Es posible que ya conozcas las funciones \(x^2\) y \(\sqrt{x}\). Pero, ¿sabes qué tienen en común?: una función es la inversa de la otra. Te preguntarás ¿y esto qué quiere decir?
Veamos una tabla con valores que vamos a introducir en \(x^2\).
Tabla 1: Valores para la función \(f(x)=x^2\).
Simplemente es hacer el cuadrado del valor que introducimos en la función. Pero, ahora, lee la tabla al revés; es decir, los valores del dominio van a ser el resultado de aplicar la función y las imágenes son los valores que introducimos en la función.
Tabla 2: Valores para la función inversa de \(f(x)=x^2\).
¿Qué función realiza esta operación? Efectivamente, la raíz cuadrada es la función que produce estos resultados.
Por tanto, vemos cómo estas dos funciones están relacionadas: una función es la inversa de la otra. La función inversa se denota como \(f^{-1}(x)\).
Solo las funciones biyectivas (funciones uno a uno), en las que un valor del dominio corresponde a un solo valor del rango, pueden tener inversas.
- En primer lugar aprenderemos la definición de la función inversa.
- Después estudiaremos el dominio de la función inversa.
- A continuación aprenderemos a calcular la inversa de una función.
- Luego veremos la representación gráfica de la función inversa.
- Por último, explicaremos la derivada de la función inversa.
Función inversa definición
Normalmente tenemos una función que asigna elementos del conjunto \(A\) a elementos del conjunto \(B\). Es decir, valores que se introducen se asignan a valores que son el resultado de aplicar la función, pues la función inversa hace lo contrario.
Si tenemos una función \(f\) que asigna elementos del conjunto \(A\) a elementos del conjunto \(B\), podemos definir una función que realiza el camino contrario: asigna esos elementos del conjunto \(B\) a los del conjunto \(A\). Esta función se denomina función inversa \(f^{-1}\).
Habiendo definido la función inversa, quizá puedes estar ya pensando en muchos pares de funciones que son inversas. Por ejemplo, la función inversa de \(f(x)=x^3\) es \(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}\); la función inversa de \(f(x)=e^x\) es \(f^{-1}(x)=\ln(x)\); y, así, muchas otras que ya conoces.
Dominio de la función inversa
Se te puede pedir que encuentres dominios y rangos para funciones inversas. El dominio (conjunto de valores de entrada) de la función original será el rango (conjunto de posibles valores de salida) de la función inversa. Asimismo, el dominio de la función inversa será el rango de la función original.
| Dominio | Rango |
| Función original | Función inversa |
| Función inversa | Función original |
Tabla 3: Relación entre la función original y su inversa.
Por tanto, el dominio de la función original será el rango de la función inversa y viceversa. Esto es casi siempre cierto, aunque hay veces que el dominio de la función inversa es un subconjunto del rango de la función original y viceversa.
Vamos a ver unos ejemplos para entender mejor esto.
Calcula el dominio y el rango de la función \(f(x)=e^x\) y su función inversa \(f^{-1}(x)=\ln(x)\).
Solución:
El dominio de la función \(f(x)=e^x\) serán todos los números que podemos introducir en la función y que den un resultado. En este caso, esta función no tiene ninguna discontinuidad ni hay nada que impida calcular el resultado de algún número. El dominio de esta función es, por tanto, \(\text{Dom}\,f(x)=\mathbb R\).
Sin embargo, si calculamos las imágenes de esta función, observamos que siempre obtenemos números positivos. Ningún valor introducido en esta función devuelve un valor negativo. Esto lo podemos ver en la gráfica de esta función:
Fig. 1: Gráfica de la función exponencial.
Como puedes observar, el dominio de esta función (los valores de \(x\)) van desde \(-\infty\) hasta \(+\infty\). Sin embargo, el rango (que son los valores de \(y\)) solo toma valores positivos; es decir, \(\text{Rango}\,f(x)=[0,\infty)\).
Dicho esto, y sabiendo las propiedades de la función inversa, podemos decir que el dominio de la función logarítmo natural (que es la función inversa de la exponencial) es: \(\text{Dom}\,f^{-1}(x)=[0,\infty)\). Entonces, el rango será el dominio de la exponencial \(\text{Rango}\,f^{-1}(x)=\mathbb R\).
Esto lo podemos comprobar observando la gráfica de la función logaritmo natural:
Fig. 2: Gráfica de la función logaritmo natural, inversa de la función exponencial.
Cálculo de la inversa de una función
Para hallar la inversa de una función, hay que seguir los siguientes pasos:
Sustituir la notación de la función por y (por ejemplo, \(f(x)\) se convierte en \(y\)).
Reordenar la función para que \(y\) sea la variable dependiente y despejar \(x\).
Sustituir la \(x\) por la notación de la función inversa (es decir, la \(y\) vuelve a ser la \(x\) y viceversa).
Encuentra la función inversa de \(f(x)=5x+6\).
Solución
- Sustituye la notación de la función: \(f(x)=y=5x+6\)
- Reordena la función, para despejar \(x\): \(y=5x+6\Rightarrow 5x=y-6 \Rightarrow x=\dfrac{y-6}{5}\)
- Sustituye la \(x\) por la notación de la función inversa: \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-6}{5}\).
Encuentra la función inversa de \(f(x)=x^2-6\).
Solución
- Sustituye la notación de la función: \(f(x)=y=x^2-6\).
- Reordena la función, para despejar \(x\): \(y=x^2-6 \Rightarrow x^2=y-6 \Rightarrow x=\pm\sqrt{y-6}\).
- Sustituye la \(x\) por la notación de la función inversa: \(f^{-1}(x)=\pm\sqrt{x-6}\).
En este caso, al calcular la función inversa, hemos obtenido dos funciones: \(f^{-1}_1=+\sqrt{x-6}\) y \(f^{-1}_2=-\sqrt{x-6}\). Esto ocurre porque en la función original hay valores de entrada que tienen el mismo valor de salida; es decir, \(f(x)=f(-x)\).
Cabe decir que el dominio de ambas está limitado a que el resultado de \(x-6\) sea siempre igual o mayor que cero.
Función inversa: representación gráfica
Hay dos formas de dibujar una función inversa:
Reflejar directamente la función original en la recta \(y = x\), utilizando las propiedades de transformación de una gráfica.
Hallar la función inversa y representar esta función introduciendo valores en la misma.
Reflejar directamente la función original en la recta \(y = x\)
Una función inversa es la reflexión de la función original en la recta \(y = x\), por lo que podemos utilizar la recta original y la recta y = x como recta de reflexión.
Muestra gráficamente la inversa de \(f(x)=2x+4\).
Solución
1) La función original representada gráficamente:
Fig. 3: Representación gráfica de la función \(f(x)\).
2) La función original y la recta de reflexión \(y = x\) representada como una línea discontinua:
Fig. 4: Representación gráfica de la función original \(f(x)\) y la recta de reflexión \(x=y\).
3) La función inversa se obtiene al reflejar la función original en la recta de reflexión \(x = y\):
Fig. 5: Representación gráfica de la función original y su inversa, mediante reflexión en la recta \(x=y\).
Derivada de la función inversa
Como la función inversa es —en sí misma— una función, también podemos hallar su derivada. Como con cualquier otra función, podemos aplicar las reglas de derivación para calcular su derivada.
Sin embargo, debido a que la función original y la función inversa están íntimamente relacionadas, podemos hallar la derivada de la función inversa a través de la derivada de la función original. La fórmula de la derivada para la función inversa es: \[\left(f^{-1}\right) '(x)=\dfrac{1}{f'[f^{-1}(x)]}\]
Esta fórmula puede parecer algo complicada; pero, ¡hagamos un ejemplo, para ver cómo se utiliza!
Calcula la función inversa de \(f(x)=x^4\) y la derivada de esta inversa.
Solución
En primer lugar, calculemos la inversa de \(f(x)\):
- Sustituye la notación de la función: \(f(x)=y=x^4\).
- Reordena la función, para despejar \(x\): \(y=x^4\Rightarrow x=\sqrt[4]{y}\).
- Entonces, sustituye la \(x\) por la notación de la función inversa: \(f^{-1}(x)=\sqrt[4]{x}\).
Ahora, para calcular la derivada de esta función inversa, necesitamos calcular primero la derivada de la función original:
\[f'(x)=4x^3\]
Así que la derivada de la función inversa, según la fórmula, sería:
\[(f^{-1})'(x)=\dfrac{1}{f'[f^{-1}(x)]}=\dfrac{1}{4(\sqrt[4]{x})^3}=\dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}\]
Lo que hemos hecho, es dividir entre la derivada de la función original, pero sustituyendo \(x\) por la función inversa.
Podemos calcular la derivada de la función inversa por el método de derivación usual y comprobar que el resultado es el mismo:
\[(f^{-1})'(x)=(\sqrt[4]{x})'=(x^{\frac{1}{4}})'=\dfrac{1}{4}x^{\frac{-3}{4}}=\dfrac{1}{4x^{\frac{3}{4}}}=\dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}\]
Función inversa - Puntos clave
- Si tenemos una función \(f\) que asigna elementos del conjunto \(A\) a elementos del conjunto \(B\), podemos definir una función que realiza el camino contrario: asigna esos elementos del conjunto \(B\) a los del conjunto \(A\). Esta función se denomina función inversa \(f^{-1}\).
- El dominio de la función original será el rango de la función inversa y viceversa.
- Para hallar la inversa de una función, hay que:
Sustituir la notación de la función por y (por ejemplo, \(f(x)\) se convierte en \(y\)).
Reordenar la función para que \(y\) sea la variable dependiente y despejar \(x\).
Sustituir la \(x\) por la notación de la función inversa (es decir, la \(y\) vuelve a ser la \(x\) y viceversa).
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