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Momento angular

Momento angular

A lo mejor te encanta el fútbol y no te pierdes ni un partido de ninguna competición. No tiene que ser el fútbol, puede ser que te guste el baloncesto, el tenis, el balonmano, etc. O también puede ser que no te interesen mucho algunos de estos deportes, aunque seguro que has visto alguna vez un partido. Pero, ¿sabías que mientras ves uno de estos deportes, también estás observando la física en acción?

Por ejemplo, cuando tu jugador de fútbol favorito chuta el balón, le da un ligero giro, de modo que que se mueve rápidamente mientras vuela hacia la portería. Los aficionados al fútbol lo llaman rosca, pero lo que está en juego es el momento angular.

El fútbol es un juego de física; y no solo el fútbol, cualquier otro deporte también. Por lo tanto, utilicemos estos ejemplos como punto de partida para comprender mejor el momento angular.

¿Qué es el momento angular?

El momento angular ( \(\vec{L}\) ) es el equivalente rotacional del momento lineal. Se trata de una cantidad vectorial que describe el momento de rotación de un objeto que gira.

Matemáticamente, el momento angular puede expresarse como el producto del momento de inercia de un objeto con respecto al eje de rotación y la velocidad angular. El momento angular puede aplicarse al movimiento circular, pero también puede aplicarse al movimiento no circular —cuando se estudia la dirección del movimiento perpendicular al radio—.

Dirección del momento angular

La dirección del momento angular puede determinarse mediante la regla de la mano derecha, en la que los cuatro dedos representan la dirección del movimiento, mientras que el pulgar representa la dirección del momento de la velocidad angular.

Momento angular Dirección del momento angular StudySmarterFig. 1: La regla de la mano derecha utilizada para encontrar la dirección del momento angular.

  • Si la dirección del movimiento es contraria a las agujas del reloj, el momento angular es positivo.

  • Si la dirección del movimiento es en el mismo sentido de las agujas del reloj, el momento angular es negativo.

Fórmula del momento angular

Como podrás ver en la figura 2, una partícula puntual se mueve con un movimiento circular y se crea un plano entre la velocidad lineal \(v\) y el vector de posición \(r\).

  • La magnitud del momento angular para una partícula puntual en rotación es el producto de la masa de la partícula \(m\), los vectores de posición y velocidad, y el ángulo \(\theta\) entre ellos: \[|\vec{L}|=m\cdot v\cdot r\cdot sin(\theta)\]
  • El ángulo \(\theta\) generado entre los dos vectores \(r\) y \(v\) puede estar en un rango de \(0 \leq \theta \leq 180\) grados. Por lo tanto, la fórmula del momento angular, también, se puede escribir en términos del momento, donde \(p\) es el momento lineal.\[|\vec{L}|=p\cdot r\cdot sin(\theta)\]

Momento angular Fórmula del momento angular StudySmarterFig. 2: Diagrama de los componentes del momento angular.

A partir de ahora trataremos las magnitudes como escalares, para que sea más sencillo.

Lo que acabamos de ver puede modificarse para adaptarse mejor a los casos de movimiento circular utilizando la velocidad angular en lugar de la velocidad lineal. Como se muestra en la figura 3, el momento angular \(\vec{L}\) de una partícula puntual que se mueve en una trayectoria circular es perpendicular al plano formado por el radio vector \(\vec{r}\) y el vector velocidad lineal \(\vec{v}\).

Por lo tanto, sustituyendo la velocidad angular en lugar de la velocidad lineal en la fórmula, obtenemos una ecuación que también puede escribirse en términos del momento de inercia. El momento angular se mide en \(\mathrm{kg\cdot m^2/s}\). La ecuación siguiente muestra que el momento angular tiene la misma forma que el momento lineal. Sin embargo, el momento de inercia \(I\) es el recíproco de la masa \(m\), mientras que la velocidad angular \(\vec{\omega\}) es recíproca a la aceleración lineal \(\vec{a}\) en el movimiento lineal:

\[\begin{align}v&=r\cdot \omega\\L=m\cdot r\cdot v&=m\cdot r\cdot (r\cdot \omega)=m\cdot r^2\cdot \omega \\ L&=I\cdot \omega \end{align} \]

Momento angular Momento Inercia StudySmarterFig. 3: Vectores que forman el momento angular.

Momento angular y las leyes de Newton

La segunda ley de Newton sobre el movimiento lineal establece que la aceleración \(a\) de un objeto que se mueve linealmente es proporcional a la fuerza neta \(F\) que actúa sobre el cuerpo y tiene una magnitud inversamente proporcional a su masa como se describe en la ecuación siguiente—:

\[\begin{align}\sum F&=a\cdot m\\a&=\dfrac{\sum F}{m}\end{align} \]

Esto también puede aplicarse en términos de momento angular, cuando un objeto está girando.

La segunda ley de Newton para el movimiento angular establece que la aceleración angular \(\alpha\) de un objeto en rotación es directamente proporcional a la suma de los torques \(\tau\) que actúa sobre el eje de rotación del objeto. Por otra parte, la aceleración angular es inversamente proporcional al momento de inercia \(I\) con respecto al eje de rotación. Esto se muestra en la siguiente ecuación, donde \(\alpha\) es la aceleración rotacional, mientras que \(I\) es el momento de inercia, que es el recíproco de la masa en el movimiento lineal:

\[\begin{align}\sum \tau &= I\cdot \alpha \\ \alpha &=\dfrac{\sum \tau }{I} \end{align}\]

Ley de Newton generalizada para el movimiento angular

La segunda ley de Newton puede expresarse en términos de momento lineal en los casos de movimiento lineal cuando la masa es constante. Del mismo modo, para el movimiento angular cuando el momento de inercia es constante, la ley de Newton también puede expresarse en términos de momento angular.

La tasa de cambio del momento angular de un cuerpo con respecto a algún punto del espacio es igual a la suma del torque que incide sobre el cuerpo con respecto a ese punto:

\[ \sum \tau =\dfrac{\Delta L}{\Delta t}\]

Aquí, el torque es el producto de la fuerza aplicada multiplicada por la distancia perpendicular al eje de rotación y el seno del ángulo entre ellos. El torque se mide en \(\mathrm{N\cdot m}\).

En los siguientes ejemplos se aplica lo que has aprendido:

Un disco metálico gira con una velocidad angular de \(18\,\,\mathrm{rad/s}\). El disco tiene un momento de inercia de \(0,05\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\).

Calcula el momento angular.

Solución:

Utilizando la fórmula del momento angular y sustituyendo las variables dadas para la velocidad angular y el momento de inercia, obtenemos: \[L=I\cdot \omega =0,05\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\cdot 18\,\,\mathrm{rad/s}=0,9\,\,\mathrm{kg\cdot m^2/s}\]

Una pequeña bola de \(0,3\,\,\mathrm{kg}\) gira alrededor de un eje situado a \(0,2\,\,\mathrm{m}\) de distancia con una velocidad de \(5\,\,\mathrm{rad/s}\).

Determina el momento angular de la bola.

Solución:

El momento angular es el producto del momento de inercia por la velocidad angular. Esto nos da:

\[I=m\cdot r^2=0,3\,\,\mathrm{kg}\cdot (0,2\,\,\mathrm{m})^2=0,012\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\]

A continuación, sustituimos la velocidad angular dada para determinar el momento angular:

\[L=I\cdot\omega=0,012\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\cdot 5\,\,\mathrm{s^{-1}}=0,06\,\,\mathrm{kg\cdot m^2/s}\]

Conservación del momento angular y ejemplos

Como dice la ley generalizada de Newton para el movimiento angular, la suma de los torques es igual a la tasa de cambio del momento angular.

Sin embargo, si la suma de los torques que actúan sobre un cuerpo o sistema con respecto a un punto del espacio es cero, la conservación del momento angular establece que el momento angular total de un cuerpo con respecto a ese punto se conserva y permanece constante. Esto puede expresarse, matemáticamente, de la siguiente manera:

\[\begin{align}\sum \tau =\dfrac{\Delta L}{\Delta t}=0&\rightarrow \Delta L=0\\L_{inicial}&=L_{final} \end{align}\]

Un disco con un momento de inercia de \(0,02\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\) está girando sin influencia de fuerzas externas a una velocidad de \(5\,\,\mathrm{rad/s}\). De repente, se deja caer una moneda sobre el disco; esto hace que su momento de inercia aumente a \(0,025\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\).

De acuerdo con esta información, determina la velocidad angular después del impacto.

Solución:

Comenzamos utilizando la conservación del momento angular:

\[\sum \tau=\dfrac{\Delta L}{\Delta t}=0\rightarrow L_{inicial}=L_{final}\]

Entonces, necesitamos encontrar el momento angular antes y después del impacto:

\[L_{antes}=I_1\cdot\omega_1=0,02\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\cdot 5\,\,\mathrm{s^{-1}}=0,1\,\,\mathrm{kg\cdot m^2/s}\]

Al igualar el momento angular inicial y final, podemos determinar la velocidad angular final:

\[\begin{align}L_{antes}&=L_{despues}\\0,1\,\,\mathrm{kg\cdot m^2/s}&=I_2\cdot \omega_2 \end{align}\]

Finalmente, reordenamos para que \(\omega_2\) sea el sujeto:

\[0,025\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\cdot\omega_2=0,1\,\,\mathrm{kg\cdot m^2/s}\rightarrow \omega_2=\dfrac{0,1\,\,\mathrm{kg\cdot m^2/s}}{0,025\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}}\]

\[\omega_2=4\,\,\mathrm{rad/s}\]

Momento angular en un sólido rígido

Imaginemos, ahora, un sólido rígido.

Recordemos que un sólido rígido es una estructura formada por partículas con una cierta masa y que se mantienen a una distancia constante.

Para entender el momento angular en un sólido rígido, consideramos que este gira alrededor de un eje como podría ser su eje de rotación con una velocidad angular \(\omega\).

Con tal de simplificar el problema, nos centramos ahora en una partícula \(m_i\) que forma el sólido. Esta partícula, en función de su posición, tendrá en radio con respecto al eje de rotación \(r_i\). Por tanto, podremos calcular su momento angular de la siguiente manera:

\[\begin{align}L_i&=m_i\cdot v_i\cdot r_i \\ L_i&=m_i\cdot \omega\cdot r_i^2 \end{align}\]

Como ya sabemos el momento angular de una partícula, ahora es tan sencillo como sumar los momentos angulares de todas las partículas que conforman el sólido rígido, del tal manera que tendremos:

\[\sum L_i=\omega \sum_{i=1}^N m_i r_i^2\]

Si te fijas, el sumatorio del producto de las masas y los radios no es el momento de inercia de la figura. Por tanto, se obtiene la fórmula que relaciona el momento angular y el momento de inercia que habíamos visto antes:

\[L=I\cdot \omega\]

Momento angular - Puntos clave

  • El momento angular es el recíproco del momento lineal para el movimiento angular.
  • El momento angular tiene la misma forma que el momento lineal, donde el momento de inercia es el recíproco de la masa y la velocidad angular es el recíproco de la aceleración lineal.
  • El momento angular de una figura se puede calcular mediante \[|\vec{L}|=m\cdot v\cdot r\cdot sin(\theta)\]
  • La ley del movimiento de Newton también puede expresarse en términos del momento de inercia y generalizarse para el movimiento angular.
  • Cuando no actúan fuerzas externas sobre un cuerpo, el momento angular permanece constante.
  • El momento angular de una figura es proporcional a su momento de inercia.
  • Para un sólido rígido, el momento angular del sólido es la suma de momentos de sus partículas.

Preguntas frecuentes sobre Momento angular

El momento angular (L) es el equivalente rotacional del momento lineal; es una cantidad vectorial que describe el momento de rotación de un objeto que gira.

El momento angular se puede calcular con el radio respecto al eje al que gira una partícula, su velocidad lineal y el ángulo que forman mediante la siguiente fórmula:
L=v·r·sin(θ)

Además, si sabemos el momento de inercia de la figura que está girando y su velocidad angular, tenemos la siguiente ecuación:

L=I·ω.

Si el momento angular no se conserva significa que hay una fuerza externa actuando sobre el objeto.

Para calcular el momento angular total de una figura podemos sumar el momento angular de todas las partículas que la forman, tal que:

∑ Li=ω ∑ mi·ri

Esto da como resultado:

L=I·ω.


La dirección del momento angular puede determinarse mediante la regla de la mano derecha, en la que los cuatro dedos representan la dirección del movimiento, mientras que el pulgar representa la dirección del momento de la velocidad angular.

Cuestionario final de Momento angular

Pregunta

¿Qué es el momento angular?

Mostrar respuesta

Answer

Es una cantidad vectorial que describe el momento de rotación de un objeto que gira.

Show question

Pregunta

Utilizando la regla de la mano derecha, ¿qué representa el pulgar?

Mostrar respuesta

Answer

El momento angular \(\vec{L}\).

Show question

Pregunta

Utilizando la regla de la mano derecha, ¿qué representan los dedos?

Mostrar respuesta

Answer

La dirección de la rotación.

Show question

Pregunta

¿Cómo puedes calcular el momento angular? 

Mostrar respuesta

Answer

\[|\vec{L}|=m\cdot v\cdot r\cdot sin( \theta) \].

Show question

Pregunta

El momento de inercia \(I\) es el recíproco de la masa \(m\) en el momento lineal: ¿Verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Verdadero.

Show question

Pregunta

La velocidad angular \(\vec{\omega}\) es el recíproco de la velocidad lineal \(\vec{v}\) en el movimiento lineal: ¿Verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Falso.

Show question

Pregunta

La aceleración angular es proporcional a la suma de ______.

Mostrar respuesta

Answer

Torques.

Show question

Pregunta

¿Cómo podemos expresar la aceleración angular? 

Mostrar respuesta

Answer

\[\alpha =\dfrac{\sum \tau }{I} \].

Show question

Pregunta

¿Cuáles son las unidades del momento angular?

Mostrar respuesta

Answer

\[\mathrm{kg\cdot m/s^2}\].

Show question

Pregunta

La suma de momentos angulares siempre es cero: ¿Verdadero o falso? 

Mostrar respuesta

Answer

Falso.

Show question

Pregunta

¿Qué sucede si la suma de los torques es cero?

Mostrar respuesta

Answer

El momento angular se conserva. Por tanto, el momento angular inicial y el final serán igual.

Show question

Pregunta

En un sólido rígido, la suma de los momentos angulares de todas las partículas es el momento angular final del sólido: ¿Verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Verdadero.

Show question

Pregunta

¿Una figura con un momento de inercia mayor que otra y la misma velocidad angular tendrá mayor o menor momento angular?

Mostrar respuesta

Answer

Mayor, dado que son directamente proporcionales. 

Show question

Pregunta

Si una partícula aumenta el radio respecto al eje de rotación, ¿qué le pasa a su momento angular?

Mostrar respuesta

Answer

Aumenta también. 

Show question

Pregunta

Si la dirección del movimiento es contraria a las agujas del reloj, el momento angular es _____.

Mostrar respuesta

Answer

Positivo. 

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