Centro de Masas

Los cuerpos tienen propiedades como el peso, la carga, la densidad, etc. En particular, el peso de un objeto está relacionado con su masa y con cómo esta se ve afectada por una fuerza gravitatoria.

En muchos casos, para simplificar el tratamiento de los problemas, la masa puede describirse concentrada en un solo punto, especialmente cuando se trata de partículas o cuerpos pequeños. Sin embargo, para cuerpos suficientemente grandes la simplificación no alcanza a describir toda la dinámica, ya que no se captura cómo rota el cuerpo. Es por todo esto que, para describir la dinámica no rotacional de un cuerpo extendido, se suele utilizar el concepto de centro de masas.

Definición de centro de masas en física

El concepto de centro de masa simplifica los problemas de dos maneras:

1. Proporciona un punto de referencia para estudiar las interacciones cuerpo-fuerza.
2. Simplifica las trayectorias de los objetos, al representar su movimiento con la ayuda de la trayectoria del centro de masa.

Fuerzas

Cuando se utiliza el centro de masa para estudiar las interacciones cuerpo-fuerza, las fuerzas no actúan en el punto de contacto sino en el centro de masa.

Movimiento

Si las fuerzas que actúan sobre un objeto provocan un movimiento, este puede simplificarse a su centro de masa en movimiento. En estos casos, el centro de masa puede analizarse utilizando las leyes de Newton sobre el centro de masa, o las ecuaciones cinemáticas, para obtener su desplazamiento, velocidad y aceleración.

Centro de masas de un triángulo, cuadrado o rectángulo

Algunos centros de masa pueden determinarse más fácilmente que otros; dependiendo de la densidad, la forma y el grosor del objeto. Veamos el siguiente ejemplo:

Para muchas figuras regulares, su centro de masa coincide con un punto geométrico conocido como su centroide.

Centroides

Este se encuentra en cualquier objeto regular en 2D o 3D, como esferas, cubos y anillos.

Fig. 5: Centros de figuras regulares en 3D. Si la densidad es regular, el centro de masa es el mismo que el centroide.

Centro de masas de un sistema de partículas

El centro de masas puede definirse para un sistema formado por varias partículas, como cuando se analizan cargas o masas puntuales. Si los objetos tienen una densidad regular, el centro de masa se puede encontrar mediante la siguiente fórmula:

$\stackrel{\mathit{\rightharpoonup }}{\mathit{C}\mathit{M}}=\frac{\sum _i{\mathrm{m}}_{\mathrm{i}}·{\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{r}}}_{\mathrm{i}}}{\sum _i{\mathrm{m}}_{\mathrm{i}}}$

Aquí, los vectores$r$son las coordenadas x, y y z (medidas desde el origen). Esto se descompone en tres fórmulas para las posiciones x, y, y z :

$C{M}_x=\frac{\sum _i{\mathrm{m}}_{\mathrm{i}}·x_i}{\sum _i{\mathrm{m}}_{\mathrm{i}}}$

$C{M}_y=\frac{\sum _i{\mathrm{m}}_{\mathrm{i}}·y_i}{\sum _i{\mathrm{m}}_{\mathrm{i}}}$

$C{M}_z=\frac{\sum _i{\mathrm{m}}_{\mathrm{i}}·z_i}{\sum _i{\mathrm{m}}_{\mathrm{i}}}$

Centro de masas y centro de gravedad

El centro de gravedad es un concepto útil, que nos ayuda a simplificar los análisis de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo único o un sistema formado por diferentes cuerpos conectados físicamente o por una fuerza.

Todos los objetos físicos tienen masa. Si la masa es uniforme, podemos simplificar fácilmente el sistema de fuerzas cuando analizamos un cuerpo en movimiento. En estos casos, toda la masa puede situarse en el centro de gravedad, ya que la fuerza de gravedad actúa en este punto.

El centro de gravedad también se aplica a los cuerpos en rotación. Sin embargo, en algunos de estos casos, las fuerzas no se aplican en el centro de masa, sino que pueden causar un torque e inducir la rotación.

Un ejemplo clásico de centro de masa en un cuerpo en rotación con densidad regular es una esfera:

Centro de gravedad vs. centro de masa

No hay que confundir el centro de gravedad con el centro de masa. Uno depende de la distribución de la masa de un cuerpo, mientras que el otro depende de la fuerza de gravedad que actúa sobre el cuerpo. Ambos pueden coincidir en casos especiales, como cuando la masa del objeto es regular y el campo gravitatorio uniforme. Veamos un ejemplo:

A continuación, se indican algunas diferencias básicas entre el centro de masa y el centro de gravedad.

Tabla 1: Diferencias.

Ejercicios de centros de masas

Ejercicio de centro de masas de un sistema de partículas

Durante el lanzamiento de un proyectil en movimiento parabólico, el centro de masa permanece estable, aunque el objeto gire durante el desplazamiento. En este caso, el objeto gira alrededor de su centro de masa, describiendo una parábola, como se muestra a continuación.

Fig. 10: Un objeto que se lanza en una trayectoria parabólica gira alrededor de su centro de masa, o CM, lo que describe un movimiento parabólico.

En el caso del lanzamiento de un cohete o un proyectil, si el objeto se separa en dos partes, el movimiento del centro de masa sigue la trayectoria original. En cambio, las partes del proyectil siguen trayectorias diferentes, como se muestra a continuación.

Fig. 11: En el lanzamiento de un cohete, las partes del cohete que se separan (a y b)

siguen trayectorias diferentes a la del centro de masa (línea de puntos).