Gráficas de movimiento

Gráfica de desplazamiento en función del tiempo

La Figura 1 ilustra una gráfica del desplazamiento-tiempo de un objeto que se mueve a velocidad lineal constante. En esta gráfica, el desplazamiento está en el eje y (también denotado por \(x\) o \(\Delta x\) y el tiempo en el eje x (también denotado por \(t\)).

Fig. 1: Ejemplo de la gráfica desplazamiento-tiempo para un cuerpo que se mueve a una velocidad lineal constante.

A partir de esta gráfica podemos obtener

• La posición del cuerpo en un tiempo concreto.
• La velocidad media ,calculando la pendiente (gradiente) de la gráfica.
• La velocidad instantánea, calculando la derivada de cualquier punto de la función.

Para calcular la pendiente \(m\) de la gráfica anterior, utilizamos la siguiente ecuación:

\[m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=v\,\,(\mathrm{m/s})\]

Gráfica de velocidad en función del tiempo

Ahora, observemos la siguiente gráfica de velocidad-tiempo.

Fig. 2: Ejemplo de la gráfica velocidad-tiempo para un cuerpo que se mueve a una aceleración lineal constante.

En esta gráfica, la velocidad (\(v\)) está en el eje y y el tiempo (\(t\)) está en el eje x. A partir de ella gráfica, podemos encontrar:

• La velocidad en un tiempo concreto.
• La aceleración media, calculando la pendiente de la recta.
• La aceleración instantánea, tomando la derivada de cualquier punto de la curva.
• El desplazamiento del cuerpo, calculando el área bajo la curva (entre la recta y el eje del tiempo).

Para calcular la pendiente \(m\) de la gráfica anterior, utilizamos la siguiente ecuación, que es esencialmente la misma que la utilizada para el desplazamiento:

\[m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=a\,\,(\mathrm{m/s^2})\]

Además, el área bajo la gráfica velocidad-tiempo da la distancia recorrida por el objeto, que es el desplazamiento.

Gráfica de aceleración en función del tiempo

En una gráfica de aceleración-tiempo, solemos representar la aceleración (\(a\)) en el eje y y el tiempo (\(t\)) en el eje x.

Fig. 3: Ejemplo de la gráfica aceleración-tiempo para un cuerpo que acelera linealmente.

La gráfica aceleración-tiempo nos da la aceleración en un tiempo concreto y, además, el área bajo la curva de aceleración-tiempo representa un cambio en la velocidad.

A continuación, exploraremos cómo dibujar gráficas de movimiento para diferentes escenarios.

Gráfica de un objeto en reposo

Para un objeto en reposo, no habrá ningún cambio en el desplazamiento. Por tanto, tampoco habrá ningún cambio en la velocidad del cuerpo, ni en su aceleración —que serán ambas cero durante todo el intervalo de tiempo—.

Gráfica desplazamiento-tiempo para un objeto en reposo

Un objeto en reposo no se mueve. En consecuencia, el desplazamiento no cambiará a lo largo del intervalo de tiempo. Esto lo representamos con una línea plana paralela al eje del tiempo.

Fig. 4: Ejemplo de la gráfica desplazamiento-tiempo para un cuerpo en reposo, en una posición inicial \(x_0\).

Gráfica velocidad-tiempo para un objeto en reposo

Asimismo, la velocidad será cero, porque el desplazamiento del objeto no cambia. Por lo tanto, la gráfica para un objeto sin que su velocidad cambie con el tiempo puede mostrarse con una línea recta en el eje del tiempo.

Fig. 5: Ejemplo de la gráfica velocidad-tiempo para un cuerpo en reposo. Su velocidad durante todo el intervalo de tiempo será \(v=0\).

Gráfica de aceleración-tiempo de un objeto en reposo

En el mismo orden de ideas, la aceleración será cero, porque la velocidad del objeto no cambia; de hecho, será cero durante todo el intervalo de tiempo. Esto supone que la gráfica de la aceleración-tiempo sea también una línea recta en el eje del tiempo, como en el caso de la velocidad.

Fig. 6: Ejemplo de la gráfica aceleración-tiempo para un cuerpo en reposo. Su aceleración durante todo el intervalo de tiempo será \(a=0\).

Gráfica de movimiento rectilíneo uniforme

Cuando un objeto se mueve a una velocidad constante:

• El desplazamiento aumentará de manera lineal.

• La velocidad será una línea recta continua, con un valor positivo o negativo, dependiendo de la dirección del movimiento.

• La aceleración será nula, por lo que la representaremos como línea constante en el eje del tiempo.

Gráfica desplazamiento-tiempo para un objeto que se mueve a velocidad constante

La pendiente de la siguiente gráfica es positiva, lo que indica que el movimiento, también, es en dirección positiva (valores que crecen). Si esta función hubiera sido la misma, pero con una pendiente negativa (valores que decrecen), habría representado el desplazamiento en la dirección opuesta. Además, el desplazamiento crece de manera uniforme, porque la velocidad es constante.

Fig. 7: Ejemplo de la gráfica desplazamiento-tiempo para un objeto que se mueve a velocidad constante, en este caso \(v=1\,\,\mathrm{m/s}\).

Gráfica velocidad-tiempo para un objeto que se mueve con velocidad constante

Como la pendiente de la gráfica desplazamiento-tiempo para un cuerpo que se mueve con una velocidad constante es positiva en la Figura 7, la velocidad es una línea recta constante en la dirección positiva.

Fig. 8: Ejemplo de la gráfica velocidad-tiempo para un objeto que se mueve a velocidad constante, en este caso \(v=1\,\,\mathrm{m/s}\).

Gráfica de aceleración-tiempo de un objeto que se mueve a velocidad constante

Como la velocidad no varía durante el tiempo (velocidad constante), la aceleración será cero: un aumento o disminución en el valor de la aceleración produciría que la velocidad varíe, y hemos establecido que esta es constante.

Fig. 9: Ejemplo de la gráfica aceleración-tiempo para un objeto que se mueve a velocidad constante. Por tanto, la aceleración en este caso será \(a=0\,\,\mathrm{m/s^2}\) durante todo el tiempo.

Gráficas de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Cuando un objeto se mueve con una aceleración constante:

• La gráfica desplazamiento-tiempo será una curva con una pendiente que se hace cada vez más pronunciada.

• La tasa de cambio de la velocidad será uniformemente creciente.

• La aceleración será constante con un valor positivo.

Gráfica desplazamiento-tiempo para un objeto que se mueve con aceleración constante

A continuación se muestran dos gráficas de desplazamiento frente al tiempo. La Figura 10 es para una aceleración constante y la Figura 11 es para una desaceleración constante (esto también lo veremos más adelante).

Fig. 10: Ejemplo de la gráfica desplazamiento-tiempo para un objeto que se mueve a una aceleración constante. En este caso, será \(a=0,2\,\,\mathrm{m/s^2}\) y \(v_0=0\,\,\mathrm{m/s}\).

Fig. 11: Ejemplo de la gráfica desplazamiento-tiempo para un objeto que se mueve a una aceleración negativa constante (desaceleración). En este caso será \(a=-0,2\,\,\mathrm{m/s^2}\) y \(v_0=3\,\,\mathrm{m/s}\). Consideramos que, cuando el objeto para, no empieza a desplazarse para atrás.

Si hacemos las tangentes en varios puntos de las dos curvas anteriores, veremos que la pendiente de la gráfica desplazamiento-tiempo de la Figura 10 es cada vez más pronunciada. Esto es una indicación de que la velocidad está aumentando. En cambio, en la Figura 11, la pendiente disminuye gradualmente, lo que indica que la velocidad está disminuyendo.

Fig. 12: Ejemplo de la gráfica desplazamiento-tiempo para un objeto que se mueve a una aceleración constante. En este caso, será \(a=0,2\,\,\mathrm{m/s^2}\) y \(v_0=0\,\,\mathrm{m/s}\). Vemos cómo las pendientes son cada vez más pronunciadas, lo que hace que la velocidad aumente.

Fig. 13: Ejemplo de la gráfica desplazamiento-tiempo para un objeto que se mueve a una aceleración negativa constante (desaceleración). En este caso será \(a=-0,2\,\,\mathrm{m/s^2}\) y \(v_0=3\,\,\mathrm{m/s}\). Vemos cómo las pendientes son cada vez menos pronunciadas, lo que hace que la velocidad disminuya.

Gráfica velocidad-tiempo para un objeto que se mueve con aceleración constante

La gráfica de velocidad-tiempo para una aceleración constante será una línea que crece uniformemente, tal y como se muestra en la siguiente figura.

Fig. 14: Ejemplo de la gráfica velocidad-tiempo para un objeto que se mueve a una aceleración constante. En este caso será \(a=1\,\,\mathrm{m/s^2}\) y \(v_0=0\,\,\mathrm{m/s}\).

Gráfica de aceleración-tiempo para un objeto que se mueve con aceleración constante

Como la aceleración no cambia con el tiempo, y es constante, la gráfica aceleración-tiempo puede representarse mediante una línea recta.

Fig. 15: Ejemplo de la gráfica aceleración-tiempo para un objeto que se mueve a una aceleración constante.

Gráficas de movimiento uniformemente desacelerado

Cuando un objeto se mueve con una desaceleración constante:

• La gráfica desplazamiento-tiempo será una curva con una pendiente que se hace cada vez más horizontal.

• La tasa de cambio de la velocidad disminuirá uniformemente.

• La aceleración será constante, pero con un valor negativo.

Gráfica de desplazamiento-tiempo para un objeto que se mueve con desaceleración constante

Tal y como hemos visto antes, cuando el cuerpo se está desacelerando, la curva se aproxima a un valor constante.

Fig. 16: Ejemplo de la gráfica desplazamiento-tiempo para un objeto que se mueve a una deceleración constante (aceleración negativa). En este caso, será \(a=-0,2\,\,\mathrm{m/s^2}\) y \(v_0=3\,\,\mathrm{m/s}\). Como vemos, se aproxima poco a poco a un valor constante en \(t=7,5\,\,\mathrm{s}\).

Gráfica velocidad-tiempo para un objeto que se mueve con desaceleración constante

La gráfica velocidad-tiempo para una desaceleración constante será una línea que decrece de manera uniforme a partir de algún valor, que corresponderá a la velocidad inicial \(v_0\).

Fig. 17: Ejemplo de la gráfica velocidad-tiempo para un objeto que se mueve a una desaceleración constante. En este caso, será \(a=-0,5\,\,\mathrm{m/s^2}\) y \(v_0=5\,\,\mathrm{m/s}\).

Gráfica de aceleración-tiempo de un objeto que se mueve con desaceleración constante

Una línea constante en un valor negativo de la aceleración muestra que un objeto está desacelerando con un valor constante.

Fig. 18: Ejemplo de la gráfica aceleración-tiempo para un objeto que se mueve a una aceleración negativa constante.

Gráficas de movimiento parabólico

En este escenario, un objeto —por ejemplo, una pelota— se lanza hacia arriba, de tal manera que cae en la mano del lanzador después de un tiempo. Consideramos que la resistencia del aire es despreciable, y las únicas fuerzas que actúan sobre la pelota provienen del lanzador (para enviarla hacia arriba) y de la atracción gravitatoria sobre la pelota, hasta que cae en la mano del lanzador. La dirección hacia arriba se considera positiva.

Gráfica de desplazamiento-tiempo para un objeto lanzado hacia arriba

A continuación, se muestra la gráfica de desplazamiento-tiempo de un objeto lanzado verticalmente en línea recta y que cae en la mano del lanzador.

Fig. 19: Gráfica de desplazamiento-tiempo de un objeto lanzado al aire y atrapado a la misma altura.

Una vez lanzada la pelota al aire, su desplazamiento aumenta, porque hemos tomado como positiva la dirección hacia arriba. Al llegar a la cima, la pendiente de la gráfica desplazamiento-tiempo será cero \(m=0\) durante un breve momento, lo que indica que la pelota está cambiando su dirección y se moverá hacia abajo a partir de aquí. Por lo tanto, la gráfica se moverá hacia abajo, hasta que la pelota alcance su posición original.

Pero, ¿por qué la gráfica es una curva y no una línea recta? La aceleración debida a la gravedad es constante, con un valor de \(g=9,81\,\,\mathrm{m/s^2}\). Por lo tanto, desde el momento en que la pelota es lanzada hasta que es atrapada, la deceleración debida a la gravedad y la aceleración debida a la caída libre serán constantes y diferentes de cero.

Gráfica velocidad-tiempo de un objeto lanzado en línea recta

A continuación podemos ver la gráfica velocidad-tiempo para un objeto lanzado en línea recta y que cae en la mano del lanzador.

Fig. 20: Gráfica de velocidad-tiempo de un objeto lanzado al aire y atrapado a la misma altura.

La pelota se lanza hacia arriba con cierta velocidad inicial \(v_0\). A medida que la pelota llega a la cima —que será el punto máximo del lanzamiento—, su velocidad disminuye uniformemente hasta llegar a cero, donde la pelota queda en reposo durante un breve instante. Después, la pelota se mueve hacia abajo, con una velocidad uniformemente creciente \(v=gt\).

Como la distancia recorrida será la misma hacia arriba y hacia abajo (debido a la despreciable resistencia del aire), la velocidad inicial será igual a la velocidad final, pero con signo negativo \(-v_0\). Por tanto, el área de ambas regiones A y B será la misma, en este caso.

¿Por qué la pendiente de la gráfica es negativa y no positiva después de que \(v\) llega a cero? Como la dirección hacia arriba se toma como positiva, una vez que la dirección de la pelota cambia en el punto máximo, la pelota empezará a caer y el movimiento será hacia abajo, en la dirección negativa, con una aceleración constante de caída libre.

Gráfica de aceleración-tiempo para un objeto lanzado hacia arriba

A continuación se muestra la gráfica de aceleración-tiempo para un objeto lanzado directamente hacia arriba y que cae en la mano del lanzador.

Fig. 21: Gráfica de aceleración-tiempo de un objeto lanzado al aire y atrapado a la misma altura.

La aceleración es una constante \(g=-9,81\,\,\mathrm{m/s^2}\) durante todo el desplazamiento, ya que la gráfica velocidad-tiempo es uniformemente decreciente.

Después de lanzar la pelota al aire, la fuerza gravitacional actúa en la dirección opuesta al movimiento hacia arriba. Como el movimiento hacia arriba se considera positivo, la fuerza gravitatoria será negativa. Una vez que la pelota alcanza su punto máximo, cambiará de dirección. Por lo tanto, la fuerza gravitatoria seguirá siendo negativa.