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Centro de Masas

Centro de Masas

Los cuerpos tienen propiedades como el peso, la carga, la densidad, etc. En particular, el peso de un objeto está relacionado con su masa y con cómo esta se ve afectada por una fuerza gravitatoria.

En muchos casos, para simplificar el tratamiento de los problemas, la masa puede describirse concentrada en un solo punto, especialmente cuando se trata de partículas o cuerpos pequeños. Sin embargo, para cuerpos suficientemente grandes la simplificación no alcanza a describir toda la dinámica, ya que no se captura cómo rota el cuerpo. Es por todo esto que, para describir la dinámica no rotacional de un cuerpo extendido, se suele utilizar el concepto de centro de masas.

Definición de centro de masas en física

El centro de masas es el lugar matemático donde se puede concentrar virtualmente toda la masa del cuerpo.

El concepto de centro de masa simplifica los problemas de dos maneras:

  1. Proporciona un punto de referencia para estudiar las interacciones cuerpo-fuerza.
  2. Simplifica las trayectorias de los objetos, al representar su movimiento con la ayuda de la trayectoria del centro de masa.

Fuerzas

Cuando se utiliza el centro de masa para estudiar las interacciones cuerpo-fuerza, las fuerzas no actúan en el punto de contacto sino en el centro de masa.

Centro de masa Superposición de fuerzas en el centro del cuerpo StudySmarter

Figura 1. El centro de masas puede ayudar a simplificar el cálculo de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. En los cuerpos irregulares, las fuerzas que actúan sobre la superficie (izquierda) pueden simplificarse a fuerzas que actúan sobre el centro de masa o "CM" (derecha).Fuente: StudySmarter Originals.

Movimiento

Si las fuerzas que actúan sobre un objeto provocan un movimiento, este puede simplificarse a su centro de masa en movimiento. En estos casos, el centro de masa puede analizarse utilizando las leyes de Newton sobre el centro de masa, o las ecuaciones cinemáticas, para obtener su desplazamiento, velocidad y aceleración.

Centro de masa Trayectoria del movimiento StudySmarter

Figura 2. Cuando una fuerza F actúa sobre un cuerpo, el movimiento puede representarse como el movimiento de su centro de masa o "CM". Aquí, el cuerpo que se mueve desde el tiempo T1 hasta el tiempo T2, sigue una trayectoria provocada por la fuerza F. El movimiento del cuerpo puede ser representado por el punto negro, que es su centro de masa. Fuente: StudySmarter Originals.

Centro de masas de un triángulo, cuadrado o rectángulo

Algunos centros de masa pueden determinarse más fácilmente que otros; dependiendo de la densidad, la forma y el grosor del objeto. Veamos el siguiente ejemplo:

Supongamos que quieres obtener el centro de masa de un cuerpo regular y simétrico, como un cuadrado. Si alguna vez has jugado con un trozo cuadrado de metal o madera, sabrás que puedes equilibrarlo sobre tu dedo colocándolo en el centro del cuadrado.

Centro de masas Cuadrado StudySmarterFigura 3. El centro de masa de un cuadrado cuya superficie tiene una densidad regular está en su centro. Fuente: StudySmarter Originals

El equilibrio es posible porque el cuadrado tiene una densidad uniforme, lo que significa que su peso es el mismo en todos los puntos. La fuerza que tira de él hacia abajo (la gravedad) también es igual en todos los lugares.

El centro de masa de los objetos regulares, como un cuadrado, un rectángulo, un círculo o un triángulo equilátero, está en el centro de la forma geométrica, como se muestra en la figura a continuación:

Centro de masa Anillo. Círculo. Rectángulo. Triángulo StudySmarterFigura 4. El centro de masa de un círculo de radio arbitrario r, un triángulo equilátero de lado arbitrario l, un rectángulo de lados arbitrarios l y L, un anillo de radios interiores y exteriores arbitrarios (r1 y r2). Fuente: StudySmarter Originals.

Para muchas figuras regulares, su centro de masa coincide con un punto geométrico conocido como su centroide.

Centroides

Cuando la densidad y la forma de un objeto son regulares, el centro de masa se encuentra en su centro geométrico o centroide.

Este se encuentra en cualquier objeto regular en 2D o 3D, como esferas, cubos y anillos.

Centro de masa Centroide. Cono. Esfera. Cilindro. Cubo StudySmarterFigura 5. Centros de figuras regulares en 3D. Si la densidad es regular, el centro de masa es el mismo que el centroide.Fuente: StudySmarter Originals.

Centro de masas de un sistema de partículas

El centro de masas puede definirse para un sistema formado por varias partículas, como cuando se analizan cargas o masas puntuales. Si los objetos tienen una densidad regular, el centro de masa se puede encontrar mediante la siguiente fórmula:

Aquí, los vectoresson las coordenadas x, y y z (medidas desde el origen). Esto se descompone en tres fórmulas para las posiciones x, y, y z :

Si el sistema está formado por objetos simétricos de densidad uniforme —como círculos, cuadrados o anillos—, las coordenadas de su centro de masa vienen dadas por sus centroides. Una vez obtenidas las coordenadas de los centroides (x, y), estas se pueden utilizar para obtener el centro de masa de todo el sistema.

Centro de masas y centro de gravedad

El centro de gravedad es un concepto útil, que nos ayuda a simplificar los análisis de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo único o un sistema formado por diferentes cuerpos conectados físicamente o por una fuerza.

El centro de gravedad es el lugar geométrico donde actúa la fuerza de gravedad en un cuerpo o en un sistema de cuerpos.

Todos los objetos físicos tienen masa. Si la masa es uniforme, podemos simplificar fácilmente el sistema de fuerzas cuando analizamos un cuerpo en movimiento. En estos casos, toda la masa puede situarse en el centro de gravedad, ya que la fuerza de gravedad actúa en este punto.

El centro de gravedad también se aplica a los cuerpos en rotación. Sin embargo, en algunos de estos casos, las fuerzas no se aplican en el centro de masa, sino que pueden causar un torque e inducir la rotación.

Un ejemplo clásico de centro de masa en un cuerpo en rotación con densidad regular es una esfera:

Una bola de billar es impactada exactamente en el centro, con una fuerza F.

  • La bola puede considerarse una esfera con una densidad regular, y su centroide y su centro de masa se superponen.
  • La bola también se ve afectada por la fuerza de la gravedad, que tira de ella hacia abajo.
  • Una tercera interacción que se produce es la fricción.

Centro de masa Esfera. Bola. Rotación StudySmarterFigura 6. El movimiento de la bola, el lugar donde se aplicó la fuerza y la gravedad pueden simplificarse como si actuaran sobre el centro de masa (x roja). Fuente: StudySmarter Originals.

La fuerza de rozamientoactúa perpendicularmente en la superficie de contacto y en contra del movimiento de la pelota. Esta fuerza actúa a una distanciadel centro de la bola, provocando un torque.

Centro de masa. Rotación. Pelota. Centro de masa de la esfera StudySmarter Figura 7. Una bola de billar gira debido a la fuerza de rozamiento f, que se produce a una distancia d de su centro de masa, después de que la bola fuera proyectada con una fuerza F.Fuente: StudySmarter Originals.

El torque causado por el rozamiento es el responsable de la rotación de la pelota.

Centro de gravedad vs. centro de masa

No hay que confundir el centro de gravedad con el centro de masa. Uno depende de la distribución de la masa de un cuerpo, mientras que el otro depende de la fuerza de gravedad que actúa sobre el cuerpo. Ambos pueden coincidir en casos especiales, como cuando la masa del objeto es regular y el campo gravitatorio uniforme. Veamos un ejemplo:

Una barra de 10 kilómetros de longitud se extiende verticalmente sobre la superficie terrestre. Su forma es cilíndrica, con un grosor A. El viento no sopla y no hay otra fuerza que la gravedad. En este caso, el centro de masa está exactamente en el centro de la barra, ya que la densidad es regular. Sin embargo, el centro de gravedad no lo está.

Recordemos la fórmula de la fuerza de gravedad en la superficie de la tierra.

Aquí, G es la constante de gravedad terrestre, que es 9,81 m/s2, r es la distancia del centro de masa terrestre a cada parte del cilindro, que se mide en metros. MTierra y mCilindro son las masas de los objetos (tierra y cilindro), medidas en kilogramos.

La fuerza disminuye a medida que nos alejamos de la superficie terrestre. Si dividimos la barra en pequeños cilindros de 10 cm de altura y 1 kg de masa, los últimos cilindros de esa larga barra sienten menos fuerza gravitatoria que los de la superficie, si todos los valores son iguales; pero, solo r es diferente. Esto significa que la parte superior de la barra pesa menos y su centro de gravedad se desplaza hacia abajo.

A continuación, se indican algunas diferencias básicas entre el centro de masa y el centro de gravedad.

Centro de masa
Centro de gravedad
Útil para analizar el movimiento de un objeto.
Útil para analizar la estabilidad de un objeto sometido a fuerzas gravitatorias.
Depende de la masa del objeto.
Depende de la gravedad.

Puede coincidir con el centroide en objetos simétricos con densidad regular.

Puede no coincidir con el centroide en objetos simétricos con densidad regular, porque depende de la posición con respecto al campo de gravedad.

Ejercicios de centros de masas

Ejercicio de centro de masas de un sistema de partículas

Un sistema de tres partículas tiene la configuración que se muestra en la siguiente imagen. Las partículas están conectadas por fuerzas que las mantienen bloqueadas en una posición triangular. Otra fuerza hace que todas ellas se muevan a lo largo del eje y.

Determina el centro de masa que puede utilizarse para simplificar su movimiento si sus masas individuales son:

Centro de masa Sistema de partículas StudySmarter Figura 8. Sistema de partículas con coordenadas x, y y z. Las partículas se encuentran en el eje y en 0, por lo que su segunda coordenada es 0. Fuente: StudySmarter Originals.

Primero, hay que obtener la coordenada de cada partícula del sistema. En este caso, las partículas se encuentran en la posición y=0. El problema se simplificará para encontrar las coordenadas en x y z.Entonces puedes simplificar el movimiento de las tres partículas como un único punto en movimiento a lo largo de los ejes z y x, con las coordenadas dadas a continuación.

Centro de masas Centro de masas de partículas StudySmarterFigura 7. El centro de masa (rosa) es el punto que puede utilizarse para describir la trayectoria de las tres partículas en movimiento. Fuente: StudySmarter Originals.

Lanzamiento de un proyectil

Durante el lanzamiento de un proyectil en movimiento parabólico, el centro de masa permanece estable, aunque el objeto gire durante el desplazamiento. En este caso, el objeto gira alrededor de su centro de masa, describiendo una parábola, como se muestra a continuación.

Centro de masas Trayectoria de lanzamiento parabólico StudySmarterFigura 10. Un objeto que se lanza en una trayectoria parabólica gira alrededor de su centro de masa o "CM", lo que describe un movimiento parabólico. Fuente: StudySmarter Originals.

En el caso del lanzamiento de un cohete o un proyectil, si el objeto se separa en dos partes, el movimiento del centro de masa sigue la trayectoria original. En cambio, las partes del proyectil siguen trayectorias diferentes, como se muestra a continuación.

 Centro de masas Lanzamiento del proyectil StudySmarter

Figura 11. En el lanzamiento de un cohete, las partes del cohete que se separan (a y b) siguen trayectorias diferentes a la del centro de masa (línea de puntos).

Fuente: StudySmarter Originals.

Centro de masas - Puntos clave

  • El centro de masa es el lugar donde podemos suponer que se concentra toda la masa de un cuerpo.
  • El centro de masa es útil para simplificar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo o su movimiento.
  • El centroide es el centro geométrico de un objeto.
  • El centro de masa y el centroide coinciden para cuerpos con simetría regular y densidad uniforme.
  • El centro de gravedad es el lugar geométrico donde podemos suponer que actúa la fuerza de gravedad sobre un cuerpo.
  • El centro de gravedad y el centro de masa no son lo mismo. Una característica distintiva es que el centro de gravedad depende de la fuerza de gravedad, mientras que el centro de masa no.

Preguntas frecuentes sobre Centro de Masas

Dependiendo del objeto u objetos que estemos tratando, calcularemos el centro de masas de una manera u otra. Generalmente, hablaremos de objetos con densidad uniforme. 

  • En el caso de un solo objeto con densidad uniforme, el centro de masas se encontrará en el centro de este. 
  • Si tenemos más de uno, el centro de masas del sistema se encontrará dividiendo el sumatorio de la masa de cada objeto por la distancia al origen entre el sumatorio de masas. 

Cuando hablamos del movimiento del centro de masas de un objeto nos referimos a la simplificación del movimiento de un objeto. En este caso, consideramos todas las fuerzas que actúan sobre un objeto, como si lo hiciesen sobre su centro de masas. De esta manera, se puede tratar el objeto de manera puntual y calcular el desplazamiento, velocidad y aceleración. 

El centro de masa es el lugar matemático donde se puede concentrar virtualmente toda la masa del cuerpo.

El centro de gravedad es el lugar geométrico donde actúa la fuerza de gravedad en un cuerpo o en un sistema de cuerpos, mientras que el centro de masas es el lugar matemático donde se puede concentrar virtualmente toda la masa del cuerpo. 


No hay que confundir el centro de gravedad con el centro de masa: uno depende de la distribución de la masa de un cuerpo, mientras que el otro depende de la fuerza de gravedad que actúa sobre el cuerpo. 


Ambos pueden coincidir en casos especiales, como cuando la masa del objeto es regular y el campo gravitatorio uniforme 

Para calcular el centro de masas de una figura irregular tendremos que encontrar la posición del centro de masas en cada uno de los ejes de la figura, cosa que haremos resolviendo una integral que tenga en cuenta la densidad del objeto.


Otra forma de hacerlo es descomponiendo la figura irregular en distintas figuras regulares, siempre que sea posible, y encontrando el centro de masas común entre ellas,  mediante la suma de las multiplicaciones de las áreas de cada sección por la posición del centro de masas, dividido entre la suma de las áreas. 

Cuestionario final de Centro de Masas

Pregunta

¿Qué es el centro de masas?

Mostrar respuesta

Answer

El centro de masas es el lugar donde se supone que se concentra toda la masa.

Show question

Pregunta

¿Cómo ayuda el centro de masa a facilitar los problemas?

Mostrar respuesta

Answer

1. Proporciona un punto de referencia para estudiar las interacciones cuerpo-fuerza.

2. Simplifica las trayectorias de los objetos.

Show question

Pregunta

Cuando las fuerzas actúan sobre un cuerpo, ¿podemos trasladar estas fuerzas al centro de masas?


Mostrar respuesta

Answer

Sí, esto simplifica el problema. 

Show question

Pregunta

¿Qué dos herramientas matemáticas son útiles cuando analizamos varias fuerzas que actúan sobre un cuerpo, tomando como referencia el centro de masas?

Mostrar respuesta

Answer

La segunda ley de Newton y la superposición de fuerzas.

Show question

Pregunta

¿Dónde está el centro de masas de un círculo con densidad superficial uniforme y un espesor muy pequeño?

Mostrar respuesta

Answer

En el centro del círculo.

Show question

Pregunta

¿Qué es un centroide?

Mostrar respuesta

Answer

El centroide se define como el centro de una forma geométrica.

Show question

Pregunta

¿Son el centroide y el centro de masa lo mismo? ¿Por qué?


Mostrar respuesta

Answer

No, no son lo mismo. Un centroide es un lugar en una forma geométrica. El centro de masas es el lugar donde podemos suponer que se concentra toda la masa.

Show question

Pregunta

¿Se superponen, a veces, el centroide y el centro de masa?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, en las figuras regulares con densidad uniforme.

Show question

Pregunta

Si tienes un sistema de pequeñas partículas con las masas m1, m2 y m3, y están situadas en diferentes posiciones sobre un espacio en 2D o 3D, ¿puedes definir un centro de masas para todas ellas?


Mostrar respuesta

Answer

Sí que puedes, siempre que conozcas el valor de sus masas y su posición exacta. 

Show question

Pregunta

Tienes una figura 3D simétrica (regular), como un cubo, que tiene una densidad uniforme en todo su volumen. Su centroide coincide con su centro de masa. ¿Verdadero o falso? 

Mostrar respuesta

Answer

Verdadero.

Show question

Pregunta

¿Qué es el centro de gravedad?

Mostrar respuesta

Answer

Es el punto donde la fuerza de la gravedad actúa sobre un cuerpo.

Show question

Pregunta

¿Depende el centro de masas de la gravedad?


Mostrar respuesta

Answer

No. De hecho, esta es una de las diferencias clave entre el centro de masa y el centro de gravedad.

Show question

Pregunta

Cuando un objeto gira durante un lanzamiento parabólico, ¿en torno a qué punto gira?

Mostrar respuesta

Answer

Gira alrededor de su centro de masas.

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