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Energía cinética rotacional

Energía cinética rotacional

Eres pequeño y estás en la feria con tus padres. De repente, unos colores vivos te encandilan y una música mágica te llama la atención. Te fijas y ves una gran cantidad de variopintos animales dando vueltas: caballos, elefantes, etc. Corres hacia la atracción y te subes en el siguiente turno. En ese momento, sin saberlo, estás experimentando uno de los fenómenos físicos más comunes: tienes una energía cinética asociada a tu velocidad. Pero, como estás dando vueltas en el tiovivo, experimentas también una energía cinética rotacional.

La energía cinética rotacional (o de rotación) es la energía que posee un objeto cuando está girando. La energía cinética de rotación está relacionada con el movimiento de rotación y forma parte de la energía cinética total de un objeto.

Fórmula de la energía cinética rotacional

La fórmula de la energía cinética traslacional, generalmente conocida como \(E\) (usaremos \(E_t\) en nuestro artículo, para distinguirla), es la siguiente:

\[E_t=\dfrac{1}{2}mv^2\]

Donde:

  • \(m\) es la masa, con unidades de \(\mathrm{kg}\).
  • \(v\) es la velocidad de traslación, con unidades de \(\mathrm{m/s}\).

Mientras que la fórmula de la energía cinética rotacional es muy similar a la fórmula de la energía cinética traslacional, difieren con respecto al componente de velocidad de la ecuación.

Energía cinética rotacional Fórmula de la energía cinética rotacional StudySmarterFig. 1: Un tiovivo es un ejemplo de objeto con energía cinética rotacional.

Velocidad angular

Cuando estudiamos el movimiento de rotación de los objetos, podemos observar que la velocidad lineal es diferente para cada punto del ciclo de rotación de un cuerpo alrededor de su eje. La razón es porque la velocidad lineal es una cantidad vectorial que, en el movimiento de rotación, es siempre tangente a la trayectoria circular del movimiento. Por lo tanto, siempre está cambiando de dirección. Esto se muestra en la siguiente figura, donde la velocidad de un cuerpo varía (\(v_1, v_2\)) en dos períodos de tiempo diferentes \((t_1, t_2\)).

Energía cinética rotacional Velocidad de translación StudySmarterFig. 2: Velocidad de traslación en movimiento de rotación.

Por lo tanto, para describir el movimiento de rotación con mayor precisión, se necesita una nueva variable llamada velocidad angular \(\omega\). Las unidades para el momento angular son los radianes por segundo \(\mathrm{rad/s}\). Esta variable está relacionada con la magnitud de la velocidad de traslación \(v\) y el radio \(r\), como se muestra en la ecuación siguiente:

\[\begin{align}v&=\omega\cdot r \\ \omega&=\dfrac{2\pi}{T}=2\cdot\pi\cdot f \end{align} \]

También, es útil observar que la velocidad angular puede expresarse en términos del período \(T\) en segundos (\(\mathrm{s}\)) o de la frecuencia \(f\) en Hertz (\(\mathrm{Hz}\)). Esta última relación es especialmente útil para el movimiento periódico.

Energía cinética rotacional Velocidad angular en el movimiento de rotación StudySmarterFig. 3: Velocidad angular en el movimiento de rotación.

Obtención de la fórmula de la energía cinética de rotación

Para obtener la energía cinética rotacional (\(E_r\)), tenemos que sustituir la velocidad angular en la fórmula de la energía cinética:

\[E_t=\dfrac{1}{2}mv^2\]

Recordemos que la relación entre la velocidad de traslación y la velocidad angular puede expresarse como:

\[v=\omega\cdot r\]

Si sustituimos la velocidad de traslación por la relación dada, obtenemos:

\[E_r=\dfrac{1}{2}m\omega^2r^2\]

En las fórmulas anteriores:

  • \(m\) es la masa.
  • \(\omega\) es la velocidad angular.
  • \(r\) es el radio.
  • \(v\) es la velocidad de traslación.

Momento de inercia y energía cinética de rotación

En el caso de un cuerpo fijo en rotación, en el que podemos suponer que la masa está concentrada en un único punto (generalmente en el centro) que gira alrededor de un eje fijo, podemos utilizar el momento de inercia como equivalente a su masa.

El momento de inercia \(I\) es la resistencia de un cuerpo al movimiento de rotación.

  • Tiene unidades de kilogramo por metro al cuadrado (\(\mathrm{kg\cdot m^2}\)).

Este momento de inercia de un cuerpo puede expresarse, de forma general, como el producto de su masa \(m\), y la distancia perpendicular \(r\) desde el eje de rotación, como se muestra a continuación:

\[I=m\cdot r^2\]

Ahora, podemos simplificar aún más la fórmula de la energía cinética de rotación derivada anteriormente, sustituyendo la masa y el radio por el momento de inercia. Se puede ver, en la ecuación siguiente, que las fórmulas de energía cinética lineal y rotacional tienen la misma forma matemática:

\[E_r=\dfrac{1}{2}m\omega^2r^2=\dfrac{1}{2}I\omega^2\]

Es importante saber que, en función de la forma del cuerpo que estemos estudiando, calculamos el momento de inercia calcularemos de una forma u otra. Esto lo veremos en los ejemplos de más adelante.

Trabajo en el movimiento rotacional

Veamos ahora cómo podemos calcular el trabajo en un movimiento rotacional. Sabemos que:

El trabajo es la fuerza necesaria para llevar un objeto de un punto \(A\) hasta un punto \(B\).

En nuestro caso, los objetos no se desplazan de un punto a otro sino que giran alrededor de un eje un cierto ángulo. Es por ello que podemos expresar el trabajo como:

\[W=\int_{\theta_B}^{\theta_A}\left(\sum_i^N \tau_i\right) d\theta,\]

  • Donde: \(\tau\) es el torque o momento de fuerza y \(\theta\) es el ángulo.

De la misma forma, podemos ver el trabajo como la energía necesaria para pasar de un estado a otro. Por tanto, si calculamos la energía de rotación en los instantes inicial y final que nos interesan de la rotación alrededor de un eje fijo y restamos estos valores, podemos obtener el trabajo realizado:

\[W=E_{rf}-E_{r0}\]

  • Donde el subíndice \(f\) indica final y \(0\) inicial.

Relación entre la energía cinética de rotación y energía cinética traslacional

La energía cinética total, en un sistema que se mueve tanto lineal como rotacionalmente, es la suma de la energía cinética lineal y la energía cinética rotacional: \[E_{total}=E_r+E_t\]

Esta relación se utiliza en los casos en los que un objeto está rodando, o moviéndose linealmente con energía cinética de traslación y rotacionalmente con energía cinética de rotación. Para encontrar la fracción de energía cinética de un objeto que es rotacional, tenemos que dividir la energía cinética rotacional sobre la energía cinética total. Para hallar la fracción de energía cinética que es traslacional, dividimos la energía traslacional sobre la energía cinética total:

\[\begin{align}\text{Fracc. }E_r=\dfrac{E_r}{E_r+E_t}\\\text{Fracc. }E_t=\dfrac{E_t}{E_r+E_t} \end{align} \]

La relación entre los dos valores la energía cinética de traslación y de rotación es, sencillamente, la división de estos:

\[\dfrac{E_t}{E_r}\]

Veamos un ejemplo, que nos ayude a comprenderlo mejor:

Un ventilador de \(10\,\,\mathrm{kg}\) tiene tres aspas, cada una de las cuales mide \(0,5\,\,\mathrm{m}\) y pesa \(1\,\,\mathrm{kg}\). Las aspas giran alrededor de un eje perpendicular a su longitud. El momento de inercia de cada aspa puede hallarse mediante la fórmula de una varilla delgada, donde \(m\) es la masa y \(l\) es la longitud de cada varilla:

\[I_{varilla}=\dfrac{m_{varilla}\cdot r^2}{3}\]

a) ¿Cuál es la energía cinética de rotación de las aspas cuando giran a una velocidad de \(70\,\,\mathrm{rpm}\)?

b) ¿Cuál es la energía cinética de traslación del ventilador cuando se mueve a \(0,5\,\,\mathrm{m/s}\) en horizontal? Encuentra la relación entre la energía cinética traslacional y la rotacional.

Solución (a)

Utilizamos la fórmula de la energía cinética rotacional derivada anteriormente:

\[E_r=\dfrac{1}{2} I \omega^2\]

Sin embargo, nos han dado la velocidad de rotación en \(\mathrm{rpm}\), en lugar de \(\mathrm{rad/s}\). Por lo tanto, hay que convertir la velocidad de rotación a \(\mathrm{rad/s}\). Recordemos que una rotación por minuto es igual a \(2\pi\) radianes en \(60\) segundos:

\[\omega=\dfrac{70\,\,\mathrm{rpm}}{1\,\,\mathrm{min}}\cdot\dfrac{2\pi\,\,\mathrm{rad}}{1\,\,\mathrm{rev}}\cdot\dfrac{1\,\,\mathrm{min}}{60\,\,\mathrm{s}}=7,33\,\,\mathrm{rad/s}\]

A continuación, podemos calcular el momento de inercia de cada aspa, mediante la fórmula que hemos visto en el enunciado:

\[I_{varilla}=\dfrac{m\cdot r^2}{3}=\dfrac{1\,\,\mathrm{kg}\cdot (0,5\,\,\mathrm{m})^2}{3}=0,0833\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\]

Multiplicamos por el número de aspas, para encontrar el momento de inercia de todas las aspas:

\[I=3\cdot 0,0833\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}=0,25\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\]

Por último, sustituimos el valor hallado en la expresión de la energía cinética de rotación:

\[E_r=\dfrac{1}{2}I\omega^2=\dfrac{1}{2}\cdot 0,25\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\cdot (7,33\,\,\mathrm{s^{-1}})^2=6,72\,\,\mathrm{J}\]

Solución (b)

Sustituimos los valores dados en la ecuación de la energía cinética traslacional:

\[E_t=\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}\cdot 10\,\,\mathrm{kg}\cdot(0,5\,\,\mathrm{m/s})^2=1,25\,\,\mathrm{J}\]

Para hallar la relación entre la energía traslacional y la rotacional, dividimos la energía traslacional entre la energía rotacional:

\[\dfrac{E_t}{E_r}=\dfrac{1,25\,\,\mathrm{J}}{6,72\,\,\mathrm{J}}=0,186\]

Esta relación indica que la mayor parte de la energía cinética del ventilador se utiliza para hacer girar sus aspas.

Ejemplos de energía cinética rotacional

Ahora, veamos algunos ejemplos de energía cinética de rotación

Un disco con un radio de \(0,5\,\,\mathrm{m}\) y una masa de \(2\,\,\mathrm{kg}\) gira con una velocidad de traslación de \(18\,\,\mathrm{m/s}\). Encuentra el momento de inercia y la energía cinética rotacional.

Solución

Comenzamos empleando la relación entre las velocidades de traslación y lineal para encontrar la velocidad angular:

\[v=\omega\cdot r\]

Si sustituimos las variables dadas en la ecuación anterior, obtenemos el siguiente valor de la velocidad angular:

\[\omega=\dfrac{v}{r}=\dfrac{18\,\,\mathrm{m/s}}{0,5\,\,\mathrm{s}}=36\,\,\mathrm{rad/s}\]

Para encontrar la energía cinética de rotación, primero calculamos el momento de inercia del disco:

\[I=mr^2=2\,\,\mathrm{kg}\cdot(0,5\,\,\mathrm{m})^2=0,5\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\]

Sustituyendo el momento de inercia en la fórmula de la energía cinética de rotación, obtenemos:

\[E_r=\dfrac{1}{2}I\omega^2=\dfrac{1}{2}\cdot 0,5\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\cdot(36\,\,\mathrm{rad/s})^2=324\,\,\mathrm{J}\]

Resolvamos otro:

Una pelota de \(0,3\,\,\mathrm{kg}\) se lanza al aire con una velocidad hacia la dirección horizontal de \(10,0\,\,\mathrm{m/s}\). La pelota gira a una velocidad de \(5\,\,\mathrm{rad/s}\). La fórmula del momento de inercia de la pelota viene dada por la fórmula siguiente, donde \(m\) es la masa, y \(r\) es el radio de la pelota, que es igual a \(0,4\,\,\mathrm{m}\).

\[I_{pelota}=\dfrac{2}{5}mr^2\]

¿Cuál es la energía total de la pelota cuando sale de la mano?

Solución

Utilizamos la fórmula del momento de inercia:

\[I=\dfrac{2}{5}mr^2=\dfrac{2}{5}\cdot 0,3\,\,\mathrm{kg}\cdot(0,4\,\,\mathrm{m})^2=0,0192\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\]

La energía cinética de rotación se encuentra sustituyendo el momento de inercia en la fórmula:

\[E_r=\dfrac{1}{2}I\omega^2=\dfrac{1}{2}\cdot 0,0192\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\cdot (5\,\,\mathrm{rad/s})^2=0,24\,\,\mathrm{J}\]

La energía cinética de traslación se obtiene sustituyendo los valores dados de la masa y la velocidad de traslación en la fórmula de la energía de traslación:

\[E_t=\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}\cdot 0,3\,\,\mathrm{kg}\cdot (10\,\,\mathrm{m/s})^2=15\,\,\mathrm{J}\]

La energía cinética total se obtiene de la suma de la energía rotacional y traslacional:

\[E_{total}=E_r+E_t=0,24\,\,\mathrm{J}+15\,\,\mathrm{J}=15,24\,\,\mathrm{J}\].

Energía cinética rotacional - Puntos clave

  • La energía cinética rotacional es la energía de un cuerpo en rotación.
  • La velocidad angular de un cuerpo se puede calcular mediante su velocidad lineal y el radio del movimiento que describe: \(\omega=\dfrac{v}{r}\).
  • La ecuación de la energía cinética rotacional tiene la misma forma que la ecuación de la energía cinética lineal: \(E_r=\dfrac{1}{2}m\omega^2r^2\).
  • La energía cinética rotacional también puede expresarse en términos del momento de inercia de un cuerpo: \(E_r=\dfrac{1}{2}I\omega^2\).

Preguntas frecuentes sobre Energía cinética rotacional

La energía cinética rotacional, o energía cinética de rotación, es la energía que posee un objeto cuando está girando. La energía cinética de rotación está relacionada con el movimiento de rotación y forma parte de la energía cinética total de un objeto.

La energía cinética rotacional se aplica en todos aquellos objetos que estén realizando un movimiento de rotación; es decir, que cambian su orientación respecto a un punto o eje que permanece fijo.

La energía cinética rotacional se puede calcular con la siguiente fórmula: 

Er=(1/2)mω2r2,

o, en el caso de que conozcamos el momento de inercia I :

Er=(1/2)Iω2,

El momento de inercia (I) es la resistencia de un cuerpo al movimiento de rotación. Tiene unidades de kilogramo por metro al cuadrado (kg⋅m2). 

La energía cinética rotacional, o energía cinética de rotación, es la energía que posee un objeto cuando está girando; mientras que la energía cinética de translación se produce cuando un objeto se mueve de manera lineal, bien sea rodando o trasladándose. 

Cuestionario final de Energía cinética rotacional

Pregunta

La energía cinética de rotación no depende de la velocidad angular, sino del momento de inercia. ¿Verdadero o falso? 

Mostrar respuesta

Answer

Falso, depende de ambas. 

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Pregunta

¿Cuáles son unidades de la velocidad angular?

Mostrar respuesta

Answer

\(\mathrm{rad/s}\).

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Pregunta

Una bola gira en el aire con una velocidad lineal de \(10\,\,\mathrm{m/s}\) y una masa de \(1\,\,\mathrm{kg}\). El objeto tiene un momento de inercia de \(0,5\,\,\mathrm{kg\cdot m}\). La velocidad angular del objeto es de \(5\,\,\mathrm{rad/s}\). Encuentra la energía cinética total de la bola.

Mostrar respuesta

Answer

\(56,25\,\,\mathrm{J}\).

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Pregunta

¿Cuál es la relación entre la velocidad angular y el periodo?

Mostrar respuesta

Answer

Inversamente proporcional.

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Pregunta

¿Cómo convertimos la velocidad angular en velocidad lineal?

Mostrar respuesta

Answer

Dividiendo la velocidad angular por el radio del eje de rotación.

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Pregunta

¿Cuál es la relación entre la velocidad de traslación y la velocidad angular?

Mostrar respuesta

Answer

Son directamente proporcionales.

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Pregunta

¿Cuáles son las diferencias entre la energía cinética de rotación y de traslación?

Mostrar respuesta

Answer

La energía cinética rotacional es proporcional al momento de inercia, y la energía cinética traslacional es proporcional a la masa.

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Pregunta

Define el concepto de momento de inercia en términos de la distribución de la masa desde el eje de rotación.

Mostrar respuesta

Answer

Es el producto de la masa individual de un objeto por la distancia perpendicular al eje de rotación.

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Pregunta

Explica cómo afecta el momento de inercia de los cuerpos rígidos a su energía cinética de rotación en términos de modificar su valor.

Mostrar respuesta

Answer

Cuando el momento de inercia aumenta, la energía cinética también aumenta, y viceversa.

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Pregunta

¿Cuál es la relación entre la energía cinética de traslación y la de rotación?

Mostrar respuesta

Answer

Es la división de la energía cinética traslacional entre la energía cinética rotacional.

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Pregunta

¿Cuál de estos no es un ejemplo de movimiento rotacional?

Mostrar respuesta

Answer

La distancia que recorre una bola de bolos que gira.

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Pregunta

¿Qué unidades tiene la energía cinética de rotación?

Mostrar respuesta

Answer

Julios (\(\mathrm{J}\)).

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Pregunta

¿Cómo es la fórmula para calcular la energía cinética de rotación?

Mostrar respuesta

Answer

\(E_r=\dfrac{1}{2}m\omega^2r^2\).

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Pregunta

¿Cómo podemos calcular el momento de inercia de un cuerpo? 

Mostrar respuesta

Answer

\(I=mr^2\).

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Pregunta

¿Qué es la energía cinética de rotación?

Mostrar respuesta

Answer

La energía cinética de rotación es la energía de un cuerpo que gira.

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