¿Sabías que el término cinemática fue acuñado por el físico francés André-Marie Ampère en 1834? En un principio se refirió a ella como cinématique, una palabra francesa. Sin embargo, el origen de la palabra tiene raíces griegas, ya que Ampère utilizó la palabra griega para movimiento, κίνημα kinema, y para mover, κινεῖν kinein, para construir el término. Más tarde, el término se tradujo al inglés como kinematics.
Ahora, puede que estés familiarizado con este término, pero no te das cuenta de que se refiere a un concepto que nos rodea a diario. Empleamos la cinemática para el simple hecho de caminar o encender un ventilador. La naturaleza, incluso, usa este concepto en fenómenos naturales como los tornados o las trombas de agua.
Por lo tanto, en este artículo vamos a conocer la cinemática, a través de definiciones y ejemplos. También, veremos cómo se relacionan el movimiento lineal y el circular.
Definición de la cinemática
La cinemática es un campo dentro de la física que se centra en el movimiento de un objeto, sin hacer referencia a las fuerzas que lo causan.
Esta es la principal diferencia con la dinámica, que se trata de un campo de la física que sí hace referencia a las fuerzas que causan el movimiento.
En nuestro día a día observamos cientos de comportamientos que podríamos describir con la cinemática: desde cuando salimos caminando a ritmo constante para ir a comprar, hasta un coche que circula a cierta velocidad o una noria girando.
Fundamentos de la cinemática
El estudio de la cinemática está asociado a las siguientes variables:
Desplazamiento
Velocidad
Aceleración
Tiempo
Observa que la velocidad, la aceleración y el desplazamiento son magnitudes vectoriales, lo que significa que tienen magnitud y dirección.
Como resultado, la relación entre estas variables se describe a través de cinco ecuaciones cinemáticas de movimiento. Estas ecuaciones pueden ser escritas en términos de movimiento lineal y angular.
Tipos de movimiento
Cinemática lineal
La cinemática lineal se refiere al movimiento lineal y describe la relación entre las variables del movimiento lineal.
El movimiento lineal es un movimiento unidimensional a lo largo de una trayectoria recta.
Variables del movimiento lineal
Desplazamiento \(\Delta x\)
\[\Delta x=v\cdot t\]
Donde el desplazamiento se mide en metros \(\mathrm{m}\) .
Velocidad \(v\)
\[v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\]
Donde la velocidad se mide en metros por segundo \(\mathrm{m/s}\).
La derivada de esta ecuación da lugar a la ecuación \(v=\dfrac{\partial x}{\partial t}\) , que es la definición de velocidad instantánea.
Aceleración \(a\)
\[a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}\]
Donde la aceleración se mide en metros por segundo al cuadrado \(\mathrm{m/s^2}\).
La derivada de esta ecuación da lugar a la ecuación \(a=\dfrac{\partial v}{\partial t}\) , que es la definición de la aceleración instantánea.
Tiempo \(t\)
\[tiempo=t\]
Donde el tiempo se mide en segundos \(\mathrm{s}\).
Ecuaciones cinemáticas del movimiento lineal
Vamos a presentar las ecuaciones cinemáticas del movimiento lineal y para qué las podemos utilizar:
Ecuación para calcular el desplazamiento con la velocidad y el tiempo:
\[\Delta x=vt\]
Ecuación para calcular la velocidad, a partir de la velocidad inicial y la aceleración:
\[v=v_0+at\]
Ecuación del desplazamiento con velocidad inicial, final y el tiempo:
\[\Delta x=\dfrac{v+v_0}{2}t\]
Ecuación del desplazamiento independiente de la velocidad final:
\[\Delta x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2\]
Ecuación de la velocidad independiente del tiempo:
\[v^2=v_0^2+2a\Delta x\]
En estas ecuaciones:
- \(v\) es la velocidad final
- \(v_0\) es la velocidad inicial
- \(a\) es la aceleración
- \(t\) es el tiempo
- \(\Delta x\) es el desplazamiento.
Estas ecuaciones cinemáticas solo se aplican cuando la aceleración es constante.
Es importante que conozcas todas estas ecuaciones, porque te pueden ser útiles para resolver problemas donde el enunciado no te da todos los datos. Entonces, en función de las variables que te digan, puedes escoger la ecuación más conveniente.
Cinemática angular
La cinemática angular se refiere al movimiento circular, y discute la relación entre sus variables.
El movimiento circular se define como un tipo de movimiento asociado a objetos que se desplazan en una trayectoria circular. La fuerza que hace que estos objetos se desplacen en una trayectoria circular se conoce como fuerza centrípeta.
Variables del movimiento circular
Desplazamiento angular \(\theta\)
\[\theta=\omega t\]
Donde el desplazamiento angular se mide en radianes \(\mathrm{rad}\).
Velocidad angular \(\omega\)
\[\omega=\dfrac{\theta}{t}\]
Donde la velocidad angular se mide en radianes por segundo \(\mathrm{rad/s}\).
La derivada de esta ecuación da lugar a la ecuación \(\omega=\dfrac{\partial\theta}{\partial t}\) , que es la definición de velocidad angular instantánea.
Aceleración angular \(\alpha\)
\[\alpha=\dfrac{\omega}{t}\]
Donde la aceleración angular se mide en radianes por segundo al cuadrado \(\mathrm{rad/s}\).
La derivada de esta ecuación da lugar a la ecuación \(\alpha=\dfrac{\partial\omega}{\partial t}\), que es la definición de la aceleración angular instantánea.
Tiempo \(t\)
\[tiempo=t\]
Donde el tiempo se mide en segundos \(\mathrm{s}\).
Ecuaciones cinemáticas del movimiento circular
Vamos a presentar las ecuaciones cinemáticas del movimiento lineal y para qué las podemos utilizar:
Ecuación para calcular el desplazamiento angular con la velocidad angular y el tiempo:
\[\Delta \theta=\omega t\]
Ecuación para calcular la velocidad angular, a partir de la velocidad angular inicial y la aceleración angular:
\[\omega=\omega_0+\alpha t\]
Ecuación del desplazamiento angular con velocidad angular inicial, final y el tiempo:
\[\Delta \theta=\dfrac{\omega+\omega_0}{2}t\]
Ecuación del desplazamiento angular independiente de la velocidad angular final:
\[\Delta \theta=\omega_o t+\dfrac{1}{2}\alpha t^2\]
Ecuación de la velocidad angular independiente del tiempo:
\[\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\Delta \theta\]
En estas ecuaciones:
- \(\omega\) es la velocidad angular final
- \(\omega_0\) es la velocidad angular inicial
- \(\alpha\) es la aceleración angular
- \(t\) el tiempo
- \(\Delta \theta\) el desplazamiento angular.
Como pasa en el caso lineal, es importante que conozcas todas estas ecuaciones, porque te pueden ser útiles para resolver problemas donde el enunciado no te da todos los datos.
Estas ecuaciones cinemáticas solo se aplican cuando la aceleración angular es constante.
Derivaciones de las ecuaciones cinemáticas
Para entender mejor estas ecuaciones, derivemos cada una de ellas y echemos un vistazo en más detalle a cómo surgieron.
Ecuación 2
\[v=v_0+at\]
Para derivar esta ecuación, podemos simplemente usar la definición de aceleración y reordenarla:
\[\begin{align}a&=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{v-v_0}{\Delta t} \\a\Delta t&=v-v_0\\v&=v_0+a\Delta t\end{align}\]
Ecuación 3
\[\Delta x=\dfrac{v+v_0}{2}t\]
Para derivar esta ecuación, debemos utilizar una gráfica de velocidad-tiempo:
Fig. 1: Gráfica velocidad-tiempo con una aceleración constante.
A partir de esta gráfica, sabemos que el área total bajo la línea representa el desplazamiento. Por lo tanto, podemos dividir esta área total en dos formas distintas: un triángulo y un rectángulo. De esta manera, se calcula el área de cada forma.
- En el caso de un rectángulo, sabemos que el área viene dada por la fórmula \(Area=base\cdot altura=b\cdot h\). Utilizando esta fórmula, podemos calcular el área del rectángulo, que será \(A=v_o\cdot t\).
- En el caso de un triángulo, sabemos que el área viene dada por la fórmula \(Area=\dfrac{1}{2}base\cdot altura=\dfrac{1}{2}b\cdot h\). Utilizando esta fórmula, podemos calcular que el área del triángulo es \(A=\dfrac{1}{2}t(v-v_0)\).
Posteriormente, sumando estas dos fórmulas y haciéndolas equivalentes al desplazamiento, se obtiene la segunda ecuación cinemática:
\[\begin{align}\Delta x &= v_0 t + \dfrac{1}{2}t(v-v_0) \\\Delta x &= v_0 t+\dfrac{1}{2}vt-\dfrac{1}{2}v_0t \\\Delta x &= \dfrac{1}{2}vt+\dfrac{1}{2}v_0t \\\Delta x &= \dfrac{v-v_0}{2}t \end{align} \]
Ecuación 4
Para derivar esta ecuación, podemos insertar la ecuación 2 en la ecuación 3 y resolver \(\Delta x\), de la siguiente manera:
\[\begin{align}\Delta x&=\dfrac{v-v_0}{2}t \\\dfrac{\Delta x}{t}&=\dfrac{v-v_0}{t} \\\dfrac{\Delta x}{t}&=\dfrac{(v_0+at)+v_0}{2} \\\dfrac{\Delta x}{t}&=\dfrac{2v_0+at}{2} \\\dfrac{\Delta x}{t}&=v_0+\dfrac{at}{2} \\\Delta x&=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2\end{align}\]
Ecuación 5
\[v^2=v_0^2+2a\Delta x\]
Para derivar esta ecuación, debemos utilizar la ecuación 2 y resolver para el tiempo. Una vez hecho esto, podemos insertar nuestra ecuación para el tiempo en la ecuación 3 y resolver para \(v^2\)
\[\begin{align}v&=v_0+at \\v-v_0&=at \\\dfrac{v-v_0}{a} &= t \end{align}\]
Y ahora:
\[\begin{align}\Delta x&=\dfrac{v+v_0}{2}t \\\Delta x&=\left(\dfrac{v+v_0}{2}\right)\left(\dfrac{v-v_0}{a}\right) \\\Delta x&=\dfrac{v^2-v_0^2}{2a} \\\Delta x2a &= v^2-v_0^2 \\v^2&=v_0^2+2a\Delta x \end{align}\]
Observa que estas mismas derivaciones se pueden hacer utilizando las variables y ecuaciones de la cinemática angular.
¿Cuál es la relación entre la cinemática angular y la cinemática lineal?
Resulta evidente que hay una relación entre la cinemática lineal y la angular; pero, ¿cómo es esta relación exactamente? Podemos observar estas equivalencias y relaciones entre variables en la siguiente tabla.
| Variable | Lineal | Unidades del SI | Angular | Unidades del SI | Relación |
| Aceleración | \(a\) | \(\mathrm{m/s^2}\) | \(\alpha\) | \(\mathrm{rad/s^2}\) | \(a=\alpha r\),\(\alpha=\dfrac{a}{r}\) |
| Velocidad | \(v\) | \(\mathrm{m/s}\) | \(\omega\) | \(\mathrm{rad/s}\) | \(a=\alpha r\),\(\alpha=\dfrac{a}{r}\) |
| Desplazamiento | \(x\) | \(\mathrm{m}\) | \(\theta\) | \(\mathrm{rad}\) | \(a=\alpha r\),\(\alpha=\dfrac{a}{r}\) |
| Tiempo | \(t\) | \(\mathrm{s}\) | \(t\) | \(\mathrm{s}\) | \(a=\alpha r\),\(\alpha=\dfrac{a}{r}\) |
Tabla 1: Equivalencias y relaciones entre variables.
Observa que \(r\) representa el radio y que el tiempo es el mismo, tanto en el movimiento lineal como en el angular.
Como resultado de esta relación, las ecuaciones cinemáticas pueden escribirse en términos de movimientos lineales y angulares. Sin embargo, es importante entender que, aunque las ecuaciones están escritas en términos de diferentes variables, tienen la misma forma. Esto ocurre porque el movimiento circular es la contraparte equivalente del movimiento lineal.
Sistemas de referencia
Ahora, ya conocemos las ecuaciones para la cinemática tanto lineal y angular. Pero, ¿te has preguntado cómo podemos poner esto en práctica?
Si, por ejemplo, observamos un coche que se mueve a una cierta velocidad, podremos calcular cuánto se desplaza pasado un cierto tiempo. Sin embargo, esta observación la estaremos haciendo desde un punto concreto, que puede estar quieto o moviéndose; por tanto, será vital para entender el movimiento del coche.
Esto es lo que conocemos como sistema de referencia.
Un sistema de referencia es un sistema de coordenadas abstracto cuyo origen y orientación están establecidos por un observador, de manera arbitraria, para medir magnitudes físicas —tales como la posición, velocidad, aceleración, etc.— de un sistema.
Un ejemplo muy sencillo de cómo pueden variar las magnitudes físicas en función del sistema de referencia es el signo de la velocidad:
Un observador puede considerar que el movimiento hacia la derecha en un eje de coordenadas es un movimiento positivo, mientras que para otro este movimiento positivo será hacia la izquierda.
Por tanto, si un sistema se mueve hacia la derecha, para el primer observador tendrá velocidad positiva, mientras que para el segundo tendrá velocidad negativa.
Para evitar malentendidos, generalmente usamos siempre el mismo sistema de referencia, pero en función del ejercicio puede ser útil cambiarlo.
En función de si en nuestro sistema de coordenadas las leyes de movimiento cumplen las leyes de Newton o no, distinguimos entre sistema de referencia inercial y no inercial. A continuación, hablaremos del sistema de referencia inercial, ya que es el que más común y el que más se adecúa a nuestros intereses.
Sistema de referencia inercial
Un sistema de referencia inercial es aquel donde se cumple el principio de inercia. Por tanto, este sistema permanecerá en reposo o velocidad constante, a no ser que una fuerza exterior actúe sobre él.
Imaginemos ahora dos sistemas: uno que está en reposo y otro que se mueve a velocidad constante. En una situación real, esto podría ser una persona esperando en un semáforo o un coche que no está acelerando, sino que mantiene una velocidad constante. Como te resultará evidente, las velocidades, desplazamientos y aceleraciones que observará cada uno de ellos serán distintas. La razón es que uno está en reposo y el otro se está moviendo a cierta velocidad; por tanto, tenemos que tener en cuenta la contribución de esta velocidad para hacer los cálculos. Sin embargo, en ninguno de los dos casos necesitaremos una fuerza exterior para de entender el movimiento del otro. Esto hace que ambos sistemas de referencia sean inerciales.
Ejemplos de cómo resolver problemas cinemáticos
Para resolver una gran variedad problemas cinemáticos, se pueden utilizar las cinco ecuaciones cinemáticas que hemos visto.
Ya que hemos definido la cinemática y discutido su relación con el movimiento lineal y circular, trabajemos en algunos ejercicios prácticos para comprender mejor.
Ten en cuenta que, antes de resolver un problema, debemos recordar siempre estos sencillos pasos:
Aplicar las fórmulas necesarias y resolver el problema.
Si es necesario, hacer un dibujo que permita entender mejor el problema y llegar a su solución.
Ejercicio 1
Un conductor de carreras callejeras está entre su coche parado, mientras espera en la línea de salida. Cuando se le da la señal de salida, se mueve con una velocidad de \(48\mathrm{m/s}\) ; después, de \(15\mathrm{s}\).
¿Cuál es la aceleración del corredor? Utilizando esta información, calcula también el desplazamiento del corredor.
Solución:
En el enunciado, se nos da lo siguiente:
- velocidad inicial
- velocidad final
- tiempo
Podemos utilizar la ecuación \(v=v_0+at\), para resolver este problema, de la siguiente manera:
\[\begin{align}v&=v_0+at\\v-v_0&=at \\a&=\dfrac{v-v_0}{t} \\a&=\dfrac{48\mathrm{m/s}-0}{15\mathrm{s}}=3,2\mathrm{m/s^2} \end{align}\]
La aceleración del conductor es \(3,2\mathrm{m/s^2}\).
Ahora, usando esta información y la ecuación 5 \(v^2=v_0^2+2a\Delta x\), el desplazamiento se calcula así:
\[\begin{align}v^2&=v_0^2+2a\Delta x \\48^2&=0^2+2(3,2)\Delta x \\2304&=6,4\Delta x \\\dfrac{2304}{6,4}&=\Delta x=360\mathrm{m} \end{align}\]
El desplazamiento del conductor es \(360\mathrm{m}\).
Ejercicio 2
Una noria tiene una velocidad angular inicial de \(3\mathrm{rad/s}\), una aceleración angular de \(1,1\mathrm{rad/s^2}\) y un desplazamiento angular de \(8,4\mathrm{rad}\).
¿Cuál es la velocidad angular final de la noria? ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar esta velocidad?
Solución:
El enunciado nos da la siguiente información:
- velocidad angular inicial
- aceleración angular
- desplazamiento angular.
Podemos utilizar la ecuación \(\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\Delta\theta\) para resolver la primera parte de este problema:
\[\begin{align}\omega^2&=\omega_0^2+2\alpha\Delta\theta\\\omega^2&=(3\mathrm{rad/s})^2+2(1,1\mathrm{rad/s^2})(8,4\mathrm{rad})\\\omega^2&=9\mathrm{rad^2/s^2}+9,24\mathrm{rad^2/s^2}\\\omega&=\sqrt{18,24 \mathrm{rad^2/s^2}}\\\omega&=4,27 \mathrm{rad/s}\end{align}\]
La velocidad angular final de la noria es de \(7,46\mathrm{rad/s}\) .
Ahora, utilizando esta información y la ecuación \(\Delta\theta=\dfrac{\omega+\omega_0}{2}t\), podemos calcular el tiempo que tarda en alcanzar ese valor de velocidad final:
\[\begin{align}\Delta\theta&=\dfrac{\omega+\omega_0}{2}t\\8,4\mathrm{rad}&=\dfrac{4,27\mathrm{rad/s}+3\mathrm{rad/s}}{2}t \\8,4\mathrm{rad}&=\dfrac{7,27\mathrm{rad/s}}{2}t \\8,4\mathrm{rad}&=3,64\mathrm{rad/s}t \\t&=\dfrac{8,4\mathrm{rad}}{3,64\mathrm{rad/s}}=2,3\mathrm{s}\end{align}\]
La noria alcanza su velocidad angular final después de \(2,3\mathrm{s}\).
Cinemática - Puntos clave
- La cinemática es un campo dentro de la física que se centra en el movimiento de un objeto, sin hacer referencia a las fuerzas que lo causan.
- La cinemática se centra en cuatro variables: velocidad, aceleración, desplazamiento y tiempo.
- La cinemática puede expresarse en términos de movimiento lineal y circular.
- La cinemática lineal se refiere al movimiento lineal, que es un movimiento unidimensional a lo largo de una trayectoria recta.
- La cinemática angular se refiere al movimiento circular, que es el movimiento asociado a los objetos que se desplazan en una trayectoria circular.
- Las ecuaciones cinemáticas se expresan en términos de movimiento lineal y circular, y tienen la misma forma porque el movimiento circular es la contraparte equivalente del movimiento lineal.
- Un sistema de referencia es un sistema de coordenadas abstracto cuyo origen y orientación están establecidas por un observador, de manera arbitraria, para medir magnitudes físicas —tales como la posición, velocidad, aceleración, etc.— de un sistema.
- Si el sistema de referencia está en reposo o se mueve a velocidad constante, es un sistema de referencia inercial.
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