Plano inclinado

¿Qué es un plano inclinado?

Un plano inclinado puede ser un escenario complicado, ya que debemos considerar las distintas componentes de cada fuerza aplicada.

Veamos un caso muy sencillo: una caja en un plano horizontal. En este caso, únicamente tenemos que tener en cuenta dos fuerzas: el peso de la caja que actúa hacia abajo y la fuerza de reacción del plano, que es igual y opuesta al peso. Como resultado del plano horizontal, la caja permanece inmóvil, según la Segunda Ley de Newton.

Fig. 2: El peso de una caja en un plano horizontal actúa perpendicularmente al plano. En un plano inclinado, esto no ocurre; pero, podemos dividir el peso en componentes paralelas y perpendiculares al plano.

Observa la figura anterior. Contrastamos la situación del plano horizontal con la del plano inclinado a su derecha. Para un plano inclinado, es útil descomponer la fuerza en componentes paralelas o perpendiculares al plano inclinado que estamos considerando. Podemos ver esta descomposición para el peso, que aparece como flechas de colores en la figura. Observa cómo una componente del peso empuja la caja hacia abajo por el plano, mientras que la otra lo hace contra la superficie del plano. Gracias a estas mismas componentes, un bloque en una pendiente inclinada se deslizará hacia abajo, sin perder el contacto con la pendiente.

En este artículo, aprenderemos a describir la aplicación de estas fuerzas en un plano inclinado, con más detalle matemático. Asimismo, comprenderemos cómo interviene el rozamiento en el movimiento de los objetos.

Tabla 1: Diferencias entre el plano y el plano inclinado.

Fuerzas en un plano inclinado

En este apartado, calcularemos los componentes del peso, utilizando la trigonometría. Pero antes, veamos por qué esto es útil.

• Para un objeto situado sobre una superficie plana, la fuerza normal apunta verticalmente hacia arriba. Está en la dirección opuesta al peso del objeto, porque la fuerza normal es una fuerza de contacto y, por tanto, actúa perpendicularmente a la superficie.
• Sin embargo, para un objeto situado en un plano inclinado, ¡la superficie no es perpendicular a la fuerza de la gravedad! Por tanto, la fuerza normal no actúa en dirección opuesta a la gravedad, sino perpendicularmente a la dirección del plano inclinado.

En la imagen anterior, mostramos la representación gráfica para dividir el peso del objeto en una componente perpendicular al plano inclinado (resaltada en azul) y otra componente paralela al plano inclinado (resaltada en rojo). Por tanto, la fuerza normal no será igual al peso, sino únicamente a la componente perpendicular del peso, que empuja al objeto contra el plano.

Ahora, para calcular estas componentes, es útil recordar algunas propiedades importantes de los ángulos:

1. La suma de todos los ángulos de un triángulo es igual a \(180^{\circ}\).
2. Si tenemos dos rectas paralelas \(a\) y \(b\) (como verás en la figura siguiente) y tenemos una línea transversal que las interseca, entonces los ángulos interiores correspondientes son congruentes.
   • En la figura, los ángulos \(\alpha\) y \(\beta\) tienen la misma medida, porque son ángulos interiores correspondientes.

Fig. 3: La figura ilustra la propiedad del ángulo interior, que establece que \(\alpha\) y \(\beta\) son iguales.

Entonces, ¿cómo podemos aplicar las dos propiedades anteriores a nuestro diagrama del plano inclinado? Volviendo al diagrama de la fig.2, podemos identificar un triángulo rectángulo formado por el plano. Como el ángulo de elevación es \(\theta\) y una de las otras medidas del ángulo es \(90^{\circ}\), es posible demostrar que el ángulo restante (llamémoslo \(x\)) debe medir \(90-\theta\):

\[\begin{align} \theta+90^{\circ}+x&=180 \\ x&=180-90-\theta \\ x&=90-\theta \end{align} \]

Además, las dos rectas del diagrama de abajo (indicadas con el color morado) son paralelas. Por tanto, de acuerdo con la propiedad del ángulo interior, sabemos que los dos ángulos indicados como \(90-\theta\) serán iguales.

Fig. 4: Diagrama que muestra los ángulos iguales, como consecuencia de la regla del ángulo interior.

Volviendo al ejemplo del que nos hemos valido: ahora que hemos identificado el ángulo que forma la caja con el plano inclinado, podemos proceder a calcular el ángulo entre la fuerza del peso hacia abajo (morado) y su componente perpendicular al plano inclinado (azul). El gráfico nos permite reconocer otro triángulo rectángulo, para poder establecer una ecuación para el ángulo desconocido. Describámoslo de forma similar a como lo hicimos antes:

\[\begin{align} y+(90^{\circ}-\theta)+90^{\circ}&=180^{\circ} \\ y&=180^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}+\theta \\ y&=\theta \end{align}\]

Fig. 5: Un triángulo rectángulo se define por la fuerza del peso y sus componentes.

¡Perfecto: ya tenemos el ángulo relativo a las componentes perpendicular y paralela de la fuerza del peso! Ahora podemos aplicar algo de trigonometría para calcular estas componentes. Empecemos recordando la las distintas razones trigonométricas:

\[\begin{align} \sin(\theta)&=\dfrac{\text{Opuesto}}{\text{Hipotenusa}} \\ \\ \cos(\theta)&=\dfrac{\text{Adyacente}}{\text{Hipotenusa}} \\ \\ \tan(\theta)&=\dfrac{\text{Opuesto}}{\text{Adyacente}} \end{align}\]

Ahora sí:

1. Calculemos la componente paralela (roja) de la figura anterior. Observa que la componente paralela es el lado opuesto al ángulo \(\theta\). Y, como conocemos el valor de la hipotenusa (\(mg\)) podemos utilizar la definición del \(\sin(\theta)\).
2. Aplicando el cociente, obtenemos\[ \sin(\theta)=\dfrac{\text{Opuesto}}{mg} \]
3. A partir de aquí, podemos resolver para el lado opuesto y determinar la componente paralela al plano inclinado \[\text{Opuesto}=mg\sin(\theta)=\
4. Del mismo modo, podemos calcular la componente normal (indicada en color azul), utilizando la definición del \(\cos(\theta\), ya que esta componente es el lado adyacente a \(\theta\): \[\cos(\theta)=\dfrac{\text{Adyacente}}{mg}\]

Finalmente, resolvemos para el lado adyacente, para determinar la componente normal:

\[\text{Adyacente}=mg\cos(\theta)=\text{Componente normal}\]

Fig. 6: Las componentes normal y paralela de la fuerza del peso se calculan mediante identidades trigonométricas.

Fórmula del plano inclinado

Ahora que hemos dividido el peso en sus componentes, podemos utilizar la segunda ley de Newton para calcular la aceleración del objeto por el plano inclinado. Empecemos por hacerlo para un caso ideal y despreciemos, por un momento, el rozamiento.

Supondremos, primero, que tenemos un plano liso —e ignoramos los efectos del rozamiento—. Como el movimiento del objeto es paralelo al plano inclinado, únicamente tenemos que considerar la componente del peso que actúa en esta dirección \(mg\sin(\theta)\). Igualando esto a la segunda ley de Newton, tenemos:

\[\begin{align} F&=m\cdot a \\ F&=m\cdot \sin(\theta) \end{align} \]

Por tanto, la aceleración del objeto desde el reposo es:

\[a=g\sin(\theta),\]

Donde:

• \(a\) es la aceleración hacia abajo en el plano, que se mide en \(\mathrm{m/s^2}\).

• \(g\) es la aceleración debida a la gravedad, en \(\mathrm{m/s^2}\)

• \(\theta\) es el ángulo entre la horizontal y el plano inclinado, medido en grados.

Fricción en un plano inclinado

En realidad, ningún plano inclinado es realmente liso. Por tanto, debemos considerar el efecto de la fricción.

La ecuación de la fuerza de rozamiento viene dada por:

\[F_f=\mu\cdot N ,\]

Donde:

• \(F_f\) es la fuerza de rozamiento, en newtons (\(\mathrm{N}\))

• \(N\) es la fuerza de reacción o componente normal del peso del objeto, en newtons (\(\mathrm{N}\))

• \(\mu\) es el coeficiente de rozamiento.

Ahora tenemos que considerar dos fuerzas: la fuerza debida al peso del objeto (que baja por el plano) y la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento (que sube por el plano). Entonces:

1. Siguiendo la segunda ley de Newton, podemos escribir la suma de las fuerzas que actúan sobre la caja como: \[\begin{align} F&=ma \\ mg\sin(\theta)-\mu mg\cos(\theta)&=ma ,\end{align}\]
   • Donde, el primer término de la parte izquierda de la segunda ecuación es la fuerza del peso que baja por la pendiente, y el segundo término es la fuerza de rozamiento que sube por la pendiente.
2. Observa que estamos resolviendo nuestra dirección positiva hacia abajo del plano, de modo que la fuerza de rozamiento es negativa (movimiento opuesto).
3. Reordenando ahora, para aislar la aceleración, vemos que: \[a=g\sin(\theta)-\mu g\cos(\theta),\], que nos da la aceleración del objeto sobre el plano inclinado.

Fricción estática vs. Fricción cinética

Es importante mencionar que, al considerar el rozamiento en un plano inclinado, existen dos tipos: la fricción estática y la cinética. En nuestros ejemplos anteriores, hemos supuesto que el objeto sobre el plano se deslizaría hacia abajo, una vez que lo hubiéramos colocado. Sin embargo, si el plano tuviera una superficie muy rugosa, ¿cómo podríamos saber si se desliza hacia abajo, o no? Por eso, tenemos que tener en cuenta la fricción estática.

Para que un objeto empiece a deslizarse por un plano inclinado, debe superar la fricción estática entre él y la superficie del plano inclinado. Sin embargo, una vez que empieza a moverse, el rozamiento tiende a ser menor. Por eso es más fácil mantener en movimiento un objeto que empezar a moverlo.

Para calcular la fricción, una vez que el objeto está en movimiento, medimos la fricción cinética.

La forma de calcular cada una de estas fuerzas de rozamiento es la misma: multiplicar la fuerza normal por el coeficiente correspondiente.

• \(\mu_e\) para la fricción estática.
• \(\mu_c\) para la fricción cinética.

En nuestros ejemplos anteriores, no lo dijimos explícitamente; pero, si te fijas, nos referimos al coeficiente de fricción cinética para nuestros cálculos, porque suponíamos que la caja ya estaba deslizando.

Ejemplos de un plano inclinado

Ya hemos visto cómo hallar la aceleración de un objeto en un plano inclinado. Vayamos un poco más lejos y veamos cómo hallar el tiempo que tarda el objeto en llegar abajo, a través de algunos ejemplos de problemas de planos inclinados.

Caja en un plano inclinado

Fig. 7: Las fuerzas son paralelas o perpendiculares al plano. La fricción se produce en la dirección opuesta al movimiento.

Consideremos la situación del diagrama anterior. Los valores a utilizar son los siguientes:

\(m=2,5\,\mathrm{kg}\), \(\theta=30^{\circ}\), el coeficiente de fricción cinética es \(\mu_c=0,3\) y tomamos la aceleración gravitatoria como \(9,8\,\mathrm{m/s^2}\).

Aquí estamos suponiendo que hay rozamiento entre el plano y la caja, pero que la caja sigue deslizándose hacia abajo.

Lo primero que queremos resolver es cuánto tardaría la caja en deslizarse hasta debajo de la pendiente. Ten en cuenta que suponemos que los objetos se mueven sin deslizarse. Esto significa que el borde del objeto que se mueve a lo largo del plano permanece en contacto con el plano durante todo el movimiento. Sin esta suposición, ¡el problema se complica mucho más!

Entonces, supongamos que la caja se coloca \(5\,\mathrm{m}\) a lo largo de la pendiente, desde abajo. Esto significa que la caja tiene que recorrer \(5\,\mathrm{m}\) antes de que su esquina toque el suelo. Anteriormente, hemos deducido la ecuación para calcular la aceleración de un objeto colocado sobre un plano inclinado rugoso. Introduzcamos nuestros datos en ella:

\[\begin{align} a&=g\sin(\theta)-\mu g\cos(\theta) \\ a&=9,81\,\mathrm{m/s^2}\cdot \sin(30^{\circ})-0,3\cdot 9,81\,\mathrm{m/s^2}\cdot \cos(30^{\circ}) \\ a&=2,4\,\mathrm{m/s^2}\end{align}\]

Ahora que tenemos nuestra aceleración en la pendiente, debemos recordar nuestras ecuaciones cinemáticas para el movimiento de objetos con aceleración constante. Esto nos permitirá calcular cuánto tardará la caja en llegar a la parte inferior de la pendiente. Como tenemos la distancia, la velocidad inicial y la aceleración, y queremos hallar el tiempo empleado, utilizamos:

\[d=v_it+\dfrac{1}{2}at^2,\]

Ahora, introducimos nuestros valores conocidos, que son \(d=5\,\mathrm{m}\), \(v_i=0\,\mathrm{m/s}\) (ya que el objeto está en reposo cuando se coloca en el plano), y \(a=2,4\,\mathrm{m/s^2}\).

\[5\,\mathrm{m}=\dfrac{1}{2}\cdot 2,4\,\mathrm{m/s^2}\cdot t^2\]

Así, ya podemos resolver:

\[t=\sqrt{\dfrac{2\cdot 5\,\mathrm{m}}{2,4\,\mathrm{m/s^2}}}=2\,\mathrm{s}\]

Experimento de Galileo

Hoy en día nos parece obvio que todos los objetos aceleran hacia la Tierra a un ritmo constante, y nos referimos a esta aceleración como la aceleración debida a la gravedad \(g\). Sin embargo, en el siglo XV, cuando nació el famoso físico Galileo Galilei, ¡no era un hecho muy conocido! De hecho, fue ingenioso por parte de Galileo plantear la hipótesis de que todos los objetos caían a la misma velocidad. ¿Cómo lo hizo?

La tecnología de la época no era lo que es ahora; no había temporizadores luminosos, ni cronómetros superprecisos para medir con exactitud el tiempo que tardaba un objeto en caer. En su lugar, Galileo recurrió a un experimento con un plano inclinado. Ignorando los efectos de la fricción de la época, creía que un objeto que aceleraba por un plano inclinado no era diferente de un objeto en caída libre. Solamente el valor de su aceleración sería ligeramente diferente, porque únicamente una componente de esta aceleración actúa a lo largo del plano. Con esta idea, Galileo pudo demostrar que todos los objetos aceleraban ¡exactamente al mismo ritmo! La razón por la que fue necesaria la versión de plano inclinado del experimento se debe a las limitaciones de su tecnología.

Montaje experimental

Fig. 8: Galileo midió el tiempo que tardaba la bola en rodar en distancias conocidas, como se ve en el diagrama.

Refiriéndose a la figura anterior, Galileo utilizó un montaje experimental similar, utilizando una rampa y midiendo una serie de distancias en todo el plano. Después, utilizando el reloj de agua antes mencionado, dejó que la bola rodara libremente por la rampa y registró el tiempo que tardaba la bola en recorrer las distintas distancias. Repitió este experimento varias veces, para obtener un tiempo medio, haciendo las mediciones más precisas. Esto sentó las bases de una buena experimentación científica.

Tras recopilar sus datos, Galileo descubrió que cuando la bola rodaba una distancia cuatro veces mayor que la de la primera medición, el tiempo empleado era el doble. Descubrió que este resultado era constante en todas las mediciones que realizaba, independientemente de las distancias que utilizara.

Conclusión experimental

Lo que Galileo extrajo de este experimento fue que la relación entre la distancia y el tiempo obedecía a:

\[s=\dfrac{1}{2}at^2,\]

Donde:

• \(s\) es la distancia recorrida por la bola, en \(\mathrm{m}\)

• \(a\) es la aceleración de la bola, en \(\mathrm{m/s^2}\)

• \(t\) es el tiempo que tarda la bola en rodar, en segundos.

¿Te resulta familiar? Es porque esta es la ecuación cinemática exacta que utilizamos en el apartado anterior para resolver el tiempo que tarda la bola en rodar por la rampa cuando la velocidad inicial de la bola es \(0\,\mathrm{m/s}\).

Galileo calculó entonces cómo relacionar la aceleración de la bola rodando por la rampa con la aceleración de la bola si estuviera en caída libre, o gravedad, como:

\[a=\dfrac{gh}{l},\]

Donde:

\(a\) es la aceleración de la bola, en \(\mathrm{m/s^2}\)

\(g\) es la aceleración gravitatoria, en \(\mathrm{m/s^2}\)

\(h\) es la altura de la rampa, en \(\mathrm{m}\)

\(l\) es la longitud de la rampa, en \(\mathrm{m}\)

Luego combinó sus dos ecuaciones y pudo resolver la aceleración gravitatoria:

\[\begin{align} s=\dfrac{1}{2}at^2 \\ s=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{gh}{l}\right)t^2 \\ g=\dfrac{2sl}{ht^2} \end{align} \]

Esto fue revolucionario para la física de la época, pues ¡Galileo consiguió calcular la aceleración gravitatoria con una simple olla de agua, una bola y una rampa!