Torque

Aceleración angular

En el movimiento lineal —que es el movimiento unidimensional a lo largo de una trayectoria recta—los objetos aceleran debido a una fuerza, tal y como expresa la segunda ley de Newton. Sin embargo, cuando los objetos experimentan un movimiento de rotación —que es un movimiento circular alrededor de un eje fijo— experimentan una aceleración angular, debida al par.

Podemos calcular la aceleración angular media como:

\[\alpha=\dfrac{\Delta \omega}{\Delta t}\]

Y la aceleración angular instantánea así:

\[\alpha=\dfrac{d\omega}{d t}.\]

La aceleración angular tiene unidades de \(\mathrm{rad/s^2}\).

Ahora bien, al hablar de la aceleración angular, es importante tener en cuenta su relación con la aceleración lineal. La aceleración lineal se relaciona con la angular mediante las ecuaciones \(a=\alpha r\) y \(\alpha=a/r\), donde \(r\) es el radio del movimiento circular.

Si introducimos la fórmula de la velocidad angular, \(\omega=v/r\), en la ecuación de la aceleración angular, \(\alpha=\Delta \omega/\Delta t\), podemos obtener la ecuación correspondiente, que relaciona la aceleración angular con la aceleración lineal instantánea, \(\alpha=ar\).

Definición de torque

El momento de una fuerza, o torque, es el equivalente rotacional de una fuerza.

El convenio establece que una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj indica un par positivo, y una rotación en sentido de las agujas del reloj indica un par negativo. La cantidad de momento aplicada a un objeto depende de la fuerza aplicada, pero también de la distancia perpendicular desde donde se aplica la fuerza con respecto al eje de rotación.

Fórmulas del torque

El par puede definirse mediante tres fórmulas:

1. Definición del producto tensorial.

2. Definición de producto escalar.

3. Definición de la Segunda Ley de Newton.

Definición de producto tensorial

La definición de producto cruzado del torque se expresa mediante la ecuación

\[\tau=\vec{r}\times\vec{F},\]

Donde:

• \(r\) es el radio medido en metros, (\(\mathrm{m}\))
• \(F\) es la fuerza aplicada, medida en Newtons (\(\mathrm{N}\)).

Es importante ver que producto tensorial es otro término para producto vectorial, que indica que \(\vec{r}\) y \(\vec{F}\) son cantidades vectoriales. En consecuencia, el producto tensorial entre ellas da como resultado una cantidad vectorial:

\[\vec{r}\times \vec{F}=rF\sin(\theta)\]

Definición del producto escalar

Como resultado de la ecuación del producto tensorial, la definición del valor de la magnitud del torque se expresa mediante la ecuación \[\tau=rF\sin(\theta),\]

Donde:

• \(r\) es la distancia desde el eje de rotación hasta el punto donde se aplica la fuerza.
• \(F\) es la fuerza aplicada.
• \(\theta\) es el ángulo entre el radio y la fuerza aplicada.

Aquí, las variables \(r\) y \(F\) ya no representan vectores, sino que corresponden a la magnitud de cada vector.

Fig. 1: Diagrama de torque que muestra la fuerza aplicada, la distancia \(r\) al eje de rotación, el ángulo que forman y el brazo de palanca (que se define como \(r\cdot\sin(\theta)\)).

Segunda ley de Newton

La ecuación del torque se puede escribir de la misma forma que la segunda ley de Newton,\(F=m\cdot a\), y se expresa como:

\[\tau=I\cdot \alpha,\]

• Donde, \(I\) es el momento de inercia y \(\alpha\) es la aceleración angular.

Observa que la inercia rotacional desempeña el papel de la masa cuando la segunda ley de Newton se escribe en forma angular.

La inercia rotacional varía en función de la forma del objeto y de la distribución de su masa respecto al eje de rotación.

Torque y aceleración angular

Tal y como hemos presentado al principio del artículo, el torque está relacionado con la aceleración angular. Esta relación se observa cuando se reordena la ecuación \(\tau=I\alpha\), y se resuelve para la aceleración angular.

Así, se obtiene la ecuación:

\[\alpha=\frac{\tau}{I},\]

Esta establece que la aceleración angular es proporcional al torque e inversamente proporcional al momento de inercia.

Torque y momento angular

El torque está relacionado con el momento angular.

La fórmula matemática correspondiente a esta definición es:

\[L=I\omega ,\]

• Donde, \(\omega\) es la velocidad angular medida en (\(\mathrm{rad/s}\)) e \(I\) es la inercia medida en (\(\mathrm{kg\cdot m^2}\).

Trabajo y potencia

La relación entre trabajo y torque se expresa mediante la definición de trabajo.

La fórmula matemática correspondiente a esta definición es:

\[W=\int \vec{\tau}d\vec{\theta},\]

Cuando el trabajo realizado se debe a un torque constante que hace girar un objeto un ángulo determinado, puede simplificarse a:

\[W=\tau\alpha ,\]

Si tomamos la derivada de esta ecuación respecto al tiempo, el resultado da una fórmula que expresa la relación entre torque y potencia:

\[\begin{align} W&=\tau\theta \\ \dfrac{dW}{dt}&=\tau\dfrac{d\theta}{dt} \\ P&=\tau\omega \end{align},\]

Donde:

• \(P\) es la potencia.
• \(\tau\) es el torque.
• \(\omega\) es velocidad angular.

Equilibrio rotacional

Para que un sistema esté en equilibrio rotacional, la suma de todos los pares que actúan sobre él debe ser igual a cero, \(\sum \tau=0\). La suma de todos los momentos de fuerza que actúan sobre un sistema puede ser cero si los momentos de fuerza actúan en sentidos opuestos y se anulan.

Ejemplos de torque

Para resolver problemas de torque, se pueden utilizar sus ecuaciones y aplicarlas a distintos casos. Como ya hemos definido el torque y discutido su relación con el movimiento de rotación, así como con múltiples variables, vamos a trabajar con algunos ejemplos para familiarizarnos con las ecuaciones.

Ten en cuenta que, antes de resolver un problema, debemos recordar estos sencillos pasos:

1. Leer el problema e identifica todas las variables que aparecen en él.
2. Determinar qué pide el problema y, por tanto, qué fórmulas se necesitan.
3. Aplicar las fórmulas necesarias y resolver el problema.
4. Hacer un dibujo, si es necesario, para proporcionar una ayuda visual que no dé lugar a dudas.

Ahora sí, apliquemos nuestros nuevos conocimientos a algunos ejemplos:

Probemos con otro ejemplo, para reiterar lo que hemos aprendido: