Módulo

Operación módulo

La fórmula general de la operación módulo es la siguiente: \(|\overrightarrow{X}|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+...x_n^2}\).

• Aquí \(|\overrightarrow{X}|\) es la magnitud de la cantidad o el valor real.

Como habrás observado, el módulo se suele representar con dos barras verticales con un vector arriba. Esto está relacionado con el valor absoluto de un número real; pero un número real es, en sí mismo, la cantidad. Realmente es la misma operación, puesto que el módulo también proporciona siempre un valor positivo.

Módulo de un vector

Como ya mencionamos, la operación módulo se puede aplicar a vectores. En física, muchas veces verás la aceleración expresada en sus componentes \(x\) y \(y\); a veces, también \(z\), si estás en tres dimensiones. Esto se puede ver en la imagen inferior para dos dimensiones:

Fig. 1. Vector y sus componentes en \(x\) y \(y\).

En estos casos, es útil saber la magnitud de la velocidad, aceleración o fuerza; en este caso, necesitaremos saber el módulo del vector. Para poder saber la magnitud, simplemente debemos aplicar la fórmula de la operación módulo.

Fórmula del módulo de un vector

La fórmula del módulo de un vector es muy sencilla: simplemente debes elevar los componentes del vector al cuadrado, sumarlos y aplicar la raíz cuadrada. Veamos las fórmulas del módulo para un vector en dos y tres dimensiones:

\[X=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\]

Ahora, aprendamos cómo las podemos aplicar en un par de ejemplos:

Ahora, ensayemos con un problema con un sentido más físico:

Módulo de un número complejo

Los números complejos también tienen un módulo y la forma siguiente: \(I=a+bi\).

• Aquí \(a\) es la parte real del número complejo y \(b\) es la parte imaginaria del número complejo.

Los complejos son representados en el plano como vectores en dos dimensiones, en donde:

• La parte imaginaria es el eje de las \(y\).

• La parte real es el eje de las \(x\).

Si te das cuenta, esto significa que los complejos también tienen una magnitud; para calcular esta magnitud, se debe calcular el módulo de un número complejo.

Calculando la magnitud de un número complejo

Para calcular la magnitud de un número complejo, debemos usar la operación módulo; en este caso, la \(i\) del número imaginario no se toma en cuenta, sino solo el valor que multiplica esta \(i\).

Veamos un ejemplo:

Aplicaciones del módulo de números

La operación módulo tiene diversas aplicaciones en el mundo real, muchas de ellas tienen que ver con el cálculo de cantidades físicas.

En física se usan marcos de referencia. Usando estos marcos de referencia, se pueden medir cantidades como:

• velocidades

• aceleraciones

• fuerzas

• presiones

• etc.

Para poder calcular la magnitud de estas, deberemos usar la operación módulo.