Los radicales, o raíces, son expresiones que contienen una raíz cuadrada, una raíz cúbica u otras raíces. Cuando el resultado del cálculo de una raíz es un número irracional con infinitos decimales, se deja en forma de raíz para que sea una representación exacta. Por ejemplo,\(\sqrt{2}\), \(\sqrt[3]{6.7}\), \(\sqrt{7}\), \(\sqrt[5]{21}\), \(\sqrt{10}\) .
Recuerda que un número irracional es un tipo de número que no se puede representar como una fracción.
Propiedades de los radicales
Cuando trabajes con radicales, hay diversas propiedades y reglas, como las propiedades de multiplicación, división o exponenciación. Estas nos permiten hacer operaciones con radicales.
Operaciones con radicales
Multiplicación de radicales: siempre que el índice de las raíces sea el mismo, puedes multiplicar raíces con diferentes números dentro de la raíz. Para esto, simplemente debes combinarlos en una raíz y multiplicar los números dentro de ella.
Del mismo modo, se puede dividir una raíz en raíces separadas utilizando factores: \(\sqrt{c}=\sqrt{a \cdot b}= \sqrt{a} \sqrt{b} \)
\[\sqrt{6}=\sqrt{2} \sqrt{3}\]
Si los radicales son raíces de distinto orden también pueden multiplicarse. Para multiplicar raices de distinto orden, estas deben tener un minimo comun multiplicador.
Multiplica \(\sqrt[2]{3}\) y \(\sqrt[4]{4}\).
Aquí \(\sqrt[4]{4}\) puede ser expresado como:
\[\sqrt[2*2]{4}=\left( (4)^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}} = \left(\sqrt{4}\right)^{\frac{1}{2}} \]
Esto sería igual a:
\[\left(\sqrt{4}\right)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2} \]
Por lo tanto la multiplicación sería:
\[\sqrt[2]{3} \cdot \sqrt[2]{2} =\sqrt[2]{6}\]
División de radicales: del mismo modo, siempre que el índice de las raíces sea el mismo, puedes dividir radicales con diferentes números dentro de la raíz. Para ello, los combinas en una raíz y divides los números dentro de la raíz:
\[\dfrac{\sqrt[a]{A}}{\sqrt[a]{B}}=\sqrt[a]{\dfrac{A}{B}}\]
\[\dfrac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{3}}=\sqrt[3]{\dfrac{9}{3}}=\sqrt[3]{3}\]
Multiplicar una raíz cuadrada por sí misma: si se multiplica la raíz de un número por sí misma, se obtiene el valor dentro de la raiz:
\[\sqrt[a]{A} \cdot \sqrt[a]{A}=A\]
\[\sqrt[2]{4} \cdot \sqrt[2]{4}=4\]
Multiplicación de un número por una raíz: al multiplicar un número por una raíz, el orden de los factores no importa, y el resultado debe ser el número seguido de la raíz:
\[A \cdot \sqrt[a]{B} = A(\sqrt[a]{B})\]
\[7 \cdot \sqrt[2]{3} = 7(\sqrt[2]{3})\]
Suma o resta de radicales: para sumar o restar radicales, el número dentro de las raíces debe ser el mismo. Entonces, se suman o restan los números que están fuera de la raíz:
\[A\sqrt[a]{m}+B\sqrt[a]{m} =(A+B) \sqrt[a]{m} \]
\[2\sqrt[2]{4}+3\sqrt[2]{4} =(2+3) \sqrt[2]{4}=5\sqrt[2]{4} \]
Para sumar o restar radicales, es posible que tengas que simplificarlos, primero, para encontrar términos similares.
Suma:
\[\sqrt{2}+\sqrt{8}\]
No puedes sumarlos directamente, pero puedes trtabajar la expresion para poder hacerlo.
\[\sqrt[2]{8}=\sqrt[2]{4} \cdot \sqrt[2]{2}\]
Entonces, puedes resolver:
\[\sqrt[2]{8} \cdot \sqrt[2]{2}=(\sqrt[2]{4} \cdot \sqrt[2]{2}) + \sqrt[2]{2}=2\sqrt[2]{2}+\sqrt[2]{2}=3\sqrt{2}\]
Multiplicación de paréntesis que contienen raíces: para hacer esta operación, cada término del primer paréntesis debe multiplicarse por cada término del segundo paréntesis. Luego, se pueden combinar los términos iguales:
\[(2+\sqrt{3})\cdot 4= (4 \cdot 2)+ (4 \cdot \sqrt{3} )\]
Simplificación de radicales
Para simplificar radicales, es necesario recordar las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos o cubos perfectos tambien.
\[\sqrt[3]{27}; 3^3=27 \rightarrow \sqrt[3]{3^3}=3\]
\[\sqrt[2]{81}; 9^2=81 \rightarrow \sqrt[2]{9^2}=9\]
Suma de radicales
Los radicales también se pueden sumar. Para ello, siempre debes hacer primero la operación que indica la raíz —la suma de radicales no se puede simplificar en estos casos—. Una regla que se cumple en la suma de raíces es la que se muestra a continuación:
\[a\sqrt{A}+b\sqrt{A}=(a+b)\sqrt{A}\]
Veamos esto en un ejemplo.
\[2\sqrt{5}+5\sqrt{5}=(2+5)\sqrt{5}\]
entonces:
\[(2+5)\sqrt{5}=7\sqrt{5}\]
Racionalización del denominador de fracciones que contienen raíces
El propósito de racionalizar el denominador de las fracciones que contienen raíces es eliminar las raíces del denominador. La estrategia para hacerlo es multiplicar el numerador y el denominador por la raíz.
\[ \dfrac{\sqrt{A}}{a} \cdot \dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{A}}=\dfrac{A}{a\sqrt{A}}\]
Racionaliza el denominador en la siguiente expresión:
\[ \dfrac{\sqrt{2}}{6} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{2}{6\sqrt{2}}\]
La expresion no se puede simplificar mas.
Asimismo, si el denominador contiene una raíz y un número racional, hay que multiplicar el numerador y el denominador por la expresión del denominador, pero con el signo del medio cambiado; es decir, si es (+) cambiarlo por (-), y viceversa. Esta expresión se llama el conjugado.
\[\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{4}}\]
el conjugado seria:
\[\dfrac{2+\sqrt{4}}{2+\sqrt{4}}\]
Por lo tanto la simplificación sería multiplicar el conjugado por la fracción original.
\[\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{4}} \cdot \dfrac{2+\sqrt{4}}{2+\sqrt{4}}\]
Radicales - Puntos clave
- Las raíces o radicales son expresiones que contienen una raíz cuadrada, una raíz cúbica u otras raíces que dan como resultado un número irracional, con infinitos decimales. Se dejan en su forma radical para representarlas con mayor precisión.
- Para multiplicar y dividir radicales con números diferentes dentro de la raíz, el índice de las raíces debe ser el mismo.
- Para sumar o restar radicales, el número dentro de las raíces debe ser el mismo.
- Para sumar o restar radicales, es posible que haya que simplificarlas primero.
- El propósito de racionalizar el denominador de las fracciones que contienen raíces es eliminar las raíces del denominador.
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