Los campos existen en todo el espacio; a diferencia de las fuerzas que utilizamos en los problemas sencillos de física, donde solo actúan sobre un cuerpo determinado. Los fenómenos físicos que podemos tratar, al considerar campos en regiones extensas, son más complejos pero también más realistas y nos permiten describir situaciones que no podríamos describir utilizando fuerzas puntuales.
Tanto para el campo eléctrico como para el magnético es útil considerar el flujo, que es una medida de la cantidad de campo que atraviesa una determinada superficie.
El flujo es una cantidad que se puede calcular para cualquier campo vectorial que atraviesa una superficie, aunque tiene una relevancia especial en el contexto del campo electromagnético.
- En este artículo, acerca del flujo magnético, comenzaremos introduciendo brevemente el concepto de campo magnético.
- A continuación, veremos qué es el flujo magnético.
- También estudiaremos la fórmula del flujo magnético y su significado real.
- Continuaremos con aprender y cuáles son las unidades de flujo magnético y cómo se derivan.
- Repasaremos, también, la ley de Faraday.
- Finalmente, haremos un ejercicio de flujo magnético, para familiarizarte más con el tema.
Campo magnético y flujo magnético
Como ya sabemos, los fenómenos magnéticos pueden describirse mediante un campo dependiente del tiempo y extendido en el espacio. Denotaremos este campo con el vector \(\vec{B}\). El campo magnético también recibe el nombre de densidad de flujo magnético. Como veremos, el flujo magnético es una cantidad extensiva (depende de la extensión de la superficie que escojamos), mientras que el campo magnético —o densidad de flujo magnético— es una magnitud física intensiva en sí misma.
A pesar de que solemos pensar en el campo magnético como una cantidad fundamental, debido a la forma de las ecuaciones de Maxwell, podríamos definir el flujo magnético como una cantidad fundamental con la que podríamos describir todos los fenómenos que quisiésemos en términos del flujo. Asimismo, podemos definir el campo magnético (o densidad de flujo magnético) como una cantidad derivada.
Puesto que el campo es un objeto matemático que depende del espacio, podemos considerar superficies reales o ficticias y estudiar cuál es la cantidad de campo magnético que atraviesa la superficie. La razón para hacer esto es que en las leyes básicas del electromagnetismo, las leyes de Maxwell; el flujo magnético es una cantidad esencial que nos permite caracterizar de forma sencilla algunos fenómenos electromagnéticos.
¿Qué es el flujo magnético?
El flujo magnético es la cantidad de flujo que atraviesa una superficie. Se suele denotar por la letra \(\phi\).
La fórmula del flujo magnético se presentará a continuación; pero, antes de ello, veremos un par de ejemplos simples de la importancia del flujo de un campo vectorial en nuestra vida cotidiana.
Imagina un grifo abierto y una botella vacía. El flujo de agua es un campo vectorial de intensidad aproximadamente constante y dirección constante. Por otro lado, podemos pensar en una superficie imaginaria justo en la boquilla de la botella. Esta superficie es, habitualmente, un círculo de área constante. Si ponemos esta superficie —y, por tanto, la botella— de manera en que la dirección del flujo de agua se alinee con el vector perpendicular a la superficie, estaremos llenando la botella. Si, por el contrario, inclinamos la botella paulatinamente hasta que el vector perpendicular a la boquilla sea perpendicular a la dirección del flujo del agua, nada de agua entrará en la botella. En el primer caso, el flujo del campo vectorial es máximo, mientras que en el segundo lo reducimos paulatinamente hasta anularlo.
Ahora, piensa que estás en bañador o bikini en la playa y hay un sol radiante en el cielo. ¿No es habitual posicionarse con tu cuerpo perpendicular a los rayos del Sol, para poner la piel más morena o sentir más calor? De igual manera, si la piel se encuentra quemada o tenemos mucho calor y no tenemos nada con lo que cubrirnos, modificaremos nuestra posición para minimizar el flujo de los rayos de Sol y, en consecuencia, recibir menos calor.
Fórmula del flujo magnético
La siguientes es la fórmula del flujo magnético:
$$\phi = \vec{B}\cdot\vec{A}=|\vec{B}|\cdot|\vec{A}|\cdot cos(\theta)$$
Aquí, el producto entre vectores es el producto escalar habitual, y la segunda igualdad se corresponde con la expresión habitual del producto escalar, en términos del módulo de los vectores. El vector \(\vec{A}\) es un vector asociado a cualquier superficie que consideremos que es perpendicular a la misma en todo punto y que tiene como módulo el valor de la superficie con la que se corresponde. Finalmente, \(\theta\) es el ángulo formado entre el vector asociado a la superficie y el vector del campo magnético/densidad de flujo magnético.
Fig. 1: Flujo magnético dependiente de la orientación, a través de una superficie plana.
En entornos complejos, el campo magnético no es uniforme y la superficie no es plana. Esto lleva a utilizar integrales y caracterizaciones que están fuera del alcance de esta explicación. Por eso, en esta ocasión consideraremos superficies planas y campos magnéticos uniformes. Esto implica que toda la dependencia del flujo magnético se encuentra en el ángulo entre el campo magnético y la superficie.
Unidades del flujo magnético
Ante la fórmula del flujo magnético, es claro que las unidades del flujo magnético son las unidades del campo magnético por unidades de área: en el Sistema Internacional son \(\dfrac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m^2}}{\mathrm{s^2}\cdot \mathrm{A}}\) y reciben un nombre especial: el Weber [ \(\mathrm{Wb}\) ].
Por otro lado, las unidades del campo magnético o densidad de flujo magnético en el Sistema Internacional es el Tesla. Por tanto, las unidades del flujo magnético en el Sistema Internacional (los Webers) son iguales a los Teslas por metro cuadrado.
$$\mathrm{Wb}=\mathrm{T}\cdot \mathrm{m^2}$$
La ley de Faraday
La ley de Faraday es una ley experimental que, posteriormente, se formalizó matemáticamente y se incorporó como parte de lo que hoy conocemos como leyes de Maxwell. Esta ley relaciona un concepto del campo eléctrico (la diferencia de potencial) con el flujo magnético. En concreto, relaciona la fuerza electromotriz (FEM) con la velocidad de cambio del flujo magnético.
La fuerza electromotriz es la energía necesaria por unidad de carga para establecer una determinada diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos. Se suele denotar con la letra \(\mathcal{E}\).
La descripción matemática de la ley de Faraday es:
$$\mathcal{E}=-\dfrac{\partial \phi}{\partial t}$$
donde hay una derivación con respecto al tiempo del flujo magnético.
Aunque esta descripción es muy general, si nos limitamos al caso mencionado de campo magnético uniforme y un área fija, llegamos (debido a la expresión del producto escalar) a la siguiente ecuación:
$$\mathcal{E}=\omega\cdot |\vec{B}|\cdot |\vec{A}|\cdot sin(\theta),$$
donde \(\omega\) es la velocidad angular a la que varía el ángulo entre el campo magnético y la superficie.
La imagen siguiente es un montaje experimental para producir una fuerza electromotriz utilizando una determinada superficie móvil y un campo magnético uniforme.
Fig. 2: Montaje experimental para comprobar la ley de Faraday.
Ejercicios de flujo magnético y superposición
Las ecuaciones que rigen el comportamiento del campo electromagnético (leyes de Maxwell) son lineales, lo que significa que podemos considerar la superposición de diferentes campos que cumplen las mismas ecuaciones. Si consideramos un montaje experimental que genera una fuerza electromotriz en el que aumentamos el número de superficies que son atravesadas por un campo magnético, el flujo magnético total crece de manera lineal y, en consecuencia, hay un crecimiento lineal del flujo magnético.
Si tenemos \(N\) superficies idénticas, el flujo total y la fuerza electromotriz generada al variar en el tiempo el flujo magnético son:
$$\mathcal{E}_L = N\cdot\phi\rightarrow\mathcal{E}_L = N\cdot\mathcal{E}$$
Ahora vamos a considerar varios ejemplos de montajes experimentales. El campo magnético presente tiene un valor de 10 Teslas, mientras que el área de las bobinas que estamos utilizando es de 1 metro cuadrado. Hacemos girar la bobina con una velocidad angular de 2 radianes por segundo.
Imagina que el campo magnético está dirigido en el eje x, es decir:
$$\vec{B}=(10,0,0)\mathrm{T}$$
Por otro lado, el vector normal evoluciona de la siguiente manera:
$$\vec{A}=cos(2\cdot t), sin(2\cdot t),0)\mathrm{m^2}$$,
donde \(t\) es el tiempo.
Así, se obtiene la siguiente expresión para el flujo magnético:
$$\phi = \vec{B}\cdot \vec{A}=10\cdot cos(2\cdot t) \mathrm{Wb}$$
Esto nos permite calcular fácilmente:
$$\mathcal{E}=-\dfrac{\partial \phi}{\partial t}=-\dfrac{\partial}{\partial t}(10\cdot cos(2\cdot t))=20\cdot sin(2\cdot t) \mathrm{V}$$
A continuación encontrarás un gráfico que muestra la evolución temporal del flujo magnético y de la fuerza electromotriz generada.
Fig. 3: Evolución temporal del flujo magnético (rojo) y de la fuerza electromotriz (azul).
Si hubiéramos conseguido aumentar el campo magnético, o hacer más grande la superficie de la bobina, también podríamos haber generado una fuerza electromotriz. Esto, porque estaríamos variando el flujo magnético en el tiempo, al variar alguna (o varias) de las cantidades involucradas.
Si ahora consideramos 20 bobinas idénticas, que giran de forma sincronizada, la gráfica de la dependencia temporal de la densidad de flujo magnético y la fuerza electromotriz tendría este aspecto.
Fig. 4. Comparación entre un montaje con 1 bobina y con 20 bobinas. En el eje horizontal se representa el tiempo y, en el vertical, la fuerza electromotriz.
Vemos aquí que los valores del flujo total (y, por tanto, de la FEM) han crecido significativamente al utilizar 19 bobinas adicionales.
Pasemos ahora, brevemente, al caso de una superficie estática y un campo magnético variable. Si el campo comienza con un valor inicial de 0 Teslas, pero sigue creciendo linealmente con el tiempo, su expresión es
$$\vec{B}=(10\cdot t, 0, 0)\mathrm{T} $$
Considera una superficie cuyo vector normal es:
$$\vec{A}=(1,0,0)\mathrm{m^2}$$
Debemos llegar a la siguiente expresión para el flujo magnético:
$$\phi=\vec{B}\cdot\vec{A}=10\cdot t\,\mathrm{Wb}$$
La derivada temporal de esta expresión da la expresión de la fuerza electromotriz, es decir:
$$\mathcal{E}=-\dfrac{\partial\phi}{\partial t}=-\dfrac{\partial}{\partial t}(10\cdot t)=-10 \mathrm{V}$$
De esta manera, generaría una fuerza electromotriz constante entre los extremos de la bobina. Por supuesto, podríamos utilizar varias bobinas para superponer el flujo magnético y aumentar la potencia. De hecho, cuando utilizamos varias bobinas, lo habitual es variar el campo magnético y no la orientación para generar una fuerza electromotriz.
Esta es la razón por la que solemos asociar el concepto de flujo magnético y la ley de Faraday con una sola bobina giratoria, mientras que el concepto de superposición de flujo suele designar varias bobinas estáticas en presencia de un campo magnético.
Flujo magnético - Puntos clave
- El flujo magnético es una magnitud que mide la cantidad de campo magnético que atraviesa perpendicularmente una determinada superficie.
- La ley de Faraday establece una relación entre una fuerza que crea una diferencia de potencial electromagnético y la variación del flujo magnético en el tiempo.
- La ley de Faraday se aplica siempre que varíe en el tiempo al menos una de estas tres cosas: la intensidad del campo magnético, la superficie que atraviesa o la orientación de la superficie con respecto al campo.
- La situación en la que hay varias bobinas por las que pasa un campo magnético se llama superposición de flujo magnético. El flujo aumenta proporcionalmente.
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