Imagina que estás en un viaje por carretera con un amigo. Tú dices que te quedan \(20 \,\, \mathrm{km}\) por delante, mientras que tu amigo dice que te quedan \(30 \,\, \mathrm{km}\). Puede que no estéis de acuerdo, pero el desacuerdo puede resolverse midiendo la distancia que queda por delante. Al menos, eso es lo que ocurre cuando se viaja a velocidades cotidianas.
Sin embargo, cuando se viaja a velocidades relativistas, que son velocidades cercanas a la de la luz, el desacuerdo entre dos observadores en diferentes marcos de referencia puede ser significativo. En este artículo descubriremos porque ocurren estas discrepancias.
¿Qué es la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo en la relatividad?
Dilatación del tiempo en relatividad
La dilatación del tiempo es la variación del tiempo de un suceso medido desde un sistema de referencia con respecto a la medición del suceso desde otro sistema de referencia en distinto estado de movimiento.
La dilatación del tiempo se produce cuando un observador o sistema de referencia se mueve con respecto a otro observador con velocidad constante, lo que hace que el tiempo en su sistema de referencia fluya más lentamente.
Contracción de la longitud en relatividad
La contracción de la longitud es el fenómeno que establece que cuando un observador se mueve a una velocidad cercana a la de la luz, las distancias medidas en distintos sistemas de referencia por varios observadores no son las mismas.
Hablamos de contracción de la longitud cuando la longitud de un objeto que se desplaza a una determinada velocidad con respecto a un marco de referencia se mide como más corta que su longitud propia. La longitud propia (\(L_0\)) es la distancia entre dos puntos observados por un observador que está en reposo respecto a ambos puntos.
A pesar de que los relojes miden diferentes periodos transcurridos para el mismo procedimiento, la velocidad relativa—que es la distancia dividida por el tiempo transcurrido— es la misma. Esto significa que la distancia también se ve afectada por el movimiento relativo del observador. Estas dos magnitudes afectadas se anulan mutuamente, por lo que la velocidad permanece constante. Para que la velocidad relativa sea la misma para dos observadores que ven tiempos diferentes, también se deben medir distancias diferentes.
¿Cuál es la fórmula de la contracción de la longitud?
Ahora, que ya hemos hablado de lo que significa la contracción de la longitud y la longitud propia, veamos un ejemplo para explorar cómo calcular la contracción de la longitud.
Supongamos que una nave espacial se mueve a una velocidad \(v\) cercana a la de la luz. Un observador A en la tierra y un observador B en la nave espacial observarán longitudes diferentes para la distancia recorrida por la nave espacial.
Sabemos que la velocidad de la nave espacial es la misma para todos los observadores. Si calculamos la velocidad \(v\) respecto al observador terrestre A, obtenemos:
\[v=\dfrac{L_0}{\Delta t}\]
- Aquí, \(L_0\) es la longitud propia observada por el observador terrestre A, mientras que \(\Delta t\) es el tiempo relativo al observador terrestre A.
La velocidad relativa al observador en movimiento B es:
\[v=\dfrac{L}{\Delta t_0}\]
- Aquí, \(\Delta t_0\)es el tiempo propio observado por el observador móvil B, mientras que \(L\) es la distancia observada por el observador móvil B.
Las dos velocidades son iguales:
\[\dfrac{L_0}{\Delta t}=\dfrac{L}{\Delta t_0}\]
Sabemos por la dilatación del tiempo que \(\Delta t = \gamma \Delta t_0\). Introduciendo esto en la ecuación anterior, obtenemos:
\[\begin{aligned}\dfrac{L_0}{\gamma \Delta t_0}&=\dfrac{L}{\Delta t_0}\\ \cancel{\Delta t_0} \dfrac{L_0}{\gamma \cancel{\Delta t_0}}&=L\end{aligned}\]
\[\rightarrow \, L=\dfrac{L_0}{\gamma}\]
También sabemos que el factor de Lorentz se calcula como:
\[\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]
Insertando \(\gamma\), obtenemos la ecuación de la contracción de la longitud, como se muestra a continuación:
\[L=L_0\cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\]
Contracción de la longitud de los cuerpos
Una de las consecuencias de la contracción de la longitud es que si un objeto se mueve a una velocidad cercana a la de la luz, su longitud puede ser observada como menor que su longitud propia por un observador que esté en reposo respecto al movimiento.
Consideremos el siguiente ejemplo:
Coge un palo de \(10 \,\, \mathrm{cm}\). Su longitud dejará de parecer de \(10 \,\, \mathrm{cm}\) si pasa a una velocidad cercana a la de la luz.
La longitud del palo en reposo se denomina longitud propia. Cuando el palo se mueve a una velocidad cercana a la de la luz, la longitud medida será siempre menor que la longitud propia. Cuando la velocidad del bastón es igual a la de la luz, el bastón no debería tener (en teoría) ninguna longitud.
¿Cuál es un ejemplo de contracción de la longitud?
La gran mayoría de ejemplos acerca de la contracción de la longitud se relacionan con objetos que se desplazan por el espacio. Planteemos una situación hipotética para poder entender la contracción de la longitud en más profundidad.
Imaginemos que un observador se desplaza desde el planeta azul hasta el rojo, y viaja a la velocidad de \(v=0,85c \, \, \mathrm{m/s}\). La distancia entre los dos planetas es de \(4000\) años-luz, medida por un observador terrestre. ¿Cuál es la distancia relativa al observador de la nave espacial, en kilómetros medidos?
Si \(4000\) años-luz es la distancia medida por el observador terrestre, esta es la longitud propia \(L_0\).
Como dijimos, la relación entre la longitud propia \(L_0\) y la longitud observada por el observador en movimiento es:
\[L=\dfrac{L_0}{\gamma}\]
Por tanto, primero tenemos que calcular el factor de Lorentz \(\gamma\):
\[\begin{align} \gamma&=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\&=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{(0,85c)^2\,\mathrm{m/s}}{c^2\,\mathrm{m/s}}}} \\ &=1,9 \end{align}\]
las variables conocidas \(L_0\) y \(v\) nos da:
\[L=\dfrac{4000\,\,\text{años-luz}}{1,9}=2105,26 \, \, \text{años-luz}\]
1 año-luz es igual a \(9,46 \cdot 10^{12}\) kilómetros.
\[L=2105,26\cdot (9,46\cdot 10^{12}\,\, \mathrm{km})=1,99 \cdot 10^{16}\,\, \mathrm{km}\]
Contracción de la longitud - Puntos clave
- La contracción de la longitud es el fenómeno que se produce cuando la longitud de un elemento que se desplaza a cierta velocidad se mide como más corta que su longitud propia, debido a que se desplaza a velocidades cercanas a la luz
- La longitud propia (\(L_0\)) es la distancia entre dos puntos, medida por un observador que está en reposo respecto a ambos puntos.
- Si un objeto se mueve a una velocidad cercana a la de la luz, su longitud será observada como menor que su longitud propia por un observador que esté en reposo respecto al objeto en movimiento.
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