¿Recuerdas cómo funciona un columpio?: comienzas balanceándote despacio y, con el paso del tiempo, aumentas el movimiento hasta alcanzar una altura máxima, con una frecuencia característica. A esta frecuencia se le conoce como frecuencia de resonancia. ¿Pero, qué es la resonancia?
En este artículo estudiaremos qué significa que un sistema se encuentre en resonancia, veremos algunos ejemplos y las aplicaciones de este fenómeno tan importante en la física.
¿Qué es la resonancia, en física?
La resonancia puede producirse cuando una fuerza motriz externa provoca que un sistema comience a vibrar con una frecuencia que se acerca a la frecuencia natural del sistema.
Al acercarnos a la frecuencia natural, el sistema comienza a vibrar con una amplitud mucho mayor, la cual sigue aumentando hasta llegar a un máximo. Este máximo ocurre al alcanzar el valor de la frecuencia natural del sistema.
Frecuencia de resonancia
La frecuencia en la que la amplitud alcanza su máximo se conoce como frecuencia de resonancia. Todos los objetos y/o sistemas tienen una o más frecuencias de resonancia.
La frecuencia de resonancia se denota como \( f_0\). En el caso de una onda continua, podemos calcular la frecuencia de resonancia utilizando la siguiente fórmula:
\[v=\lambda f\]
Por ejemplo, en los sistemas eléctricos utilizamos la frecuencia de resonancia para describir cuando un circuito alcanza la respuesta máxima de oscilación.
¿Cómo se produce la resonancia?
Hay varios factores que conducen a la resonancia, veamos cuáles son!
Frecuencia natural
La frecuencia natural de un objeto es la frecuencia a la que oscila durante una vibración libre; es decir, cuando no hay fuerzas externas que afecten a su movimiento y, por tanto, no hay transferencia de energía entre el objeto y su entorno.
Veamos un ejemplo en el que se ve claramente cuál es la frecuencia natural de un objeto.
Consideremos el sistema masa-muelle como ejemplo:
- Si se aleja la masa de su posición de equilibrio para que el muelle se estire, y se suelta la masa, el sistema oscilará a su frecuencia natural.
- Si no se transfiere energía al entorno, la masa seguirá oscilando a esta frecuencia para siempre.
- Sin embargo, en la realidad, la masa acaba siendo frenada por las fuerzas de fricción, como la resistencia del aire.
Fig. 1: Un sistema masa-muelle que oscila a su frecuencia natural.
Vibraciones forzadas
Una fuerza motriz externa periódica que actúa sobre un sistema provoca una vibración forzada. La frecuencia de la fuerza se llama frecuencia de conducción.
Si esta es igual a la frecuencia natural del sistema, provoca oscilaciones extremadamente grandes y, en ese momento, el sistema está resonando.
Un ejemplo de un sistema que puede resonar por una fuerza impulsora es un columpio en un parque infantil. Si alguien lo empuja en intervalos de tiempo que coinciden correctamente con su movimiento de vaivén —es decir, si las frecuencias de los empujones y del columpio son las mismas— el sistema resuena, y las oscilaciones se vuelven mucho más altas.
Veamos, ahora, un ejercicio en el que calculamos el periodo.
Un niño en un columpio es empujado por sus padres cada 2 segundos. De este modo, los columpios alcanzan grandes alturas: el sistema está resonando.
¿Cuál es la frecuencia de la fuerza motriz (el empuje de los padres)? ¿Y cuál es el intervalo de tiempo \(\mathrm{t}\) entre que el padre ejerce la máxima fuerza y el niño llega a la cima del columpio?
Solución:
La frecuencia está relacionada con tiempo de un movimiento periódico mediante
\[ f=\dfrac{1}{T}=0,5 \, \, \mathrm{Hz}\]
El padre debe empujar cuando el columpio se mueve por la posición de equilibrio. Esto es un cuarto del periodo de tiempo del movimiento del columpio.
\[t=\dfrac{T}{4}=0,5 \, \, \mathrm{s} \]
Diferencia de fase
Del ejemplo anterior se deduce que si la persona empuja el columpio en el momento equivocado —por ejemplo, cuando el columpio se desplaza hacia ella—, el sistema no resonará.
Por eso, para aumentar la altura de las oscilaciones, la mayor fuerza debe aplicarse cuando el columpio se aleja de la persona que lo empuja y pasa por la posición de equilibrio, que es cuando su velocidad es mayor. El tiempo que tarda el columpio en desplazarse entre el punto más alto y la posición de equilibrio es igual a la cuarta parte del periodo de tiempo total. Por tanto, debe ser la diferencia de tiempo entre el momento en que el columpio está en su máximo desplazamiento y el momento en que se aplica la fuerza:
- A valores más altos y más bajos de la frecuencia de impulsión, en comparación con la frecuencia natural del objeto sobre el que se actúa, la energía se transfiere al sistema de forma mucho menos eficiente, y la amplitud es mucho menor.
- A bajas frecuencias de conducción, la fuerza oscila mucho más lentamente que el objeto, y existe una diferencia de fase de 0 entre ellos.
- En la resonancia, la diferencia de fase es \( \dfrac{\pi}{2}\), lo que provoca la mayor transferencia de energía, ya que la fuerza siempre actúa en la misma dirección que el movimiento, y la fuerza es mayor cuando el objeto pasa por el equilibrio con la máxima velocidad. Esto también se denomina resonancia de velocidad: los gráficos de la fuerza motriz y la velocidad del oscilador tienen la misma forma.
- Cuando la frecuencia de conducción sigue aumentando más allá del punto de resonancia, la diferencia de fase aumenta a \(\pi) y la fuerza se desfasa completamente con el oscilador. En este punto, el oscilador es incapaz de seguir el ritmo de la fuerza motriz.
Fig. 2: Diferencia de fase entre el conductor y el oscilador, representada en función de la relación de sus frecuencias.
Fuerzas de amortiguación
Los sistemas oscilantes reales no vibran eternamente, ya que pierden energía hacia su entorno. Esto se debe normalmente a las fuerzas de amortiguación, que son fuerzas de fricción —como la resistencia del aire o la fricción entre las partes móviles de un sistema—. Estas fuerzas actúan para disminuir la amplitud de las oscilaciones y minimizar el efecto de la resonancia.
Los efectos de los distintos tipos de amortiguación sobre la amplitud
- Amortiguación ligera: el objeto tarda mucho en detenerse.
Un ejemplo de ello es la resistencia del aire que actúa sobre un péndulo en movimiento y disminuye, lentamente, la amplitud de las oscilaciones.
Fig. 3: En un sistema ligeramente amortiguado la amplitud disminuye, pero la frecuencia se mantiene igual.
Amortiguación fuerte: se aplica una gran fuerza contra el movimiento del objeto que vibra. En este caso, se necesita mucho menos tiempo para detener las oscilaciones. La amplitud disminuye mucho durante cada periodo. La gráfica del desplazamiento en función del tiempo tendría una forma similar a la de la amortiguación ligera, pero disminuiría hasta cero mucho más rápidamente. Un ejemplo de amortiguación fuerte sería el uso de un objeto con una superficie muy grande en lugar de la bobina en un péndulo simple. La resistencia del aire sería mucho mayor y disminuiría la amplitud más rápidamente.
El sobreamortiguamiento se utiliza en puertas muy grandes y pesadas para que se cierren lentamente en lugar de golpearse.
Fig. 4: Desplazamiento en función del tiempo. La curva A representa el desplazamiento en función del tiempo en un sistema críticamente amortiguado y la curva B representa el desplazamiento en un sistema sobreamortiguado.
Los efectos de la amortiguación en la resonancia
El aumento de la amplitud causado por la resonancia se ve afectado por el amortiguamiento del sistema oscilante.
Los sistemas poco amortiguados presentan un pico de amplitud muy acusado en la resonancia: el sistema es muy sensible al momento en el que se alcanza la frecuencia de resonancia. A medida que aumentan las fuerzas de amortiguación, el pico de las curvas de resonancia se hace más plano, y el pico empieza a producirse ligeramente antes de la resonancia: la frecuencia de resonancia disminuye.
Fig. 5: Curvas de resonancia para sistemas con distintas cantidades de amortiguación. El eje y representa la amplitud de los sistemas oscilantes, \(\beta\) representa el grado de amortiguación y \(w_0\) es la frecuencia de resonancia del sistema.
Los efectos de amortiguación pueden ser muy útiles en algunos casos, ya que la resonancia puede causar problemas en grandes estructuras, como los puentes. Las personas y los objetos que se mueven sobre el puente pueden hacer que este vibre ligeramente, y si la frecuencia coincide con la frecuencia natural del puente, puede oscilar violentamente e, incluso, romperse. Esto puede evitarse diseñando el puente de forma que haya más fricción entre las partes que se moverían para reducir la amplitud de las oscilaciones.
Aplicaciones y efectos de la resonancia
Aunque la resonancia puede ser una fuente de peligro, también desempeña un papel importante en muchas aplicaciones útiles.
Por ejemplo, en los escáneres de resonancia magnética y los instrumentos musicales.
Veamos esto más detalladamente.
Resonancia magnética
Las resonancias magnéticas se basan en el efecto de la resonancia magnética nuclear (RMN). Los núcleos de hidrógeno tienen su propia frecuencia natural, y si se aplica un campo magnético muy fuerte a uno de ellos, puede absorber energía de la radiación electromagnética (en el rango de la radiofrecuencia) que es igual a esta frecuencia. La excitación controlada de los núcleos de hidrógeno permite localizarlos, en función de la radiación que emiten, lo que posibilita cartografiar el tejido corporal.
Instrumentos musicales
Los instrumentos musicales también se basan en la resonancia.
Por ejemplo, cuando se puntea una cuerda de guitarra, se produce una onda, y las superposiciones de esa onda forman una onda estacionaria en la cuerda (la frecuencia de la onda estacionaria determina el tono). Las cuerdas en sí mismas solo emiten un sonido silencioso, ya que se mueven por el aire con facilidad, lo que provoca una escasa vibración de las moléculas de aire.
Pero, las vibraciones de las cuerdas se transmiten a todo el cuerpo de la guitarra, a través del puente situado en el extremo de las cuerdas. El cuerpo está diseñado para tener las mismas frecuencias de resonancia que las frecuencias de las ondas estacionarias de las cuerdas. Esto significa que la guitarra resuena cuando se puntea, lo que hace que las moléculas de aire circundantes vibren lo suficiente para producir un sonido más fuerte.
Resonancia - Puntos clave
- La resonancia describe las oscilaciones de gran amplitud que se producen cuando un sistema es impulsado por una fuerza periódica a la frecuencia natural del sistema.
- La diferencia de fase entre el conductor y el oscilador en la resonancia es \( \frac{\pi}{2}\).
- La amortiguación disminuye la resonancia de máxima amplitud y hace que la frecuencia de resonancia disminuya.
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