Supongamos que tenemos una esfera hueca, una esfera sólida, un anillo y un disco. Tienen la misma masa y se hacen rodar por un plano inclinado. ¿Cuál crees que llegaría más rápido al suelo?
Fig. 1: Comparación de diferentes objetos rodando por un plano inclinado.
Si les hiciésemos caer: la esfera sólida sería la primera, seguida del disco, luego la esfera hueca y, por último, ¡el anillo! Pero, ¿por qué, si tienen la misma masa? El concepto de inercia rotacional lo explica.
En este artículo profundizaremos en una parte específica del movimiento de rotación: el momento de inercia. Veremos cómo representar matemáticamente el momento de inercia y resolveremos algunos ejemplos en los que interviene.
Definición del momento de inercia
El momento de inercia es una cantidad escalar que mide la resistencia a la rotación de un cuerpo en rotación.
Cuanto mayor es el momento de inercia, más resistente es un cuerpo a la rotación angular. Un cuerpo suele estar integrado por varias partículas pequeñas, que forman la masa completa. El momento de inercia de la masa depende de la distribución de cada masa individual respecto a la distancia perpendicular al eje de rotación. Sin embargo, en física, solemos suponer que la masa de un objeto se concentra en un único punto, llamado centro de masa. Esto lo hacemos para facilitar los cálculos, dado que es una aproximación útil.
Ecuación del momento de inercia
Matemáticamente, el momento de inercia de un sistema o cuerpo puede expresarse —en términos de sus masas individuales— como la suma del producto de cada masa individual por la distancia perpendicular al eje de rotación elevada al cuadrado. Esto se puede ver en la siguiente ecuación:
\[I=\sum^{N}_{i} m_i\cdot r_i^2,\]
Donde,
- \(I\) es el momento de inercia, medido en kilogramos por metro cuadrado (\(\mathrm{kg\cdot m^2}\)).
- \(m_i\) son las masas individuales, medidas en kilogramos (\(\mathrm{kg}\)).
- \(r_i\) son la distancias perpendiculares al eje de rotación, medida en metros (\(m\)).
También, podemos utilizar la siguiente ecuación para un objeto cuya masa se supone concentrada en un único punto:
\[I=m\cdot r^2\]
La siguiente imagen muestra la distancia del eje de rotación \(r\).
Fig. 2: Diagrama que muestra la distancia del eje de rotación \(r\).
Torque y momento de inercia
La ley de Newton establece que la aceleración lineal de un objeto es linealmente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él cuando la masa es constante. Podemos expresar esto con la siguiente ecuación:
\[F_t=m\cdot a_t\]
Donde:
- \(F_t\) es la fuerza neta.
- \(m\) es la masa del objeto.
- \(a_t\) es la aceleración de traslación.
Del mismo modo, empleamos el par de torsión para el movimiento de rotación.
El par de torsión, o torque, es igual al producto de la fuerza de rotación por la distancia perpendicular al eje de rotación.
Sin embargo, la aceleración de traslación para el movimiento de rotación es igual al producto de la aceleración angular \(\alpha\) y el radio \(r\). Esto, por tanto, nos da que:
\[\tau=mr^2\alpha\]
El momento de inercia es el recíproco de la masa, en la segunda ley de Newton para la aceleración lineal; pero, aplicado a la aceleración angular.
La segunda ley de Newton describe el par que actúa sobre un cuerpo, que es linealmente proporcional al momento de inercia de la masa de un cuerpo y a su aceleración angular.
Por tanto, podemos expresar matemáticamente el par \(\tau\) como el producto del momento de inercia \(I\) y la aceleración angular \(\alpha\):
\[\tau=I\cdot \alpha\]
Momentos de inercia para diferentes figuras
El momento de inercia es diferente y específico para la forma y el eje de cada objeto. Debido a la variación de las formas geométricas, se da un momento de inercia para varias formas de uso común. Puedes verlas en la imagen siguiente.
Fig. 3: Momentos de inercia para distintos cuerpos.
Ejemplos de cálculo del momento de inercia
Veamos algunos ejemplos resueltos del momento de inercia:
Un disco delgado de \(0,3\,\mathrm{m}\) de diámetro, con un momento de inercia total de \(0,45\,\,\mathrm{kg\cdot m^2}\), gira alrededor de su centro de masa. En la parte exterior del disco hay tres rocas con masas de \(0,2\,\mathrm{kg}\). Encuentra el momento de inercia total del sistema.
Solución:
El radio del disco es de \(0,15\,\mathrm{m}\). Podemos calcular el momento de inercia de cada roca como:
\[I_{roca}=mr^2=0,2\,\mathrm{kg}\cdot 0,15\,\mathrm{m^2}=4,5\cdot 10^{-3}\,\mathrm{kg\cdot m^2}\]
Por tanto, el momento de inercia total será
\[I_{rocas}+I_{disco}=(3\cdot I_{roca})+I_{disco}=(3\cdot 4,5\cdot 10^{-3}\,\mathrm{kg\cdot m^2})+0,45\,\mathrm{kg\cdot m^2}=0,4635\,\mathrm{kg\cdot m^2}\]
Un atleta está sentado en una silla giratoria, sujetando una pesa de entrenamiento de \(10\,\mathrm{kg}\) en cada mano. ¿Cuándo será más probable que el atleta rote: cuando extienda los brazos lejos de su cuerpo o cuando retraiga los brazos cerca de su cuerpo?
Solución:
Cuando el atleta extiende sus brazos, el momento de inercia aumenta, al incrementar la distancia entre el peso y su eje de rotación. Cuando el atleta retrae sus brazos, la distancia entre las pesas y el eje de rotación disminuye, y también lo hace el momento de inercia.
Por lo tanto, es más probable que el atleta rote cuando retrae sus brazos, ya que el momento de inercia será menor y el cuerpo tendrá menos resistencia a rotar.
Un disco muy fino, de \(5\,\mathrm{cm}\) de diámetro, gira en torno a su centro de masa. Otro disco más grueso, de \(2\,\mathrm{cm}\) de diámetro, gira en torno a su centro de masa. ¿Cuál de los dos discos tiene un mayor momento de inercia?
Solución:
El disco de mayor diámetro tendrá un mayor momento de inercia: Como indica la fórmula, el momento de inercia es proporcional al cuadrado de la distancia al eje de rotación, por lo que cuanto mayor sea el radio, mayor será el momento de inercia.
Momento de inercia - Puntos clave
- El momento de inercia es una medida de la resistencia a la rotación de un objeto.
- El momento de inercia depende de la masa y de la distribución de esta en torno a su eje de rotación.
- El momento de inercia es el recíproco de la masa en la segunda ley de Newton aplicada a la rotación.
- El momento de inercia es diferente y específico para la forma y el eje de cada objeto. Es decir, existen momentos de inercia para diferentes formas.
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