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Radicales

Radicales

Los radicales, o raíces, son expresiones que contienen una raíz cuadrada, una raíz cúbica u otras raíces. Cuando el resultado del cálculo de una raíz es un número irracional con infinitos decimales, se deja en forma de raíz para que sea una representación exacta. Por ejemplo,\(\sqrt{2}\), \(\sqrt[3]{6.7}\), \(\sqrt{7}\), \(\sqrt[5]{21}\), \(\sqrt{10}\) .

Recuerda que un número irracional es un tipo de número que no se puede representar como una fracción.

Propiedades de los radicales

Cuando trabajes con radicales, hay diversas propiedades y reglas, como las propiedades de multiplicación, división o exponenciación. Estas nos permiten hacer operaciones con radicales.

Operaciones con radicales

Multiplicación de radicales: siempre que el índice de las raíces sea el mismo, puedes multiplicar raíces con diferentes números dentro de la raíz. Para esto, simplemente debes combinarlos en una raíz y multiplicar los números dentro de ella.

Del mismo modo, se puede dividir una raíz en raíces separadas utilizando factores: \(\sqrt{c}=\sqrt{a \cdot b}= \sqrt{a} \sqrt{b} \)

\[\sqrt{6}=\sqrt{2} \sqrt{3}\]

Si los radicales son raíces de distinto orden también pueden multiplicarse. Para multiplicar raices de distinto orden, estas deben tener un minimo comun multiplicador.

Multiplica \(\sqrt[2]{3}\) y \(\sqrt[4]{4}\).

Aquí \(\sqrt[4]{4}\) puede ser expresado como:

\[\sqrt[2*2]{4}=\left( (4)^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}} = \left(\sqrt{4}\right)^{\frac{1}{2}} \]

Esto sería igual a:

\[\left(\sqrt{4}\right)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2} \]

Por lo tanto la multiplicación sería:

\[\sqrt[2]{3} \cdot \sqrt[2]{2} =\sqrt[2]{6}\]

División de radicales: del mismo modo, siempre que el índice de las raíces sea el mismo, puedes dividir radicales con diferentes números dentro de la raíz. Para ello, los combinas en una raíz y divides los números dentro de la raíz:

\[\dfrac{\sqrt[a]{A}}{\sqrt[a]{B}}=\sqrt[a]{\dfrac{A}{B}}\]

\[\dfrac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{3}}=\sqrt[3]{\dfrac{9}{3}}=\sqrt[3]{3}\]

Multiplicar una raíz cuadrada por sí misma: si se multiplica la raíz de un número por sí misma, se obtiene el valor dentro de la raiz:

\[\sqrt[a]{A} \cdot \sqrt[a]{A}=A\]

\[\sqrt[2]{4} \cdot \sqrt[2]{4}=4\]

Multiplicación de un número por una raíz: al multiplicar un número por una raíz, el orden de los factores no importa, y el resultado debe ser el número seguido de la raíz:

\[A \cdot \sqrt[a]{B} = A(\sqrt[a]{B})\]

\[7 \cdot \sqrt[2]{3} = 7(\sqrt[2]{3})\]

Suma o resta de radicales: para sumar o restar radicales, el número dentro de las raíces debe ser el mismo. Entonces, se suman o restan los números que están fuera de la raíz:

\[A\sqrt[a]{m}+B\sqrt[a]{m} =(A+B) \sqrt[a]{m} \]

\[2\sqrt[2]{4}+3\sqrt[2]{4} =(2+3) \sqrt[2]{4}=5\sqrt[2]{4} \]

Para sumar o restar radicales, es posible que tengas que simplificarlos, primero, para encontrar términos similares.

Suma:

\[\sqrt{2}+\sqrt{8}\]

No puedes sumarlos directamente, pero puedes trtabajar la expresion para poder hacerlo.

\[\sqrt[2]{8}=\sqrt[2]{4} \cdot \sqrt[2]{2}\]

Entonces, puedes resolver:

\[\sqrt[2]{8} \cdot \sqrt[2]{2}=(\sqrt[2]{4} \cdot \sqrt[2]{2}) + \sqrt[2]{2}=2\sqrt[2]{2}+\sqrt[2]{2}=3\sqrt{2}\]

Multiplicación de paréntesis que contienen raíces: para hacer esta operación, cada término del primer paréntesis debe multiplicarse por cada término del segundo paréntesis. Luego, se pueden combinar los términos iguales:

\[(2+\sqrt{3})\cdot 4= (4 \cdot 2)+ (4 \cdot \sqrt{3} )\]

Simplificación de radicales

Para simplificar radicales, es necesario recordar las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos o cubos perfectos tambien.

\[\sqrt[3]{27}; 3^3=27 \rightarrow \sqrt[3]{3^3}=3\]

\[\sqrt[2]{81}; 9^2=81 \rightarrow \sqrt[2]{9^2}=9\]

Suma de radicales

Los radicales también se pueden sumar. Para ello, siempre debes hacer primero la operación que indica la raíz la suma de radicales no se puede simplificar en estos casos. Una regla que se cumple en la suma de raíces es la que se muestra a continuación:

\[a\sqrt{A}+b\sqrt{A}=(a+b)\sqrt{A}\]

Veamos esto en un ejemplo.

\[2\sqrt{5}+5\sqrt{5}=(2+5)\sqrt{5}\]

entonces:

\[(2+5)\sqrt{5}=7\sqrt{5}\]

Racionalización del denominador de fracciones que contienen raíces

El propósito de racionalizar el denominador de las fracciones que contienen raíces es eliminar las raíces del denominador. La estrategia para hacerlo es multiplicar el numerador y el denominador por la raíz.

\[ \dfrac{\sqrt{A}}{a} \cdot \dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{A}}=\dfrac{A}{a\sqrt{A}}\]

Racionaliza el denominador en la siguiente expresión:

\[ \dfrac{\sqrt{2}}{6} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{2}{6\sqrt{2}}\]

La expresion no se puede simplificar mas.

Asimismo, si el denominador contiene una raíz y un número racional, hay que multiplicar el numerador y el denominador por la expresión del denominador, pero con el signo del medio cambiado; es decir, si es (+) cambiarlo por (-), y viceversa. Esta expresión se llama el conjugado.

\[\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{4}}\]

el conjugado seria:

\[\dfrac{2+\sqrt{4}}{2+\sqrt{4}}\]

Por lo tanto la simplificación sería multiplicar el conjugado por la fracción original.

\[\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{4}} \cdot \dfrac{2+\sqrt{4}}{2+\sqrt{4}}\]

Radicales - Puntos clave

  • Las raíces o radicales son expresiones que contienen una raíz cuadrada, una raíz cúbica u otras raíces que dan como resultado un número irracional, con infinitos decimales. Se dejan en su forma radical para representarlas con mayor precisión.
  • Para multiplicar y dividir radicales con números diferentes dentro de la raíz, el índice de las raíces debe ser el mismo.
  • Para sumar o restar radicales, el número dentro de las raíces debe ser el mismo.
  • Para sumar o restar radicales, es posible que haya que simplificarlas primero.
  • El propósito de racionalizar el denominador de las fracciones que contienen raíces es eliminar las raíces del denominador.

Preguntas frecuentes sobre Radicales

Los radicales pueden sumarse, restarse, multiplicarse, dividirse o multiplicarse por una constante.

Los radicales o raíces tienen la siguientes reglas:

  • Suma: √a+√b ≠ √(a+b), √2+√2 ≠ √(2+2)
  • Resta: √a-√b ≠ √(a-b), √3-√2 ≠ √(3-2)
  • Multiplicación: √a x √b = √(axb), √4 x √5 = √(4x5)
  • Division: √a/√b ≠ √(a/b). √2/√7 ≠ √(2/7)
    Multiplicación por escalar: ax√b ≠ a√b, 3x√4 ≠ 3√4


Normalmente, no se puede simplificar la suma de radicales, por lo que se calculan primero las raíces y después se suman sus resultados.


  • Si son del mismo tipo, como dos raíces cuadradas: √a/√b=√(a/b).
  • Si no son del mismo tipo, se recomienda hacer la raíz primero y después dividir los resultados.
  • Si las raíces son múltiplos de la otra, pueden simplificarse.

En general:

  • Si son de mismo tipo: √a x √b =√(axb)
  • Si son de tipos distintos, se hace primero la raíz y después se multiplican.
  • Si son múltiplos, se pueden simplificar.

Cuestionario final de Radicales

Pregunta

¿Qué son las raíces?

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Answer

Las raíces son expresiones que contienen una raíz cuadrada, una raíz cúbica u otras raíces. Son raíces de números que dan como resultado un número irracional, con infinitos decimales. Por lo tanto, se dejan en su forma de raíz para representarlas más exactamente. Por ejemplo, √2, √3, √5, √7, 2√2

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Pregunta

¿Cómo sumas y restas raíces?

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Answer

Para sumar o restar términos con raíces, los términos en las raíces deben ser los mismos:
a√x+b√x=(a+b)√x.

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Pregunta

¿Cómo multiplicas y divides raíces?

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Answer

Si las raíces poseen el mismo valor (índice), solo se multiplican o dividen los valores y se aplica la raíz original.
Si no, se hace primero la operación; y, después, se divide y multiplica.

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Pregunta

¿Cuál es el resultado de multiplicar una raíz por sí misma?

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Answer

El valor dentro de la raiz.

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Pregunta

¿Cómo multiplicas brackets que contienen raíces?

Mostrar respuesta

Answer

Cada termino dentro de un bracket debe ser multiplicado por cada término en el otro bracket.

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Pregunta

¿Cómo simplificar raíces?

Mostrar respuesta

Answer

  • Escribir el número dentro de la raíz como una multiplicación de dos factores, uno de ellos debe ser un número con una raíz exacta.

  • Dividir los factores en dos raíces.

  • Simplificar los términos.

  • Denotar la multiplicación.

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Pregunta

¿Cómo racionalizas raíces?

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Answer

  • Si el denominador solo contiene una raíz: se multiplica el numerador y el denominador por la raíz.

  • Si el denominador contiene una raíz y un número racional: en este caso, hay que multiplicar el numerador y el denominador por la expresión del denominador, pero con el signo del medio cambiado; es decir: si es (+), cambiarlo por ( -), y viceversa. Esta expresión se llama el conjugado. 

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Pregunta

Simplifica \(\sqrt{20}\).

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Answer

\(\sqrt{20}=\sqrt{4(5)}=\sqrt{5}\sqrt{5}=2\sqrt{5}\).

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Pregunta

Simplifica \(\sqrt{300}\).

Mostrar respuesta

Answer

\(\sqrt{300}=\sqrt{100(3)}=\sqrt{100}\sqrt{3}=12\sqrt{3}\).

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Pregunta

Simplifica \(\sqrt{234}\).

Mostrar respuesta

Answer

 \(\sqrt{234}=\sqrt{81(3)}=\sqrt{81}\sqrt{3}=9\sqrt{3}\).


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Pregunta

Simplifica \(\sqrt{98}\).

Mostrar respuesta

Answer

\(\sqrt{98}=\sqrt{49(2)}=\sqrt{49}\sqrt{2}=7\sqrt{2}\).

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Pregunta

Simplifica \(\sqrt{32}\).

Mostrar respuesta

Answer

\(\sqrt{32}=\sqrt{16(2)}=\sqrt{16}\sqrt{2}=4\sqrt{2}\).

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Pregunta

Racionaliza el denominador de la expresión \(\dfrac{4}{\sqrt{2}}\).

Mostrar respuesta

Answer

\(\dfrac{4}{\sqrt{2}} \bullet \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}= \dfrac{\sqrt{32}}{2} \)

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Pregunta

Racionaliza el denominador de la expresión \(\dfrac{\sqrt{5}+3}{\sqrt{5}-3} \).

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Answer

\( \dfrac{\sqrt{5}+3}{\sqrt{5}-2} \bullet \dfrac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} = \dfrac{11+5\sqrt{5}}{1}=11+5\sqrt{5} \).


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Pregunta

¿Se puede resolver \( \sqrt{2} + \sqrt{3}\)?

Mostrar respuesta

Answer

Se puede sumar, pero no simplificar.

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