Imagina que vas de compras y, de repente, tu teléfono te avisa de que una tienda cercana está de rebajas; pero, de repente, se queda sin batería. Entusiasmado por esta noticia, decides preguntar por la dirección. Ves a alguien que pasa por allí y le preguntas por la ubicación de la tienda, a lo que te responde: “Sí, claro, la tienda está a solo ocho manzanas”, y se aleja, ocupándose de sus asuntos.
¿Fue útil esa información? La tienda podría estar en cualquier lugar en un radio de ocho manzanas, así que estás igual de perdido que antes. La situación cambiaria si esa persona hubiera indicado, también, la dirección. En física, tenemos cantidades escalares y vectoriales, para distinguir las cantidades que no tienen sentido sin una dirección de las que sí lo tienen. Aquí aprenderás sobre estas dos magnitudes, sus propiedades y cómo realizar operaciones con ellas.
- En este artículo nos dedicaremos a los vectores y los escalares.
- Estudiaremos su representación gráfica.
- Hablaremos de las operaciones que se pueden realizar con estas cantidades.
- Y, por último, analizaremos sus aplicaciones en diferentes campos de la ciencia.
¿Qué son las cantidades escalares?
Las cantidades escalares son aquellas que se definen completamente por su valor o tamaño.
La masa o la temperatura son ejemplos de cantidades escalares. Para entenderlas por completo, únicamente necesitas saber su valor.
Sin embargo, cantidades escalares como la distancia o la rapidez pueden ser confundidas con cantidades vectoriales. Veamos que se tratan cada una de ellas, para que esto no ocurra.
La distancia es la longitud de la trayectoria que recorre un cuerpo al moverse de un punto a otro.
Si únicamente se indica cuánto se mueve un objeto al ir de un punto a otro, sin especificar en qué dirección, nos interesa su distancia recorrida.
Fig. 1: La distancia solo mide la longitud de la trayectoria recorrida de un punto a otro.
La otra cantidad escalar que es importante mencionar es la rapidez.
La rapidez de cualquier objeto nos dice qué tan rápido se mueve un objeto, independientemente de su dirección.
Los velocímetros son indicadores de los coches que miden la rapidez de conducción:
Si mide \(40 \,\, \mathrm{km/h}\), podemos estar viajando en cualquier dirección; en realidad, no importa. El aparato solo se preocupa de la velocidad a la que se conduce, que queda completamente definida tras indicar su magnitud: \(40 \,\, \mathrm{km/h}\) .
¿Qué son las cantidades físicas vectoriales?
Las cantidades vectoriales son aquellas que tienen una magnitud y dirección asociadas.
Cuando hablamos de una cantidad vectorial, tenemos que especificar su dirección; de lo contrario, nos faltaría información acerca de esta cantidad y no podríamos entenderla por completo.
En contraposición a la distancia y la rapidez, que hemos visto en el apartado anterior, el desplazamiento y la velocidad sí que se tratan de cantidades vectoriales:
El desplazamiento es la distancia recorrida en una dirección específica.
Cuando preguntamos por una dirección, nos interesa el desplazamiento; es decir, una distancia que nos indica lo lejos que está nuestro destino y la dirección en la que debemos movernos para encontrarlo.
La siguiente imagen muestra cómo la distancia se compara con el desplazamiento.
Fig. 2: El desplazamiento tiene una dirección, mientras que la distancia solo mide la longitud de una trayectoria.
La velocidad es la rapidez con una dirección específica.
Supongamos que una caja se mueve de un punto A a otro punto B, situado a su derecha, durante \(2\) segundos, y queremos calcular la rapidez con la que se ha movido el objeto.
Fig. 3: Podemos encontrar la velocidad de un objeto, si conocemos el desplazamiento y el tiempo que tarda en recorrerlo.
El objeto recorre \(5\) metros en \(2\) segundos; entonces, su rapidez es \(2.5 \,\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\). Sin embargo, si especificamos que el objeto se movió a una velocidad de \(2.5 \,\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\) en dirección al Este, estamos hablando de su velocidad, que es una cantidad vectorial.
Todas las magnitudes de la física pueden clasificarse como escalares o vectores. Bueno, no del todo…
Por ejemplo, hay propiedades de los materiales que dependen de la dirección en la que se miden como consecuencia de cómo están dispuestos sus átomos. Para trabajar con esas cantidades, necesitamos una generalización de los vectores llamada tensores. Sin embargo, no hay que preocuparse mucho por eso. Resulta que se pueden hacer muchas cosas utilizando solo escalares y vectores.
Representación gráfica de vectores
Podemos representar un vector, gráficamente, usando una flecha; tal y como podemos ver en la siguiente imagen:
Fig. 4: Un vector se puede representar gráficamente empleando una flecha.
La punta de la flecha señala la dirección y sentido en la que actúa el vector. Por otro lado, la longitud de la flecha representa la magnitud del vector.
El punto inicial de la flecha es desde donde comienza el vector o es el punto de partida de un vector. La orientación de un vector describe en qué ángulo se dibuja, y el sentido indica si es entrante o saliente. Juntos, la orientación y el sentido constituyen la dirección de un vector.
Fig. 5: Los vectores de la izquierda tienen las mismas magnitudes, pero diferentes sentidos. Los vectores de la derecha tienen el mismo sentido, pero diferentes magnitudes.
Saber representar gráficamente los vectores es muy útil, porque podemos usarlos en diagramas para plasmar cantidades vectoriales en situaciones concretas. En la figura siguiente: la magnitud del vector \(\vec{HA}\) es \(6 \,\, \mathrm{cm}\) y está orientado en dirección Norte; seguido por el vector \(\vec{AB}\), que tiene una magnitud de \(12 \, \, \mathrm{cm}\) en la dirección Este; termina con el vector \(\vec{BC}\) en la dirección Suroeste; y tiene una magnitud de \(5,5 \, \, \mathrm{cm}\).
Fig. 6: Los vectores pueden representarse como flechas que muestran su magnitud y dirección.
Componentes del vector
Imagina que solo se nos diera un vector con una magnitud de \(50\, \mathrm{N}\), a un ángulo de \(53,1°\) respecto a la horizontal del ejemplo anterior. ¿Podemos encontrar los vectores horizontal y vertical, basándonos nada más en esta información? La respuesta es sí:
Podemos dividir cualquier vector en sus componentes horizontal y vertical; a esto se le llama resolución del vector. Para resolver un vector en sus componentes, necesitamos conocer su magnitud y orientación. Después, podemos emplear las razones trigonométricas para encontrar las longitudes de las componentes:
\[\begin{align} \sin(\theta)&=\dfrac{v_y}{v} \\ \\\cos(\theta) &=\frac{v_x}{v} \\ \\\tan(\theta)&=\frac{v_x}{v_y} \end{align}\]
- donde: \(v\) es la magnitud del vector.
La siguiente imagen muestra un vector \(\vec{V}\) dividido en su componente \(x\) y su componente \(y\):
Fig. 7: Podemos utilizar las razones trigonométricas para resolver problemas con vectores.
La resolución de los vectores es especialmente importante en el movimiento de los proyectiles, donde tenemos que calcular las componentes horizontal y vertical de la velocidad de un proyectil para analizar su movimiento en cada dirección. Si una pelota se lanza horizontalmente, o en ángulo, sigue una trayectoria curva antes de tocar el suelo, debido a la fuerza gravitatoria que actúa sobre ella.
Resolver los vectores en componentes puede ser útil aquí para calcular el efecto de la fuerza vertical y el movimiento horizontal, de forma independiente.
Operaciones con vectores
Los vectores son necesarios para representar fuerzas y predecir el movimiento de los objetos. A menudo, varias fuerzas actúan sobre un objeto al mismo tiempo. En estos casos, necesitamos saber cómo podemos sumarlas para tener un único vector de fuerza neto.
Suma de vectores
Supongamos que tenemos dos vectores y queremos sumarlos. Podemos encontrar (gráficamente) el vector resultante utilizando la regla de la suma de vectores cabeza-cola. Esta nos dice que se puede llegar al resultado buscado uniendo la cola del segundo vector con la cabeza del primero.
Fig. 8: Los vectores se pueden sumar gráficamente usando la regla cabeza-cola.
Recuerda que las direcciones deben mantenerse cuando los vectores se colocan uno tras otro. El mismo método se aplica para añadir más de dos vectores. Basta con dibujar un vector tras otro, empezando por la punta del anterior. El resultado es el vector dibujado desde el punto inicial del primer vector hasta la punta del último.
También podemos sumar vectores de manera analítica. Para hacerlo, consideremos los siguientes vectores:
\[\vec{v}=(v_x,v_y),\,\, \, \vec{w}=(w_x,w_y)\]
La suma de los vectores se define como:
\[\vec{v}+\vec{w}=(v_x+w_y,v_y+w_y)\]
- Donde \(v_x\),\(w_x\) son los componentes horizontales y \(v_y\),\(w_y\) las componentes horizontales de cada vector.
¡Veamos un ejemplo!
Considera los vectores \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) de \(15\,\,\mathrm{N}\), pero con diferente orientación:
Fig. 9: Vectores con la misma magnitud, pero diferente orientación.
Para encontrar la suma de \(v\) y \(w\) tenemos que empezar hallando la componente horizontal y la componente vertical de cada vector. Para ello, seguimos las siguientes fórmulas:
\[\begin{aligned}v_x&=v\cos (\beta) \\ v_y&=v\sin (\beta) \\ w_x&=w\cos (\alpha) \\ w_y&=w\sin (\alpha)\end{aligned}\]
- Donde, \(v=w=15\,\,\mathrm{N}\), \(\alpha=18,93^{\circ}\), y \(\beta=71,68^{\circ}\).
Sustituyendo estos datos en las fórmulas trigonométricas, obtenemos:
\[\begin{aligned}v_x&=15\cos (71,68^{\circ}) \\ v_y&=15\sin (71,68^{\circ}) \\ w_x&=15\cos (18,93^{\circ}) \\ w_y&=15\sin (18,93^{\circ})\end{aligned}\]
El siguiente paso es sumar las componentes horizontales y las verticales de la siguiente manera:
\[\begin{aligned}\vec{v}+\vec{w}&=(15\cos(71,68^{\circ})+15\cos (18,93^{\circ}),15\sin(71,68^{\circ})+15\sin(18,93^\circ))\\ &\downarrow\\ \vec{v}+\vec{w}&=(2,3,9,3)\end{aligned}\]
Si tenemos dos vectores que apuntan en la misma dirección, solo debemos sumar sus magnitudes. Como el sentido de ambos vectores es el mismo, el vector resultante tiene la misma dirección.
Fig. 10: Para encontrar el vector resultante de la suma de dos vectores en la misma dirección, podemos sumar sus magnitudes algebraicamente.
Resta de vectores
La resta de vectores es similar a la suma de vectores. La única diferencia es que cuando alineamos los vectores mediante la regla de cabeza-cola, tenemos que invertir la dirección del vector que estamos restando. La figura siguiente muestra los vectores resultantes para tres casos:
Fig. 11: El vector resultante depende de las direcciones de los vectores que estamos restando.
Si dos vectores apuntan en direcciones opuestas, podemos encontrar el vector resultante —algebraicamente— como la diferencia de sus magnitudes. Su dirección es la misma que la del vector mayor.
Fig. 12: Para encontrar el vector resultante de dos vectores con direcciones opuestas, podemos calcular la diferencia entre sus magnitudes, algebraicamente.
John y Mike empujan un coche en dirección Este, con fuerzas de \(500\, \, \mathrm{N}\) y \(300\, \, \mathrm{N}\), respectivamente. Calcula la fuerza resultante aplicada al coche. ¿Cuál sería la fuerza resultante si John aplicara la fuerza en dirección oeste?
Solución:
Siempre es útil dibujar vectores, ya que esto simplifica la comprensión del problema. La figura siguiente ejemplifica la dirección de los vectores:
Fig. 13: El diagrama nos ayuda a ver que las fuerzas son aplicadas en la misma dirección.
Como las fuerzas se aplican en la misma dirección, el vector resultante estará también en la misma dirección. Podemos utilizar el método que hemos visto anteriormente para unir los dos vectores, y el vector resultante será la suma de los dos vectores. Por lo tanto, el vector resultante estará en la dirección Este.
Fig. 14: Dado que ambos vectores se dirigen al Este, el vector resultante también se dirige al Este.
En la segunda parte de este ejemplo, John aplica la fuerza en la dirección opuesta (oeste). Como resultado, el signo de la fuerza aplicada por John es negativo. La fuerza resultante, en este caso, es \(200\, \mathrm{N}\); también con signo negativo, porque la fuerza de John es mayor que la de Mike.
Fig. 15: Dado que el vector con mayor magnitud está dirigido al Oeste, el vector resultante también está dirigido al Oeste.
Si queremos restar dos vectores con distinta orientación, usamos el mismo procedimiento que estudiamos para la suma; pero, en lugar de sumar, tenemos que restar las componentes.
Sumar vectores perpendiculares
La mayoría de las veces, los vectores no tienen la misma dirección. Por ejemplo, como se ilustra en la siguiente imagen, pueden ser perpendiculares entre sí:
Fig. 16: Dos vectores son perpendiculares si forman un ángulo de 90 grados entre ellos.
El vector resultante de dos vectores perpendiculares es igual a la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Así que, para el caso anterior, podemos utilizar el teorema de Pitágoras:
\[\begin{align} \text{Hipotenusa}^2&=\text{Cateto}^2+\text{Cateto}^2 \\ \text{Hipotenusa}^2&=40^2+30^2\\\text{Hipotenusa}&=50\, \mathrm{N} \end{align}\]
Para calcular el ángulo al que está orientado el vector resultante, podemos usar una de las razones trigonométricas:
\[\begin{align} \tan(\theta)&=\frac{\text{Perpendicular}}{\text{Base}}\\\tan(\theta)&=\frac{40}{30}\\ \\\theta &=53,1º\end{align}\]
Fig. 17: La magnitud del vector resultante de dos vectores perpendiculares es igual a la hipotenusa del triángulo rectángulo que forman.
Multiplicación de un vector por un escalar
Un vector puede multiplicarse por un escalar. Esto da como resultado otro vector con una magnitud diferente, pero con la dirección del vector inicial. Así, si la magnitud de un vector es \(3\) unidades, al multiplicarlo por \(2\) la magnitud del vector aumentaría a \(2\cdot 3=6\) en la misma dirección en la que apuntaba el vector inicialmente.
Fig. 18: Un vector multiplicado por un escalar mantiene su dirección, pero su magnitud y sentido cambian.
Si el escalar tiene un valor negativo, la dirección del vector también cambia. En la figura siguiente, el vector \(\vec{A}\) se multiplica por \(-1\), invirtiendo su dirección \(180º\), pero manteniendo la misma magnitud.
Calcula el desplazamiento recorrido por un objeto si se mueve en dirección al Este, con una velocidad de \(50\, \mathrm{m/s}\), durante \(10\) segundos.Solución: Si recuerdas los apuntes de cinemática, el desplazamiento es el producto de la velocidad por el tiempo. Así que, podemos calcular el desplazamiento \(\vec{x}\) como:\[\begin{align} \vec{x} &= \vec{v}\cdot t \\ \vec{x} &=50\vec{i}\, \, \mathrm{m/s}\cdot 10\, \mathrm{s} \\ \vec{x} &=50\vec{i}\, \, \mathrm{m} \end{align}\]Observa que hemos multiplicado una cantidad escalar (el tiempo) por una cantidad vectorial (la velocidad), y el vector resultante también resulta ser una cantidad vectorial. La dirección del desplazamiento será en la misma dirección a la que apunta el vector velocidad que, en este caso, es en dirección Este. Por lo tanto, el desplazamiento es \(50\) metros en la dirección Este.
Fig. 19: La multiplicación de un vector por un escalar positivo no cambia su dirección o sentido; pero, si el escalar es negativo, entonces el sentido si cambia.
Operaciones con escalares
Al igual que con los vectores, podemos realizar diferentes operaciones con magnitudes escalares. Ya vimos que los escalares se comportan como números reales, lo que implica que las operaciones básicas entre números también aplican a escalares.
Suma de escalares
Para sumar dos escalares, ambos deben tener las mismas dimensiones o unidades.
Por ejemplo, no se puede sumar la distancia recorrida con el tiempo que tardamos en recorrer dicha distancia:
\[a_1+a_2+a_3+...+a_n=\sum_{i=1}^n a_i\]
Resta de escalares
Al igual que con la suma, si queremos restar escalares, estos deben tener las mismas dimensiones:
\[a_1-a_2-a_3-...-a_n\]
La resta de magnitudes escalares posee las propiedades conmutativas, asociativas, elemento neutro y elemento simétrico; al igual que la suma de magnitudes escalares.
Multiplicación de escalares
Cuando multiplicamos dos escalares, el resultado tendrá por dimensiones el producto de las dimensiones de cada escalar. Veamos el siguiente ejemplo:
El volumen de un cubo puede obtenerse multiplicando tres veces la longitud del lado:
\[V=\ell \cdot \ell \cdot \ell = \ell^3\]
Esto implica que las unidades del volumen serán iguales al cubo de las unidades de la longitud:
\[[V]=[\ell^3]=\mathrm{m}^3\]
De nuevo, la multiplicación de vectores tiene propiedad conmutativa, asociativa, elemento neutro y elemento simétrico. Además, posee la propiedad distributiva.
Aplicaciones de vectores y escalares
Los vectores y los escalares son conceptos fundamentales en las matemáticas y se utilizan en una amplia variedad de aplicaciones.
En primer lugar, los vectores se utilizan en física para representar magnitudes que tienen tanto una dirección como una magnitud.
Por ejemplo, la velocidad y la aceleración se representan como vectores, ya que no solo tienen un valor numérico, sino que también se mueven en una dirección específica.
Además, los vectores son útiles en geometría para representar posiciones y direcciones en el espacio tridimensional.
Por ejemplo, se pueden utilizar para representar la posición de un objeto en un mapa o la dirección del viento.
Por otro lado, los escalares se utilizan para representar magnitudes que solo tienen una magnitud y no una dirección.
Por ejemplo, la masa, la temperatura y el tiempo se representan como escalares.
En matemáticas, los escalares se utilizan en operaciones aritméticas básicas, como la suma, la resta, la multiplicación y la división. También se utilizan en álgebra lineal para definir matrices y en cálculo para representar funciones.
En resumen, los vectores y los escalares son herramientas fundamentales en matemáticas, física, geometría y otras disciplinas. Su uso permite la representación y el análisis de magnitudes en diferentes contextos y situaciones.
Escalares y vectores - Puntos clave
- Las cantidades escalares se definen completamente especificando su magnitud o tamaño.
- Las cantidades vectoriales tienen una magnitud y una dirección asociadas. Si no, no tienen sentido.
- Podemos representar un vector mediante una flecha: la longitud representa su magnitud, y la punta de la flecha indica la dirección del vector.
- El vector resultante es la suma o diferencia de dos o más vectores.
- Podemos sumar o restar vectores algebraicamente, si tienen la misma dirección.
- La velocidad y la distancia son magnitudes escalares, ya que no llevan asociada ninguna dirección.
- El desplazamiento y la velocidad son magnitudes vectoriales, por lo que tienen una dirección asociada.
- La multiplicación de un vector y un escalar positivo da lugar a un nuevo vector, con diferente magnitud, pero con la misma dirección.
- La multiplicación de un vector y un escalar negativo da como resultado un nuevo vector, con una magnitud diferente y la dirección opuesta.
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