Función inversa

Calcula el dominio y el rango de la función \(f(x)=e^x\) y su función inversa \(f^{-1}(x)=\ln(x)\).

Solución:

El dominio de la función \(f(x)=e^x\) serán todos los números que podemos introducir en la función y que den un resultado. En este caso, esta función no tiene ninguna discontinuidad ni hay nada que impida calcular el resultado de algún número. El dominio de esta función es, por tanto, \(\text{Dom}\,f(x)=\mathbb R\).

Sin embargo, si calculamos las imágenes de esta función, observamos que siempre obtenemos números positivos. Ningún valor introducido en esta función devuelve un valor negativo. Esto lo podemos ver en la gráfica de esta función:

Fig. 1: Gráfica de la función exponencial.

Como puedes observar, el dominio de esta función (los valores de \(x\)) van desde \(-\infty\) hasta \(+\infty\). Sin embargo, el rango (que son los valores de \(y\)) solo toma valores positivos; es decir, \(\text{Rango}\,f(x)=[0,\infty)\).

Dicho esto, y sabiendo las propiedades de la función inversa, podemos decir que el dominio de la función logarítmo natural (que es la función inversa de la exponencial) es: \(\text{Dom}\,f^{-1}(x)=[0,\infty)\). Entonces, el rango será el dominio de la exponencial \(\text{Rango}\,f^{-1}(x)=\mathbb R\).

Esto lo podemos comprobar observando la gráfica de la función logaritmo natural:

Fig. 2: Gráfica de la función logaritmo natural, inversa de la función exponencial.

Encuentra la función inversa de \(f(x)=5x+6\).

Solución

1. Sustituye la notación de la función: \(f(x)=y=5x+6\)
2. Reordena la función, para despejar \(x\): \(y=5x+6\Rightarrow 5x=y-6 \Rightarrow x=\dfrac{y-6}{5}\)
3. Sustituye la \(x\) por la notación de la función inversa: \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-6}{5}\).

Encuentra la función inversa de \(f(x)=x^2-6\).

Solución

1. Sustituye la notación de la función: \(f(x)=y=x^2-6\).
2. Reordena la función, para despejar \(x\): \(y=x^2-6 \Rightarrow x^2=y-6 \Rightarrow x=\pm\sqrt{y-6}\).
3. Sustituye la \(x\) por la notación de la función inversa: \(f^{-1}(x)=\pm\sqrt{x-6}\).

En este caso, al calcular la función inversa, hemos obtenido dos funciones: \(f^{-1}_1=+\sqrt{x-6}\) y \(f^{-1}_2=-\sqrt{x-6}\). Esto ocurre porque en la función original hay valores de entrada que tienen el mismo valor de salida; es decir, \(f(x)=f(-x)\).

Muestra gráficamente la inversa de \(f(x)=2x+4\).

Solución

1) La función original representada gráficamente:

Fig. 3: Representación gráfica de la función \(f(x)\).

2) La función original y la recta de reflexión \(y = x\) representada como una línea discontinua:

Fig. 4: Representación gráfica de la función original \(f(x)\) y la recta de reflexión \(x=y\).

3) La función inversa se obtiene al reflejar la función original en la recta de reflexión \(x = y\):

Fig. 5: Representación gráfica de la función original y su inversa, mediante reflexión en la recta \(x=y\).

Calcula la función inversa de \(f(x)=x^4\) y la derivada de esta inversa.

Solución

En primer lugar, calculemos la inversa de \(f(x)\):

• Sustituye la notación de la función: \(f(x)=y=x^4\).
• Reordena la función, para despejar \(x\): \(y=x^4\Rightarrow x=\sqrt[4]{y}\).
• Entonces, sustituye la \(x\) por la notación de la función inversa: \(f^{-1}(x)=\sqrt[4]{x}\).

Ahora, para calcular la derivada de esta función inversa, necesitamos calcular primero la derivada de la función original:

\[f'(x)=4x^3\]

Así que la derivada de la función inversa, según la fórmula, sería:

\[(f^{-1})'(x)=\dfrac{1}{f'[f^{-1}(x)]}=\dfrac{1}{4(\sqrt[4]{x})^3}=\dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}\]

Lo que hemos hecho, es dividir entre la derivada de la función original, pero sustituyendo \(x\) por la función inversa.

Podemos calcular la derivada de la función inversa por el método de derivación usual y comprobar que el resultado es el mismo:

\[(f^{-1})'(x)=(\sqrt[4]{x})'=(x^{\frac{1}{4}})'=\dfrac{1}{4}x^{\frac{-3}{4}}=\dfrac{1}{4x^{\frac{3}{4}}}=\dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}\]