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Contracción de la longitud

Contracción de la longitud

Imagina que estás en un viaje por carretera con un amigo. Tú dices que te quedan \(20 \,\, \mathrm{km}\) por delante, mientras que tu amigo dice que te quedan \(30 \,\, \mathrm{km}\). Puede que no estéis de acuerdo, pero el desacuerdo puede resolverse midiendo la distancia que queda por delante. Al menos, eso es lo que ocurre cuando se viaja a velocidades cotidianas.

Sin embargo, cuando se viaja a velocidades relativistas, que son velocidades cercanas a la de la luz, el desacuerdo entre dos observadores en diferentes marcos de referencia puede ser significativo. En este artículo descubriremos porque ocurren estas discrepancias.

¿Qué es la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo en la relatividad?

Dilatación del tiempo en relatividad

La dilatación del tiempo es la variación del tiempo de un suceso medido desde un sistema de referencia con respecto a la medición del suceso desde otro sistema de referencia en distinto estado de movimiento.

La dilatación del tiempo se produce cuando un observador o sistema de referencia se mueve con respecto a otro observador con velocidad constante, lo que hace que el tiempo en su sistema de referencia fluya más lentamente.

Contracción de la longitud en relatividad

La contracción de la longitud es el fenómeno que establece que cuando un observador se mueve a una velocidad cercana a la de la luz, las distancias medidas en distintos sistemas de referencia por varios observadores no son las mismas.

Hablamos de contracción de la longitud cuando la longitud de un objeto que se desplaza a una determinada velocidad con respecto a un marco de referencia se mide como más corta que su longitud propia. La longitud propia (\(L_0\)) es la distancia entre dos puntos observados por un observador que está en reposo respecto a ambos puntos.

A pesar de que los relojes miden diferentes periodos transcurridos para el mismo procedimiento, la velocidad relativa—que es la distancia dividida por el tiempo transcurrido— es la misma. Esto significa que la distancia también se ve afectada por el movimiento relativo del observador. Estas dos magnitudes afectadas se anulan mutuamente, por lo que la velocidad permanece constante. Para que la velocidad relativa sea la misma para dos observadores que ven tiempos diferentes, también se deben medir distancias diferentes.

¿Cuál es la fórmula de la contracción de la longitud?

Ahora, que ya hemos hablado de lo que significa la contracción de la longitud y la longitud propia, veamos un ejemplo para explorar cómo calcular la contracción de la longitud.

Supongamos que una nave espacial se mueve a una velocidad \(v\) cercana a la de la luz. Un observador A en la tierra y un observador B en la nave espacial observarán longitudes diferentes para la distancia recorrida por la nave espacial.

Sabemos que la velocidad de la nave espacial es la misma para todos los observadores. Si calculamos la velocidad \(v\) respecto al observador terrestre A, obtenemos:

\[v=\dfrac{L_0}{\Delta t}\]

  • Aquí, \(L_0\) es la longitud propia observada por el observador terrestre A, mientras que \(\Delta t\) es el tiempo relativo al observador terrestre A.

La velocidad relativa al observador en movimiento B es:

\[v=\dfrac{L}{\Delta t_0}\]

  • Aquí, \(\Delta t_0\)es el tiempo propio observado por el observador móvil B, mientras que \(L\) es la distancia observada por el observador móvil B.

Las dos velocidades son iguales:

\[\dfrac{L_0}{\Delta t}=\dfrac{L}{\Delta t_0}\]

Sabemos por la dilatación del tiempo que \(\Delta t = \gamma \Delta t_0\). Introduciendo esto en la ecuación anterior, obtenemos:

\[\begin{aligned}\dfrac{L_0}{\gamma \Delta t_0}&=\dfrac{L}{\Delta t_0}\\ \cancel{\Delta t_0} \dfrac{L_0}{\gamma \cancel{\Delta t_0}}&=L\end{aligned}\]

\[\rightarrow \, L=\dfrac{L_0}{\gamma}\]

También sabemos que el factor de Lorentz se calcula como:

\[\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]

Insertando \(\gamma\), obtenemos la ecuación de la contracción de la longitud, como se muestra a continuación:

\[L=L_0\cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\]

Contracción de la longitud de los cuerpos

Una de las consecuencias de la contracción de la longitud es que si un objeto se mueve a una velocidad cercana a la de la luz, su longitud puede ser observada como menor que su longitud propia por un observador que esté en reposo respecto al movimiento.

Consideremos el siguiente ejemplo:

Coge un palo de \(10 \,\, \mathrm{cm}\). Su longitud dejará de parecer de \(10 \,\, \mathrm{cm}\) si pasa a una velocidad cercana a la de la luz.


La longitud del palo en reposo se denomina longitud propia. Cuando el palo se mueve a una velocidad cercana a la de la luz, la longitud medida será siempre menor que la longitud propia. Cuando la velocidad del bastón es igual a la de la luz, el bastón no debería tener (en teoría) ninguna longitud.

¿Cuál es un ejemplo de contracción de la longitud?

La gran mayoría de ejemplos acerca de la contracción de la longitud se relacionan con objetos que se desplazan por el espacio. Planteemos una situación hipotética para poder entender la contracción de la longitud en más profundidad.

Imaginemos que un observador se desplaza desde el planeta azul hasta el rojo, y viaja a la velocidad de \(v=0,85c \, \, \mathrm{m/s}\). La distancia entre los dos planetas es de \(4000\) años-luz, medida por un observador terrestre. ¿Cuál es la distancia relativa al observador de la nave espacial, en kilómetros medidos?

Si \(4000\) años-luz es la distancia medida por el observador terrestre, esta es la longitud propia \(L_0\).

Como dijimos, la relación entre la longitud propia \(L_0\) y la longitud observada por el observador en movimiento es:

\[L=\dfrac{L_0}{\gamma}\]

Por tanto, primero tenemos que calcular el factor de Lorentz \(\gamma\):

\[\begin{align} \gamma&=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\&=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{(0,85c)^2\,\mathrm{m/s}}{c^2\,\mathrm{m/s}}}} \\ &=1,9 \end{align}\]

las variables conocidas \(L_0\) y \(v\) nos da:

\[L=\dfrac{4000\,\,\text{años-luz}}{1,9}=2105,26 \, \, \text{años-luz}\]

1 año-luz es igual a \(9,46 \cdot 10^{12}\) kilómetros.

\[L=2105,26\cdot (9,46\cdot 10^{12}\,\, \mathrm{km})=1,99 \cdot 10^{16}\,\, \mathrm{km}\]

Contracción de la longitud - Puntos clave

  • La contracción de la longitud es el fenómeno que se produce cuando la longitud de un elemento que se desplaza a cierta velocidad se mide como más corta que su longitud propia, debido a que se desplaza a velocidades cercanas a la luz
  • La longitud propia (\(L_0\)) es la distancia entre dos puntos, medida por un observador que está en reposo respecto a ambos puntos.
  • Si un objeto se mueve a una velocidad cercana a la de la luz, su longitud será observada como menor que su longitud propia por un observador que esté en reposo respecto al objeto en movimiento.

Preguntas frecuentes sobre Contracción de la longitud

  • La dilatación del tiempo es la variación en la medición del tiempo medido desde un sistema de referencia con respecto a otro sistema de referencia en distinto estado de movimiento.
  • La contracción de la longitud es el fenómeno que establece que cuando un observador se mueve a una velocidad cercana a la de la luz, las distancias obtenidas por varios observadores no son las mismas.

Hablamos de contracción de la longitud cuando la longitud de un objeto que se desplaza a una determinada velocidad con respecto a un marco de referencia se mide como más corta que su longitud propia. 

L=L0/γ 

Según la teoría de la relatividad, el tiempo y las longitudes dejan de ser absolutas, lo que significa que ya no son la misma para todos los observadores. 


La medición de estas cantidades depende de la velocidad a la que viaje el observador que las mide. El primer postulado establece que no existe un sistema inercial de referencia privilegiado, y el segundo postulado de la relatividad especial afirma que la velocidad de la luz en el vacío es independiente del movimiento de su fuente y la declara como constante universal.

Podemos aplicar este concepto cuando resolvemos problemas que implican objetos moviéndose a velocidades cercanas a la de la luz; por ejemplo, una nave moviéndose en el espacio a velocidades muy muy altas.

Cuestionario final de Contracción de la longitud

Pregunta

El factor de Lorenzt (\gamma\) siempre será _____ que \(1\).

Mostrar respuesta

Answer

Mayor (o igual).

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Pregunta

¿Qué es la contracción de la longitud? 

Mostrar respuesta

Answer

La distancia entre dos puntos observados por un observador que está en reposo respecto a ambos puntos.

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Pregunta

¿Qué es el tiempo propio?

Mostrar respuesta

Answer

El tiempo propio es el tiempo medido por un observador en reposo en relación con el evento observado.

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Pregunta

¿Cuál de las siguientes corresponde a la fórmula del factor de Lorentz?

Mostrar respuesta

Answer

\[\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\].

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Pregunta

¿Qué se entiende por velocidades relativistas?

Mostrar respuesta

Answer

Velocidades que se consideran cotidianas.

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Pregunta

¿Cómo se ve afectada la longitud de un objeto por la contracción de la longitud? 

Mostrar respuesta

Answer

Se puede observar que la longitud es menor que la propia.

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Pregunta

Imagina que un observador viaja de un planeta a otro. La distancia entre los dos planetas es de \(3\,500\) años-luz y el observador viaja a una velocidad de \(0,950\,\,c\). ¿Cuál es la distancia medida con respecto al observador en la nave espacial en kilómetros?

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Answer

\[1,0.35\cdot 10^{13}\,\, \mathrm{km}\]

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Pregunta

Considera un palo de \(8\,\mathrm{cm}\) que se mueve a la velocidad de la luz. En teoría, ¿qué longitud le parecerá tener a un observador en reposo respecto al palo en movimiento?

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Answer

Parecerá que no tiene longitud.

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Pregunta

¿Qué ecuación nos da la relación entre la longitud propia y la longitud medida?

Mostrar respuesta

Answer

\(L=\dfrac{L_0}{\gamma}\).

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Pregunta

¿Cuánto es 1 año luz en kilómetros?

Mostrar respuesta

Answer

\(9,46\cdot 10^{12}\,\,\mathrm{km}\).

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Pregunta

¿Cuál es la velocidad de la luz en m/s?

Mostrar respuesta

Answer

\(3\cdot 10^8\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es el símbolo de la longitud propia?

Mostrar respuesta

Answer

\(L_0\).

Show question

Pregunta

¿Qué significa \(\Delta t_0\)?

Mostrar respuesta

Answer

Tiempo propio (generalmente del objeto en movimiento).

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Pregunta

¿Qué cantidad será la misma para todos los observadores cuando se produce la contracción de longitud?

Mostrar respuesta

Answer

La velocidad del objeto en movimiento.

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Pregunta

La distancia se ve afectada por el movimiento relativo del observador. ¿Verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Verdadero.

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