Los cuerpos tienen propiedades como el peso, la carga, la densidad, etc. En particular, el peso de un objeto está relacionado con su masa y con cómo esta se ve afectada por una fuerza gravitatoria.
En muchos casos, para simplificar el tratamiento de los problemas, la masa puede describirse concentrada en un solo punto, especialmente cuando se trata de partículas o cuerpos pequeños. Sin embargo, para cuerpos suficientemente grandes la simplificación no alcanza a describir toda la dinámica, ya que no se captura cómo rota el cuerpo. Es por todo esto que, para describir la dinámica no rotacional de un cuerpo extendido, se suele utilizar el concepto de centro de masas.
Definición de centro de masas en física
El centro de masas es el lugar matemático donde se puede concentrar virtualmente toda la masa del cuerpo.
El concepto de centro de masa simplifica los problemas de dos maneras:
- Proporciona un punto de referencia para estudiar las interacciones cuerpo-fuerza.
- Simplifica las trayectorias de los objetos, al representar su movimiento con la ayuda de la trayectoria del centro de masa.
Fuerzas
Cuando se utiliza el centro de masa para estudiar las interacciones cuerpo-fuerza, las fuerzas no actúan en el punto de contacto sino en el centro de masa.
Fig. 1: El centro de masas puede ayudar a simplificar el cálculo de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. En los cuerpos irregulares, las fuerzas que actúan sobre la superficie (izquierda) pueden simplificarse a fuerzas que actúan sobre el centro de masa o CM (derecha).
Movimiento
Si las fuerzas que actúan sobre un objeto provocan un movimiento, este puede simplificarse a su centro de masa en movimiento. En estos casos, el centro de masa puede analizarse utilizando las leyes de Newton sobre el centro de masa, o las ecuaciones cinemáticas, para obtener su desplazamiento, velocidad y aceleración.
Fig. 2: Cuando una fuerza F actúa sobre un cuerpo, el movimiento puede representarse como el movimiento de su centro de masa, o CM. Aquí, el cuerpo que se mueve desde el tiempo T1 hasta el tiempo T2 y sigue una trayectoria provocada por la fuerza F. El movimiento del cuerpo puede ser representado por el punto negro, que es su centro de masa.
Centro de masas de un triángulo, cuadrado o rectángulo
Algunos centros de masa pueden determinarse más fácilmente que otros; dependiendo de la densidad, la forma y el grosor del objeto. Veamos el siguiente ejemplo:
Supongamos que quieres obtener el centro de masa de un cuerpo regular y simétrico, como un cuadrado. Si alguna vez has jugado con un trozo cuadrado de metal o madera, sabrás que puedes equilibrarlo sobre tu dedo colocándolo en el centro del cuadrado.
Fig. 3: El centro de masa de un cuadrado, cuya superficie tiene una densidad regular, está en su centro.
El equilibrio es posible porque el cuadrado tiene una densidad uniforme, lo que significa que su peso es el mismo en todos los puntos. La fuerza que tira de él hacia abajo (la gravedad) también es igual en todos los lugares.
El centro de masa de los objetos regulares, como un cuadrado, un rectángulo, un círculo o un triángulo equilátero, está en el centro de la forma geométrica, como se muestra en la figura a continuación:
Fig. 4: El centro de masa de un círculo de radio arbitrario r, un triángulo equilátero de lado arbitrario l, un rectángulo de lados arbitrarios l y L, un anillo de radios interiores y exteriores arbitrarios (r1 y r2).
Para muchas figuras regulares, su centro de masa coincide con un punto geométrico conocido como su centroide.
Centroides
Cuando la densidad y la forma de un objeto son regulares, el centro de masa se encuentra en su centro geométrico o centroide.
Este se encuentra en cualquier objeto regular en 2D o 3D, como esferas, cubos y anillos.
Fig. 5: Centros de figuras regulares en 3D. Si la densidad es regular, el centro de masa es el mismo que el centroide.
Centro de masas de un sistema de partículas
El centro de masas puede definirse para un sistema formado por varias partículas, como cuando se analizan cargas o masas puntuales. Si los objetos tienen una densidad regular, el centro de masa se puede encontrar mediante la siguiente fórmula:
Aquí, los vectoresson las coordenadas x, y y z (medidas desde el origen). Esto se descompone en tres fórmulas para las posiciones x, y, y z :
Si el sistema está formado por objetos simétricos de densidad uniforme —como círculos, cuadrados o anillos—, las coordenadas de su centro de masa vienen dadas por sus centroides. Una vez obtenidas las coordenadas de los centroides (x, y), estas se pueden utilizar para obtener el centro de masa de todo el sistema.
Centro de masas y centro de gravedad
El centro de gravedad es un concepto útil, que nos ayuda a simplificar los análisis de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo único o un sistema formado por diferentes cuerpos conectados físicamente o por una fuerza.
El centro de gravedad es el lugar geométrico donde actúa la fuerza de gravedad en un cuerpo o en un sistema de cuerpos.
Todos los objetos físicos tienen masa. Si la masa es uniforme, podemos simplificar fácilmente el sistema de fuerzas cuando analizamos un cuerpo en movimiento. En estos casos, toda la masa puede situarse en el centro de gravedad, ya que la fuerza de gravedad actúa en este punto.
El centro de gravedad también se aplica a los cuerpos en rotación. Sin embargo, en algunos de estos casos, las fuerzas no se aplican en el centro de masa, sino que pueden causar un torque e inducir la rotación.
Un ejemplo clásico de centro de masa en un cuerpo en rotación con densidad regular es una esfera:
Una bola de billar es impactada exactamente en el centro, con una fuerza F.
- La bola puede considerarse una esfera con una densidad regular, y su centroide y su centro de masa se superponen.
- La bola también se ve afectada por la fuerza de la gravedad, que tira de ella hacia abajo.
- Una tercera interacción que se produce es la fricción.
Fig. 6: El movimiento de la bola, el lugar donde se aplicó la fuerza y la gravedad pueden simplificarse como si actuaran sobre el centro de masa (x roja).
La fuerza de rozamientoactúa perpendicularmente en la superficie de contacto y en contra del movimiento de la pelota. Esta fuerza actúa a una distanciadel centro de la bola, provocando un torque.
Figura 7. Una bola de billar gira debido a la fuerza de rozamiento f, que se produce a una distancia d de su centro de masa, después de que la bola fuera proyectada con una fuerza F.
El torque causado por el rozamiento es el responsable de la rotación de la pelota.
Centro de gravedad vs. centro de masa
No hay que confundir el centro de gravedad con el centro de masa. Uno depende de la distribución de la masa de un cuerpo, mientras que el otro depende de la fuerza de gravedad que actúa sobre el cuerpo. Ambos pueden coincidir en casos especiales, como cuando la masa del objeto es regular y el campo gravitatorio uniforme. Veamos un ejemplo:
Una barra de 10 kilómetros de longitud se extiende verticalmente sobre la superficie terrestre. Su forma es cilíndrica, con un grosor A. El viento no sopla y no hay otra fuerza que la gravedad. En este caso, el centro de masa está exactamente en el centro de la barra, ya que la densidad es regular. Sin embargo, el centro de gravedad no lo está.
Recordemos la fórmula de la fuerza de gravedad en la superficie de la tierra.
Aquí, G es la constante de gravedad terrestre, que es 9,81 m/s2, r es la distancia del centro de masa terrestre a cada parte del cilindro, que se mide en metros. MTierra y mCilindro son las masas de los objetos (tierra y cilindro), medidas en kilogramos.
La fuerza disminuye a medida que nos alejamos de la superficie terrestre. Si dividimos la barra en pequeños cilindros de 10 cm de altura y 1 kg de masa, los últimos cilindros de esa larga barra sienten menos fuerza gravitatoria que los de la superficie, si todos los valores son iguales; pero, solo r es diferente. Esto significa que la parte superior de la barra pesa menos y su centro de gravedad se desplaza hacia abajo.
A continuación, se indican algunas diferencias básicas entre el centro de masa y el centro de gravedad.
Centro de masa | Centro de gravedad |
Útil para analizar el movimiento de un objeto. | Útil para analizar la estabilidad de un objeto sometido a fuerzas gravitatorias. |
Depende de la masa del objeto. | Depende de la gravedad. |
Puede coincidir con el centroide en objetos simétricos con densidad regular. | Puede no coincidir con el centroide en objetos simétricos con densidad regular, porque depende de la posición con respecto al campo de gravedad. |
Tabla 1: Diferencias.
Ejercicios de centros de masas
Ejercicio de centro de masas de un sistema de partículas
Un sistema de tres partículas tiene la configuración que se muestra en la siguiente imagen. Las partículas están conectadas por fuerzas que las mantienen bloqueadas en una posición triangular. Otra fuerza hace que todas ellas se muevan a lo largo del eje y.
Determina el centro de masa que puede utilizarse para simplificar su movimiento si sus masas individuales son:
Fig. 8: Sistema de partículas con coordenadas x, y y z. Las partículas se encuentran en el eje y en 0, por lo que su segunda coordenada es 0.
Primero, hay que obtener la coordenada de cada partícula del sistema. En este caso, las partículas se encuentran en la posición y=0. El problema se simplificará para encontrar las coordenadas en x y z.
Entonces puedes simplificar el movimiento de las tres partículas como un único punto en movimiento a lo largo de los ejes z y x, con las coordenadas dadas a continuación.
Fig. 7: El centro de masa (rosa) es el punto que puede utilizarse para describir la trayectoria de las tres partículas en movimiento.
Lanzamiento de un proyectil
Durante el lanzamiento de un proyectil en movimiento parabólico, el centro de masa permanece estable, aunque el objeto gire durante el desplazamiento. En este caso, el objeto gira alrededor de su centro de masa, describiendo una parábola, como se muestra a continuación.
Fig. 10: Un objeto que se lanza en una trayectoria parabólica gira alrededor de su centro de masa, o CM, lo que describe un movimiento parabólico.
En el caso del lanzamiento de un cohete o un proyectil, si el objeto se separa en dos partes, el movimiento del centro de masa sigue la trayectoria original. En cambio, las partes del proyectil siguen trayectorias diferentes, como se muestra a continuación.
Fig. 11: En el lanzamiento de un cohete, las partes del cohete que se separan (a y b)
siguen trayectorias diferentes a la del centro de masa (línea de puntos).
Centro de masas - Puntos clave
- El centro de masa es el lugar donde podemos suponer que se concentra toda la masa de un cuerpo.
- El centro de masa es útil para simplificar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo o su movimiento.
- El centroide es el centro geométrico de un objeto.
- El centro de masa y el centroide coinciden para cuerpos con simetría regular y densidad uniforme.
- El centro de gravedad es el lugar geométrico donde podemos suponer que actúa la fuerza de gravedad sobre un cuerpo.
- El centro de gravedad y el centro de masa no son lo mismo. Una característica distintiva es que el centro de gravedad depende de la fuerza de gravedad, mientras que el centro de masa no.
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