Las colisiones, o choques, se producen todo el tiempo a muchas escalas diferentes:
- En los tamaños más pequeños, los aceleradores de partículas estudian las colisiones de partículas de alta energía.
- En el otro extremo del espectro, existe la creencia generalizada de que la colisión de la Tierra con otro planeta más pequeño dio lugar a la formación de la Luna.
Sin embargo, los resultados de ambas colisiones se rigen exactamente por las mismas ecuaciones matemáticas, que pueden utilizarse porque las leyes de la física son siempre las mismas (aunque a escala microscópica, la cuántica tiene algo que decir). Interesante, ¿no te parece? ¡Sigue leyendo para saber cómo podemos utilizar estas leyes para predecir los resultados de las colisiones!
¿Qué es un choque?
Empecemos por especificar a qué llamamos colisión, o choque, en física.
Una colisión es el encuentro repentino de dos cuerpos, que ejercen una fuerza entre sí, en un intervalo de tiempo relativamente corto.
Por ejemplo:
Una bola de billar que golpea a otra es un caso habitual de colisión. Muy a menudo, las colisiones se modelan utilizando objetos parecidos a bolas de billar, que facilitan su visualización.
Las matemáticas que hay detrás de las colisiones pueden ser muy importantes en la vida cotidiana. Se pueden utilizar ecuaciones sencillas, que tienen que ver con el momento de los objetos, para calcular la fuerza ejercida sobre un objeto en una colisión.
Estos análisis pueden ser muy útiles para evaluar la peligrosidad de un vehículo en caso de colisión, por ejemplo.
Impulso
El impulso de un objeto no cambia a menos que actúe sobre él una fuerza neta. Cuando una fuerza actúa sobre el objeto, el momento del objeto cambia, lo que se denomina impulso.
El impulso de un objeto en una colisión es igual al cambio de momento del objeto antes y después de la colisión.
El impulso \(\vec{J}\) se define mediante la ecuación:
\[\vec{J}=\Delta p=\vec{p}_f-\vec{p}_i\]
En la que \(\vec{p}_f\) es el momento final y \(\vec{p}_i\) es el momento inicial.
Al igual que el momento, el impulso es una cantidad vectorial; lo que significa que tiene una dirección, además de una magnitud.
Es importante tener en cuenta que la ecuación anterior puede no ser muy útil, si no conocemos los momentos inicial y final. Pero, ¿si sólo conocemos la fuerza que actúa sobre un objeto durante una colisión? Para tratar estos casos, podemos derivar una ecuación para el impulso, en función de la fuerza externa aplicada.
Recordamos la segunda ley de Newton:
\[\vec{F}=m\cdot\vec{a}.\]
Puesto que la aceleración se define como el cambio de velocidad dividido por el tiempo que tarda en cambiar dicha velocidad, puede escribirse como:
\[\vec{a}=\dfrac{\vec{v}_f-\vec{v}_i}{t_f-t_i},\]
Donde los subíndices \(f\) e \(i\) indican las velocidades y tiempos final e inicial, respectivamente.
Podemos sustituir esta expresión, en la segunda ley de Newton, para obtener:
\[\vec{F}=m\dfrac{\vec{v}_f-\vec{v}_i}{t_f-t_i}.\]
Pero, la definición de momento es:
\[\vec{p}=m\cdot\vec{v}.\]
Entonces, podemos definir la fuerza como:
\[\vec{F}=\dfrac{\vec{p}_f-\vec{p}_i}{t_f-t_i}.\]
También, podemos escribir la ecuación de forma más compacta, utilizando la letra griega delta \((\Delta)\) para representar el cambio en una variable. Veamos cómo funciona:
\[\begin{align} \Delta \vec{p}=\vec{p}_f-\vec{p}_i \\ \Delta t=t_f-t_i \end{align}\]
Utilizando esta notación, la ecuación de la fuerza pasa a ser:
\[\vec{F}=\dfrac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}.\]
¡Esta es otra forma de escribir la segunda ley de Newton!
Y, como sabemos que el cambio de momento es igual al impulso, podemos reescribir la ecuación como:
\[\vec{F}=\vec{J}/\Delta t ,\]
que puede reordenarse para aislar el impulso:
\[\vec{J}=\vec{F}\Delta t\]
Ahora tenemos una ecuación para calcular el impulso si conocemos la fuerza externa aplicada y el periodo de tiempo durante el que actuó. Además, si la fuerza varía linealmente con el tiempo, entonces podemos utilizar la media de las fuerzas inicial y final durante un periodo de tiempo para hallar el impulso:
\[\vec{J}=\vec{F}_{m}\Delta t ,\]
Donde \(\vec{F}_{m}\) es la fuerza media durante el periodo de tiempo.
La unidad del impulso es \(\mathrm{N\cdot s}\), ya que corresponde a la unidad de fuerza multiplicada por la unidad de tiempo.
Fig. 1: El impulso debido a una fuerza puede hallarse a partir del área bajo una gráfica fuerza-tiempo.
Un coche, que circula a \(15\,\mathrm{m/s}\), choca de frente contra un muro y se detiene por completo. La masa del coche es \(2000\mathrm{kg}\). ¿Cuál es el impulso que recibe el coche en esta colisión?
.
Fig. 2: Simulación de un coche que choca contra un muro y se detiene.
Podemos utilizar la fórmula del impulso \(J\) en términos del momento:
\[J=p_f-p_i\]
Y la definición de momento:
\[p=mv\]
Juntando ambas, obtenemos la siguiente ecuación para el impulso:
\[J=mv_f-mv_i\]
Observa que el momento final \(mv_f\) es cero, ya que el problema establece que el coche se detiene por completo.
Por tanto, el impulso es igual al momento inicial y puede hallarse fácilmente a partir de la ecuación anterior:
\[J=p_i=mv_i=15\cdot 2000=30\,000\,\mathrm{N\cdot s}\]
Conservación del momento
La ley de la conservación del momento afirma que el momento siempre se conserva en las colisiones cuando no hay fuerzas externas presentes.
Cuando se produce una colisión (por ejemplo) entre dos partículas, ambas ejercen fuerzas iguales y opuestas entre sí. Por ello, cada partícula provoca un impulso sobre la otra. Esto significa que no existe una fuerza neta que actúe sobre las dos partículas como sistema.
Según la tercera ley de Newton, las dos partículas ejercen fuerzas iguales y opuestas entre sí cuando chocan; de modo que:
\[\vec{F}_1=\vec{F}_2 ,\]
donde \(\vec{F}_1\) es la fuerza debida a la primera partícula sobre la otra y \(\vec{F}_2\) es la fuerza debida a la segunda partícula sobre la primera.
El tiempo que dura la colisión, digamos \(\Delta t\), es el mismo para ambas partículas; por lo que podemos multiplicar ambos lados por él para obtener:
\[\vec{F}_1\Delta t=\vec{F}_2\Delta t ,\]
¡Pero, puede que reconozcas la forma de esta ecuación! Dice que el impulso de la partícula uno es igual al impulso de la partícula dos, y dirigido en sentido contrario:
\[\vec{J}_1=-\vec{J}_2\]
El impulso sobre una partícula en una colisión es igual a la diferencia entre su momento final y su momento inicial: \(\vec{J}=\vec{p}_f-\vec{p}_i\)
Por lo que la ecuación anterior se convierte en:
\[m_1\vec{v}_1+m_1\vec{u}_1=-(m_2\vec{v}_2-m_2\vec{u}_2)=m_2\vec{u}_2-m_2\vec{v}_2\]
Que, a su vez, puede reordenarse en:
\[m_1\vec{u}_1+m_2\vec{u}_2=m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2\]
El lado izquierdo de esta ecuación es el momento inicial total de las dos partículas y el lado derecho es el momento final total. Esto significa que el momento se conserva, lo que se conoce como la ley de la conservación del momento, que hemos definido anteriormente.
Aunque hemos tomado el ejemplo de una colisión de únicamente dos partículas, este principio se aplica a cualquier sistema, independientemente del número de partículas presentes.
Si sobre un sistema de partículas no actúa ninguna fuerza externa neta, el momento total de las partículas no puede cambiar. Esta es la ley de conservación del momento lineal.
Esta ley únicamente se aplica si el sistema está cerrado.
En un sistema cerrado, las partículas no pueden entrar ni salir. Las partículas que componen el sistema solamente están sujetas a las fuerzas que ejercen sobre sí mismas, que se conocen como fuerzas internas.
Tipos de choques
La energía cinética no siempre se conserva en las colisiones, a diferencia del momento lineal. Por tanto, en función de si esta se conserva o no, distinguimos diferentes tipos de choques.
Colisiones elásticas
Si la energía cinética total de un sistema antes y después de una colisión no varía \(E_{c1}=E_{c2}\), se trata de una colisión elástica.
Una colisión elástica es una colisión en la que se conserva la energía cinética.
Colisiones inelásticas
En las colisiones que se producen en condiciones cotidianas, como el choque de dos coches, la energía cinética no se conserva \(E_{c1}\neq E_{c2}\). Esto se debe a que parte de la energía cinética inicial siempre se convierte en otras formas de energía, como energía térmica y energía acústica. Por tanto, la energía cinética total disminuye; estas colisiones se denominan colisiones inelásticas. Las colisiones de la vida real, a veces, pueden aproximarse como elásticas si se pierde muy poca energía cinética.
Un ejemplo de ello es cuando chocan bolas de billar.
Una colisión inelástica es una colisión en la que no se conserva la energía cinética.
La mayor pérdida de energía cinética en una colisión se produce cuando las partículas permanecen juntas después.
Una colisión completamente inelástica es una colisión en la que se pierde la máxima cantidad de energía cinética.
Por ejemplo, si lanzaras una bola de arcilla contra una pared y se quedara pegada, se perdería toda la energía cinética inicial de la arcilla.
Ejercicio de colisiones elásticas e inelásticas
Veamos un ejercicio de un choque entre dos bolas de billar, en el que se produce una colisión inelástica. En este caso, no necesitaremos aplicar que la energía cinética no se conserva, ya que tenemos datos suficientes para resolver el problema con la ley de la conservación del momento.
Una bola de billar es golpeada por un taco, e incide sobre otra bola idéntica. La colisión se muestra en la figura a continuación. Mirando desde arriba de la mesa, la primera bola se desvía hacia arriba formando un ángulo de \(\theta=45^{\circ}\), con respecto a la línea horizontal de incidencia; y la segunda bola es empujada hacia abajo, con un ángulo de \(\alpha=30^{\circ}\) respecto a la horizontal.
Si la velocidad de la primera bola en el punto de contacto es \(1\,\mathrm{m/s}\), ¿cuáles son las velocidades de las bolas después de la colisión?
Fig. 3: Una bola de billar choca con otra de igual masa.
Solución
Para este problema debemos utilizar la ley de conservación del momento lineal. En este caso, el momento se conservará tanto en la dirección horizontal como en la vertical. Las velocidades finales de las bolas pueden dividirse en componentes en las dos direcciones perpendiculares, utilizando razones trigonométricas, como se muestra en la figura.
Podemos igualar el momento total en la dirección horizontal antes y después de la colisión, así como utilizar el hecho de que las bolas tienen la misma masa, para hallar la expresión:
\[mu_1=mv_1\cos(45^{\circ})+mv_2\cos(30^{\circ})\]
Donde \(m\) es la masa de cada bola en \(\mathrm{kg}\), \(v_1\) es la velocidad de la primera bola en \(\mathrm{m/s}\) y \(v_2\) es la velocidad de la segunda bola.
Observa que las masas se anulan a ambos lados, lo que simplifica la expresión a:
\[1=v_1\cos(45^{\circ})-v_2\sin(30^{\circ})\]
Ahora, podemos seguir un procedimiento similar para la dirección vertical, observando que inicialmente no hay movimiento en esta dirección:
\[\begin{align} 0=v_1\sin(45^{\circ})-v_2\sin(30^{\circ}) \\ \\ v_1\sin(45^{\circ})=v_2\sin(45^{\circ}) \end{align} \]
Esto puede reordenarse, para hallar \(v_2\) en términos de \(v_1\):
\[ v_2=\dfrac{v_1\sin(45^{\circ}}{\sin(30^{\circ})}=\sqrt{2}v_1 \]
Que puede sustituirse en nuestra expresión para la conservación del momento en la dirección horizontal, para hallar \(v_1\):
\[\begin{align} 1=v_1\cos(45^{\circ})+\sqrt{2}v_1\cos(30^{\circ}) \\ \\ v_1(\cos(45^{\circ})+\sqrt{2}v_1\cos(30^{\circ}))=1 \\ \\ v_1=\dfrac{1}{\cos(45^{\circ})+\sqrt{2}\cos(30^{\circ})}=0,52\,\mathrm{m/s} \end{align} \]
Entonces podemos hallar \(v_2\):
\[v_2=\sqrt{2}v_1=0,74\,\mathrm{m/s}\]
Choques - Puntos clave
- Una colisión es el acercamiento repentino de dos cuerpos que ejercen una fuerza entre sí en un intervalo de tiempo relativamente corto.
- El impulso de un objeto no cambia, a menos que actúe sobre él una fuerza externa.
- El impulso sobre un objeto en una colisión es igual a la diferencia de momento del objeto, antes y después de la colisión.
- El momento siempre se conserva en las colisiones cuando no hay fuerzas externas presentes.
- La ley de conservación del momento sólo se aplica a un sistema si es un sistema cerrado.
- La energía cinética se conserva en las colisiones elásticas.
- La energía cinética no se conserva en las colisiones inelásticas.
- En las colisiones inelásticas se pierde la máxima cantidad de energía cinética.
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