A lo mejor te encanta el fútbol y no te pierdes ni un partido de ninguna competición. No tiene que ser el fútbol, puede ser que te guste el baloncesto, el tenis, el balonmano, etc. O también puede ser que no te interesen mucho algunos de estos deportes, aunque seguro que has visto alguna vez un partido. Pero, ¿sabías que mientras ves uno de estos deportes, también estás observando la física en acción?
Por ejemplo, cuando tu jugador de fútbol favorito chuta el balón, le da un ligero giro, de modo que que se mueve rápidamente mientras vuela hacia la portería. Los aficionados al fútbol lo llaman rosca, pero lo que está en juego es el momento angular.
El fútbol es un juego de física; y no solo el fútbol, cualquier otro deporte también. Por lo tanto, utilicemos estos ejemplos como punto de partida para comprender mejor el momento angular.
¿Qué es el momento angular?
El momento angular ( \(\vec{L}\) ) es el equivalente rotacional del momento lineal. Se trata de una cantidad vectorial que describe el momento de rotación de un objeto que gira.
Matemáticamente, el momento angular puede expresarse como el producto del momento de inercia de un objeto con respecto al eje de rotación y la velocidad angular. El momento angular puede aplicarse al movimiento circular, pero también puede aplicarse al movimiento no circular —cuando se estudia la dirección del movimiento perpendicular al radio—.
Dirección del momento angular
La dirección del momento angular puede determinarse mediante la regla de la mano derecha, en la que los cuatro dedos representan la dirección del movimiento, mientras que el pulgar representa la dirección del momento de la velocidad angular.
Fig. 1: La regla de la mano derecha utilizada para encontrar la dirección del momento angular.
Si la dirección del movimiento es contraria a las agujas del reloj, el momento angular es positivo.
Si la dirección del movimiento es en el mismo sentido de las agujas del reloj, el momento angular es negativo.
Fórmula del momento angular
Como podrás ver en la figura 2, una partícula puntual se mueve con un movimiento circular y se crea un plano entre la velocidad lineal \(v\) y el vector de posición \(r\).
- La magnitud del momento angular para una partícula puntual en rotación es el producto de la masa de la partícula \(m\), los vectores de posición y velocidad, y el ángulo \(\theta\) entre ellos: \[|\vec{L}|=m\cdot v\cdot r\cdot sin(\theta)\]
- El ángulo \(\theta\) generado entre los dos vectores \(r\) y \(v\) puede estar en un rango de \(0 \leq \theta \leq 180\) grados. Por lo tanto, la fórmula del momento angular, también, se puede escribir en términos del momento, donde \(p\) es el momento lineal.\[|\vec{L}|=p\cdot r\cdot sin(\theta)\]
Fig. 2: Diagrama de los componentes del momento angular.
A partir de ahora trataremos las magnitudes como escalares, para que sea más sencillo.
Lo que acabamos de ver puede modificarse para adaptarse mejor a los casos de movimiento circular utilizando la velocidad angular en lugar de la velocidad lineal. Como se muestra en la figura 3, el momento angular \(\vec{L}\) de una partícula puntual que se mueve en una trayectoria circular es perpendicular al plano formado por el radio vector \(\vec{r}\) y el vector velocidad lineal \(\vec{v}\).
Por lo tanto, sustituyendo la velocidad angular —en lugar de la velocidad lineal— en la fórmula, obtenemos una ecuación que también puede escribirse en términos del momento de inercia. El momento angular se mide en \(\mathrm{kg\cdot m^2/s}\). La ecuación siguiente muestra que el momento angular tiene la misma forma que el momento lineal. Sin embargo, el momento de inercia \(I\) es el recíproco de la masa \(m\), mientras que la velocidad angular \(\vec{\omega\}) es recíproca a la aceleración lineal \(\vec{a}\) en el movimiento lineal:
Esto también puede aplicarse en términos de momento angular, cuando un objeto está girando.
La segunda ley de Newton para el movimiento angular establece que la aceleración angular \(\alpha\) de un objeto en rotación es directamente proporcional a la suma de los torques \(\tau\) que actúa sobre el eje de rotación del objeto. Por otra parte, la aceleración angular es inversamente proporcional al momento de inercia \(I\) con respecto al eje de rotación. Esto se muestra en la siguiente ecuación, donde \(\alpha\) es la aceleración rotacional, mientras que \(I\) es el momento de inercia, que es el recíproco de la masa en el movimiento lineal:
\[\begin{align}\sum \tau &= I\cdot \alpha \\ \alpha &=\dfrac{\sum \tau }{I} \end{align}\]
Ley de Newton generalizada para el movimiento angular
La segunda ley de Newton puede expresarse en términos de momento lineal —en los casos de movimiento lineal— cuando la masa es constante. Del mismo modo, para el movimiento angular cuando el momento de inercia es constante, la ley de Newton también puede expresarse en términos de momento angular.
La tasa de cambio del momento angular de un cuerpo con respecto a algún punto del espacio es igual a la suma del torque que incide sobre el cuerpo con respecto a ese punto:
\[ \sum \tau =\dfrac{\Delta L}{\Delta t}\]
Aquí, el torque es el producto de la fuerza aplicada multiplicada por la distancia perpendicular al eje de rotación y el seno del ángulo entre ellos. El torque se mide en \(\mathrm{N\cdot m}\).
En los siguientes ejemplos se aplica lo que has aprendido:
Un disco metálico gira con una velocidad angular de \(18\,\,\mathrm{rad/s}\). El disco tiene un momento de inercia de \(0,05\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\).
Calcula el momento angular.
Solución:
Utilizando la fórmula del momento angular y sustituyendo las variables dadas para la velocidad angular y el momento de inercia, obtenemos: \[L=I\cdot \omega =0,05\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\cdot 18\,\,\mathrm{rad/s}=0,9\,\,\mathrm{kg\cdot m^2/s}\]
Una pequeña bola de \(0,3\,\,\mathrm{kg}\) gira alrededor de un eje situado a \(0,2\,\,\mathrm{m}\) de distancia con una velocidad de \(5\,\,\mathrm{rad/s}\).
Determina el momento angular de la bola.
Solución:
El momento angular es el producto del momento de inercia por la velocidad angular. Esto nos da:
\[I=m\cdot r^2=0,3\,\,\mathrm{kg}\cdot (0,2\,\,\mathrm{m})^2=0,012\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\]
A continuación, sustituimos la velocidad angular dada para determinar el momento angular:
\[L=I\cdot\omega=0,012\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\cdot 5\,\,\mathrm{s^{-1}}=0,06\,\,\mathrm{kg\cdot m^2/s}\]
Conservación del momento angular y ejemplos
Como dice la ley generalizada de Newton para el movimiento angular, la suma de los torques es igual a la tasa de cambio del momento angular.
Sin embargo, si la suma de los torques que actúan sobre un cuerpo o sistema con respecto a un punto del espacio es cero, la conservación del momento angular establece que el momento angular total de un cuerpo con respecto a ese punto se conserva y permanece constante. Esto puede expresarse, matemáticamente, de la siguiente manera:
\[\begin{align}\sum \tau =\dfrac{\Delta L}{\Delta t}=0&\rightarrow \Delta L=0\\L_{inicial}&=L_{final} \end{align}\]
Un disco con un momento de inercia de \(0,02\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\) está girando sin influencia de fuerzas externas a una velocidad de \(5\,\,\mathrm{rad/s}\). De repente, se deja caer una moneda sobre el disco; esto hace que su momento de inercia aumente a \(0,025\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\).
De acuerdo con esta información, determina la velocidad angular después del impacto.
Solución:
Comenzamos utilizando la conservación del momento angular:
\[\sum \tau=\dfrac{\Delta L}{\Delta t}=0\rightarrow L_{inicial}=L_{final}\]
Entonces, necesitamos encontrar el momento angular antes y después del impacto:
\[L_{antes}=I_1\cdot\omega_1=0,02\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\cdot 5\,\,\mathrm{s^{-1}}=0,1\,\,\mathrm{kg\cdot m^2/s}\]
Al igualar el momento angular inicial y final, podemos determinar la velocidad angular final:
\[\begin{align}L_{antes}&=L_{despues}\\0,1\,\,\mathrm{kg\cdot m^2/s}&=I_2\cdot \omega_2 \end{align}\]
Finalmente, reordenamos para que \(\omega_2\) sea el sujeto:
\[0,025\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\cdot\omega_2=0,1\,\,\mathrm{kg\cdot m^2/s}\rightarrow \omega_2=\dfrac{0,1\,\,\mathrm{kg\cdot m^2/s}}{0,025\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}}\]
\[\omega_2=4\,\,\mathrm{rad/s}\]
Momento angular en un sólido rígido
Imaginemos, ahora, un sólido rígido.
Recordemos que un sólido rígido es una estructura formada por partículas con una cierta masa y que se mantienen a una distancia constante.
Para entender el momento angular en un sólido rígido, consideramos que este gira alrededor de un eje —como podría ser su eje de rotación— con una velocidad angular \(\omega\).
Con tal de simplificar el problema, nos centramos ahora en una partícula \(m_i\) que forma el sólido. Esta partícula, en función de su posición, tendrá en radio con respecto al eje de rotación \(r_i\). Por tanto, podremos calcular su momento angular de la siguiente manera:
\[\begin{align}L_i&=m_i\cdot v_i\cdot r_i \\ L_i&=m_i\cdot \omega\cdot r_i^2 \end{align}\]
Como ya sabemos el momento angular de una partícula, ahora es tan sencillo como sumar los momentos angulares de todas las partículas que conforman el sólido rígido, del tal manera que tendremos:
\[\sum L_i=\omega \sum_{i=1}^N m_i r_i^2\]
Si te fijas, el sumatorio del producto de las masas y los radios no es el momento de inercia de la figura. Por tanto, se obtiene la fórmula que relaciona el momento angular y el momento de inercia que habíamos visto antes:
\[L=I\cdot \omega\]
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