }E_t=\dfrac{E_t}{E_r+E_t} \end{align} \]

La relación entre los dos valores —la energía cinética de traslación y de rotación— es, sencillamente, la división de estos:

\[\dfrac{E_t}{E_r}\]

Veamos un ejemplo, que nos ayude a comprenderlo mejor:

Ejemplos de energía cinética rotacional

Ahora, veamos algunos ejemplos de energía cinética de rotación

Resolvamos otro: